2007-2012年陕西高考数学试题及答案解析（完美版）

2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）

理科数学（必修+选修Ⅱ）

注意事项：

1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应

的试卷类型信息点。

3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回。

第一部分（共60分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，

每小题5分，共60分）.

1.在复平面内，复数z=

12?i对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第在象限 （D）第四象限 2.已知全信U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝?x?Zx?3?2?,则集合CuA等于

（A）?1,2,3,4? （B）?2,3,4? (C) ?1,5? (D) ?5? 3.抛物线y=x2的准线方程是

（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0 4.已知sinα=

155，则sin4α-cos4α的值为 535153 5（A）- (B)- (C) (D)

5.各项均为正数的等比数列?an?的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于 （A）80 （B）30 (C)26 (D)16

6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （A）

33333 (B) (C) (D) 43412a2y27.已知双曲线C：2?2?1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的

cb半径是

22A.ab B.a?b C.a D.b

8.若函数f(x)的反函数为f(x),则函数f(x-1)与f(x?1)的图象可能是

?1?1

9.给出如下三个命题：

①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc; ②设a,b∈R，则ab≠0若

ab＜1，则＞1； ba③若f(x)=log22x=x,则f（|x|）是偶函数.

其中不正确命题的序号是

A.①②③ B.①② C.②③ D.①③

10.已知平面α∥平面β，直线mα，直线n β，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则

A.b≤a≤c B.a≤c≤b C. c≤a≤b D. c≤b≤a

11.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若 a＜b，则必有

A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

12.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算?为：A1?A=Ab,其中k为I+j被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（x?x）?A2=A0的x(x∈S)的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

第二部分（共90分）

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.

1??2x?1?13.lim?2?? . x?1?x?1?x?x?2?x?2y?4?0,?14.已知实数x、y满足条件?2x?y?2?0,，则z=x+2y的最大值为 .

?3x?y?3?0,?15.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值

为 .

16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.

17.（本小题满分12分）

???设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点?,2?，

4??（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 18.（本小题满分12分）

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被

淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

432、、，且各轮问555题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示） 19.(本小题满分12分)

如图,在底面为直角梯形的四棱锥P?ABCD中,AD//BC,?ABC?90?,PA?平面v

PA?4,AD?2,AB?23,BC=6.

(Ⅰ)求证:BDBD?平面PAC; (Ⅱ)求二面角P?BD?D的大小. 20.(本小题满分12分)

c2,其中a为实数. 设函数f(x)=2x?ax?a(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;

(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 21. (本小题满分14分)

6x2y2,短轴一个端点到右焦点的距离为3. 已知椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的离心率为3ab(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为的最大值.

22. (本小题满分12分)

已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;

(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足求b1+b2+…+bn.

3，求△AOB面积21akak?1(k?N*),其中a1=1. 2bk?1k?n?（k=1,2,…，n-1）,b1=1. bkab?12007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

数 学（理工农医类）参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ａ 10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｂ

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．

1 14．8 15．6 16．210 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)?ab?m(1?sin2x)?cos2x，

由已知f?π?π?π???m1?sin?cos?2，得m?1． ???422??????π??， 4?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?2x?π???当sin?2x????1时，f(x)的最小值为1?2，

4??由sin?2x???π??3π?x??1，得值的集合为xx?kπ?，k?Z??． ?4?8??18．（本小题满分12分）

2，3)，则P(A1)?解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i?1，4，5P(A2)?32，P(A3)?， 55?该选手被淘汰的概率

P?P(A1?A1A2?A2A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3) 142433101???????． 555555125（Ⅱ）?的可能值为1，2，3，P(??1)?P(A1)?1， 5428P(??2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???，

55254312P(??3)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???．

5525??的分布列为

? P 1 2 3 1 58 2512 25181257． ?E??1??2??3??52525252，3)，则P(A1)?解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i?1，4，5P(A2)?32，P(A3)?． 55?该选手被淘汰的概率P?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

432101． ?1????555125（Ⅱ）同解法一． 19．（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．?BD⊥PA． 又tanABD?AD3BC?，tanBAC??3． AB3AB?∠ABD?30，∠BAC?60，?∠AEB?90，即BD⊥AC．

AC?A．?BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．

DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF， ?∠EFD为二面角A?PC?D的平面角．

P 又∠DAC?90?∠BAC?30，

F

A

E

B

C

D

又PA?DE?ADsinDAC?1，

AE?ABsinABE?3，

又AC?43，?EC?33，PC?8．

由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF?PAEC33?． PC2在Rt△EFD中，tanEFD?DE2323?，?∠EFD?arctan． EF9923． 9?二面角A?PC?D的大小为arctan

解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，

0，0)，C(23，6，0)，D(0，则A(0，0，0)，B(23，2，0)，P(0，0，4)，

?AP?(0，0，4)，AC?(23，6，0)，BD?(?23，2，0)，

?BDAP?0，BDAC?0．?BD⊥AP，BD⊥AC，

又PAAC?A，?BD⊥平面PAC．

P z （Ⅱ）设平面PCD的法向量为n?(x，y，1)， 则CDn?0，PDn?0，

A B x E D y C

?4，0)，PD?(0，2，?4)， 又CD?(?23，?43??23x?4y?0，，?x?????解得?3 ??2y?4?0，?y?2，??43??n??2，1???3，?

??2，0， 平面PAC的法向量取为m?BD??23，??cos

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为R，?x?ax?a?0恒成立，???a?4a?0，

22?0?a?4，即当0?a?4时f(x)的定义域为R．

x(x?a?2)ex（Ⅱ）f?(x)?2，令f?(x)≤0，得x(x?a?2)≤0． 2(x?ax?a)由f?(x)?0，得x?0或x?2?a，又

0?a?4，

?0?a?2时，由f?(x)?0得0?x?2?a；

当a?2时，f?(x)≥0；当2?a?4时，由f?(x)?0得2?a?x?0，

2?a)； 即当0?a?2时，f(x)的单调减区间为(0，当2?a?4时，f(x)的单调减区间为(2?a，0)． 21．（本小题满分14分）

?c6，??解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3

?a?3，?x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1．

3（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)． （1）当AB⊥x轴时，AB?3． （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y?kx?m．

由已知m1?k2?3232，得m?(k?1)．

42222把y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k?1)x?6kmx?3m?3?0，

3(m2?1)?6km，x1x2?． ?x1?x2?23k2?13k?1?36k2m212(m2?1)???AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)?2? 22(3k?1)3k?1??222212(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)?? 2222(3k?1)(3k?1)12k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4． 219k?6k?12?3?69k2?2?6k当且仅当9k?231k??，即时等号成立．当k?0时，AB?3，

3k2综上所述ABmax?2．

?当AB最大时，△AOB面积取最大值S?22．（本小题满分12分）

133?ABmax??． 2221a1a2及a1?1，得a2?2． 211当k≥2时，由ak?Sk?Sk?1?akak?1?ak?1ak，得ak(ak?1?ak?1)?2ak．

22解：（Ⅰ）当k?1，由a1?S1?因为ak?0，所以ak?1?ak?1?2．从而a2m?1?1?(m?1)2?2m?1．

a2m?2?(m?1)2?2m，m?N*．故ak?k(k?N*)．

（Ⅱ）因为ak?k，所以

bk?1n?kn?k????． bkak?1k?1所以bk?bkbk?1bk?1bk?2b2(n?k?1)(n?k?2)(n?1)b1?(?1)k?11 b1k(k?1)211kCn(k?1，2，，n)． n1123n?1n故b1?b2?b3??bn?? C?C?C??(?1)Cn?nnn??n11012nn?． ?1??C?C?C??(?1)C?nnnn??nn?(?1)k?1??

Ｂ卷选择题答案：

1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ｂ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

i(2?i)等于（ ） 1?2iA．i B．?i C．1

1．复数

D．?1

2，2，3，4，5}，集合A?{x|x?3x?2?0}，B?{x|x?2a，a?A}，则2．已知全集U?{1集合eU(AA．1

B)中元素的个数为（ ）

B．2

C．3

D．4

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c?等于（ ）

2，b?6，B?120，则aA．6

B．2

C．3 D．2 4．已知{an}是等差数列，a1?a2?4，a7?a8?28，则该数列前10项和S10等于（ ） A．64

B．100

C．110

D．120

225．直线3x?y?m?0与圆x?y?2x?2?0相切，则实数m等于（ ）

A．3或?3 6．“a?B．?3或33 C．?33或3 D．?33或33 1a”是“对任意的正数x，2x?≥1”的（ ） 8x

x?3A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 ，f?17．已知函数f(x)?2(x)是f(x)的反函数，若mn?16（m，n?R+），则

f?1(m)?f?1(n)的值为（ ）

A．?2

B．1

C．4

D．10

x2y28．双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30ab的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ） A．6

B．3

C．2

D．3 39．如图，???，???l，A??，B??，A，B到l的距离分别是a和b，AB与?，?所成的角分别是?和?，AB在?，?内的射影分别是m和n，若a?b，则（ ） A．???，m?n C．???，m?n

B．???，m?n D．???，m?n

A l a ?

b B ? ?y≥1，?10．已知实数x，y满足?y≤2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实数m等

?x?y≤m．?于（ ） A．7 B．5

C．4

D．3

1(2?，11．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），f)则f(?3)等于（ ）

A．2 B．3 C．6 D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输

ai?{01信息．设定原信息为a0a1a2，，传输信息为h0a0a1a2h1，其中，}（i?01，，2）h0?a0?a1，h1?h0?a2，?运算规则为：0?0?0，0?1?1，1?0?1，1?1?0，

例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A．11010 B．01100 C．10111 D．00011

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．lim(1?a)n?1?2，则a? ．

n→?n?a14．长方体ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中

AB:AD:AA1?1:1:2．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，

m的值为 ． n15．关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：

则

①若ab=ac，则b?c．②若a?(1，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3． ③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60．

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2sinxxxcos?23sin2?3． 444（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令g(x)?f?x???π??，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3? 18．（本小题满分12分）

某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得

，2，3)分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各1~i(i?1

次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为?，求随机变量?的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，?BAC?90，

A1A?平面ABC，A1A?3，AB?2，AC?2，AC11?1，

（Ⅰ）证明：平面A1AD?平面BCC1B1； （Ⅱ）求二面角A?CC1?B的大小． 20．（本小题满分12分）

2BD1?． DC2A1 B1 A C1

C

D B 已知抛物线C：y?2x，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数k使NANB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?kx?1（c?0且c?1，k?R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其x2?c中一个是x??c．

（Ⅰ）求函数f(x)的另一个极值点；

（Ⅱ）求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M?m≥1时k的取值范围． 22．（本小题满分14分）

已知数列{an}的首项a1?3an3，an?1?，n?1，2，．

2a?15n（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x?0，an≥11?2???x，2，； ??，n?11?x(1?x)2?3n?（Ⅲ）证明：a1?a2?

n2?an?．

n?12008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．

1 15．② 16．96 2三、17．解：（Ⅰ）

xxxx?xπ?f(x)?sin?3(1?2sin2)?sin?3cos?2sin???．

2224?23?2π?4π． 12?f(x)的最小正周期T?当sin??xπ??xπ?????1时，f(x)取得最小值?2；当sin????1时，f(x)取得最大值2． ?23??23?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin?π??xπ????．又g(x)?f?x??．

3??23??x?1?π?π??xπ??g(x)?2sin??x?????2sin????2cos．

23?3??22??2?x?x?g(?x)?2cos????2cos?g(x)．

2?2??函数g(x)是偶函数．

2，3)，则P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2， 18．（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为Ai(i?1，P(AiAi)?P(Ai)P(Ai)?0.2?0.8?0.16．

（Ⅱ）?可能取的值为0，1，2，3． ?的分布列为

? P 0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 E??0?0.008?1?0.032?2?0.16?3?0.8?2.752.

19．解法一：（Ⅰ）

A1A?平面ABC，BC?平面ABC，

?BC?6， ?A1A?BC．在Rt△ABC中，AB?2，AC?2，BD:DC?1:2，?BD?6BD3AB??，又，

3AB3BC?△DBA∽△ABC，??ADB??BAC?90，即AD?BC．

又A1AAD?A，?BC?平面A1AD，

BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．

（Ⅱ）如图，作AE?C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB?平面ACC1A1．

A1

C1

E

?AE是BE在面ACC1A1内的射影．

由三垂线定理知BE?CC1，

B1

A

F C

D B

（第19题，解法一）

??AEB为二面角A?CC1?B的平面角．

过C1作C1F?AC交AC于F点， 则CF?AC?AF?1，C1F?A1A?3，

??C1CF?60．

在Rt△AEC中，AE?ACsin60?2?3?3． 2在Rt△BAE中，tanAEB?AB26． ??AE33z A1 C1 ??AEB?arctan6， 36． 3B1 即二面角A?CC1?B为arctanA B x （第19题，解法二）

D C y 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，，0)B(2，0，，0)C(0，2，，0)A1(0，0，3)，C1(01，，3)，

1BD:DC?1:2，?BD?BC．

3?222?，0??D点坐标为??3，?． 3???222??AD??，0?，BC?(?2，2，，0)AA1?(0，0，3)．

?3，?3??BCAA1?0，BCAD?0，?BC?AA1，BC?AD，又A1AAD?A， ?BC?平面A1AD，又BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．

（Ⅱ）

0，0)为平面ACC1A1的法向量， BA?平面ACC1A1，取m?AB?(2，设平面BCC1B1的法向量为n?(l，m，n)，则BCn?0，CC1n?0．

?3??2l?2m?0，?l?2m，n?m， ??3???m?3n?0，1，如图，可取m?1，则n??2，???3?， ??3?2?2?0?1?0?cos?m，n??(2)2?02?02332??3?22(2)?1???3??15， 5即二面角A?CC1?B为arccos15． 52x12)，B(x2，2x22)，把y?kx?2代入y?2x2得20．解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x2?kx?2?0，

由韦达定理得x1?x2?k，x1x2??1， 2y M 2 B 1 N O 1 A ?kk2?x1?x2k?xN?xM??，?N点的坐标为?，?．

24?48?x k2k??设抛物线在点N处的切线l的方程为y??m?x??，

84??mkk2??0， 将y?2x代入上式得2x?mx?4822直线l与抛物线C相切，

?mkk2????m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，?m?k．

8??42即l∥AB．

（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB?0，则NA?NB，又

M是AB的中点，

?|MN|?1|AB|． 2111由（Ⅰ）知yM?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]

222?k21?k2???4???2． 2?2?4k2k2k2?16． MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|??2??488又|AB|?1?k|x1?x2|?1?k22(x1?x2)2?4x1x2

?1?k212?k??4?(?1)?k?1??2?2?k2?16，解得k??2．

2k2?16．

k2?1612??k?184即存在k??2，使NANB?0．

2x1)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x得 解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，222k2x2?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1．

2?kk2?x1?x2k?xN?xM??，?N点的坐标为?，?．

24?48??抛物线在点N处的切线l的斜率为4?y?2x2，?y??4x，

k?k，?l∥AB． 4（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB?0．

??kk2?kk2?22由（Ⅰ）知NA??x1?，2x1??，NB??x2?，2x2??，则

4848????k??k??2k2??2k2??NANB??x1???x2????2x1???2x2??

4??4??8??8??k??k??2k2??2k2????x1???x2???4?x1???x2??

4??4??16??16??k??k????x1???x2??4??4???k??k???1?4x?x??1??2?? ?4??4?????k2??1?4x1x2?k(x1?x2)?4? ???kk2???x1x2??x1?x2???416???kkk2????1????4216???kk2??1?4?(?1)?k?2?4? ???k2??3????1????3?k2?

16??4???0，

k23?1??0，??3?k2?0，解得k??2．

164即存在k??2，使NANB?0．

k(x2?c)?2x(kx?1)?kx2?2x?ck?21．解：（Ⅰ）f?(x)?，由题意知f?(?c)?0， 2222(x?c)(x?c)即得ck?2c?ck?0，（*）

22c?0，?k?0．

由f?(x)?0得?kx?2x?ck?0，

由韦达定理知另一个极值点为x?1（或x?c?2）． k22，即c?1?． c?1k当c?1时，k?0；当0?c?1时，k??2．

（Ⅱ）由（*）式得k???)内是减函数，在(?c，1)内是增函数． （i）当k?0时，f(x)在(??，?c)和(1，?M?f(1)?k?1k??0， c?12?kc?1?k2m?f(?c)?2??0，

c?c2(k?2)kk2≥1及k?0，解得k≥2． 由M?m??22(k?2)??)内是增函数，在(?c，1)内是减函数． ?c)和(1，（ii）当k??2时，f(x)在(??，?k2k?M?f(?c)??0，m?f(1)??0

2(k?2)2?k2k(k?1)2?1M?m???1?≥1恒成立．

2(k?2)2k?2?2)综上可知，所求k的取值范围为(??，22．解法一：（Ⅰ）

[2，??)．

an?1??3an12111?1???1???1?， ，?，?2an?1an?133anan?13?an?又

?1?1212?1?，???1?是以为首项，为公比的等比数列． an333?an?3n1212?1??n，?an?n?． n?1an3333?23n?0， （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?n3?211?2???x?? 1?x(1?x)2?3n??11?2???1?1?x? 2?n1?x(1?x)?3??11?1?x(1?x)2?1??(1?x)?? ?an???112? 2an(1?x)1?x21?1?????an??an≤an，?原不等式成立．

an?1?x?（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x?0，有

a1?a2??an≥11?2?11?2???x???x???2?2?21?x(1?x)?3?1?x(1?x)?3??11?2???x? 2?n1?x(1?x)?3??n1?22????1?x(1?x)2?332?2??nx?． 3n??取x?1?22??2?n?332?1?1??2?3?1?3n?1???n????1?n?，

3??1?n?3?n?1???3?则a1?a2?nn2n2． ?an≥??1n?11?1?1??1?n?n?1?n3n?3??原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设f(x)?11?2???x??， 1?x(1?x)2?3n??2??2??(1?x)2??n?x?2(1?x)2?n?x?1?3??3?

??则f?(x)??(1?x)2(1?x)2(1?x)2x?0，

?当x??当x?22?时，；当时，f?(x)?0， x?f(x)?0nn332时，f(x)取得最大值3n1?2?f?n???an．

23??1?3n?原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．

B卷选择题答案：

1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅰ卷

陕西卷网一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题

共12小题，每小题5分，共60分） 1．设不等式x?x?0的解集为M，函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为N，则M?N为 （A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0]答案：A

2 、2解析：不等式x?x?0的解集是?0?x?1?，而函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为，故选择A ??1?x?1?，所以M?N的交集是[0，1）2.已知z是纯虚数,

z?2是实数,那么z等于1-i （A）2i (B)i (C)-i (D)-2i答案：D

解析：代入法最简单 3.函数f(x)?（A）f?1 2x?4(x?4)的反函数为

121x?2(x?0) (B) f?1(x)?x2?2(x?2)221212?1?1（C）f(x)?x?4(x?0) (D) f(x)?x?4(x?2)22(x)?答案：B

w.w.w..s.5.u.c.o.m 解析1：f(x)?2x?4(x?4)?y?2,f?1(x):y?4,x?2.逐一验证，知B正确。1解析2：f(x)?2x?4(x?4)?y?2,f(x)?x2?2,x?22?1 EJL4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆x?y?4y?0所截得的弦长为

学22科网（A）3 （B）2 （C）6 （D）23A w.w.w.s.5.u.c.o.m N答案：D

AO2解析：x2?y2?4y?0?x2?（y?2）?4，?A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,?ON=3?弦长235.若3sin??cos??0,则

w.w.w..s.5.u.c.o.m 1的值为

cos2??sin2?5102（A） （B） （C） (D) ?2333答案：A

Kw.w.w.s.5.u.c.o.m F解析：3sin??cos??0?cos??0?tan???131cos2??sin2?1?tan2?10???22cos??sin2?cos??2sin?cos?1?2tan?36.若(1?2x)2009

aa1a2的值为?2??20092009222（A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?2?a0?a1x??a2009x2009(x?R),则

w.w.w.s.5.u.c.o.m 答案：C

r2009?r2009?r?2r则a1,a2Kar都能表示出来，则解析：ar?(?1)C2009?1r2009?r于(?1)C2009，再利用倒序相加法求得。

a1a2??222?a2009等220097.“m?n?0”是“方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的

22（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件答案：C

解析：m?n?0说明b?a?0

w.w.w..s.5.u.c.o.m 学科网8.在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足AP?2PM,则PA?(PB?PC)等于

w.w.w..s.5.u.c.o.m （A）?4444 （B）? （C） (D) 9339答案：A

解析：PA?2PM?P是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP,22244PA?(PB?PC)?PA?PH?(?AM)AM??AM??3399

9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位

数的个数为

(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案：C

解析：分类讨论思想：

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

网w.w.w.s.5.u.c.o.m w.w.w.s.5.u.c.o.m 4C32A4?72

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为

143C32C2[A4?A3]?108

共有，180个数

10．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(A)

2232 (B) (C) (D) 6333w.w.w..s.5.u.c.o.m

答案：B 解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体

V?2??[?2?2]?高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，

131212?2? 23?x?y?1?11．若x，y满足约束条件?x?y??1，目标函数z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小?2x?y?2y?值，则a的取值范围是

w.w.w..s.5.u.c.o.m w.w.w..s.5.u.c.o.m G1I1

B1IF143(A) （?1，2 ） (B) （?4，2 ） (C) (?4,0] (D) (?2,4) 2答案：B

解析：根据图像判断，目标函数需要和x?y?1，2x?y?2平行， 由图像知函数a的取值范围是（?4，2 ） 12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意

的x1,x2?(??,0](x1?x2)，有(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0.

-2-1101234GRD1SH1C1则当n?N时,有

*w.w.w..s.5.u.c.o.m

w.w.w.s.5.u.c.o.m (A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) (B) f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (C) (C)f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (D) f(n?1)?f(n?1)?f(?n)答案：C

w.w.w.s.5.u.c.o.m 解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0]为增函数f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修?选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则lim答案：1

Sn? . n??n2?a6?12?a1?5d?12?a1?2SSnn?1n?1解析：?????Sn?n(n?1)?n??lim?lim?1?22n??n??nnnn?d?2?a1?d?12?s3?12

14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8

O1

A 15．如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO?2，A、B 1O w.w.w..s.5.u.c.o.m B 是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为答案：

2?，则?AO1B= . 3? 2n?116．设曲线y?x(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，

则a1?a2?答案：-2

?a99的值为 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：点（1，1）在函数y?xn?1(n?N*)的图像上，?（1，1）为切点，y?xn?1的导函数为y'?(n?1)xn?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)令y=0得切点的横坐标：xn?nn?11298991a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg...?lg??22399100100

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0????2?2?交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(,?2).

23(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[17、解（1）由最低点为M(）的图象与x轴的

,]，求f(x)的值域. 122 w.w.w.s.5.u.c.o.m ??2?,?2)得A=2. 3?T?2?2?由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T??，????2

222T?2?A1 由点在2图)像上的M(?,32?4?2sin(2???)??2,即sin(??)??1 B1 334??11?故 ???2k??,k?Z ???2k??632又??(0,C1 ,故f(x)?2sin(2x?)

266????7?（2）x?[,],　　　　?2x??[,]

122636????7?当2x?=，即x?时，f(x)取得最大值2；当2x??

62666即x??),?????A C B ?2时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2]

w.w.w..s.5.u.c.o.m

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，

A1 C1 AC?AA1?3，∠ABC=600.

B1 A C B (Ⅰ)证明：AB?A1C；

（Ⅱ）求二面角A—A1C—B的大小。

w.w.w..s.5.u.c.o.m

18.（本小题满分12分） 解答一（1）证：

三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1

?在?ABC中，AB?1,AC3,?ABC?06,0由正弦定理

?ACB?300

??BAC?900即AB?AC

AB?平面ACC1A1,又A1C?平面ACC1A1即AB?A1C

（2）解如图，作AD?A1C交A1C于点D点，连结BD， 由三垂线定理知BD?A1C

??ADB为二面角A?AC1?B的平面角

在Rt?AAC1中，AD?AA1?AC3?36 ??AC261AB6?AD3Rt?BAD中,tanADB=??ADB=arctan解答二（1）证

66,即二面角A?AC1?B的大小为arctan33

三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1，AC?AA1

Rt?ABC，AB?1,AC?3,?ABC?600，

由正弦定理?ACB?30

0??BAC?900即AB?AC如图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0B),w.w.w..s.5.u.c.o.m (1,C0,0)(01,A3,0),

(0,0,3)?AB?(1,0,0),AC?(0,3,3)1AB?AC?1*0?0*3?0*(?3)?0 1?AB?AC1(2) 解，如图可取m?AB?(1,0,0)为平面AA1C的法向量 设平面A1BC的法向量为n?(l,m,n)， 则BC?n?0,AC （?1，3，0）1?n?0,又BC????l?3m?0???l?3m,n?m ??3m?3n?0不妨取m?1,则n?(3,1,1)

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??

222222m?n5(3)?1?1?1?0?0155?二面角A?AC?BD的大小为arccos119．(本小题满分12分)

w.w.w..s.5.u.c.o.m

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用?表示，椐统计，随机变量?的概率分布如

下：

? 0 p

(Ⅰ)求a的值和?的数学期望；

0.1 1 2 3 a 0.3 2a （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

w.w.w..s.5.u.c.o.m ??的概率分布为

? P 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 ?E??0*0.1?1*0.3?2*0.4?3*0.2?1.7

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2

次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得

1P(A1)?C2P(??0)?2*0.4*0.1?0.08P(A2)?[P(??1)]2?0.32?0.09?P(A)?P(A1)?P(A2)?0.08?0.09?0.17

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

w.w.w..s.5.u.c.o.m

a2ax2?a?2??, 20. 解（Ⅰ）f'(x)?ax?1(1?x)2(ax?1)(1?x)2∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a1?a?2?0,解得a?1.

2ax2?a?2, （Ⅱ）f'(x)?2(ax?1)(1?x)∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??). ②当0?a?2时， 由f'(x)?0解得x?2?a,由f'(x)?0解得x?a2?a, a∴f(x)的单调减区间为（0，2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?a2?a处取得最小值f()?f(0)?1, aa综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

21．（本小题满分12分）

5y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的

2ab距离为

25。 5（I）求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。

21．（本小题满分14分）

w.w.w.ks.5.u.c.o.m 13y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0),

ab离心率e?525,顶点到渐近线的距离为.

52（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.

13解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O,a)到渐近线ax?by?0的距离为25， 5∴aba2?b2?25ab25,即?, 5c5?ab25,??c5??5?c,由??a2??c2?a2?b2???

?a?2,??b?1,得??c?5,

y2?x2?1. ∴双曲线C的方程为4（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x.

设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.

由AP??PB得P点的坐标为(w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m??n2(m??n),), 1??1??y2(1??n)22?x?1,化简得mn?. 将P点坐标代入44?设∠AOB?2?,又

?|OA|?5m4|OB|?5n??114tan(??)?2,?tan??,sin??,sin2??.

2225?SAOB 111?|OA||OB|sin2??2mn?(??)?1.22?111S(?)?(??)?1,??[,2],记 2?389,S(2)?, 3418当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当??时，△AOB的面积取得最大值∴△

33.8AOB面积的取值范围是[2,].

3由S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0.

13 由

?kx?mm2m{y 得A点的坐标为(,), y?2x2?k2?k?kx?m?m2m{y 得B点的坐标为(,). y??2x2?k2?k 由

由AP??PB得P点的坐标为(m1?2m1?(?),(?)), 1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22?x?1得?. 将P点坐标代入44?k2?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

SAOB?SAOQ?SBOQ?111|OQ||XA|?|OQ||x8|?m(xA?xB) 222w.w.w..s.5.u.c.o.m 1mm14m211?)??(??)?1. =m(22?k2?k24?k22?以下同解答一. 22．（本小题满分12分）

已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()

22题 证（1）由x1?1265n?1。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 112513及xn+1?得x2??x4?，x4? 21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111??

1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3) =

x2k?x2k?2?0

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 611?

1?xn?12当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn??(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?

1?xn?12?xn?1?xn?xn?xn?111?? 1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2n-1?（）x?2x51w.w.w.s.5.u.c.o.m 222xn?xn?1?（）xn?1?xn?2?55

12n-1?（）65?2010年普通高等学校招生全国统一考试（陕西A卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，

每小题5分，共50分）.

[来源:Zxxk.Com]1.集合A= {x∣?1?x?2}，B=xx?1，则A??(eRB)= （D）

（A）xx?1 (B) xx?1 (C) {x∣1?x?2 } (D) {x∣1?x?2} 2.复数z?????i在复平面上对应的点位于 （A） 1?i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.对于函数f(x)?2sinxcosx，下列选项中正确的是 （B） （A）f(x)在（

??，）上是递增的 （B）f(x)的图像关于原点对称 42 （C）f(x)的最小正周期为2? （D）f(x)的最大值为2

4.(x?)（x?R）展开式中x的系数为10，则实数a等于 （D） （A）-1 （B）

ax531 (C) 1 (D) 2 2x??2?1,x?1,5.已知函数f(x)=?2，若f(f(0))=4a，则实数a等于 （C）

??x?ax,x?1,（A）

14 （B） (C) 2 (D) 9 256.右图是求样本x 1，x2，…x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】

xn n1(C) S=S+ n (D) S=S+

n(A) S=S+x n (B) S=S+

7. 若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是【C】 (A)

12 (B) 33(C) 1 (D) 2

8.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6 x－7=0相切，则p的值为【C】

(A)

1 (B)1 (C) 2 (D) 4 29.对于数列｛a n｝，“an?1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的【B】

(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件

(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取．．6．整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为【B】 (A) y=??x??x?3??x?4??x?5? (B) y= (C) y= (D) y= ???????10101010????????

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。 11.已知向量a =（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若(a?b)//c, 则m= -1 ___ 12. 观察下列等式：13+23=32，13+23+3=62，13+23+33+43=102，……， 根据上述规律，第五个等式为 1?2?3?4?5?6?21. ．．．．．

3333332313.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为

1. 314.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的co2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

A B a 50% 70% b(万吨) 1 0.5 C（百万元） 3 6 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求co2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为_15_ (百万元)

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题) 不等式x?3?x?2?3的解集为xx?1.

B. (几何证明选做题) 如图，已知Rt?ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC

??为直径的圆与AB交于点D，则

BD16?. DA9

?x?cosa,C. (坐标系与参数方程选做题) 已知圆C的参数方程为?（a为参数），以原点为

y?1?sina?极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为psin??1则直线l与圆C

的交点的直角坐标为(?1,1),(1,1).

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分) 16.(本小题满分12分)

已知?an?是公差不为零的等差数列,a1?1,且a1,a3,a9成等比数列. （Ⅰ）求数列?an?的通项; （Ⅱ）求数列2??的前n项和Sann.

17．（本小题满分12分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3?3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

解：由题意知AB?5(3?3)海里，

?DBA?90??60??30?,?DAB?90??45??45?,

∴?ADB?180??(45??30?)?105? 在?DAB中,由正弦定理得

DBAB?，

sin?DABsin?ADB∴DB?ABsin?DAB5(3?3)sin45?5(3?3)sin45???

sin?ADBsin105?sin45?cos60??cos45?sin60?=53(3?1)?103（海里）

3?12

答：救援船到达D点需要1小时.

注：如果认定?DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD,同样给分. 18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22，E，F分别是AD，PC的中点. （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

解法一: （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

∵AP=AB=2,BC=AD=22,四边形ABCD是矩形.

∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, 22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2)， 又E，F分别是AD，PC的中点， ∴E(0，2，0)，F(1，2，1).

∴PC=（2，22，-2）BF=（-1，2，1）EF=（1,0,1），

BF=-2+4-2=0，PC·EF=2+0-2=0， ∴PC·

∴PC⊥BF，PC⊥EF， ∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩ EF=F, ∴PC⊥平面BEF，

（II）由（I）知平面BEF的法向量n1?PC?(2,22,?2), 平面BAP 的法向量n2?AD?(0,22,0),

∴1nn2?8. 设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，

则cos??cos(n1,n2)?n1n282, ??n1n24?222∴ θ=45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

解法二 （I）连接PE，EC在Rt?PAE和Rt?CDE中. PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形， 又F是PC 的中点，∴EF⊥PC, 又BP?AP2?AB2?22?BC，F是PC 的中点，

∴ BF⊥PC. 又BFEF?F,∴PC?平面BEF.

（II）∵PA?平面ABCD,∴PA?BC,

又ABCD是矩形，∴AB?BC ∴BC?平面BAP,BC?PB, 又由（Ⅰ）知PC?平面BEF,

∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角， 在?PBC中，PB?BC,?PBC?90?,∴?PCB?45?.

所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

19.（本小题满分12分）

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；

（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率； （Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm．．之间的概率.

解: （Ⅰ）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

（Ⅱ）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f?校学生身高在170~180cm之间的概率p?0.5.

（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数

35?0.5,故有f估计该70为4。

设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，

2112C6C6C4+C422则P(A)?1?2?(或P(A)==). 2C103C103

20.（本小题满分13分） 如图，

椭圆

x2y2??1的顶点为A1,A2,B1,B2焦点为C：

a2b2SA1B1A2B2?2SB1F1B2F2. F1,F2,A1?B1,7 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，OP?1，是否存在上述直线l使APPB?1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

(i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为y?kx?m, 由l与n垂直相交于P点且op?1得

m1?k2?1，即m2?k2?1.

∵APPB?1,OP?1,

∴ OAOB?(OP?PA)(OP?PB)

2 =OP?OPPB?PAOP?PAPB

=1+0+0-1=0， 即x1x2?y1y2?0.

将y?kx?m代入椭圆方程，得 (3?4k)x?8kmx?(4m?12)?0， 由求根公式可得

222x1?x2??8km, ④

3?4k24m2?12, ⑤ x1x2?3?4k20?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)

22 ?x1x2?kx1x2?km(x1?x2)?m 22 ?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m,

将④，⑤代入上式并化简得

(1?k)(4m?12)?8km?m((3?4k)?0, ⑥

2将m?1?k代入⑥并化简得?5(k?1)?0，矛盾.

2222222即此时直线l不存在.

21、(本小题满分14分) 已知函数f(x)?x，g（x）=alnx，a?R.

[来源学科网ZXXK]

（Ⅰ）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

[来源学科网ZXXK]

（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的?(a)和任意的a?0,b?0时，证明：

??(解： （Ⅰ）f??x?=

a?b??(a)???(b)2ab)????(). 22a?b,g?(x)=

12xa(x>0), x?x?alnx,e?由已知得?1 解得a=，x=e2, a2?,?x?2x∴ 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k?f?(e)?∴ 切线的方程为y?e?（Ⅱ）由条件知h(x)? ∴h?(x)?21

,2e1x?e2?. ?2ex?alnx(x?0),

12x?a?xx?2a, 2x2（1） 当a.>0时，令h?(x)?0,解得x?4a，

∴ 当0

2当x>4a时，h?(x)?0,，h(x)在(4a,??)上递增.

222

(a)??ln2a). （iii）由（Ⅱ）知?? 对任意的a?0,b?0,

2ln2a?2ln2b??ln4ab, ①

22a?ba?b??()??2ln(2)??ln(a?b)2??ln4ab, ②

22????(a)???(b)??(2ab2ab4ab)??2ln(2)??2ln??ln4ab, ③ a?ba?b2ab故由①，②，③得??(a?b??(a)???(b)2ab)????(). 22a?b2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)

全解全析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，

每小题5分，共50分）． 1．设a，b是向量，命题“若a??b，则|a|?|b|”的逆命题是 （ ） （A）若a??b，则|a|?|b| （B）若a??b，则|a|?|b| （C）若|a|?|b|，则a??b （D）若|a|?|b|，则a??b

【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。 【解】选D 原命题的条件是a??b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|?|b|，作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|?|b|，则a??b”，故选D．

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是 （ ） （A）y??8x （B）y?8x （C）y??4x （D）y?4x 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选B 由准线方程x??2得?轴），所以y?2px?8x．

3．设函数f(x)（x?R）满足f(?x)?f(x)，f(x?2)?f(x)，则函数y?f(x)的图像是 （ ）

22222p??2,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半2

【分析】根据题意，确定函数y?f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 【解】选B 由f(?x)?f(x)得y?f(x)是偶函数，所以函数y?f(x)的图象关于y轴

对称，可知B，D符合；由f(x?2)?f(x)得y?f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

4．(4?2)（x?R）展开式中的常数项是 （ ） （A）?20 （B）?15 （C）15 （D）20

【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.

rx6?r?xrr2x(6?r)r?2?xr?C6?212x?3xr， 【解】选C Tr?1?C6(4)(2)?C6?24令12x?3xr?0，则r?4，所以T5?C6?15，故选C．

x?x65．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A）8?（B）8?2? 3?3（C）8?2?

2?（D）

3

【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．

【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体， 即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是

18?. V?23????22?2?8?33

6．函数f(x)?x?cosx在[0,??)内 （ ）

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点

【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。 【解】选B （方法一）数形结合法，令f(x)?x?cosx?0，则x?cosx，设函数

y?x和y?cosx，它们在[0,??)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有

一个，所以函数f(x)?x?cosx在[0,??)内有且仅有一个零点；

（方法二）在x?[在x?(0,?2,??)上，x?1，cosx?1，所以f(x)?x?cosx?0；

12x?sinx?0，所以函数f(x)?x?cosx是增函数，又因为

?2]，f?(x)?f(0)??1，f()?2

??? ?0，所以f(x)?x?cosx在x?[0,]上有且只有一个零点．

22227．设集合M?{y|y?|cosx?sinx|,x?R}，N?{x||x?|?1i2，i为虚数单位，

x?R}，则MN为（ ）

（A）（0，1） （B）(0，1] （C）[0，1) （D）[0，1]

【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。 【解】选C y?|cosx?sinx|?|cos2x|?[0,1]，所以M?[0,1]； 因为|x?|?221i2，所以|x?i|?2，即|x?(?i)|?2，又因为x?R，所以?1?x?1，

N?[0,1)，故选C.

即N?(?1,1)；所以M

8．右图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1?6，x2?9，

p?8.5时，x3等于（ ）

（A）11 （B）10 （C）8 （D）7

【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件|x3?x1|?|x3?x2|是否成立是解答本题的关键．

【解】选C x1?6，x2?9,|x1?x2|?3?2不成立,即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式|x3?x1|?|x3?x2|知，点x3到点x1的距离

|x3?x1|?|x3?x2|成立，小于点x3到x2的距离，所以当x3?7.5时，即为“是”，此时x2?x3，

所以p?x1?x36?x3，即?8.5，解得x3?11?7.5，不合题意；当x3…7.5时，22x?x2x?9|x3?x1|?|x3?x2不成立，即为“否”|，此时x1?x3，所以p?3，即3?8.5，

22解得x3?8?7.5，符合题意，故选C．

9．设(x1,y1),(x2,y2)，…，(x3,y3)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间

（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线l过点(x,y)

【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系

数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选D

选项 A B C 具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在?1到0之间时，两个变量负相关 l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式结论 不正确 不正确 不正确 正确 D a?y?bx可知直线l必过点(x,y)

10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A）

1115 （B） （C） （D）

963636【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问

题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．

44【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A6?A6（种）；最后一小时他们同

33A5?A5?61在一个景点的情形有A?A?6（种），所以P??． 44A6?A663535二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

lgx??11．设f(x)??a2x?3tdt???0x?0x?0，若f(f(1))?1，则a? ．

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口. 【解】因为x?1?0，所以f(1)?lg1?0，又因为f(x)?x?3所以f(0)?a，所以a?1，a?1．

3?a03t2dt?x?a3，

【答案】1

212．设n?N?，一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．

【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 【解】x?4?16?4n?2?4?n，因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?n2，验证可知n?3,4符合题意；反之n?3,4为整数，且n?4，又因为n?N?，取n?1,2,3,42时，可推出一元二次方程x?4x?n?0有整数根． ．．【答案】3或4

13．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为 . 【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．

【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n?1；等式右边都是完全平方数，

行数 等号左边的项数

1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7

…… …… …… 所以n?(n?1)??[n?(2n?1)?1]?(2n?1)2，

即n?(n?1)??(3n?2)?(2n?1)2

?(3n?2)?(2n?1)2

【答案】n?(n?1)?14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．

【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． 【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），

1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是

s?(i?1)?10?(i?2)?10??(i?i)?10?[(i?1)?i]?10??(20?i)?10

?10?[i?i?i(i?1)(20?i)(i?1?20)?i?(20?i)?] 22?10(i2?21i?210)，所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程

的最小值是2000米.

（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10?(1?2??19)?2?10?19(1?19)?2?3800；树苗放在第2?9)?10?(1?2??10)?2

10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10?(1?2??10?9?(1?9)10?(1?10)?2?10??2?900?1100?2000，所以路程总和最小为222000米.

【答案】2000 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

|x?1|?|x?2|存在实数解，则实数a的取值A．（不等式选做题）若关于x的不等式|a|…范围是 ．

【分析】先确定|x?1|?|x?2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可． 【解】当x??1时，|x?1|?|x?2|??x?1?x?2??2x?1…3； 当?1?x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3； 当x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?2x?1?3；

综上可得|x?1|?|x?2|…3，所以只要|a|…3，解得a??3或a…3， 即实数a的取值范围是(??,?3][3,??)． 【答案】(??,?3][3,??)

B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE?BC，?ACD?90，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= ．

【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解． 【解】因为AE?BC，

所以∠AEB=?ACD?90，又因为∠B=∠D，所以

ACAD, ?AEABAB?AC6?4所以AE? ??2，在Rt△AEB中，BE?AB2?AE2?62?22?42．

AD12△AEB∽△ACD，所以【答案】42

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：??x?3?cos?（?为参数）和曲线C2：??1?y?4?sin?上，则|AB|的最小值为 ．

【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．

【解】曲线C1的方程是(x?3)?(y?4)?1，曲线C2的方程是x?y?1，两圆外离，所以|AB|的最小值为32?42?1?1?3．

【答案】3

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC=60，∠BAC?90，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC?90．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC； （2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．

2222【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．

【解】（1）∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB， 又DBDC?D，∴AD⊥平面BDC， ∵ADü平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC． （2）由∠BDC?90及（1）知DA，DB，DC两两垂直，

不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3),E(13,,0)， 22所以AE?(,,?3)，DB?(1,0,0)，

1322∴cos?AE,DB??AEDBAE?DB?1?12224?22 22所以AE与DB夹角的余弦值是 17．（本小题满分12分）

22． 22如图，设Ｐ是圆x?y?25上的动点，点Ｄ是Ｐ在x轴上投影， Ｍ为PD上一点，且|MD|?224|PD|． 54的直线被C所截线段的长度． 5（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为

【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．

【解】（1）设点M的坐标是(x,y)，P的坐标是(xp,yp)， 因为点Ｄ是Ｐ在x轴上投影， Ｍ为PD上一点，且|MD|?45|PD|，所以xp?x，且yp?y，

45

x2y252??1， ∵P在圆x?y?25上，∴x?(y)?25，整理得

25164222x2y2??1． 即C的方程是

2516（2）过点（3，0）且斜率为

44的直线方程是y?(x?3)， 55设此直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

x2y24??1得： 将直线方程y?(x?3)代入C的方程

251653?413?41x2(x?3)2??1，化简得x2?3x?8?0，∴x1?，x2?，

222525所以线段AB的长度是|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?16)(x1?x2)2 25?414141?41?，即所截线段的长度是．

5255

18．（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理．

【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【解】叙述:

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2?b2?c2?2bccosA， b2?c2?a2?2cacosB， c2?a2?b2?2abcosC.

证明：（证法一） 如图，c?BC ?AC?AB?2222???AC?A B2? ?AC?2AC?AB?AB?AC?2AC?ABcosA?AB ?b?2bccosA?c

22即 a?b?c?2bccosA 同理可证 b?c?a?2cacosB， c?a?b?2abcosC

（证法二）已知?ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0)，

∴a?|BC|?(bcosA?c)?(bsinA)?bcosA?2bccosA?c?bsinA

222222222222222222?b2?c2?2bccosA，

即 a?b?c?2bccosA 同理可证 b?c?a?2cacosB，

2222222acbos C c?a?b?

19．（本小题满分12分）

如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y?e于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与xx222P1,Q1；轴交于点P2．再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P2,Q2；…；Pn,Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)（k?0,1,2,（1）试求xk与xk?1的关系（2剟k（2）求|PQ11|?|P2Q2|?|PQ33|?． ,n）

n）；

?|PnQn|．

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|PnQn|的表达式，然后再求和．

【解】（1）设点Pk?1的坐标是(xk?1,0)，∵y?e，∴y??e， ∴Qk?1(xk?1,exk?1xx)，在点Qk?1(xk?1,exk?1)处的切线方程是y?exk?1?exk?1(x?xk?1)，

令y?0，则xk?xk?1?1（2剟kn）．

（2）∵x1?0，xk?xk?1??1，∴xk??(k?1)，

∴|PkQk|?exk?e?(k?1)，于是有

|PQ11|?|P2Q2|?|PQ33|??|PnQn|?1?e?e??1?2?e?(k?1)1?e?n? 1?e?1e?e1?n?，

e?1即|PQ11|?|P2Q2|?|PQ33|? 20．（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表： e?e1?n?|PnQn|?．

e?1时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0.1 0 0.2 0.1 0.3 0.2 0.4 0.2 0.1 0.4 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．

【解】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”， Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i?1，2． 用频率估计相应的概率，则有：

P(A1)?0.1?0.2?0.3?0.6，P(A2)?0.1?0.4?0.5；

∵P(A1)?P(A2)，∴甲应选择路径L1；

P(B1)?0.1?0.2?0.3?0.2?0.8，P(B2)?0.1?0.4?0.4?0.9；

∵P(B2)?P(B1)，∴乙应选择路径L2．

（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)?0.6，P(B)?0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2， ∴P(X?0)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.4?0.1?0.04，

P(X?1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42P(X?2)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.6?0.9?0.54，

∴X的分布列为

X0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴EX?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5．

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f?(x)?（1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g()的大小关系； （3）是否存在x0?0，使得|g(x)?g(x0)|?范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论． 【解】（1）∵f?(x)?即c?0，

∴f(x)?lnx；g(x)?lnx?∴g?(x)?1，g(x)?f(x)?f?(x)． x1x1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值x1，∴f(x)?lnx?，又∵f(1)?0，所以ln1?c?0，c（c为常数）x1， xx?1x?1??0，解得x?1， g(x)?0，令，即

x2x2当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)是减函数，故区间在(0,1)是函数g(x)的减区间； 当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)是增函数，故区间在(1,??)是函数g(x)的增区间； 所以x?1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以g(x)的最小值是g(1)?1．

（2）g()??lnx?x，设h(x)?g(x)?g()?2lnx?x?1x1x1， x(x?1)2则h?(x)??， 2x当x?1时，h(1)?0，即g(x)?g()， 当x?(0,1)1x(1,??)时，h?(x)?0，h?(1)?0，

因此函数h(x)在(0,??)内单调递减，

当0?x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()； 当x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()． （3）满足条件的x0不存在．证明如下： 证法一 假设存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?即对任意x?0有lnx?g(x0)?lnx?但对上述的x0，取x1?eg(x0)1x1x1对任意x?0成立， x2 ① x时，有lnx1?g(x0)，这与①左边的不等式矛盾，

1对任意x?0成立． x1证法二 假设存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?对任意x?0成立，

x因此不存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?由（1）知，g(x)的最小值是g(1)?1， 又g(x)?lnx?1?lnx，而x?1时，lnx的值域为(0,??)， x∴当x…1时，g(x)的值域为[1,??)，

从而可以取一个值x1?1，使g(x1)…g(x0)?1，即g(x1)?g(x0)…1, ∴|g(x1)?g(x0)|…1?1，这与假设矛盾． x1∴不存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?

1对任意x?0成立． x

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