2012年北京市各区一模(文):平面解析几何
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2012年北京市各区一模(文):平面解析几何
【2012北京市门头沟区一模文】1. 过抛物线y?O12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点,
是坐标原点.则OA?OB? ;若该抛物线上有两点M、N,满足OM?ON,
则直线MN必过定点 . 【2012北京市海淀区一模文】2. 过双曲线的渐近线的直线方程是
(A)3x+4y-15=0 (B)3x-4y-15=0 (C)4x-3y+20=0 (D)4x-3y-20=0
y2x29?y216?1的右焦点,且平行于经过一、三象限
【2012北京市房山区一模文】3.已知双曲线x?P,F2m?1与抛物线y2?8x的一个交点为
为抛物线的焦点,若PF?5,则双曲线的渐近线方程为
( )
(A)x?2y?0
(B)2x?y?0
(C)3x?y?0
(D)x?3y?0
【2012北京市东城区一模文】4.双曲线x2?y2?2的离心率为 ;若抛物线y2?ax的焦
点恰好为该双曲线的右焦点,则a的值为 .
【2012北京市朝阳区一模文】5. 已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率e?其焦点到渐近线的距离为1,则此双曲线的方程为 A.
x262,
2?y?1 B.
2x22?y23?1 C.
x22?y?1 D. x?y?1
224【2012北京市丰台区一模文】6.已知抛物线y?8x上一点P到焦点的距离是6,则点
P的坐标是________。
2第1页
【2012年北京市西城区高三一模文】7.(本小题满分14分)
xa22已知椭圆C:?yb22?1(a?b?0)的离心率为63,一个焦点为F(22,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l:y?kx?圆心的圆上,求k的值.
【2012北京市门头沟区一模文】8. (本小题满分14分)
已知椭圆
xa2252交椭圆C于A,B两点,若点A,B都在以点M(0,3)为
?yb22?1(a?b?0)经过点A(2,1),离心率为
22,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N. (Ⅰ)求椭圆的方程;
322(Ⅱ)若|MN|?,求直线MN的方程.
第2页
【2012北京市海淀区一模文】9(本小题满分13分)
已知椭圆C:xa22?yb22?1 (a?b?0)的右顶点A(2,0),
PyD离心率为32,O为坐标原点.
OEAx(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知P(异于点A)为椭圆C上一个动点,过O作线段
AP的垂线l交椭圆C于点E,D,求
DEAP的取值范围.
【2012北京市石景山区一模文】10.(本小题满分14分)
已知椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)右顶点到右焦点的距离为3?1,
短轴长为22. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若线段AB的长为直线AB的方程.
332, 求
第3页
【2012北京市朝阳区一模文】11.(本题满分14分)
已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,0),F2(2,0),点
M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,求证:k1?k2为定值.
【2012北京市房山区一模文】12.(本小题共14分)
已知椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的长轴长为42,点P(2,1)在椭圆上,平行于
OP(O为坐标原点)的直线l交椭圆于A,B两点,l在y轴上的截距为m.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,那么k1+k2是否为定值,若是求出该定值,若不是请说明理由.
第4页
【2012北京市东城区一模文】13(本小题共13分)
已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)过点?0,1?,且离心率为32.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)A1,A2为椭圆C的左、右顶点,直线l:x?22与x轴交于点D,点P是椭圆C上
异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点.证明:DE?DF恒为定值.
【2012北京市丰台区一模文】14.(本小题共14分)
已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为
22,且经过点M(一2,0).
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,连接MA,MB并延长交直线x=4于P,Q两点,设yP,yQ分别为点P,Q的纵坐标,且求△ABM的面积.
1y1?1y2?1yP?1yQ,
第5页
答案解析
1. 【答案】?,(0,2)
432. 【答案】B
【解析】双曲线的右焦点为(5,0),经过一、三象限的渐近线方程为y?y?y?3434x的直线可以设为y?x?15434x?c,将点(5,0)代入,解得c??15434x,所以平行于
,所以所求方程为
,整理得3x-4y-15=0,选B.
3. 【答案】C 4. 【答案】2 8 5. 【答案】A 6. 【答案】
7. 【答案】(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为c,则c?22. ……1分
由e?ca?63, 得 a?23, 从而b2?a2?c2?4. …………4分
22所以,椭圆C的方程为
x12?y4?1. …………5分
(Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
将直线l的方程代入椭圆C的方程,
消去y得 4(1?3k2)x2?60kx?27?0. ……………7分
22由??3600k?16(1?3k)?27?0,得k?2316,且x1?x2?15k1?3k2.…9分
设线段AB的中点为D,则xD?15k2?6k2,yD?kxD?52??52?6k2. …10分由点
A,B都在以点(0,3)为圆心的圆上,得kMD?k??1, ……11分
3?52?6k?15k22即 ?k??1, 解得 k?229,符合题意. …………13分
2?6k所以 k??23. ………14分
第6页
8. 【答案】解:(Ⅰ)由题意有
解得a?6,b?3
4a2?1b2?1,e?ca?22,a2?b2?c2,
c?23,
所以椭圆方程为
x26?y3?1 ……6分
(Ⅱ)由直线MN过点B且与椭圆有两交点,可设直线MN方程为y?k(x?3),
代入椭圆方程整理得(2k2?1)x2?12k2x?18k2?6?0
?=24?24k?0,得k?1
22 ……8分
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1?x2?|MN|?(x1?x2)?(y1?y2)?2212k222k?12 ,x1x2?218k?62k?122
(k?1)(x1?x2)
?(k2?1)[(x1?x2)?4x1x2]?23222
解得k??22,所求直线方程为y??2(x?3) ……14分
9. 【答案】解:(Ⅰ)因为 A(2,0)是椭圆C的右顶点,所以
又
ca?322a?2.
,所以 c?3.
所以 b?a?c?4?3?1. 所以 椭圆C的方程为
x2224?y?1. ………………………………………3分
2 (Ⅱ)当直线AP的斜率为0时,|AP|?4,DE为椭圆C的短轴,则|DE|?2. 所以
|DE||AP|?12. ………………………………………5分
当直线AP的斜率不为0时,
第7页
设直线AP的方程为y?k(x?2),P(x0,y0),
则直线DE的方程为y??分
?y?k(x?2),?22 由 ?x2得x?4[k(x?2)]?4?0. 2?y?1??41kx. ………………………………………6
即(1?4k2)x2?16k2x?16k2?4?0. 所以
2?x0?16k2
.24k?1
所以
x0?8k-222………………………………………8分
.4k?1
所以 |AP|?(x0?2)?(y0?0)?222(1?k)(x0?2). 22即 |AP|?41?k24k?1.
2类似可求|DE|?41?k2k?42.
所以
|DE||AP|4?1?k2k?42?4k?1k?422.………………………………………11分
41?k24k?1 设t?|DE||AP|k?4,则k2?t2?4,t?2. ?4(t?4)?1t22?4t?15t2
(t?2).令g(t)?4t?15t2(t?2),则g'(t)?4t?15t22?0.
所以 g(t)是一个增函数.
第8页
所以
|DE||AP|?4t?15t2?4?4?152?12.
1|DE|综上,的取值范围是[,+ ). ………………………………………13分
2|AP|?a?c?3?1??b?2??a2?b2?c210. 【答案】解:解:(Ⅰ)由题意,? ? 解得a?3,c?1.
即:椭圆方程为
x23?y22?1. ------------4分
43,
(Ⅱ)当直线AB与x轴垂直时, 此时S?AOB?AB?3不符合题意故舍掉; -----------6分
当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为:y?k(x?1), 代入消去y得:(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0 .
2??6k?x1?x2?2?2?3k?2?xx?3k?6122 设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则? -----------8分2?3k?所以
AB?43(k?1)2?3k222 , ------------11分
由AB?332?k?2?k??2, ------------13分
所以直线lAB:2x?y?2?0或lAB:2x?y?2?0. ---------14分
11. 【答案】解:(Ⅰ)依题意,由已知得c?2 ,a2?b2?2,由已知易得b?OM?1,
解得a?3. ………………………3分
则椭圆的方程为
x23?y?1. ………………………4分
2第9页
?x?1, ?2?x62?y?1x?1,y???(II) ①当直线l的斜率不存在时,由?3解得3.
623?632?2设
A(1,63),
B(1,?632?2?),则
k1?k2?为定值. ………5分
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y?k(x?1).
x2将y?k(x?1)代入3?y?12整理化简,得(3k?1)x?6kx?3k?3?0.…6分
2222依题意,直线l与椭圆C必相交于两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
6k2则
x1?x2?23k?1,
x1x2?3k?323k?1. ……………………7分
2又y1?k(x1?1),y2?k(x2?1),
k1?k2?2?y13?x1?2?y23?x2所以
? ………………………8分
(2?y1)(3?x2)?(2?y2)(3?x1)(3?x1)(3?x2)
?[2?k(x1?1)](3?x2)?[2?k(x2?1)](3?x1)9?3(x1?x2)?x1x212?2(x1?x2)?k[2x1x2?4(x1?x2)?6]9?3(x1?x2)?x1x2
?
?4?6k2212?2(x1?x2)?k[2??3k?3223k?13k?1226k3k?39?3??223k?13k?1?2.?6]
?12(2k?1)6(2k?1)22 .…….………………13分
综上得k1?k2为常数2. .…….………………14分
第10页
12. 【答案】解:(I)由已知可知a?22 设椭圆方程为
入解得b2?2…………………………3分
x2x28?yb22?1,将点P(2,1)代
∴椭圆方程为
8?y22?1………………………4分
12(II)∵直线l平行于OP,且在y轴上的截距为m,又kop??l的方程为:y?12
x?m (m?0) …………………………………6分
1?y?x?m??222由?2?x?2mx?2m?4?0 ① ………………………………7分 2?x?y?1?2?8∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,
???(2m)?4(2m?4)?0
22解得 ?2?m?2,且m≠0.
所以m的取值范围是??2,0???0,2?. …………………………………9分 (III)k1+k2?0
设A?x1,y1?,B?x2,y2?,由①得x1?x2??2m,x1x2?2m?4.…………………10分
2∵k1?y1?1x1?2,k2?y2?1x2?2y2?1x2?2
∴k1?k2?12y1?1x1?2??(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)(x1?2)(x2?2)
(??x1?m?1)(x2?2)?(12x2?m?1)(x1?2)……………………………12分 (x1?2)(x2?2)x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)2m?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)2?
第11页
=
2m?4?2m?4m?4m?4(x1?2)(x2?2)22?0 ?k1?k2?0
13. 【答案】(Ⅰ)解:由题意可知,b?1,
ca?32,
解得a?2. …………4分 所以椭圆的方程为
x24?y?1. …………5分
2(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,A1(?2,0),A2(2,0).设P(x0,y0),依题意?2?x0?2,
于是直线A1P的方程为y?即DE?(22?2)y0x0?2y0x0?2令x?22,则y?(x?2),
2(22)?x0?2y0.
. …………7分
y0(22?2)y0x0?2又直线A2P的方程为y?即DF?(22?2)所
DE?DF?(22?2)y0x0?2x0?2(x?2),令x?22,则y?,
y0x0?2. …………9分
以
?(22?2)y0x0?2?4y022x0?4?4y0224?x02,………11分
2又P(x0,y0)在
x24?y?1上,所以
222x0422?y0?1,即4y0?4?x0,代入上式,
得DE?DF?14. 【答案】
4?x04?x0?1,所以|DE|?|DF|为定值1. …13分
第12页
第13页
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