高三数学上学期期中试题 理18

2016--2017学年第一学期实验中学期中考试

高三数学试题（理科）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）

1．下列五个写法：①?0???0,1,2?;②???0?;③?0,1,2???1,2,0?;④0??;⑤0????.其中正确写法的个数为（ ） ．．

A．1 B．2 C．3 D．4 2．命题“若a?b，则a?1?b?1”的否命题是（ ） A．若a?b，则a?1?b?1 B．若a?b，则a?1?b?1 C．若a?b，则a?1?b?1 D．若a?b，则a?1?b?1 3．在△ABC中，sin Asin C＞cos Acos C，则△ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．若函数y?Asin??x???,?A?0,??0,???????在一个周期内的图象如图所示，M,N分别是2?这段图象的最高点和最低点，且OM?ON?0，（O为坐标原点），则A??=（ ）

A、

?7?7?7? B、 C、 D、 612635．如图，阴影部分的面积是（ ）

1

A．23 B．－23 C．

3532 D． 336．已知等差数列?an?的公差是2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（ ） A．-4 B．-6 C．-8 D．-10

7．设直角?ABC的三个顶点都在单位圆x2?y2?1上，点M(,)，则|MA?MB?MC|的最大值是（ ）

A．2?1 B．2?2 C．8．函数y?11223232?2 ?1 D．22lg|x|的图象大致是（ ） x

9．已知△ABC所在的平面内，点P0，P满足P0P?有PB?PC?P0B?PC0，则（ ）

A．?ABC?90? B．?BAC?90? C．AC?BC D．AB?AC

1AB，PB??AB，且对于任意实数?，恒4a7?a6?2a5，10．已知正项等比数列?an?满足：若存在两项am,an使得的最小值为（ ） A、1?则aman?4a1，

15?mn5711 B、 C、2 D、 344?x?y?6?0?11．设x，y满足不等式组?2x?y?1?0，若z?ax?y的最大值为2a?4，最小值为a?1，则

?3x?y?2?0?实数a的取值范围为（ ）

A．??1,2? B．??2,1? C．??3,?2? D．??3,1?

2

?x?y?22?0,??12．已知不等式组?x?22,表示平面区域?，过区域?中的任意一个点P，作圆

???y?22x2?y2?1的两条切线且切点分别为A,B，当?APB最大时，PA?PB的值为（ ）

（A）2 （B）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卷的横线上)

35 （C） （D）3 22?ax,x?1,?13．若函数f(x)??为R上的增函数，则实数a的取值范围是 ． a?(4?)x?2,x?1.?214．已知函数f?x??x?ax?bx?a?7a在x?1处取得极大值10，则a?b的值为 ．

32215．已知等差数列{an}满足：

a11??1，且它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取到最小正值时，a10n? ．

216．把函数f(x)?3sinxcosx?cosx?1图象上各点向右平移?(??0)个单位，得到函数2g(x)?sin2x的图象，则?的最小值为 ．

三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)

17 （本小题10分） 已知

p:A??x|x2?2x?3?0,x?R?，

q:B??x|x2?2mx?m2?9?0,x?R,m?R?．

（1）若AB??1,3?，求实数m的值；

3

（2）若p是?q的充分条件，求实数m的取值范围．

18．（本小题12分）

2已知函数f(x)?3sinxcosx?sinx?1(x?R) 2（Ⅰ）当x?[?,]时，求f(x)的最大值。 1212?5?（Ⅱ）设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c?3，f(C)?2，sinB?2sinA求

a

19．（本小题满分12分） 已知等差数列?an?的前n项和Sn满足S3?0，S5??5． （1）求?an?的通项公式； （2）求数列?

??1?的前n项和．

?a2n?1a2n?1??)，函数f(x)?(a?b)?a?2．20．（本小题满分12分）已知向量a?(sinx， ?1)，b?(3cosx，（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期T；

（Ⅱ）已知a、b、c分别为?ABC内角A、B、C的对边，其中A为锐角，a?23，c?4,且f(A)?1，求A，b和?ABC的面积S．

21．（本题满分12分）

4

12已知函数f?x??2x?12x

（1）若f?x??2，求x的值；

（2）若2tf?2t??mf?t??0对于t??1,2?恒成立，求实数m的取值范围.

22．（本小题12分）

f(x)?ln(2ax?1)?x3?x2已知函数3?2ax(a?R)．

（1）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（2）若y?f(x)在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围；

5

2016-2017学年第一学期实验中学期中考试

高三数学理试题 参考答案

1．B 【解析】

试题分析：①集合间关系不能用“?”，错；④?中没有元素，所以0??错；⑤元素与集合间不能运算，错．

考点：元素、集合间的关系． 2．C 【解析】

试题分析：否命题是对已知命题的条件和结论分别否定，所以命题“若a?b，则a?1?b?1”的否命题是若a?b，则a?1?b?1。故选C。 考点：写出已知命题的否命题。 3．D 【解析】 试题分析：

sinAsinC?cosAcosC?cosAcosC?sinAsinC?0?cos?A?C??0

?cosB?0?B?90，三角形只能确定一个内角是锐角，其形状不能确定

考点：1．两角和差的三角函数公式；2．解三角形 4．C 【解析】

试题分析：由图象，得T?2???4?(?3??12)??，即??2，则M(?12,A),N(7?,?A)，127?27?7??A2?0，解得A?OM?ON?0，?，则A???；故选C． 144126考点：1．三角函数的图象与性质；2．平面向量垂直的判定． 5．D 【解析】 试题分析：S???3?x?312132?? ?2x?dx??3x?x3?x2?|1??333??

考点：1．定积分的几何意义；2．定积分计算 6．B 【解析】

2试题分析：若a1，a3，a4成等比数列，所以a3?a1a4??a1?4??a1?a1?6??a1??6

2考点：等差数列等比数列 7．C 【解析】

试题分析：由题意，MA?MB?MC?MA?2MO?MA?2MO，当且仅当M，O，A共线同

向时，取等号，即MA?MB?MC取得最大值，最大值是2?考点：1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．

232?1??1，故选：C． 22【思路点睛】由题意，MA?MB?MC?MA?2MO?MA?2MO，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出|MA?MB?MC|的最大值． 8．D 【解析】

试题分析：函数定义域为?x|x?0?，且f??x???lnxx??f?x?，为奇函数，又因为当x?1时

f?x??0，由此两个性质知函数图象可能为D．

考点：函数的图象与性质． 9．C 【解析】 试题分析：

如下图：过点C作CD垂直AB于点D，设P0D?x,AB=4，P0B?1，则由向量数量积的几何意义得，

P0B?P0C?-x,PB?PC?PB?PD?(PD?x?1)?PD?PD?(x?1)?PD,要使对于任意D实数?，恒有PB?PC?P即P0B?PC0，

22?x(?1)?PD?x-，也即PD?(x?1)?PD?x?022对任意的实数x恒成立，所以??（x?1）?4x?(x?1)2?0,则x?1.又因P0B?1，所以BD=2，

即点D是AB的中点。又因为CD?AB，所以AC=BC。故选C。

考点：向量数量积的综合问题。 10．B 【解析】

6542试题分析：根据已知条件，a1q?a1q?2a1q，整理为q?q?2?0，又q?0，解得，q?2，

由已知条件可得：a1qm?n?2?16a122m?n?2?16，即m?n?6，所以，整理为2151151nm5??(m?n)(??)?(6???)mn6mn6mn5n5m取等号，但此时1，当且仅当?3mn7m,n?N*．又m?n?6，所以只有当m?4,n?2时，取得最小值是；故选B．

4考点：1．等比数列；2．基本不等式．

【易错点睛】本题考查等比数列的通项公式、性质以及基本不等式的应用，属于中档题；在利用基本不等式求函数的最值时，要注意其使用条件“一正、二定、三等”，尤其是“相等”的条件，本题中若忽视条件“m,n?N”，则会出现“最小值为1?11．B 【解析】

*5”的错误． 3A(试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中

711,)B,33立

(1C,1),(2,4),由得

a?1?ax?y?2a?4恒成

a?1?7a11??a?，a??a2??a?，a??4a??a?，1?2?a?1，33解得选B.

1考点：线性规划求最值 12．B 【解析】

试题分析：如图所示，画出平面区域?，当?APB最大时，?APO最大，故sin?APO?AO1?OPOP1，2最大，故OP最小即可，其最小值为点O到直线x?y?22?0的距离d?2，故sin?APO?此时

?A?PP2?BcB?o?06A，0?P且OP?A?BA4?PPB1B?，3?故

P?A3Ps．故选A?B．P 2

考点：1线性规划；2平面向量数量积． 13．[4,8) 【解析】

??a?1,??a试题分析：根据题意，有?4??0,同时成立，解得4?a?8，故答案为[4,8)．

2??a4??2?a??2考点：分段函数单调增的条件．

【方法点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出函数的交集，即可求出结果． 14．3 【解析】

?a??2?f'(1)?2a?b?3?0试题分析：可得，f'(x)?3x?2ax?b,则有?,解得?或2b?1f(1)??a?6a?b?1?10??2

?a?-6?a??2?a?-6．经验证，不符合题意．故，所以a?b?3． ???b?9b?1b?9???考点：函数的极值问题． 15．19 【解析】

a11??1{a}Sa试题分析：因为等差数列n前n项和n有最大值，所以公差为负，因此由10得a11?0,a10?0,a11??a10?a11?a10?0

10(a1?a19)10(a1?a20)10(a10?a11)?S19??10a10?0,S20???0,222

因此当n?19时，

Sn取到最小正值

考点：等差数列性质 【名师点睛】

求等差数列前n项和的最值常用的方法 (1)先求an，再利用?

?an≥0?

??an＋1≤0

或?

?an≤0?

??an＋1≥0

求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．

2

(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值．②利用等差数列的前n项和Sn＝An＋Bn(A，B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 16．

? 12【解析】 试题分析：

f(x)?31?sin2x?cos2x?sin(2x?)，平移后的解析式为226g(x)?sin(2x?2???6)?sin2x，所以

?6?2??2k?,k?Z，故有?的最小值为

?． 12考点：函数图像的平移，倍角公式，辅助角公式． 17．（1）m?4；（2）m?6或m??4． 【解析】

试题分析：（1）先通过解一元二次不等式的解集求出集合A、B，然后由集合A、B的关系AB??1,3?及数轴法求解；（2）用集合的观点理解充分性、必要性，即由条件得到A?CRB，然后按照集合关

系求出参数范围．

试题解析：（1）解得，A??x|?1?x?3,x?R?,B??x|m?3?x?m?3,x?R,m?R?， ∵AB??1,3?，∴m-3=1，解得m?4． （5分）

（2）∵p是?q的充分条件， ∴A?CRB， ∴m?6或m??4．

考点：①集合间的运算；②由充分性、必要性求参数范围． （5分） 18．（Ⅰ）2；（Ⅱ）a?1。

f(x)?3sinxcosx?sin2x?131?cos2x131?sin2x???sin2x?cos2x?1222222?sin(2x?)?1

6?5???2?x?[?,]，?2x??[?,]1212633?。

?当2x??6??2时，即x?

?3

时，

sin(2x?)?1,?f(x)max?2。 （6分） 6（Ⅱ）f(C)?sin(2C???6)?1?2，

?sin(2C?)?1。0?C??，

6??11????2C??。

666?2C???6??2，得C??3。

sinB?2sinA， ?b2a?， 2R2R?b?2a。

）a?1 （6分） 19．（1）an?2?n；（2）【解析】

试题分析：（1）设等差数列的首项，公差分别是a1,d，代入Sn中求解；（2）先将2n?1和2n?1代

n． 1?2n

入通项公式，整理，再裂项相消求解．

试题解析：（1）设?an?的公差为d，则Sn?na1?由已知可得?n(n?1)d． 2?3a1?3d?0,?a1?1,解得?，故?an?的通项公式为an?2?n．（4分）

?d??1,?5a1?10d??5,11111??(?)，

a2n?1a2n?1(3?2n)(1?2n)22n?32n?1（2）由（1）知

??11111111n?)?从而数列?． ?的前n项和为(????…?2?11132n?32n?11?2naa?2n?12n?1?（8分）

考点：1、等差数列的前n项和；2、等差数列的通项公式；3、裂项相消法求和．

【易错点睛】在使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．有时首项不能消去，有时尾项不能消去，因此在消项时要特别小心，以免出错． 20．（Ⅰ）T?【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先根据平面向量的数量积的坐标运算计算函数f(x)的表达式，然后运用倍角公式和两

角的和或差的正弦或余弦公式以及辅助角公式将函数f(x)的表达式化为同一角的正弦或余弦，再运用公式

2????；（Ⅱ）A?，b?2，S?23．

32T?2??即可求出函数f(x)的最小正周期T；（Ⅱ）首先由f(A)?1并结合（Ⅰ）中函数f(x)的

表达式以

及三角形内角的取值范围，可得出角A的大小，然后在?ABC中应用余弦定理并结合已知a和c的值，可

求出边长b的大小，最后由?ABC的面积公式即可求出所求的答案． 试题解析：（Ⅰ）f(x)?(a?b)?a?2?a?a?b?2

2?sin2x?1?3sinxcosx?1?22

?1?cos2x3131??sin2x??sin2x?cos2x?sin(2x?)．因为??2，所以2222262???． （4分） 2????5???A?)?，1因为A?(0，)，2A??(?，)，所以2A??，（Ⅱ）f(A)?sin(26266662?1A?．则a2?b2?c2?2bccosA，所以12?b2?16?2?4b?，即b2?4b?4?0，则b?2，

3211从而S?bcsinA??2?4?sin60?23． （8分）

22T?考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、余弦定理；3、三角恒等变换．

【方法点晴】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角函数中的恒等变换与余弦定理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数f(x)的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．其次是在?ABC中解三角函数的恒等式，尤其要注意三角形内角的取值范围，进而确定其角的大小． 21．log21?2 ?5,??? 【解析】(1)由f(x)=2可得2?分）

x???1?2,然后再讨论x>0,x=0,x<0三种情况解此方程即可. （6x22tf?2t?(2) 2f?2t??mf?t??0对于t??1,2?恒成立因为f(t)>0,所以等价于m??,

f?t?t2tf?2t?然后再求?在t??1,2?上的最大值即可. （6分）

f?t?22．（1）a?0；（2）?0,【解析】

试题分析：（1）求函数f(x)的导数f?(x)，由f?(x)?0可得a?0，再检验a?0时，函数f(x)在

?3?13??； 4??x?2取得极值即可；（2）由f?(x)?在区间[3,??)上恒成立可得0a??分类讨论即可求出a的取值范围；（3）2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)?0在[3,??)上恒成立，

12(1?x)3b?有实根等价于在b?xlnx?x2?x3有实根求b的最大值等价于求时，方程f(1?x)?3x

函数g(x)?xlnx?x2?x3?x(lnx?x?x2)的最大值，令h(x)?lnx?x?x2，求函数h(x)导数得h?(x)?(2x?1)(1?x)，由导数的符号可知函数的单调性，由此可求得函数h(x)?0，又

x，可求得函数g(x)的最大值，即b的最大值． g(x)?xh(x)?022?x2ax?(1?4a)x?(4a?2)?2a??2f'(x)??x?2x?2a?2ax?12ax?1试题解析：（1）．

2a?2a?0f'(2)?0f(x)x?2因为为的极值点，所以．即4a?1，解得a?0．

又当a?0时，f'(x)?x(x?2)，从而x?2为f(x)的极值点成立． （4分）

?3,???上为增函数，

（2）因为f(x)在区间

所以

f'(x)?22x??2ax?(1?4a)x?(4a?2)??2ax?1?0在区间

?3,???上恒成立．

?3,???上恒成立，所以f(x)在?3,???上为增函数，故a?0①当a?0时，f'(x)?x(x?2)?0在

符合题意．②当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax?1?0对x?3恒成立，故只能

a?0，

?3,???上恒成立．

所以2ax?(1?4a)x?(4a?2)?0在

22令g(x)?2ax?(1?4a)x?(4a?2)，其对称轴为

22x?1?14a，

因为a?0所以

1?1?1?3,???上恒成立，只要g(3)?0即可， 4a，从而g(x)?0在

2g(3)??4a?6a?1?0， 因为

3?133?13?a?44． 解得

0?a?3?134．

因为a?0，所以

?3?13??0,?4?． （8分） 综上所述，a的取值范围为?

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