概率统计(2010A)试题及答案
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概率论与数理统计 试题及答案
考试出题专用纸 考试课程名称: 试卷类别 [A] √ [B] 概率统计试卷(A)
教务处制 学时 56
考试方式: 开卷、闭卷 笔试、口试、其它 闭卷、 闭卷 考试内容 :考试 时间: 2010 年 7 月
小题, 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 填空题( 1.已知随机事件 A 的概率 P ( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率 P ( B ) = 0.6 ,及条件 概率 P ( B | A) = 0.8 ,则 P ( A + B ) = .
使用班级 115081,2
2.已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为2 1 2 2
f ( x) = Ce x
2
+ 2 x 1
,则 C = .
.
3. X ~ N (µ 1 , σ ), Y ~ N (µ 2 , σ ), 相互独立, X Y 服从分布为 4.设 X 为随机变量, 若已知 EX = 2, D
X 2
2 求 = 1 , E ( X 2) =
.
使用学期 2010 上
5. 设总体 X ~ N ( µ ,σ 2 ) , X 1 , X 2 , , X n 为其样本, L
X=
1 n 1 n X i , Y = 2 ∑ ( X i X ) 2 ,则 Y ~ ∑ n i =1 σ i =1
分布.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 小题,
任课教师 罗文强
1. 已知 P{ X = k } = c
1
λ
k
k!
, (k = 1, 2, L) , λ > 0 ,则 c 的值为( )
A. e λ
B. eλ)
C. e λ 1 ;
D. e λ 1
2. 已知随机变量 X 服从二项分布, 且 E(X)=2 .4、D(X)=1.44, 则二项分布 的参数 n , p 的值为(
教研室主任 审核签字
A . n = 4, p= 0.6 ;
B. n = 6, p= 0.4 ; C. n = 8, p= 0.3 ;22
D. n = 24, p= 0.1 .
3. 总体 X ~ N ( µ , σ ) ,其中 σ 已知,当置信度 1 α 保持不变时,如果样本容 量 n 增大,则 µ 的置信区间( A. 长度变小; B. 长度变大; ). C. 长度不变 ; D. 长度不一定不变. )
4. 下列函数中可以做为某个二维随机变量的密度函数的是( A. f1 ( x, y ) = sin( x ),
( x, y ) ∈ R 2
B. f 2 ( x, y ) =
e
, x > 0, y > 0, 其他. 0,
( x+ y )
1 e ( x + y ) , x > 0, y > 0 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, C. f 3 ( x, y ) = D. f 4 ( x, y ) = 2 其他. 1, 0, 其他. 5. 设 A,B, 是三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)= C
1 1 ,P(AB)= ,P(BC)=P(AC)=0, 4 8)
则 A, B,C 三个随机事件中至少有一个发生的概率是(
3 ; A. 4
B.
3 ; 8
C.
5 ; 8
1 D. . 8
概率论与数理统计 试题及答案
三、 本题满分 10 分)甲、乙两台机床加工同种零件,出现次品的概率分别为 (0.03 和 0.02, 甲机床加工的零件比乙机床多一倍, 且两机床加工的零件放在一起, (1)求随机取出的零件是合格品的概率;(2)若取出的零件是次品,求它是乙机床 加工的概率. ( 四、 本题满分 10 分)若随机变量 X 的概率密度为: f ( x) =
cx 3 , 0 < x < 1,
0 其他. (1) 确定常数 c; 求数 a 使 P{ X > a} = P{ X < a} ; 求数 b, P{X>b}=0.01. (2) (3) 使
( 五、 本题满分 10 分)如果(X,Y)的概率分布如下表: X 0 1 Y 1/3 1 1/6 α 2 1/9 3 1/18 β 问 α 与
β 取什么值时,X、Y 才相互独立. ( 六、 本题满分 10 分)设随机变量(X,Y)的概率密度为
1, | y |< x,0 < x < 1 f ( x, y ) = 其他 0,(1)求 f X ( x), fY ( y ) ; (2)求 E ( X ), E ( XY ), D( X ) . ( 设 若样本来自 N (0, σ 2 ) 七、 本题满分 10 分) X 1 , X 2 ,L , X n 是容量为 n 的样本, 总体,求 σ 的极大似然估计量.2
准差 s = 6.16 毫米,已知 X ~ N ( µ ,σ 2 ) . (1) 求 µ 的双侧置信区间.
八、 本题满分 10 分) ( 从一批零件中随机地抽取 16 个,测得其长度 X 的平均值 x = 403 毫米,样本标
(α = 0.05)
(2) 据此样本能否认为这批零件的平均长度为 400 毫米?
u0.05 = 1.65 , u0.025 = 1.96 , t0.05 (16 ) = 1.7459 ,
t0.025 (16 ) = 2.1199 , t0.025 (15 ) = 2.1315
(α = 0.05) t0.05 (15 ) = 1.7531
,
九、 本题满分 5 分)已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ρ = (
1 ,且 EX = EY , 2 1 3 DX = DY ,利用切比雪夫不等式证明: P ( X Y ≥ DY ) ≤ . 4 4
十、 本题满分 5 分)简单列举一个概率统计的应用实例。 (
概率论与数理统计 试题及答案
概率统计(2010A)试题答案
一、1. 0.7;2. C
1
2
;3. N( 1 2, 1 22);4. 4;5.
2(n 1)
二、1. D; 2, B; 3. A; 4, B; 5,C.
三、解:设事件A,B=“取出的零件为次品”,则由已1与A2分别表示“取出的是甲、乙机床加工的零件”知
条
件
,知
P(A2
1)
3
,
P(A2)
13
,
P(BA1) 0.03
,
2
(1)P(B)
P(Ai)P(BAi
) 2 0.03 1 0.02 0.08 0.027 i 1
333所以 P() 1 P(B) 1 0.02 7
0.
9 73(2) P(AP(A2B)2B)
P(B) p(A2)P(BA2)P(B) 0.02
1
4
四、解:(1)因为 1
f(x)dx 1
cx3c
dx
4
,所以c=4; (2)0<a<1,则有 P{X a} f( ax)dx 1a4x3dx 1 a41
a 1 4
P{X a} f(x)dx 04x3dx a4
; aa
2 (3)0<b<1,P{X b}
b
f(x)dx 1
4x3dx 1 b4 0.011/4
.
b
b 0.99
五、解:通过联合分布律可分别求出(X,Y)的边缘分布律为
由独立的定义,p10 p 2 3 (19 ) p1202 9 9, 再由概率分布律性质, 1 13 (13 ) 13 128
3 9 9
1
9
即当 29, 1
9
时,可证明pi p j pij,从而X、Y是相互独立.
六、解:(1)fX(x)
f(x,y)dy x
x
1 dy 2x,(0 x 1),
P(BA2) 0.02
概率论与数理统计 试题及答案
fY(y)
11 dx 1 y,(0 y 1) y
; f(x,y)dx
1
1 dx 1 y,( 1 y 0) y
10
(2)E(X)
xfX(x)dx 2x2dx
2, 3
1
x0
x
E(XY)
E(X)
2
xyf(x,y)dxdy dx
1
3
xydy 0;
2
2
xfX(x)dx
11 2 1
2xdx ,D(X) 022 3 18
七、解:X~N(0, 2) f(x, 2)
n
12
e
n
x22 2
∴L(xi, )
2
i 1
xi22
nxi2 1
nexp 2 2
i 1
n
xi2n2
∴lnL(xi, ) n ln 2
2i 12
2
n
dlnL(xi, 2)xi2n111n2∴ 2 0,∴ Xi2 222 2
ni 1d 2 2( )i 12
八、
解: (1) 的置信度为1 的置信区间为:( t (n 1)
2
SS, t (n 1))= nn2
(399.72, 406.28)
(2) H0: 400, 样本值t
九、证:E(X Y) 0,D(X Y) DX DY 2cov(X,Y)
403 400
1.9481 2.1315,接受原假设
6.16/3DY4
,由切比雪夫不等式:
P(X Y DY)
D(X Y)3
DY4
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