江苏科技大学—大学高等数学概念(基础版)

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目录

第一章函数与极限

第一节函数

第二节数列的极限

第三节函数的极限

第四节无穷小与无穷大

第五节极限四则运算法则

第六节极限存在准则、两个重要极限

第七节无穷小的比较

第八节函数的连续性与间断点

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节闭区间上连续函数的性质

第二章导数与微分

第一节导数的概念

第二节函数的求导法则

第三节初等函数的求导问题

双曲函数与反双曲函数的导数

第四节高阶导数

第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率

第六节函数的微分

第三章中值定理与导数的应用

第一节中值定理

第二节洛必达法则

第三节泰勒公式

第四节函数单调性的判定法

第五节函数的极值与最值

第六节曲线的凹凸与拐点

第七节曲率

第八节方程的近似解

第四章不定积分

第一节不定积分的概念及其性质

第二节不定积分的换元积分

第三节不定积分的分部积分法

第四节几种特殊类型函数的积分

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第五章定积分

第一节定积分概念与性质

第二节微积分基本定理

第三节定积分换元积分法与分部积分法

第四节广义积分

第六章定积分的应用

第一节定积分的元素法

第七章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

第二节偏导数

第三节全微分

第四节多元复合函数的求导法则

第五节隐函数的求导法则

第六节微分法在几何上的应用

第七节方向导数与梯度

第八节多元函数的极值及其求法

第八章重积分

第一节二重积分的概念与性质

第二节二重积分的计算

第三节二重积分的应用

第四节三重积分的概念及其计算法

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第九章微分方程

第一节微分方程的基本概念

第二节可分离变量的微分方程

第三节齐次方程

第四节一阶线性微分方程

第五节全微分方程

第六节可降阶的高阶微分方程

第七节高阶线性微分方程

第八节二阶常系数齐次线性微分方程

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第一章 函数与极限

第一节 函 数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、

分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、 集合、常量与变量

(一) 集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ?M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断

它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，

在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.

（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2. 集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.

3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4.集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ?,或A B ?(读B 包含A)。

显然：R Q Z N ???.

若B A ?,同时A B ?,就称A 、B 相等,记为A=B 。

5.不含任何元素的集称为空集,记为Φ,如：{R x x x ∈=+,012}=Φ,{12:-=x x }=Φ,空集是任

何集合的子集,即A ?Φ。

(二) 区间与邻域

1. 区间

设a 和b 都是实数，且a

数集 {x | a

(a , b)={x | a

a 和

b 称为开区间( a , b ) 的端点，这里a ?( a ,b ) ， b ?( a ,b ).

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第 4 页 共 85 页 数集 {x |a b x ≤≤}称为闭区间，记作[a,b]，即

[ a, b ]={ x| a b x ≤≤}.

a 和

b 称为闭区间[ a ,b ] 的端点，这里a ∈ [ a , b ]， b ∈ [ a , b ] .

类似地可以说明：

[ a,b )=={ x | a ≤x

( a ,b ] ={x |a

[ a,b )和( a ,b]都称为半开区间.

以上这些区间都称为有限区间.数b-a 称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间[a,b]与开区间（a,b ）在数轴上表示出来，分别如图1-7（a ）与(b).此外还有无限区间，引进记号+∞（读作正无穷大）及-∞（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间:

[ a ，+∞)={ x | a ≤x}，

(-∞ ,b )={ x | x

全体实数的集合也可记作（-∞，+∞），它也是无限区间.

2.邻域.

设δ是任一正数，a 为某一实数，把数集{ x| |x-a | <δ}称为点a 的δ邻域，记作 U （a, δ）

，即 U(a, δ)={ x| |x-a | <δ}

点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径.

由于a-δU(a, δ）={ x| a-δ因为| x-a |表示点x 与点a 间的距离，所以U(a, δ）表示：与点a 距离小于δ的一切点x 的全体.

有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心的δ邻域，记作U(Λa ,

δ），即 U(Λa ,

δ）={ x | 0<|x-a |<δ}. 这里0<|x-a|就表示x ≠a.

(三)常量与变量

在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。

注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c ……等字母表示，变量用x,y,u,t ……等字母表示，常量a 为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x 代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：),(b a x ∈表示x 可代表),(b a 中的任一个数。

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二、 函数的概念

定义：设x 和y 为两个变量，，D 为一个给定的数集，如果对每一个D x ∈，按照一定的法则f 变量y 总有确定的数值与之对应，就称y 为x 的函数，记为)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。

当x 取数值D x ∈0时，依法则f 的对应值称为函数)(x f y =在0x x =时的函数值。所有函数值组成的集合}),({D x x f y y W ∈==称为函数)(x f y =的值域。

关于函数定义的几点说明：

（1）我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，对于每一个x 值只能对应变量y 的一个值.

（2）符号“f ”的意义：

符号“f ”表示自变量x 与函数y 的某种对应关系.例如y=f(x)=5x 2+3x-1，它的对应关系”f”是自变量的平方乘以5加上自变量的3倍减去1，我们不妨简化为y=f( )=5( )2+3( )-1。如x=3时，对应的函数值是

f(3)=5?32+3?3-1.

同样当x=a 时，对应的函数值是

f(a)=5a 2+3a-1.

表示函数对应法则的符号也常常用“g ”、“F ”等表示，这时函数就记作y=g(x)、

y=F(x)等.

（3）确定函数的两个要素——定义域和对应法则

函数概念反映着自变量和因变量之间的依赖关系.它涉及到定义域、对应法则和值域.很明显，只要定义域和对应法则确定了，值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则是确定函数的两个要素，只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个函数就相同；如果定义域或对应法则有一个不相同，那么这两个函数就不相同.

例如：函数 f(x)=x

x 与g(x)=1，因为f(x)的定义域为（-∞，0） (0,+∞），而g(x)的定义域为（-∞，+∞），所以f(x)与g(x)是不同的函数.

（4）函数定义域的求法

对于由实际问题得到的函数，其定义域应该由问题的具体条件来确定.如例1函数S=πr 2中，自变量r 是圆的半径，故此函数的定义域就是 (0,+∞）.例2中，自变量Q 表示销售的台数，故此函数的定义域是全体自然数.

若函数由公式给出时，不考虑函数的实际意义，这时函数的定义域就是使式子有意义的 变量的一切实数值.

注 1：函数通常还可用)(),(),(t u s x F y x g y ===等表示。

2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。

3、若对每一个D x ∈，只有唯一的一个y 与之对应，就称函数)(x f y =为单值函数；若有不

止一个y 与之对应，就称为多值函数。如：1,12222=-=+y x y x 等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。

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第 6 页 共 85 页 4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式

子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x 在]1,0(上取值，其函数值为2x ；当x 取0时，2

1)(=x f ；当x 在)0,1[-上取值时，其函数值为x -1。（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！

5、对D 中任一固定的x ，依照法则有一个数y 与之对应，以x 为横坐标，y 为纵坐标在坐标平

面上就确定了一个点。当x 取遍D 中的每一数时，便得到一个点集}),(),{(D x x f y y x C ∈==，我们称之为函数)(x f y =的图形。换言之，当x 在D 中变动时，点),(y x 的轨迹就是)(x f y =的图形。

三、 函数的几种特性

1 函数的有界性：设)(x f y =在D 上有定义，若对0, M D x ?∈?，使得：M x f ≤)(，就称)(x f 在D 上有界，否则称为无界。

注：1、若对D x ∈?，M ?，使得))(()(M x f M x f ≥≤，就称)(x f 在D 上有上(下)界。)(x f

在D 上有界?)(x f 在D 上同时有上界和下界。

2、)(x f 在D 上无界也可这样说：对0 M ?，总D x ∈?0，使得M x f )(0。

2、函数的单调性：设函数)(x f 在区间I 上有定义，若对I x x ∈?21、，当21x x 时总有：

（1）)()(21x f x f ≤，就称)(x f 在I 上单调递增，特别当严格不等式)()(21x f x f 成立时，就称)(x f 在I 上严格单调递增。

（2）)()(21x f x f ≥，就称)(x f 在I 上单调递减，特别当严格不等式)()(21x f x f 成立时，就称)(x f 在I 上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。

3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。

3、函数的奇偶性：设函数)(x f 的定义域D 为对称于原点的数集，即若D x ∈，有D x ∈-，

（1）若对D x ∈?，有)()(x f x f =-恒成立，就称)(x f 为偶函数。

（2）若对D x ∈?，有)()(x f x f -=-恒成立，就称)(x f 为奇函数。

注：1、偶函数的图形是关于y 轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若)(x f 是奇函数，且D ∈0，则必有0)0(=f 。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：设函数)(x f 的定义域为D ，如果0≠?l ，使得对D x ∈?，有D l x ∈±，且)()(x f l x f =+恒成立，就称)(x f 为周期函数，l 称为)(x f 的周期。

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第 7 页 共 85 页 注1：若l 为)(x f 的周期，由定义知 l l l 4,3,2也都是)(x f 的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？） 2：周期函数在一每个周期))1(,(l k a kl a +++（a 为任意数，k 为任意常数）上，有相同的形

状。

四、 反函数

定义：设)(x f 的定义域为D ，值域为W ，因此，对W y ∈?，必D x ∈?，使得y x f =)(，这样

的x 可能不止一个，若将y 当作自变量，x 当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数)(y x ?=，称之为函数)(x f y =的反函数，而)(x f 叫做直接函数。

注1：反函数)(y x ?=的定义域为W ，值域为D ；

2：由上讨论知，即使)(x f y =为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作

研究；

3：在习惯上往往用x 表示自变量，y 表示因变量，因此将)(y x ?=中的x 与y 对换一下，

)(x f y =的反函数就变成)(x y ?=，事实上函数)(x y ?=与)(y x ?=是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母""?没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若)(x f y =的反函数为)(y x ?=，那么)(x y ?=也是)(x f y =的反函数，且后者较常用；

4：反函数)(x y ?=的图形与直接函数)(x f y =的图形是对称于x y =

五、初等函数

（一）幂函数

形如μ

x y =（μ为常数）的函数叫做幂函数。

其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：

（一）当μ为非负整数时，定义域为),(+∞-∞；

（1） 当μ为负整数时，定义域为),0()0,(+∞?-∞；

（2） 当μ为其它有理数时，要视情况而定。

（3） 当μ为无理数时，规定其定义域为),0(+∞，其图形也很复杂，但不论μ取何值，图形

总过（1，1）点，当μ>0时，还过（0，0）点。

（二）指数函数与对数函数

1.指数函数：形如)1,0(≠>=a a a y x

的函数称为指数函数，其定义域为),(+∞-∞，其图形总在x 轴上方，且过（0，1）点，

（1）当1>a 时，x a y =是单调增加的；

（2）当10<

以后我们经常遇到这样一个指数函数e e y x ,=的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，x a y =与x a y -=关于y 轴对称。

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第 8 页 共 85 页 2、对数函数：指数函数x a y =的反函数，记为a x y a (log =为常数，)1,0≠>a a ,称为对数函

数，其定义域为),0(+∞，由前面反函数的概念知：x a y =的图形和x y a log =的图形是关于

x y =对称的，从此，不难得x y a log =的图形，

x y a log =的图形总在y 轴右方，且过（1，0）点

（1） 当1>a 时，x y a log =单调递增，且在（0，1）为负，),1(+∞上为正；

（2） 当<

（三）三角函数与反三角函数

三角函数

三角函数主要是：

正弦函数：),(sin +∞-∞∈=x x

y 余弦函数：),(cos +∞-∞∈=x x

y 正切函数： ,2,1,02tan ±±=+≠=n n x x

y ππ 余切函数： ,2,1,0cot ±±=≠=n n x x y π

正弦函数和余弦函数均为周期为π2的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为π的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割x x y c os 1s ec ==和余割x

x y sin 1csc ==，其图形在此不做讨论了。 反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：

反正弦函数：]1,1[sin -∈=x x

Arc y 反余弦函数：]1,1[cos -∈=x x

Arc y 反正切函数：),(tan +∞-∞∈=x x

Arc y 反余切函数：),(cot +∞-∞∈=x x Arc y

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下： 将x Arc y sin =限制在]2,2[ππ-

上，得一单值函数，记为x y arcsin =，它就是所取主值函数，

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第 9 页 共 85 页 ]2,2[ππ-叫做主值区间，显然2

arcsin 2ππ≤≤-x ， 同理：将x Arc y cos =限制在],0[π上，得x y arccos =

将x Arc y tan =限制在]2

,2[π

π-上，得x y arctan = 将x Arc y cot =限制在],0[π上，得x arc y cot =

从图中不难看出x arcsin 和x arctan 是单调递增的，x arccos 和x arc cot 是单调递减的。 六 复合函数和初等函数

1.定义：设)(u f y =，定义域为1D ，)(x u ?=，定义域为2D ，值域为2W ，且12D W ?，这样对于2D x ∈?，由)(x u ?=可算出函数值12D W u ?∈，所以1D u ∈，由)(u f y =又可算出其函数值y ，因此对于2D x ∈?，有确定的值y 与之对应，从而得一个以x 为自变量，y 为因变量的函数，我们称之为以)(u f y =为外函数，)(x u ?=为内函数复合成的复合函数，记为))((x f y ?=，其中u 为中间变量。

注1：并非任何两函数都可以复合的，

2：复合可推广到三个或更多的函数上去，

3：在函数复合中，未必都有)(u f y =、)(x u ?=的形式，一般为)(x f y =和)(x g y =，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有)(x f y =和)(x g y =之分。

2、初等函数

我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。

七 分段函数举例

第二节 数列的极限

教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极

限。

教学重点：数列极限的定义及性质。

一、数列的定义：

定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 3,2,1),(==n n f x n ，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列： n x x x ,,21，这就是最常见

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第 10 页 共 85 页 的数列表现形式了，有时也简记为{}n x 或数列n x 。数列中的每一数称为数列的项，第n 项n x 称为一般项或通项。

注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将n x 依次在数轴上描出点的位置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，?

???????????n n 1,21是无限接近于0的；{}n 2是无增大的；{}1

)1(--n 的项是在1与1-两点跳动的，不接近于某一常数；?

?????+n n 1无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。

二、数列的极限

定义：若对0>?ε（不论ε多么小），总?自然数0>N ，使得当N n >时都有ε<-a x n 成立，这是就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞

→lim ，或a x n →（∞→n ）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注1：ε是衡量n x 与a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，ε具有任意性，那么

2,2,2εεε等也具有任意性，它们也可

代替ε）

2：N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的。在解题中，N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a x n 就行了，而不必求最小的N 。

3：有时找N 比较困难，这时我们可把a x n -适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于ε，那么必有ε<-a x n 。

收敛数列的有关性质：

定理1：（唯一性）数列n x 不能收敛于两个不同的极限。

定理2： （有界性）若数列n x 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 n x ，若?正数M ，对一切n ，有M x n ≤。

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第 11 页 共 85 页 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列1)1(+-=n n x 是有界的（1≤n x ），但数

列不收敛。

第三节 函数的极限

教学目的：使学生理解函数极限的概念 ；理解函数左右极限的概念，以及函数极限

存在与左、右 极限之间的关系。理解函数极限的性质。

教学重点：函数极限的概念。

一、复习数列极限的定义及性质

二、导入新课：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，)(n f x n =，因此，数列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：

一、 自变量x 任意接近于有限值0x ，记为0x x →，相应的函数值)(x f 的变化情况。

二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，记∞→x ，相应的函数值)(x f 的变化情况。

三、讲授新课：

（一）自变量趋向有限值0x 时函数的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值0x 时的函数极限可理解为：当0x x →时，A x f →)(（A 为某常数），即当0x x →时，)(x f 与A 无限地接近，或说A x f -)(可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数ε（不论多么小），当x 与0x 充分接近时，可使得A x f -)(小于ε。用数学的语言说，即

定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为

A x f n =∞

→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时） 注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧∈x U x 。显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε。一般地，ε越小，δ相应地也小一些。

2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）。

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第 12 页 共 85 页 3：几何解释：对0>?ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,。由定义，对此0,>?δε，当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(。即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）。换言之：当),(0δ∧

∈x U x 时，),()(εA U x f ∈。从图中也可见δ不唯一！

（二）左、右极限

在函数极限的定义中，x 是既从0x 的左边（即从小于0x 的方向）趋于0x ，也从0x 的右边（即从大于0x 的方向）趋于0x 。但有时只能或需要x 从0x 的某一侧趋于0x 的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：

定义2：对0>?ε，0>?δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称A 为)(x f 当0x x →时的左[右]极限，记为 A x f x x =-→)(lim 00或A x f =-)0(。

[A x f x x =+→)(lim 0

0或A x f =+)0(0]。 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=+→-→→)(lim )(lim )(lim 0

0000。

（三）自变量趋向无穷大时函数的极限

定义3：设)(x f 当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >?>?ε，当X x >时，有

ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞

→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）。

注1：设)(x f 在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>?>?X ε，当)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当)(-∞→+∞→x x 时的极限，记为A x f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（A x f x =-∞

→)(lim ，或A x f →)(（当-∞→x ））。 2：A x f x f A x f x x x ==?=-∞

→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim 。 3：若A x f x =∞→)(lim ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线（若A x f x =+∞→)(lim 或A x f x =-∞→)(lim ，有类似的渐近线）

。

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（四）函数极限的性质

定理（保号性）：设A x f x x =→)(lim 0

， （i ） 若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧

∈x U x 时，0)(>x f )0)((

第四节 无穷小与无穷大

教学目的：1. 使学生理解无穷小的概念及性质；

2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系;

3. 掌握无穷小的比较方法.

（一） 无穷小

若)(x f 当0x x →或+∞→x 时的极限为零，就称)(x f 为当0x x →或+∞→x 时的无穷小，即有

定义1：对,0>?ε若)0(0>>?X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为)0)(lim (0)(lim 0==+∞

→→x f x f x x x 。 注1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形。

2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。 定理：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时：

（i ）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限A x f -?)(为无穷小。

（ii ）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。

定理：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim ,0lim =+?==βαβα。

定理：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，0lim 0lim =?=ααu 。 注1： u 与α都表示函数)(x u 与)(x α，而不是常数。

2： “lim ”下放没标自变量的变化过程，这说明对0x x →及∞→x 均成立，但须同一过程

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，0lim 0lim =?=ααk 。 推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

0)lim (0lim lim lim 2121=?====n n αααααα 。

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第 14 页 共 85 页 二、无穷大

若当0x x →或∞→x 时∞→)(x f ，就称)(x f 为当0x x →或∞→x 时的无穷大。 定义2：若对)0(0,0>>?>?X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有M x f >)(，就称)(x f 当)(0∞→→x x x 时的无穷大，记作:))(lim ()(lim 0∞=∞=∞

→→x f x f x x x 。

注1：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义。

2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

3：若∞=→)(lim 0x f x x 或∞=∞

→)(lim x f x ，按通常意义将，)(x f 的极限不存在。

定理：当自变量在同一变化过程中时，

（i ） 若)(x f 为无穷大，则)

(1x f 为无穷小。 （ii ） 若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则

)(1x f 为无穷大。

第五节 极限四则运算法则

教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算；

极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且

)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ?存在，且

)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ?==。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。

推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。

定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim

x g x f B A x g x f ==。 注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果)()(x x ψ?≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψ?，则b a ≥。

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第 15 页 共 85 页 推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当

)()(lim 001101000x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ 。

推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。 注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

第六节 极限存在准则、两个重要极限

教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2 使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；

教学重点：利用两个重要极限求极限

准则I ：如果数列n n n z y x ,,满足下列条件：

（i ）对n n n z x y n ≤≤?,;

（ii ）a z y n n n n ==∞

→∞→lim lim 那么，数列n x 的极限存在，且a x n n =∞

→lim 。 准则I ′：如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：

（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧

时，有)()()(x h x f x g ≤≤。

（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(。

那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A 。 第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x x 作为准则I ′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sin lim

0=→x

x x 。

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列n x 满足： ≤≤≤≤n x x x 21，就称之为单调增加数列；若满足： ≥≥≥≥n x x x 21，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。

如果M ?，使得：),2,1( =≤n M x n ，就称数列n x 为有上界；若M ?，使得：

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第 16 页 共 85 页 ),2,1( =≥n M x n ，就称}{n x 有下界。

准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。

准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。

2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限：e x

x x =+∞→)11(lim

第七节 无穷小的比较

教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限

定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，

(i) 若0lim

=αβ，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=αβlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小；

(iv) 若1lim =α

β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)

(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；

2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；

3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x

x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为201sin

lim x x x x →不存在；

5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；

6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：

定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?''αβlim ， 那么 αβαβ'

'=?lim lim

。

7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：

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1~

cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！

第八节 函数的连续性与间断点

教学目的：使学生理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断

点的类型。

教学重点：分段函数在分界点处的连续性

（一） 函数的连续性

连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。在数学上，我们有：

定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若)()(lim 00

x f x f x x =→，就称函数)(x f y = 在0x 点处连续

注 1：)(x f 在0x 点连续，不仅要求)(x f 在0x 点有意义，)(lim 0x f x x →存在，而且要)()(lim 00x f x f x x =→，即极限值等于函数值。

2：若)()0()(l i m 00x f x f x f x x =-=-←→，就称)(x f 在0x 点左连续。若)()0()(lim 00x f x f x f x x =+=+→，就称)(x f 在0x 点右连续。

3：如果)(x f 在区间I 上的每一点处都连续，就称)(x f 在I 上连续；并称)(x f 为I 上的连续函数；若I 包含端点，那么)(x f 在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。 定义1ˊ：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对0,0>?>?δε，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，就称)(x f 在0x 点连续。

下面再给出连续性定义的另一种形式：

先介绍增量：变量x 由初值1x 变到终值2x ，终值2x 与初值1x 的差12x x -称为x 的增量，记为x ?，即=?x 12x x -；x ?可正、可负、也可为零，这些取决于1x 与2x 的大小。 我们称0x x -为自变量x 在0x 点的增量，记为x ?，即0x x x -=?或x x x ?+=0；00→??→x x x 相应函数值差，)()(0x f x f -称为函数)(x f 在0x 点的增量，记为y ?，即00)()(y y x f x f y -=-=?，即y x f x f ?+=)()(0或y y y ?+=0，

00)()()()(000→??→-?+?→y x f x x f x f x f 。

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第 18 页 共 85 页 定义1″：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若当0→?x 时，有0→?y ，即0lim 0

=?→?y x ，或0)]()([lim 000

=-?+→?x f x x f x ，就称)(x f 在0x 点连续。

定理：)(x f 在0x 点连续)(x f ?在0x 点既左连续，又右连续。

(二) 间断点

简单地说，若)(x f 在0x 点不连续，就称0x 为)(x f 的间断点，或不连续点，为方便起见，在此要求0x 的任一邻域均含有)(x f 的定义域中非0x 的点。间断点有下列三种情况：

（1）)(x f 在0x x =没有定义；

（2）)(lim 0

x f x x →不存在； （3）虽然)(lim 0x f x x →不存在，也虽然在0x 点有定义，但)()(lim 00

x f x f x ≠→。 n 种常见的间断点类型：

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

教学目的：使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性；并会应用函数的连

续性求函数的极限

教学重点：应用函数的连续性求函数的极限

复习函数的连续性定义、间断点的分类

（一）连续函数的运算

定理1(连续函数的四则运算法则)：若)(),(x g x f 均在0x 连续，则

)()(),()(x g x f x g x f ?±

及

)

()(x g x f （要求0)(0≠x g ） 都在0x 连续。

定理2（反函数的连续性）：如果)(x f y =在区间x I 上单值，单增（减），且连续，那么其反函数)(y x ?=也在对应的区间}),({x y I x x f y y I ∈==上单值，单增（减），且连续。

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第 19 页 共 85 页 注1：)(x y ?=亦为)(x f y =的反函数，如上知：)(x y ?=在y I 上有上述性质。

定理3：设)(x u ?=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0

?，又设)(u f y =在a u =处连续，那么，当0x x →时，复合函数))((x f y ?=的极限存在，且等于)(a f ，即 )())((lim 0a f x f x x =→?。

注2：可类似讨论∞→x 时的情形。

定理4：设函数)(x u ?=在点0x x =连续，且00)(u x =?，函数)(u f y =在0u 点连续，那么，复合函数))((x f y ?=在点0x x =处连续。

注3：定理3、4说明lim 与f 的次序可交换。

注4：在定理3中代入)(00x u a ?==，即得定理4。

（二） 初等函数的连续性

我们已知道x y x y cos ,sin ==在其定义域内是连续的，由定理2知x g arcsin =和x y arccos =在其定义域也是连续的。

可证明指数函数)1,0(≠>=a a a y x ，在其定义域),(+∞-∞内是严格单调且连续的，进而有对数函数)1,0(log ≠>=a a x

y a 在其定义域),0(+∞是连续的。 又x a a x y log μμ==（μ为常数），由定理4知：μx y =在),0(+∞内是连续的，当μ取有理数

时，见例1，总之μx y =在定义域内是连续的。

综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：

结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

注1：定义区间为包含在定义域内的区间；

2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。

第二章 导数与微分

第一节 导数的概念

教学目的: 1.使学生掌握导数定义的两种形式；左、右导数的概念；

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第 20 页 共 85 页 2.使学生掌握导数几何意义,会求曲线的切线方程;

3.使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系。

教学重点:导数的定义

一、引例

二、导数的定义 综合以上几个问题，它们均归纳为这一极限0

0)()(lim 0x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，我们称它为)(x f y =在0x 点的导数。

定义：设)(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0

0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称其值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '，0x x y ='，0x x dx dy =或0x x dx df =。 即0

00)()(lim

)(0x x x f x f x f x x --='→，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，或导数存在。 注 1：导数的常见形式还有：x

x f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim

)(0000； h

x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→； h

h x f x f x f h )()(lim )(0000--='→； 2：x y ??反映的是曲线在],[0x x 上的平均变化率，而0)(x x dx dy x f =='是在点0x 的变化率，它反映了函数)(x f y =随0x x →而变化的快慢程度。

3：这里0x x dx dy

=与0x x dx df =中的dx dy 与dx

df 是一个整体记号，而不能视为分子dy 或df 与分母dx ，待到后面再讨论。

4：若极限x y x ??→?0lim 即0

0)()(lim 0x x x f x f x x --→不存在，就称)(x f y =在0x x =点不可导。特别地，若∞=??→?x

y x 0lim ，也可称)(x f y =在0x x =的导数为∞，因为此时)(x f y =在0x 点的切线存在，它是垂直于x 轴的直线0x x =。

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若)(x f y =在开区间I 内的每一点处均可导，就称)(x f y =在I 内可导，且对I x ∈?，均有一导数值)(x f '，这时就构造了一新的函数，称之为)(x f y =在I 内的导函数，记为

)(x f y '=，或y '，

dx dy ，dx

x df )(等。 事实上， x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim 0 或h x f h x f y h )()(lim 0-+='→

5：上两式中，x 为I 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而x ?与h 是变量。但在导函数中，x 是变量。

6：)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是导函数)(x f y '=在0x x =点的值，不要认为是

])([0'x f ；

7：为方便起见，导函数就称为导数，而)(0x f '是在0x 点的导数。

三、求导数举例

注 1：等最后讲到反函数求导时，可将x a log 作为x a 的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步：

（1）给出x ?；

（2）算出y ?；

（3）求增量比

x

y ??； （4）求极限。 四、左、右导数 定义：0

00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在，就称其值为)(x f 在0x x =点的右（左）导数，并记为）0(x f '+，即0

0000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='+→+→+ 000000

00)()(lim )()(lim

)(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='-→-→-。 定理1：)(x f 在0x x =点可导?)(x f 在0x x =点的左导数和右导数均存在，且相等，即 )()(00x f x f '='+-。

注 1：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导；