实变函数论教案第二章

第二章 点 集

在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n维欧几里得空间Rn的子集上的实值函数，因此，有必要对

n着重讨论Rn中的点集所特有的一些性R中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，

质. 需要指出的是，因为Rn中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对Rn中的点集都适用，但Rn中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.

§1 度量空间，n维欧氏空间

教学目的：使学生了解Rn中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，Rn 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间R1（即R，实直线），二维欧几里得空间R2（即实平面）和三维欧几里得空间R3（即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n维欧几里得空间.

定义 设n是正整数，由n个实数构成的有序数组x?(x1,x2,?,xn)的全体组成的集合，称为n维点集，记作Rn，即Rn?{x?(x1,x2,?,xn):xi?R,i?1,2,?,n}.

为了深入研究n维点集Rn中邻域、有界集、点列收敛等概念，需要对Rn中的点之间定义距离. 为了使问题讨论适用于更广泛的情形，我们对一般的集合给出距离的概念.

定义 设X是一个非空集合，如果对于X中任何两个元素x，y，都有一个确定的实数，记为?(x,y)，与之对应，且满足下面三个条件：

（i）非负性：?(x,y)?0，而且?(x,y)?0当且仅当x?y；

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（ii）对称性：?(x,y)??(y,x)；

（iii）三角不等式：?(x,y)??(x,z)??(z,y)，这里z也是X中任意一个元素. 则称?是X上的一个距离，称?(x,y)是x，y之间的距离，而称X是以?为距离的距离空间（或度量空间）. 记为(X,?).

对于Rn中任意两点x?(x1,x2,?,xn)，y?(y1,y2,?,yn)，定义实函数

12，（ii），（iii）. 称?为Rn上?(x,y)???(xi?yi)?，则?(x,y)满足距离的三个条件（i）

??n?2?i?1的欧几里得距离，称(Rn,?)为n维欧几里得空间.

定义1 设P0?Rn是一固定点，??0为一实数，则集合{P:?(P,P0)??}称为以P0为中心的?邻域，记作U(P0,?).

?称为邻域的半径，P0称为邻域的中心，某邻域当不需要指出半径时，可以简单地说是P0的某邻域，记作U(P0)，显然，在R,R2,R3中的邻域U(P0,?)，就分别是以P0为中心以?为半径的开区间，开圆和开球.

容易证明邻域具有如下基本性质： （1）P?U(P)；

（2）对于U1(P)和U2(P)，存在U3(P)?U1(P)?U2(P)； （3）对于Q?U(P)，存在U(Q)?U(P)；

（4）对于P?Q，存在U(P)和U(Q)，使U(P)?U(Q)??.

n定义2 设{Pk}是Rn中一个点列，P0?R，如果当k??时，有?(Pk,P0)?0，则

称点列{Pk}收敛于P0，记为limPk?P0或Pk?P0(k??).

k??用邻域的语言来说，就是：

?limPk?P0?对P0的任意邻域U(P0)，存在K?N，使当k?K时，Pk?U(P0) k??用“??N”语言来说，就是：

?limPk?P0?对任意的??0，存在K?N，使当k?K时，?(Pk,P0)??. k??36

定义3 设A，B是两个非空点集，A与B的距离定义为?(A,B)?inf?(P,Q).

P?AQ?B定义4 设A是非空点集，A的直径定义为?(A)?sup?(P,Q).

P?AQ?A定义5 设E为Rn中一点集，如果?(E)??，则称E为有界点集（空集也作为有界点集）.

显然，E是有界集?存在常数M，使对任意的x?(x1,x2,?,xn)?E，都有

|xi|?M(i?1,2?,n,. )

E是有界集?存在常数K，使对任意的x?(x1,x2,?,xn)?E，有?(x,O)?K，其中

nO?(0,0,?,0)为R的原点.

定义6 点集{(x1,x2,?,xn):ai?xi?bi,i?1,2,?,n}称为Rn中的开区间；如果把其中

?,n)，则称为Rn中的闭区间；如果把不等式都改为的不等式都改为ai?xi?bi(i?1,2,ai?xi?bi(i?1,2,?,n)或ai?xi?bi(i?1,2,?,n)，则称为Rn中的左开右闭区间或左闭

右开区间. 当没有必要区分上述各种区间时，统称为区间，记作I，bi?ai(i?1,2,?,n)称为

n，区间I的体积，记为|I|，|I|?I的第i个“边长”

?(bi?1i?ai).

§2 聚点，内点，界点

教学目的：通过对欧式空间中特殊点（聚点，内点和界点）的概念的讨论，为本门课后

面的学习打下基础. 本节重点: 聚点、内点、界点的定义及等价命题。

对于Rn中的点集E和Rn中的点P0，研究P0相对于E的位置关系，有以下三种情况： 第一，P0附近根本没有E的点； 第二，P0附近全是E的点；

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第三，P0附近既有属于E的点也有不属于E的点. 针对这三种情况，用邻域概念给出如下定义： 定义1 设E?Rn，P0?Rn

（1）若存在某一?0?0，使U(P0,?0)?CE（或U(P0,?0)?E??），则称P0为E的外点.

（2）若存在某一?0?0，使U(P0,?0)?E，则称P0为E的内点.

（3）若对任何?0?0，总有U(P0,?0)?E??且U(P0,?0)?CE??，则称P0为E的界点.

从定义可以知道，E的内点属于E，E的外点不属于E，E的界点可以属于E，也可以不属于E；E的外点也是CE的内点；E的界点也是CE的界点.

如果考虑在点P0的附近是否总是“凝聚着”点集E的点，又可以定义两种类型的点.

n定义2 设E?Rn，P0?R

（1）若对任何??0，P0的?邻域U(P0,?)中都含有E中的无穷多个点，也就是说

U(P0,?)?E是E的无穷子集，则称P0为E的一个聚点.

P0,?0)?E{?P}0（2）若P0?E，但P0不是E的聚点，也就是说，存在某一?0?0，使U(，

则称P0为E的一个孤立点.

应当注意，E的孤立点必属于E，但E的聚点可以属于E，也可以不属于E. 从定义可以看出，E的内点必为E的聚点，E的孤立点必为E的界点. 反过来却未必成立.

n定理1 设E?Rn，P0?R，则下面三个命题是等价的：

（1）P0是E的聚点；

（2）对任何??0，在U(P0,?)内至少含有一个属于E而异于P0的点； （3）存在一个各点互异的点列{Pn}，使Pn?P0(n??).

证明 （1）?（2），设P0是E的聚点，则对任何??0，U(P0,?)内都含有E中的无穷多个点，因此，在U(P0,?)内至少含有一个属于E而异于P0的点.

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（2）?（3），设（2）成立，则在U(P0,1)内有一个点P1?E而异于P0，令那么在U(P0,?1)内有一个点P2?E而异于P0，由?1的定义，知P2异?1?min{?P(1P,0),，}21于P1，令?2?min{?(P2,P0),}，同样，在U(P0,?2)内有一个点P3?E而异于P0，且P3与

31P2和P1都不同. 这样继续下去，得到一个互异点到{Pn}，满足?(Pn,P0)?1n?0(n??).

（3）?（1），设存在一个各点互异的点列{Pn}，使Pn?P0(n??)，则对任何??0，存在K?N?，当n?K时，Pn?U(P0,?)，因为{Pn}是互异点列，所以在U(P0,?)中有无穷多个点{PK?1,PK?2,?}?{Pn}?E. 这样P0是E的聚点.

上述的三个命题既然是等价的，那么（1），（2）和（3）都可以作为聚点的定义. 其中（3）告诉我们，点集的聚点必为E中一个互异点列的极限，因此，也常把E的聚点叫作E的极限点.

根据上面引入的概念，对于一个给定的点集E，我们可以考虑上述各种点的集合，其中重要的是下面四种：

定义4 设E?Rn

（1）称E的全体内点所成之集为E的内部，记为E0； （2）称E的全体聚点所成之集为E的导集，记为E?；

（3）称E的点及其聚点的全体所成之集为E的闭包，记为E，即E?E?E?； （4）称E的全体界点所成之集为E的边界，记为?E.

关于点集E的闭包E，我们有E?E??E?E??E?E??E的全体孤立点. 尽管E的表示形式不同，但本质特征在于：若P?E，则在P的任一邻域U(P)内都至少有一点属于E.

根据这一特征，可以得到下面闭包与内部的对偶关系：

0结论 设E?Rn，则CE?CE，CE?(CE).

00证明 设P?CE，则对P的任何邻域U(P)，都有q?E，亦即对P的任何邻域U(P)，都有点q?CE，由闭包的本质特征，P?CE，这样，CE?CE.

又设P?CE，则对P的任何邻域U(P)，都有点q?CE，所以P?E0，P?CE，这样CE?CE，所以，CE?CE.

0000039

下证 CE?(CE)0

设P?CE，则P?E，由E的本质特征，存在P的某邻域U(P)，使U(P)中不含E中的点，?P?(CE)0，这样CE?(CE)0.

又设P?(CE)0，则存在P的某邻域U(P)，使U(P)中不含E中的点，所以P?E，

P?CE，这样，(CE)?CE，所以CE?(CE).

00定理2 设A?B，则A??B?，A0?B0，A?B.

证明 设P?A?，则点P的任何邻域U(P)中都有无穷多个点属于A，而A?B，因而点P的任何邻域U(P)中都有无穷多个点属于B，所以P?B?，因此A??B?；

设P?A0，则存在点P的某邻域U(P)，使U(P)?A，而A?B，则U(P)?B，所以P?B0，因此A0?B0；

因为A?B，A??B?，所以A?A??B?B?，因此A?B. 定理3 (A?B)??A??B?.

证明 一方面，因为A?A?B，B?A?B，由定理2.2.3，A??(A?B)?，

B??(A?B)?，所以A??B??(A?B)?.

另一方面，设P?(A?B)?，往证P?A??B?. 若不然，P?A?且P?B?，则有P的某邻域U1(P)除P外不含A的任何点，也有P的某邻域U2(P)除P外不含B的任何点，作P的邻域U3(P)，使U3(P)?U1(P)?U2(P)，那么在U3(P)中除P点外不含A?B的任何点，??这与P?(A?B)?矛盾. 从而P?A(A?B)??A??B?.

?，因此，(A?B)??A??B?. 综上，B例1 设A?R为非空集，求证：

（1）若A是孤立点集（A中的每个点都是孤立点），则A?a； （2）A?A??a；

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（3）若A??a，则A?a.

证明 （1）设A是孤立点集，则对任意的x?A，存在?x?0，使得

(x??x,x??x?)A?x{，对任意的}x,y?A，当x?y时，把满足上面的?x，?y再要求

?x?|x?y|，?y?|x?y|，这样，就有

?x2??y2?|x?y|. 于是

?y?y??x?x???x?,x??y?,y????. ???22??22??取有理数rx??x????x2,x??x??，让x与rx对应，则A与有理数集Q的一个子集对等，因2?此A?a.

（2）A?A?若非空，则必为孤立点集，由（1）A?A??a. （3）显然A?(A?A?)?A?.

由题设，A??a，而(A?A?)?a，所以(A?A?)?A??a，因此，A?a.

定理4（Bolzano-Weierstrass，1815-1897，德国数学家） 若E是Rn中一有界的无穷集合，则E至少有一个聚点P（P可以不属于E），即E???.

该定理的证明方法与数学分析课程中在R和R2情形的证明相同，也可见参考书目[3].

n定理5 设E??,E?R, 则E至少有一界点(即?E??).

证明留作练习.

§3 开集,闭集,完备集

教学目的：介绍开集, 闭集和完备集的概念及性质.

本节重点: 开集,闭集的概念及性质,开集和闭集的对偶关系. 本节难点: 任何集合的导集是闭集,开核是开集.

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我们把(a,b)称作开区间，而把[a,b]称作闭区间，(a,b)与[a,b]的区别在于(a,b)中的点都是内点，而[a,b]则不同，点a和点b是[a,b]的边界点（也是聚点）. 对于一般的集合，我们有

定义1 设E?Rn，若E中的每一个点都是E的内点，则称E为开集.

例如，全空间Rn及?都是开集；R中的开区间(a,b)是R中的开集；单位开圆盘

2{(x,y):x?y?1}是R中的开集；直线上的有理数集、无理数集都不是R中的开集.

22定义2 设E?Rn，如果E的每一个聚点都属于E，则称E为闭集. 例如，全空间Rn及?都是闭集；闭区间[a,b]是R中的闭集；

单位闭圆盘{(x,y):x2?y2?1}及{(x,0):a?x?b}都是R2中的闭集；直线上的有理数集、无理数集都不是R中的闭集.

因为显然有E0?E，?E中的点或者是E的聚点或者是E的孤立点，所以，E为开集的充要条件是E?E0，E为闭集的充要条件是?E?E.

定理1 对任何点集E?Rn，E0是开集，E?和E都是闭集. 证明 若E??，则E0是开集.

若E??，任取P?E0，由E0的定义，P是E的内点，存在P的某邻域U(P)?E，对任意的q?U(P)，存在q的某邻域U(q)，使U(q)?U(P)?E，所以，q是E的内点，因此，U(P)?E，由此，P是E0的内点，即P?(E)，亦即E?(E)，于是E0是开集.

下证E?是闭集. 若E?没有聚点，即(E?)???，这时(E?)??E?，E?是闭集.

若E?有聚点，任取P?(E?)?，往证P?E?. 由P?(E?)?，在P的任意邻域U(P)内，有

)?U(P)，并且一个属于E?而异于P的点P1，因为P1?U(P)，则有P1的邻域U(P1P?U(P1)，（设U(P)的半径为?，取U(P1)的半径?1?min{1200000000?(P1,P),12(???(P1,P))}），

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由P1?E?，在U(P1)内有一个属于E而异于P1的点P2，从而在U(P)中有一个属于E而异于

P的点P2(P?U(P1),P2?U(P1))，因此P?E?，这样(E?)??E?，于是E?是闭集.

再证E是闭集.

因为(E)??(E?E?)??E??(E?)??E??E??E??E，所以E是闭集. 定理2（开集与闭集的对偶性） （1）若G是开集，则CG是闭集； （2）若F是闭集，则CF是开集.

证明 （1）设G是开集，若(CG)???，则(CG)??CG，CG是闭集. 若(CG)???，取P0?(CG)?，则P0的任何邻域U(P0)都有CG中异于P0的点，亦即P0的任何邻域U(P0)都有不属于G的点，所以，P0?G0?G，因而，P0?CG，这样(CG)??CG，于是CG是闭集.

（2）设F是闭集，往证CF是开集，即要证(CF)?(CF)0. 若CF??，则

(CF)?(CF)，CF是开集. 若CF??，任取P0?CF，则P0?F，则存在P0的某邻域U(P0)，使U(P0)?CF，因若不然，对P0的任何邻域U(P0)都有一个F中的点，这个点又

0异于P0（因P0?F），这样P0?F?，由F是闭集，就有P0?F，与P0?F矛盾. 从而

0U(P0)?CF. 因此P0是CF的内点，所以CF?(CF)，于是，CF是开集.

定理也可以这样证明：

设G是开集，由CG?CG?CG，因此CG是闭集. 设F是闭集，由(CF)?CF?CF，因此CF是开集.

定理3 （1）任意多个开集的并集是开集；（2）有限多个开集的交集是开集.

证明 （1）设{G?:??I}是由任意多个开集组成的一个开集族，其中I为指标集. 往证

G?00?G???I是开集.

不妨设G??，任取P?G，则存在某一?0?I，使P?G?. 因为G?是开集，所以有

00P的某邻域U(P)，使U(P)?G?0?G，这样P是G的内点，因此G?G，于是G是开

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集.

n（2）设G1,G2,?,Gn是有限个开集，往证G??Gi?1i是开集.

不妨设G??，任取P?G，则对每个i(1?i?n)，有P?Gi，而每个Gi是开集，所以

n存在?i，使U(P,)?i?(G2,1i,?)i则UP?n. 令??min{?1,?2,?,?n}，(,)???Gi?1G?i.

这样P是G的内点，因此G?G0，于是G是开集.

需要注意的是，任意多个开集的交不一定是开集. 例如，设Gn?(???11,)(n?1,2,?)，nn则每个Gn是开集，然而?Gn?n?1?n?1(?11,)?{0}是闭集. nn定理4 （1）任意多个闭集的交集是闭集；（2）有限多个闭集的并集是闭集. 证明 该定理的证明可以运用集合运算的De Morgan公式和定理2.3.3直接给出. 设F?（??I,I是指标集）是闭集. 因为?F??C?C(?F?)??C??CF??，而由于

??I?????????I???IF?是闭集，所以由定理2.3.2知CF?是开集(??I).

???由定理2.3.3，知?CF?是开集，再由定理2.3.2，知?F??C??CF??是闭集.

??I??I???In同理可证?Fi是闭集，其中Fi(i?1,2,?,n)是闭集.

i?1也需要注意的是，任意多个闭集的并也不一定是闭集. 例如，设Fn?[?1???1n,1?1n]

(n?1,2,?)，则每个Fn是闭集，然而?Fn?n?1?[?1?n?11n,1?1n]?(?1,1)是开集.

尽管任意多个开集的交不一定是开集，任意多个闭集的并也不一定是闭集，但是有两种情形，即可数多个开集的交和可数多个闭集的并是值得重视的，这在以后经常运用到.

在数学分析课程中，已经学习了R2中的Heine-Borel有限覆盖定理：

设D?R2为一有界闭域，{?x}为一开域族，它覆盖了D（即D?U??），则在{??}中

?n必存在有限个开域?1,?2,?,?n，它们同样覆盖了D（即D???i?1i）. （见参考书目[10]）

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在这里，把有限覆盖定理推广成更一般的情形，这种更一般的情形在参考书目[10]中也提到了，但没有给出证明.

定理5（Heine-Borel有限覆盖定理，Heine，1821-1881，德国数学家；Borel，1871-1956，法国数学家） 设F是一个有界闭集，?是一族开集，??{U?:U?是开集，???}，它覆盖了F（即F?，?是指标集，则在?中一定存在有限多个开集U?U?）

???m1,U2,?,Um，它

们也覆盖了F（即F??Ui?1i）.

证明 因为F是有界闭集，所以有闭区间I?Rn，使F?I. 设D???{CF}，则D也是一个开集族，且Rn?D，因此I?D.

对于I中任一点P，存在开集UP?D，使P?UP，UP是开集，所以有开区间IP?UP，且P?IP，这样开区间族{IP:P?I}覆盖了I. 由数学分析中的有限覆盖定理（区间是域），存在{IP:P?I}中的有限个开区间IP,IP,?,IP，它们仍然覆盖I. 由F?I及

12mmIPi?UPi(i?1,2,?,m)，知F??Ui?1Pi，如果D中的开集CF不在这m个开集中，则?中

的有限个开集UP,UP,?,UP覆盖了F，定理得证；如果D中的开集CF在上述的m个开集

12m中，则从这m个开集中去掉CF，由CF?F??，知剩下的m?1个开集也覆盖了F. 定理得证.

以上我们讨论了Rn中的开集和闭集，并得到了一些很有用的结果. 下面定义的两种集也是很重要的，其概念在后面经常出现.

定义4 设D?Rn，若E?E?，则称E是自密集.

由定义知，E为自密集即E的每一点都是它的聚点. 自密集是不含任何孤立点的. 例如，开区间I?(a,b)是R中的自密集，因为I?I??[a,b]. 全体有理数集Q及全体无理数集都是R中的自密集.

定义5 设E?Rn，若E?E?，则称E是完备集（或完全集）. 由定义知，完备集是自密的闭集，或者说是不含孤立点的闭集.

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例如，闭区间[a,b]，集E?[0,1]?[2,3]都是直线上的完备集. 全空间Rn及?也都是完备集.

§4 直线上开集、闭集及完备集的构造

教学目的：让学生理解直线上开集虽然不一定是开区间，但无非是至多可数个开区间的

并集而已，理解几个常见的开集、闭集和完备集，熟悉其构造方法及性质。 本节重点：直线上开集和闭集的构造。 本节难点： Cantor集的构造及性质。

我们知道，在直线上，开区间是开集，它比较简单，直线上的开集虽然不一定是一个开区间，但是它却与开区间有着必然的联系，本节的讨论就在于揭示这种联系，从而得到直线上开集的构造.

1．直线上开集和闭集的构造

定义1 设G是直线上的开集. 如果开区间(?,?)?G，而且端点?,?不属于G，那么称(?,?)为G的一个构成区间.

例如开集(0,1)?(2,3)的构成区间是(0,1)及(2,3).

定理1（开集的构造定理） 直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或可列个互不相交的构成区间的并集. 又当非空开集表示成互不相交的开区间的并集时，这些开区间必是构成区间.

证明 设G?R是开集.

（1）G的任何两个不同的构成区间必不相交，并且G的构成区间全体是至多可数集. 若不然，设(?1,?1)和(?2,?2)是G的两个构成区间，但相交，则必有一开区间的一个端点落在另一个开区间内. 不妨设?1?(?2,?2). 由(?2,?2)?G，有?1?G，这与(?1,?1)是G的构成区间矛盾.

我们在G的每一个构成区间中取一有理数与这个构成区间对应，设这些有理数全体为

Q1，由于G的构成区间互不相交，则G的构成区间全体与有理数集Q的一个子集Q1对等，

因而G的构成区间全体是至多可数集.

（2）开集G中的任何一点必含在一个构成区间中，任取x0?G，设

Ax0?{(?,?)x:??(?,?)G，因}为G是开集，所以Ax0非空. 记?0?0(?,?)?Axinf?，

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?0?sup(?,?)?Ax0（?0可能是??，?0可能是??）.

). 下面证明(?0,?0)是G的构成区间. 先证(?0,?0)?G，设

inf显然x0?(?0,?0x??(?0,?0)，若x??x0，则由?0?(?,?)?Ax?，对于x???0?(x???0)，必有(?,?)?Ax，

00使?0???x??x0（下确界定义），这样，x??(?,x0]?(?,?)?G.

若x??x0，则由?0?sup(?,?)?Ax0?，对x???0?(?0?x?)，必有(?1,?1)?Ax，使

0（上确界定义），这样，x??(x0,?1)?(?1,?1)?G. x0?x???1??0因此(?0,?0)?G，并且由于x0?(?0,?0)，有(?0,?0)?Ax.

0再证?0?G，若不然，?0?G，则因为G是开集，必有开区间(??,??)，使?0?(??,??)?G(??,??)0，这样由???0?x?0??，有

x0?(??,?0)，而

??(???,0)??G，因此(?,(??,?0))?Ax0，而????0，这与?0是Ax0中的区0间左端点全体的下确界矛盾. 所以?0?G. 同理可证?0?G，所以(?0,?0)是G的构成区间.

（3）作G的所有构成区间的并集?(?n,?n). 由（2）G?n?(?kk,?k)，由构成区间的

定义，?(?n,?n)?G，所以，G?n??(?nmn,?n)，由于G是至多可数个互不相交的构成间的

并集，因此G??(?k?1k,?k)或者G??(?k?1k,?k).

这样定理的第一部分得证. （4）设G???(??,?)kkk?,?k?)是G的是一组互不相交的开区间的并集，我们证明每个(?k?,?k?)?G，若?k??G，则必有L?k使?k??(?L?,?L?)，这与(?k?,?k?)和构成区间. 显然(?k?,?L?)不相交矛盾，因此?k??G. 同理可证?k??G，所以(?k?,?k?)是构成区间. 至此，定(?L理得证.

2．闭集和完备集的构造

定义2 设A是直线上的闭集，称A的余集CA的构成区间为A的余区间.

这样我们得到直线上闭集的构造如下：

定理2 直线上的闭集F或是全直线，或是从直线上挖掉有限个或可数多个互不相交的开区间（即F的余区间）所得到的集.

由孤立点的定义很容易知道，直线上点集A的孤立点必是包含在A的余集中的某两个开

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区间的公共端点. 因此，闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点. 完备集是没有孤立点的闭集.

所以，完备集就是没有相邻接的余区间的闭集. 这也就是完备集的构造.

3．康托集（Cantor set）

（i）康托集的构造 从[0,1]挖掉??12,33?127812?，再从剩下的和中挖掉和第n次[0,][,1](,)(,). 一般地，?999933?挖掉2n?1个开区间，剩下2n个长度是3?n的互相隔离的闭区间，如此继续下去，就从[0,1]中挖掉了可数多个互不相交而且没有公共端点的开区间. 设挖掉的这些开区间的并集为G，则

G为开集.

称P?[0,1]?G为康托集. 也称G为康托开集. 因为P?[0,1]?G?[0,1]?CG，因此P是闭集.

（ii）P是完备集

因为P的任何两个余区间没有公共端点（不相邻接），因此P是完备集. （iii）P没有内点

任取x?P，往证x不是P的内点，即要证对任何??0，在U(x,?)内总含有不属于P的点. 事实上，对任何??0，取n?N?，使余下的2n个长度为

13n13n??，则在进行第n次挖除过程后，x必在

的互相隔离的区间中的某一个里，不妨记为?，x??. 显然

?n??U(x,?)（因为对任意的y??，?(x,y)?3??）. 因为接下去还要对?进行三等分

并挖去中间的开区间，因此在?中含有不属于P的点，这样在U(x,?)中含有不属于P的点，因此x?P，于是p没有内点.

（iv）p是疏朗集

定义 如果一个点集E具有性质：空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域，使其中不含E的点，则称E是疏朗集.

下面证明P是疏朗集.

CP因为P是没有内点的集，所以P的任一邻域内至少有一点x不属于P，所以x?CP，

0是开集，所以有x的某邻域U(x)?CP，因此U(x)不含P中点，于是P是疏朗集.

（v）P?c

证明 将(0,1)中的实数表示成正规三进位无限小数，令A是这些三进位无限小数中不出现数字1的全体. 即

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A?{x?0.a1a2?ak?:ak是0或2，k?1,2,?}，

则A?(0,1)?[0,1]，由A?G??（G是康托开集），这样A?[0,1]?G?P.

显然A与二进位正规表示的无限小数全体(0,1)可建立一一对应，这只须令

x?0.a1a2a3?ak??y?0.a1a222?ak2?即可.

这里x是三进位小数中不出现数字1的，y是二进位小数. 于是A?c，由A?P?[0,1]，而[0,1]?c，于是P?c.

在本节中，我们讨论了直线上的开集、闭集和完备集的构造，也较全面深入地讨论了康托集.

顺便说明的是，当n?1时，Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的n维开区间的并，但总可以表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并，不过这种表示法没有唯一性. 这个结果将在第三章给出证明.

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