次函数、反比例函数、二次函数的综合题

一次函数、反比例函数、二次函数的综合题

1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．

2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的

函数_________________

3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的

长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则

菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关

系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围）

4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数

5．函数2y kx =-与k y x =

（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 .

2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；

与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值

3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程

组 .

例1如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x

秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．

⑴ 写出y 与x 的关系式；

⑵ 当x=2，时，y 分别是多少

⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.

例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. A B C D （第3题）

菜园 墙

1． 反比例函数x k y =

的图像经过A （－2

3，5）点、B （a ，－3），则k ＝ ，a ＝ ． 2．如图是一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数

y 2＝＝m x

的图象，?观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范 围是_________．

3．根据右图所示的程序计算

变量y 的值，若输入自变

量x 的值为32

，则输出 的结果是_______.

4.如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝k x

（k<0） 的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点

的坐标为（ ）

A ．（a ，b ）

B ．（b ，a ）

C ．（-b ，-a ）

D ．（-a ，-b ）

5. 二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）

A ．3

B ．5

C ．－3和5

D ．3和－5 6.下列图中阴影部分的面积与算式122)2

1(|43|-++-的结果相同的是（ ）

7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标 为( )

A.(2,-1)

B.(2,2)

C.(2,1)

D.(3,1)

三、解答题

8. 已知点A 的坐标为(13)，

，点B 的坐标为(31)，． ⑴ 写出一个图象经过A B ，两点的函数表达式；

⑵ 指出该函数的两个性质．

9. 反比例函数y ＝x

k 的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点， （1）求反比例函数解析式.

（2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.

10.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，

记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝．

（1）求B ′点的坐标； （2）求折痕CE 所在直线的解析式．

知识点睛

一、二次函数与一次函数的联系

一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?

的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点；

②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；

③方程组无解时?l 与G 没有交点.

【例1】 如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正

比例函数y kx =的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。

（1）该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；

（2）知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；

（3）02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。 参考公式：已知两点()11D x y ，，()22E x y ，，则线段DE 的中点坐标为121222x x y y ++?? ???

，

二次函数图象的几何变换

一、二次函数图象的平移变换

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；

()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；

4. 关于顶点对称

2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，

对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

一、二次函数图象的平移变换

【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）

A. 右移两个单位，下移一个单位

B. 右移两个单位，上移一个单位

C. 左移两个单位，下移一个单位

D. 左移两个单位，上移一个单位

【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤

是（ ）

A. 右移三个单位，下移四个单位

B. 右移三个单位，上移四个单位

C. 左移三个单位，下移四个单位

D. 左移四个单位，上移四个单位

【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）

A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.

【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是

235y x x =-+，则a b c ++=________________．

【例6】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为

A ．()213y x =---

B ．()213y x =-+-

C ．()213y x =--+

D ．()213y x =-++ 【例7】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()221y x =+ B ．()221y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =-

【例8】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）

A. 232y x =-

B. 23y x =

C. 23(2)y x =+

D. 232y x =+

【例9】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析

式为________________．

【例10】 如图，ABCD Y 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上

的点A ，B ．

⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．

【例11】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解

析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．

【例12】 函数2y x =与2

y x =-的图象关于______________对称，也可以认为 2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．

【例13】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴

作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为

A ．22y x x =--+

B ．22y x x =-+-

C ．22y x x =-++

D ．22y x x =++

2. 如图，已知?ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F

（EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图像大致为（ ）

3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500 个．根据销售经验，

售价每提高1元，销售量相应减少10个．

⑴ 假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮球每月的销售

量是___________个．（用含x 的代数式表示）

⑵ 当篮球的售价应定为 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 元.

1．二次函数c

bx

ax

y+

+

=2通过配方可得

2

2

4

()

24

b a

c b y a x

a a

-=

++，

⑴当0

a>时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当

x=时，y有最（“大”或“小”）值是；

⑵当0

a<时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当

x=时，y有最（“大”或“小”）值是．

2. 每件商品的利润P = －；商品的总利润Q = × .

例1 近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y（米）与售价x（元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70．

(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；

(2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．

①试用含x的代数式表示ｗ；

②试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高最高是多少元

例2 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉

及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润

1

y与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花

卉的利润

2

y与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）

⑴分别求出利润

1

y与

2

y关于投资量x的函数关系式；

⑵如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润他能获取的最大利润是多

少

1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，截取AE＝BF＝DG＝x.已知AB＝6，CD＝3，AD＝4；

求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.

3. 如图，已知矩形OABC的长OA，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.

（1）填空：∠PCB＝度，P点坐标为；

（2）若P、A两点在抛物线y＝－4

3

x2＋bx＋c上，求b、c的值，并说明点C在此抛物线上；

﹡（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.

3．一次函数的解析式为：，一次函数的图象是一条。根据两点确定一条直线，在求解析式时只需两点就可以了，通常采用列方程组的方法来解决，又叫。一次函数y=k(x-a)+b (a,b为常数，k为变量)当k变化时表示的直线也在变化，但这些直线始终过定点（）

4．一次函数图象增减（升降）变化规律，系数与图象关系。自变量的变化对图象的影响。

5．反比例函数的解析式为：，当k>0 时图象过象限，当K<0时，图象过象限6．二次函数的解析式：一般式，顶点式，交点式

在顶点式中，顶点为（）对称轴为。一般式中△= 当△时图象与X轴无交点，当△时图象与X轴有一个交点，当△时图象与X轴有两个交点。当a>0时图象开口向，当a<0时图象开口向

7．图象平移：

8.二次函数与一元二次方程的关系： 9．一元二次方程求根公式：

10．韦达定理： 典型例题与练习：

2．已知整数x 满足-5≤x ≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是 ( )

.

3．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函

数k

y x

=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足

为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：

①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ；

④AC BD =． 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）

4．若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b

y x

=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

5. 如图，直线经过，两点，则不等 式的解集为 ．

Q M

（图1）

x C ． x x x B ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/84ie.html