2012年北京市各区一模（文）：平面解析几何

2012年北京市各区一模（文）：平面解析几何

【2012北京市门头沟区一模文】1. 过抛物线y?O12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，

是坐标原点．则OA?OB? ；若该抛物线上有两点M、N，满足OM?ON，

则直线MN必过定点 ． 【2012北京市海淀区一模文】2. 过双曲线的渐近线的直线方程是

（A）3x+4y-15=0 （B）3x-4y-15=0 （C）4x-3y+20=0 （D）4x-3y-20=0

y2x29?y216?1的右焦点，且平行于经过一、三象限

【2012北京市房山区一模文】3．已知双曲线x?P，F2m?1与抛物线y2?8x的一个交点为

为抛物线的焦点，若PF?5，则双曲线的渐近线方程为

（ ）

（A）x?2y?0

（B）2x?y?0

（C）3x?y?0

（D）x?3y?0

【2012北京市东城区一模文】4.双曲线x2?y2?2的离心率为 ；若抛物线y2?ax的焦

点恰好为该双曲线的右焦点，则a的值为 .

【2012北京市朝阳区一模文】5. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率e?其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A．

x262，

2?y?1 B．

2x22?y23?1 C.

x22?y?1 D. x?y?1

224【2012北京市丰台区一模文】6．已知抛物线y?8x上一点P到焦点的距离是6，则点

P的坐标是________。

2第1页

【2012年北京市西城区高三一模文】7.（本小题满分14分）

xa22已知椭圆C:?yb22?1(a?b?0)的离心率为63，一个焦点为F(22,0)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l:y?kx?圆心的圆上，求k的值．

【2012北京市门头沟区一模文】8. （本小题满分14分）

已知椭圆

xa2252交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M(0,3)为

?yb22?1(a?b?0)经过点A(2,1)，离心率为

22，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N． （Ⅰ）求椭圆的方程；

322（Ⅱ）若|MN|?，求直线MN的方程．

第2页

【2012北京市海淀区一模文】9（本小题满分13分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1 (a?b?0)的右顶点A(2,0)，

PyD离心率为32，O为坐标原点.

OEAx（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段

AP的垂线l交椭圆C于点E,D，求

DEAP的取值范围.

【2012北京市石景山区一模文】10．（本小题满分14分）

已知椭圆

xa22?yb22?1（a?b?0）右顶点到右焦点的距离为3?1，

短轴长为22. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为直线AB的方程．

332， 求

第3页

【2012北京市朝阳区一模文】11.（本题满分14分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,0)，F2(2,0)，点

M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点,设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值.

【2012北京市房山区一模文】12.（本小题共14分）

已知椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的长轴长为42，点P（2，1）在椭圆上，平行于

OP（O为坐标原点）的直线l交椭圆于A,B两点，l在y轴上的截距为m.

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）设直线PA,PB的斜率分别为k1，k2，那么k1+k2是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.

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【2012北京市东城区一模文】13（本小题共13分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)过点?0,1?，且离心率为32.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A1,A2为椭圆C的左、右顶点，直线l:x?22与x轴交于点D，点P是椭圆C上

异于A1,A2的动点，直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点.证明：DE?DF恒为定值.

【2012北京市丰台区一模文】14．（本小题共14分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为

22，且经过点M（一2，0）．

（I）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，连接MA,MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP,yQ分别为点P，Q的纵坐标，且求△ABM的面积．

1y1?1y2?1yP?1yQ，

第5页

答案解析

1. 【答案】?,（0,2）

432. 【答案】B

【解析】双曲线的右焦点为(5,0)，经过一、三象限的渐近线方程为y?y?y?3434x的直线可以设为y?x?15434x?c，将点(5,0)代入，解得c??15434x，所以平行于

，所以所求方程为

，整理得3x-4y-15=0，选B.

3. 【答案】C 4. 【答案】2 8 5. 【答案】A 6. 【答案】

7. 【答案】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c?22． ……1分

由e?ca?63， 得 a?23， 从而b2?a2?c2?4． …………4分

22所以，椭圆C的方程为

x12?y4?1． …………5分

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)．

将直线l的方程代入椭圆C的方程，

消去y得 4(1?3k2)x2?60kx?27?0． ……………7分

22由??3600k?16(1?3k)?27?0，得k?2316，且x1?x2?15k1?3k2．…9分

设线段AB的中点为D，则xD?15k2?6k2，yD?kxD?52??52?6k2． …10分由点

A，B都在以点(0,3)为圆心的圆上，得kMD?k??1， ……11分

3?52?6k?15k22即 ?k??1， 解得 k?229，符合题意． …………13分

2?6k所以 k??23． ………14分

第6页

8. 【答案】解：（Ⅰ）由题意有

解得a?6，b?3

4a2?1b2?1，e?ca?22，a2?b2?c2，

c?23，

所以椭圆方程为

x26?y3?1 ……6分

（Ⅱ）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y?k(x?3)，

代入椭圆方程整理得(2k2?1)x2?12k2x?18k2?6?0

?=24?24k?0，得k?1

22 ……8分

设M（x1,y1），N（x2,y2），则x1?x2?|MN|?(x1?x2)?(y1?y2)?2212k222k?12 ，x1x2?218k?62k?122

(k?1)(x1?x2)

?(k2?1)[(x1?x2)?4x1x2]?23222

解得k??22，所求直线方程为y??2(x?3) ……14分

9. 【答案】解：（Ⅰ）因为 A(2,0)是椭圆C的右顶点，所以

又

ca?322a?2.

，所以 c?3.

所以 b?a?c?4?3?1. 所以 椭圆C的方程为

x2224?y?1. ………………………………………3分

2 （Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|?4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|?2. 所以

|DE||AP|?12. ………………………………………5分

当直线AP的斜率不为0时，

第7页

设直线AP的方程为y?k(x?2)，P(x0,y0)，

则直线DE的方程为y??分

?y?k(x?2),?22 由 ?x2得x?4[k(x?2)]?4?0. 2?y?1??41kx. ………………………………………6

即(1?4k2)x2?16k2x?16k2?4?0. 所以

2?x0?16k2

.24k?1

所以

x0?8k-222………………………………………8分

.4k?1

所以 |AP|?(x0?2)?(y0?0)?222(1?k)(x0?2). 22即 |AP|?41?k24k?1.

2类似可求|DE|?41?k2k?42.

所以

|DE||AP|4?1?k2k?42?4k?1k?422.………………………………………11分

41?k24k?1 设t?|DE||AP|k?4,则k2?t2?4，t?2. ?4(t?4)?1t22?4t?15t2

(t?2).令g(t)?4t?15t2(t?2)，则g'(t)?4t?15t22?0.

所以 g(t)是一个增函数.

第8页

所以

|DE||AP|?4t?15t2?4?4?152?12.

1|DE|综上，的取值范围是[,+ ). ………………………………………13分

2|AP|?a?c?3?1??b?2??a2?b2?c210. 【答案】解：解：（Ⅰ）由题意，? ? 解得a?3,c?1．

即：椭圆方程为

x23?y22?1. ------------4分

43，

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时， 此时S?AOB?AB?3不符合题意故舍掉； -----------6分

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y?k(x?1)， 代入消去y得：(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0 ．

2??6k?x1?x2?2?2?3k?2?xx?3k?6122 设A(x1,y1),B(x2,y2) ，则? -----------8分2?3k?所以

AB?43(k?1)2?3k222 ， ------------11分

由AB?332?k?2?k??2， ------------13分

所以直线lAB:2x?y?2?0或lAB:2x?y?2?0． ---------14分

11. 【答案】解:（Ⅰ）依题意，由已知得c?2 ，a2?b2?2，由已知易得b?OM?1,

解得a?3. ………………………3分

则椭圆的方程为

x23?y?1. ………………………4分

2第9页

?x?1, ?2?x62?y?1x?1,y???(II) ①当直线l的斜率不存在时，由?3解得3.

623?632?2设

A(1,63)，

B(1,?632?2?)，则

k1?k2?为定值. ………5分

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y?k(x?1).

x2将y?k(x?1)代入3?y?12整理化简，得(3k?1)x?6kx?3k?3?0.…6分

2222依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

6k2则

x1?x2?23k?1，

x1x2?3k?323k?1. ……………………7分

2又y1?k(x1?1)，y2?k(x2?1)，

k1?k2?2?y13?x1?2?y23?x2所以

? ………………………8分

(2?y1)(3?x2)?(2?y2)(3?x1)(3?x1)(3?x2)

?[2?k(x1?1)](3?x2)?[2?k(x2?1)](3?x1)9?3(x1?x2)?x1x212?2(x1?x2)?k[2x1x2?4(x1?x2)?6]9?3(x1?x2)?x1x2

?

?4?6k2212?2(x1?x2)?k[2??3k?3223k?13k?1226k3k?39?3??223k?13k?1?2.?6]

?12(2k?1)6(2k?1)22 .…….………………13分

综上得k1?k2为常数2. .…….………………14分

第10页

12. 【答案】解：（I）由已知可知a?22 设椭圆方程为

入解得b2?2…………………………3分

x2x28?yb22?1，将点P(2,1)代

∴椭圆方程为

8?y22?1………………………4分

12（II）∵直线l平行于OP，且在y轴上的截距为m,又kop??l的方程为：y?12

x?m （m?0） …………………………………6分

1?y?x?m??222由?2?x?2mx?2m?4?0 ① ………………………………7分 2?x?y?1?2?8∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

???（2m)?4(2m?4)?0

22解得 ?2?m?2，且m≠0.

所以m的取值范围是??2,0???0,2?. …………………………………9分 （III）k1+k2?0

设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由①得x1?x2??2m,x1x2?2m?4.…………………10分

2∵k1?y1?1x1?2,k2?y2?1x2?2y2?1x2?2

∴k1?k2?12y1?1x1?2??(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)(x1?2)(x2?2)

(??x1?m?1)(x2?2)?(12x2?m?1)(x1?2)……………………………12分 (x1?2)(x2?2)x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)2m?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)2?

第11页

=

2m?4?2m?4m?4m?4(x1?2)(x2?2)22?0 ?k1?k2?0

13. 【答案】（Ⅰ）解：由题意可知，b?1，

ca?32，

解得a?2. …………4分 所以椭圆的方程为

x24?y?1. …………5分

2（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,A1(?2,0)，A2(2,0).设P(x0,y0)，依题意?2?x0?2，

于是直线A1P的方程为y?即DE?(22?2)y0x0?2y0x0?2令x?22，则y?(x?2)，

2(22)?x0?2y0.

. …………7分

y0(22?2)y0x0?2又直线A2P的方程为y?即DF?(22?2)所

DE?DF?(22?2)y0x0?2x0?2(x?2)，令x?22，则y?，

y0x0?2. …………9分

以

?(22?2)y0x0?2?4y022x0?4?4y0224?x02，………11分

2又P(x0,y0)在

x24?y?1上，所以

222x0422?y0?1,即4y0?4?x0，代入上式，

得DE?DF?14. 【答案】

4?x04?x0?1,所以|DE|?|DF|为定值1. …13分

第12页

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/84b7.html