高三导数压轴题题型归纳

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导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(2013全国新课标Ⅱ卷)

(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.

11

(1)解 f(x)=ex-ln(x+m)?f′(x)=ex-?f′(0)=e0-=0?m=1,

x+m0+m

ex?x+1?-11x

定义域为{x|x>-1},f′(x)=e-=,

x+mx+1

显然f(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.

1

(2)证明 g(x)=ex-ln(x+2),则g′(x)=ex-(x>-2).

x+2

11

h(x)=g′(x)=ex-(x>-2)?h′(x)=ex+>0,

x+2?x+2?2所以h(x)是增函数,h(x)=0至多只有一个实数根,

1111

又g′(-)=-<0,g′(0)=1->0,

22e3

2

1

-,0?内, 所以h(x)=g′(x)=0的唯一实根在区间??2?

11

1-

所以,et=?t+2=et,

t+2

当x∈(-2,t)时,g′(x)g′(t)=0,g(x)单调递增;

?1+t?21t

所以g(x)min=g(t)=e-ln(t+2)=+t=>0,

t+2t+2

当m≤2时,有ln(x+m)≤ln(x+2),

所以f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)=g(x)≥g(x)min>0. 例2已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?1?f(0)x?12x(2012全国新课标) 2(1)求f(x)的解析式及单调区间;

12x?ax?b,求(a?1)b的最大值。 212x?1x?1(1)f(x)?f?(1)e?f(0)x?x?f?(x)?f?(1)e?f(0)?x

2 令x?1得:f(0)?1

12?11?(1x?f)e??x?xf(?0)?f?(1?e)?1? (1)e f(x)?f212xx 得:f(x)?e?x?x?g(x)?f?(x)?e?1?x

2(2)若f(x)?第 1 页 共 25 页

x g?(x)?e?1?0?y?g(在x)x?R上单调递增

? f?(x)?0?f?(0?)x?0f,x(?)?0?f(?0)x ? 得:f(x)的解析式为f(x)?e?x?x12x 2 且单调递增区间为(0,??),单调递减区间为(??,0) (2)f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1) 2 ①当a?1?0时,h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时,h(x)???与h(x)?0矛盾

②当a?1?0时,h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1) 得:当x?ln(a?1)时,h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0

(a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)(a?1?0) 令F(x)?x?xlnx(x?0);则F?(x)?x(1?2lnx)

2222 F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e 当x?e时,F(x)max?e 2e 2 当a?e?1,b?e时,(a?1)b的最大值为例3已知函数f(x)?alnxb?,曲线y?f(x)在点(1,f(1)处)的切线方程为x?1xx?2y?3?0。(2011全国新课标) (Ⅰ)求a、b的值;

lnxk?,求k的取值范围。 (Ⅱ)如果当x?0,且x?1时,f(x)?x?1xx?1?lnx)1bx??x?2y?3?0解(Ⅰ)f'(x)? 由于直线的斜率为, 22(x?1)x2?f(1)?1,?b?1,??且过点(1,1),故?即解得a?1,b?1。 ?a11

f'(1)??,??b??,??2?22lnx1?,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?x?1xlnxk1(k?1)(x2?1) f(x)?(?)?(2lnx?)。

x?1x1?x2x?((k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x(x?0),则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?。 2xx第 2 页 共 25 页

k(x2?1)?(x?1)2k?0(i)设,由h'(x)?知,当x?1时,h'(x)?0,h(x)递减。而2x1h(x)?0; h(1)?0 故当x?(0,1)时, h(x)?0,可得21?x1当x?(1,+?)时,h(x)<0,可得 h(x)>0 21?xlnxklnxk从而当x>0,且x?1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+. x?1xx?1x(ii)设0

11?1当x?(1,)时,(k-1)(x2 +1)??4?4(k?1)2?0,对称轴x=

1?k1?k.

'11+2x>0,故h (x)>0,而h(1)=0,故当x?(1,)时,h(x)>0,可得h

1?k1?x2(x)<0,与题设矛盾。

(iii)设k?1.此时x?1?2x,(k?1)(x2?1)?2x?0?h(x)>0,而h(1)=0,故当x? (1,+?)时,h(x)>0,可得

2'1 h(x)<0,与题设矛盾。 21?x 综合得,k的取值范围为(-?,0]

例4已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)ex. (2009宁夏、海南)

(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6. 解: (1)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故

f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x +(3x2+6x-3)e-x =-e-x (x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.

当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0;当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0. 从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.

(2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x +(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a]. 由条件得f′(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a.

从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].因为f′(α)=f′(β)=0,

所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)[x2-(α+β)x+αβ]. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a-2.

故????

2. 在解题中常用的有关结论※

(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0),且切线方程为 (???)2?4???12?4a.又(β-2)(α-2)<0,

即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a<-6. 于是β-α>6.

y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)。 第 3 页 共 25 页

(2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值,则f?(x0)?0。反之,不成立。 (?0)(3)对于可导函数f(x),不等式f?(x)?0的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 ?x?If?(x)?0(?0)恒成立(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:(f?(x) 不恒为0). (5)函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值,则可等价转化为方程f?(x)?0在区间I上有实根且为非二重根。(若f?(x)为二次函数且I=R,则有??0)。 (6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数,进而得到f?(x)?0或f?(x)?0在I上恒成立 (7)若?x?I,f(x)?0恒成立,则f(x)min?0; 若?x?I,f(x)?0恒成立,则f(x)max?0 (8)若?x0?I,使得f(x0)?0,则f(x)max?0;若?x0?I,使得f(x0)?0,则f(x)min?0. (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若?x?D f(x)?g(x)恒成立,则有 ?f(x)?g(x)?min?0. (10)若对?x1?I1、x2?I2 ,f(x1)?g(x2)恒成立,则f(x)min?g(x)max. 若对?x1?I1,?x2?I2,使得f(x1)?g(x2),则f(x)min?g(x)min. 若对?x1?I1,?x2?I2,使得f(x1)?g(x2),则f(x)max?g(x)max. (11)已知f(x)在区间I1上的值域为A,,g(x)在区间I2上值域为B, 若对?x1?I1,?x2?I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A?B。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程f?(x)?0有两个不等实根x1、x2,且极大值大于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: x 1 ≤ln① lnx?x?1(x?0) ②x ? (x+1)?x(x??1) ③ ex?1?x ④ e?x?1?x ⑤ lnx?x?1(x?1) ⑥ lnx?1?1(x?0) x222x2x?12

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

(构造函数,最值定位)(分类讨论,区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用)(二阶导转换)

2f(x)?x?a. 例1(切线)设函数

(1)当a?1时,求函数g(x)?xf(x)在区间[0,1]上的最小值;

第 4 页 共 25 页

(2)当a?0时,曲线y?f(x)在点P(x1,f(x1))(x1?a)处的切线为l,l与x轴交于

点A(x2,0)求证:x1?x2?a.

例2(最值问题,两边分求)已知函数f(x)?lnx?ax?⑴当a≤1?a?1(a?R). x1时,讨论f(x)的单调性; 21⑵设g(x)?x2?2bx?4.当a?时,若对任意x1?(0,2),存在x2??1,2?,使

4f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.

②交点与根的分布

例3(切线交点)已知函数f?x??ax?bx?3x?a,b?R?在点1,f?1?处的切线方程

32??为y?2?0.

⑴求函数f?x?的解析式;

⑵若对于区间??2,2?上任意两个自变量的值x1,x2都有f?x1??f?x2??c,求实数

c的最小值;

⑶若过点M?2,m??m?2?可作曲线y?f?x?的三条切线,求实数m的取值范围.

f(x)?ln(2?3x)?例4(综合应用)已知函数

⑴求f(x)在[0,1]上的极值;

32x.2

11x?[,],不等式|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?063⑵若对任意成立,求实数a的取值

范围;

⑶若关于x的方程f(x)??2x?b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值

范围.

③不等式证明

a?(x)?x?1,a为正常数. 例5 (变形构造法)已知函数

9⑴若f(x)?lnx??(x),且a2,求函数f(x)的单调增区间;

⑵在⑴中当a?0时,函数y?f(x)的图象上任意不同的两点A?x1,y1?,B?x2,y2?,

?线段AB的中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,试证明:k?f(x0).

?g(x2)?g(x1)??1g(x)?lnx??(x)x?x??x,x?0,2x?x212,⑶若,且对任意的12,1都有,求a的取值范围.

2f(x)?xln(ax)(a?0) 例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.

第 5 页 共 25 页

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/842h.html

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