数字信号最佳接收

《数字通信》教案 第3章数字信号最佳接收原理 1

第3章 数字信号最佳接收原理

§ 3.1 引言

1．问题的提出

数字通信系统

发送M元??信号?接收信号(观察信号)s信 道噪声与干扰y最 佳接收机最佳接收准则d使Pe最小Pe

问题：在给定信道条件下（白噪声、非白噪声、有ISI信道、多径衰落信道），如何设计最佳接收机，以获得最佳性能（Pe最小）。

关键：建立最佳接收准则，由此导出最佳接收机的结构，分析系统性能。

2．信号空间的描述

发送信号（M元） ?si(t)?i?1,2,?,M,或?si?，信道噪声n，接收信号 y。

s1n?s2N维信号空间?s3

如何由y判别发送信号si，使错误概率最小。

3．如何获得最佳接收

1）建立一个最佳接收准则——如“最小错误概率准则”（最常用、最合理） 2）充分利用信号结构的先验知识和信号与噪声的先验统计特性。 如p(s)，p(n)，p(y|s)

4．本章讨论的内容

1）最佳接收准则。

2）讨论在不同噪声和干扰的信道条件下的最佳接收机结构（数学模型）。 3）分析最佳接收机的性能（重点是白噪声信道条件下）。

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§ 3.2 最佳接收准则

引言：最直接最合理的准则——最小错误概率准则。

可以证明：在一定条件下，它又等价于最大后验概率准则和最大似然函数准则。

1. 最小错误概率准则

在M元数字通信系统中，

接收信号向量M元 ?xi?(i?1,2,?,M)统计独立P(xi)判决变量?AWGNy判决x1xMdj?x2?j?i,正确判决e?j?i,错误判决?P?x3判决区域

该M元系统的错误概率为：

Pe??(Pe)i???P(dj|xi)P(xi)

i?1i?1j?1j?iMMM使Pe最小的准则，就是最小错误概率准则。

?MM???可表示为： P?minP(d|x)P(x)???ejii?

1?i?1jj???i??2． 最大后验概率准则（MAP准则） Maximum Posterior Probability

可以证明：最小错误概率准则等价于MAP准则： 即 P(xi|y)?max 判xi 【证明】：

Pe??(P)???P(deii?1i?1j?1j?iMMMMMj|xi)P(xi)

y为信号空间中接收信号向量???P(xi)?p(y|xi)dy P(dj|xi)??p(y|xi)dyj?1i?1i?jYjYj

Yj为dj的判决域???j?1MYj?P(x)p(y|x)dy

iii?1i?jM 上式中, 被积函数?0，因此要使Pe最小，也就要求被积函数最小。

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即

?P(x)p(y|x)?min

iii?1i?jM由概率乘法定理（见注），上式可化为 或，

?P(x|y)p(y)???1?P(xii?1i?jMj|y)??p(y)?min

?P(xj?1j?iMj|y)p(y)??1?P(xi|y)?p(y)?min

因此，要使上式最小，应使后验概率P(xi|y)最大。 所以，最小错误概率等价于最大后验概率。 注：由概率乘法定理：P(AB)?P(A)P(B|A)?P(B)P(A|B)

令 A?y， B?xi

则有：P(y)P(xi|y)?P(xi)P(y|xi) 两边对y微分：

dP(y|xi)dP(y) P(xi|y)?P(xi)d(y)dy 所以，

p(y)P(xi|y)?P(xi)p(y|xi)

3．最大似然函数准则（ML准则） Maximum Likelihood

1?P，(i?1,2,?,M) 在发送符号等概条件下：P(xi)?M最大后验概率：

P(xi|y)?P(xi)Pp(y|xi)?p(y|xi)?max p(y)p(y)时，判xi成立，i?1,2,?,M。

在给定接收信号y及发送符号等概条件下，考虑。

故上式等价于：

p(y|xi)?max，判xi成立，(i?1,2,?,M) ——即最大似然函数准则。

P与xi无关，在比较M个后验概率时可视为常量，不必p(y)结论：在发送信息符号等概条件下，MAP准则与ML准则等价。亦即三个准则也是等价的。

ML接收机的操作：

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1） 计算： M个似然函数

2） 比较： 选择最大的似然函数

3） 判决： 根据最大似然函数判决发送符号。

当发送符号不等概时，最大后验概率等价于：

P(xi)p(yxi)?max 判xi成立，(i?1,2,?,M)

即，似然函数概率加权最大。

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§ 3.3 白噪声中确知信号的最佳接收

一．二元确知信号最佳接收机的结构 1. 问题的引出

y?y(t){3E1?s1(t)E2?s2(t)(0,T)等概}?n(t)(白)2yn02最 佳接收机最小Pe?1信号形式(0,?)结构2性能

最佳接收准则：最大似然函数准则——分析问题的出发点。

讨论：

（1）最佳结构--根据最佳准则导出(含判决规则) （2）最佳性能--Pe最小=?（3）最佳信号形式(s1,s2)--由性能公式导出2. 最佳接收机的结构

s1最大似然函数准则： p(y|s1)?s2?p(y|s2)

对似然函数p(y|si)i?1,2进行处理——分解成一维连乘积形式。 处理方法：波形取样正交法

在(0,T)区间对n(t)、y(t)取样，得N个样值。 nk?N(0,?) 统计独立 yk?N(sik,?),i?1,2, 统计独立

22?nk?的相关函数：?n(m)?E?nknk?m??2n0n?(m)?Sn(f)?0 22n0?1,m?02?? ????n(0)?E?nk??， ?(m)??

20,m?0?以抽样函数作为基向量构成N维信号空间

y在此空间中各投影分量?yk?为统计独立分量。

?p(y|si)??p(yk|si)

k?1N

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??k?1N?(yk?sik)2?1exp??? 22?2????N?N(yk?sik)2??1? ???exp???2?2?

?2????k?1??1?1? ???exp??n2?????0NN?T0??y(t)?si(t)?dt?

?2?1?1?2?exp?y(t)?s(t) 或 ???? i??2????n0?代入ML准则，得

s1

?T0?y(t)?s1(t)?dt2?s2??0?y(t)?s2(t)?dt

T2或用向量表示：

y?s12

?s1s2?y?s2

2物理意义：在N维空间中，在s1、s2等概条件下，接收信号被判为s1或s2，将取决于接收信号向量y与s1、

s2的距离。

将积分式展开得：

s1?T0E1?TE2 判决规则 y(t)s1(t)dt?y(t)s(t)dt?22??02s2当E1?E2时，则有

T

?0?T判决规则 y(t)s1(t)dt?y(t)s2(t)dt

?0(E1?E2)s2s1由此可得出二元确知信号最佳接收机的结构

???T0()dt?E12比较y(t)s1(t)?s2(t)T0()dt?E22

当E1?E2时，可简化为：

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???T0()dth1(t)?s1(T?t)比较器y(t)s1(t)y(t)h2(t)?s2(T?t)比较器?s2(t)T0()dt相关器实现最佳接收机匹配滤波器实现最佳接收机

3. 最佳接收机的结构-匹配滤波器

匹配滤波器 (Matched Filter，MF)是一种最佳线性滤波器，是在确定信号输入下的最佳线性系统。

（1）最佳准则：输出最大信噪比准则（在抽样判决时刻） （2）MF的结构——最佳传输函数

(0,T) MF t= t0=T

Hopt(?)?Si*(?)e?j?t0 si(t) hopt(t) so(t) 或 hop(tt)?si(? t) Si(ω) Hopt(ω) ?o?0t2E N0与输入信号波形有关，对不同波形匹配得MF，具有不同形式的Hopt(ω)

（3）MF的性能——输出最大信噪比

|so(t0)2|定义：输出信噪比 ?o? 2no(t)在t0?T时， ?omax?2E N0?omax是只与输入信号的能量及白噪声的功率谱密度N0有关，而与输入信号的波形无关。

（4）匹配滤波器的主要性质。MF等效于相关器。 [证明] 匹配滤波器等效于一个相关器

MFs(t)(0,T)?y(t)h(t)u(t)??h(t??)y(?)d?0t u(t)?n(t)t0h(t)?s(T?t)t0

?h(t??)y(?)d???s?T?(t??)?y(?)d?

T0当t?T时，u(T)??s(?)y(?)d?

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结论： 在t?T时刻，相关器和匹配滤波器输出相等，所以两者等价。

因此，有两种最佳接收机结构。

抽样判决时刻：t?t0?T时， t?t0?T时，

?0?max，Pe最小 ?0?max，Pe?。

二． 二元确知信号最佳接收机（相关形式）的性能及最佳信号形式

设二元数字信号传输系统，对于一般的解调接收，有（其中vb是判决门限）

“0”?s1“1”?s2}?x最 佳接收机Pep(x|s1)p(x|s2)（等概）(0,T)AWGN(0,?2)Pe?P(s1)P(s2|s1)?P(s2)P(s1|s2) ?P(s1)???P(s2)?? ??等概 P(s1)?P(s2)当?时,最佳判决门限 V?V?bbopt? ??A1?vb?A2x相同AWGN信道条件,似然函数分布对称Pe???P(s1|s2)而对于最佳接收，判决规则为

?v?bp(x|s1)dxp(x|s2)dx

???s1vb???T0y(t)s1(t)dt?E1?TE2 y(t)s(t)dt?22??02s2则求错误概率的方法有所不同。

假设发s2情况，此时y(t)?s2(t)?n(t)

s(t)

?y(t)

n(t)代入判决规则得错判条件（判为s1）

?T0TE1E?s2(t)?n(t)?s1(t)dt???0?s2(t)?n(t)?s2(t)dt?2

22

整理上式，

其中，E1??T0n(t)?s1(t)?s2(t)?dt?T0T12(E1?E2)???s(t)s(t)?s(t)?dt 122??02?T02s12(t)dt，E2??s2(t)dt

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因此，错判条件为

1T2n(t)s(t)?s(t)dt?s(t)?s(t)dt ????1212??002????????????????????T?(高斯变量)b即

T

??b

求?的数字特征： E(?)?

2?E?n(t)??s(t)?s(t)?dt?0

012T20???D(?)??D?n(t)?s1(t)?s2(t)??dt??n02?0?s1(t)?s2(t)?dt

T2 ??0?s1(t)?s2(t)?dt?n0b

T2故，??N(0,n0b)（s1(t)和s2(t)是确知信号可以看成常量） 则错误概率为， Pe?P(??b)?x222??12?????? ????be?1?2?1?b?t2dx??dt??er?fcbe????2?2??2?2?????? ???b1c ?erf??2?2n0其中，b?T1T1?2s(t)?s(t)dt?E?E?2s1(t)s2(t)dt? ??1212???0??202?1 ??E1?E2?2E1E2??

?2?式中，E1和E2分别为s1(t)和s2(t)的能量。

?且令 ??T0s1(t)s2(t)dtE1E2 为波形相关系数

当 E1?E2?E时，b?E(1??) 则

?E(1??)??E?1Pe?erfc?????Q??n(1??)?? 22n0???0?

由于pe2与s2无关，所以在等概下 pe?pe2

二元确知信号的最佳形式

当E一定时,Pe??n00.510?1波形相反???0 ???1?2?10(PSK)????0 正交 3d???0 B波形有一定相似性 ?3?10???Pe??1??0(正交FSK)En0(dB)

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所以，当???1时，Pe最小，系统性能最佳。 因此，在基带传输系统中，双极性信号形式最佳 在数字调制系统中，PSK信号形式最佳。 当??1时（两信号相同），Pe?说明：

当不等概率时，P(s1)?P(s2)，Pe比等概时略有下降（性能好一些）

⑦

11erfc(0)? 为最大。 22

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§ 3.4 匹配滤波器输出信号的统计特征

1、两个随机变量的正交、不相关与统计独立的关系

?1(t),?2(t) — 平稳复随机过程，?1，?2 — 复随机变量

?1?（1t）?（2t）t1??2t2

?若内积E(?1?2)=0，或R?1?2???=0，则?1与?2正交。

若协方差C?1?2???＝0，或??1?2???＝0，则?1与?2线性不相关 相关系数??1?2???＝

C?1?2???R?1?2????m?1m?2????1=

2????1

2对正交的?1和?2，线性不相关的条件是 ：m?1与m?2中至少有一个为0。若?1与?2满足：

1) 两者都是高斯变量 2) 线性不相关

则?1与?2相互统计独立。

即，对高斯变量?1和?2，线性不相关与统计独立是相互等价的。

【推论】： 对高斯变量?1和?2，两者相互正交且至少有一个均值为0，则它们是相互统计独立的。

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2、匹配滤波器输出复高斯噪声的统计特征

U（mf）2Z(t)n0 Z,nc,nsN(0,?2)MF输入：等效低通复高斯噪声(平稳)

v(t)t=kT*u（mT?t）Nm=Nmr+jNmiNm,Nmr,Nmi~N(0,2En0)

~(E)z(t)?nc(t)?jns(t)

z,nc,ns~N(0,?2)

?mz?mnc?mns?0 ?2222??z??nc??ns??MF输出：v(t)为平稳、低通、复高斯过程。 任意时刻抽样值Nm?Nmr?jNmi为复高斯变量。

*其中，Nm??T0z(t)um(t)dt

且

2Nm,Nmr,Nmi~N(0,?m)

实高斯变量与复高斯变量具有相同的数征。

2?m??n0Um(f)df?n0?um(t)dt??0??2T2?2En0所以等效复低通信号的双边功率谱密度也为n0）

1T2其中，E??um(t)dt

20

（因为带通信号的功率谱密度为n0（单边），

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3、 匹配滤波器输出判决变量的统计特性

r(t)(um(t))v(t)t=kT?u（tjT?）Uj~(E)

设发送um(t)，且等能量 接收： r?t????ej?mu???t0~N(2?E?,2En)0Uj～N(2?E?r,2En0)

?z? t??ej?Tr?t?u??t?dt 复判决变量：Ujj?实判决变量：Uj?Ree?j??r?t?u?t?dt?

T0?j?的统计特性 （1）Uj第j个匹配滤波器输出为

??ej?Tr?t?u??t?dt?ej?T?e?j?u?t?u??t?dt?ej?Tz?t?u??t?dt Ujjmjj???000??2?E??N ? Ujj 式中，??1T?utu??mj?t?dt,?02Ej?um?t?等能量?E

Nj?e?T0j?z?t?u?tdt，相位因子ze折算到z?t?的随机相位中? ???j?Nj?N?0,2En0???N?2?E?,2En??Uj0（2）Uj的统计特性

??2?E??N,且N?N?0,2En? Uj?Re?rjrjr0?Uj?? ?Uj?N?2?E?r,2En0?

?和U统计特性的影响：影响均值 （3）???r?对Ujj?,U~ N?2?E,2En? 当?，?r=1时（接收滤波器对发送波形匹配，即j=m）,Uj0j?,U~N?0,2En? 当?，?r=0时（接收滤波器对发送波形正交）， Uj0j《数字通信》教案 第3章数字信号最佳接收原理 14

4、两个相互正交匹配滤波器输出判决变量的统计特性

MFv(t)t=kTU1,U1~u1(t)r(t)?u（1T?t）~N(2?E,2En)0u2(t)?u（2T?t）U2,U2～N(0,2En0)设发送u1?t?

~

??的统计特性： U??2?E?N?N?2?E,2En?复高斯变量 （1） ?Um110??N?N?0,2En? （零均值） U220?U????E??2?E?N?N???E?NN?? ?与U?的正交性：E?U U12?121212?T2???E?z?t??u1?t?u2?t?dt?0 0???与U?正交。 所以U12??是相互统计独立的复高斯变量。 结论：正交匹配滤波器输出复判决变量?Um（2）?Um?的统计特性：U1?2?E?N1r?N?2?E,2En0? 实高斯变量

U2?N2r??0,2En0? 零均值

?ReU? U1与U2的正交性：E?U1U2??EReU12?1?U?ReEU1221?U???1Re?U?U??????????E??Re?U?

2?2?121?2????1?U???ReEU122?????0

所以U1与U2正交

?U???其中，EU12?EU1EU2?0，

??0）EU?U???与U?相互统计独立，且EU （?U212?0 （?正交） 11 注：参考公式 设z1,z2为复数，Re?z1?Re?z2????????????11?Re?z1z2??Re?z1z2? 22 结论：正交匹配滤波器输出实判决变量?Um?是相互统计独立的实高斯变量。

《数字通信》教案 第3章数字信号最佳接收原理 15

?也是相互统计独立的随机变量。 推论： 正交匹配滤波器输出复判决变量的模Um??U?ej? 证：在正交匹配滤波器输出 Umm??U??是相互统计独立的，Umm????jIm?U? ?Re??Um???m????U（实判决变量）统计独立。 且其实部Re?m?Um???也必然是统计独立的。 故其虚部Im??Um??又

??Re2?U???Im2?U?? Ummm?的模也是相互统计独立的。 故：Um 问题：在给定信道条件下（白噪声、非白噪声、有ISI信道、多径衰落信道） 如何设计最佳接收机，以获得最佳性能（P。 e最小）

分析方法：建立最佳接收准则，由此导出最佳接收机的结构，分析系统性能。

⑨

??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/83xv.html