湖北省武汉市黄陂一中2015-2016学年高二（上）12月月考数学（理

2015-2016学年湖北省武汉市黄陂一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

2

1．命题“?x∈R，x﹣2x+4≤0”的否定为（ ）

22

A．?x∈R，x﹣2x+4≥0 B．?x∈R，x﹣2x+4＞0

22

C．?x?R，x﹣2x+4≤0 D．?x?R，x﹣2x+4＞0

2．双曲线A．

2

的离心率大于B．1＜m＜2

2

的必要不充分条件是（ ）

C．m＞1

D．0＜m＜1

3．已知双曲线x﹣ky=1的一个焦点是 A．

B．y=±4x

，则其渐近线的方程为（ ）

C． D．y=±2x

4．已知抛物线y=4x的准线与双曲线

的焦点，若△FAB为直角三角形，则a的值为（ ） A．

B．

C．

2

交于A，B两点，点F为抛物线

D．

5．若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7 6．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．48 7．用一个边长为

的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现

将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）

A． B． C． D．

第 1 页 共 1 页

8．如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记

，，

，则=（ ）

A．﹣

+

B．﹣+

+

C．

﹣+

++

D．﹣

9．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l

与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）

A．

B．

C．2

D．

10．如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A． B． C． D．

11．已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，定义线段PQ长度的最小值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．若曲线C1表示直线x=﹣，曲线C2表示射线y=0（x≥），则点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}所表示的图形是（ ）

第 2 页 共 2 页

A． B．

C．

D．

12．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是（ ）

①x=4y； ②

2

； ③x﹣y=1； ④（x﹣2）+（y﹣2）=4； ⑤3x+4y=4．

C．①④⑤

D．①③④

2222

A．①②④ B．①②⑤

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知

的展开式中x的系数为，则常数a的值为 ．

3

14．过点的双曲线C的渐近线方程为，P为双曲线C右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3），则|PA|+|PF|的最小值为 ．

15．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1468），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为 ．

16．已知曲线C：，给出以下结论：

第 3 页 共 3 页

①垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点

②直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点 ③曲线C关于直线y=﹣x对称

④若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有

写出正确结论的序号 ． 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

22

17．已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）+（y﹣m）=16的内部，

命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，

命题s：“曲线表示双曲线”．

（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围； （2）若?s是?q的必要不充分条件，求t的取值范围． 18．有5个不同的球，5个不同的盒子，现要把球全部放入盒内． （1）共有几种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？ （3）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？ 19．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；

（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；

（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值．

20．已知关于x的一次函数y=ax+b，

（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=ax+b是增函数的概率；

第 4 页 共 4 页

（2）实数a，b满足条件

求函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限的概率．

21．已知椭圆C：B两点． （1）求

=1，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与曲线C相交于A，

的取值范围；

（2）若B点关于x轴的对称点为E点，探索直线AE与x轴的相交点是否为定点． 22．已知动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）+y=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）是否存在常数λ，使

=λ

2

2

2

总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．

2015-2016学年湖北省武汉市黄陂一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

2

1．命题“?x∈R，x﹣2x+4≤0”的否定为（ ）

22

A．?x∈R，x﹣2x+4≥0 B．?x∈R，x﹣2x+4＞0

22

C．?x?R，x﹣2x+4≤0 D．?x?R，x﹣2x+4＞0

【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可． 【解答】解：∵命题“?x∈R，x﹣2x+4≤0”，

2

∴命题的否定是“?x∈R，x﹣2x+4＞0” 故选B．

【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．

2

第 5 页 共 5 页

2．双曲线的离心率大于的必要不充分条件是（ ）

A． B．1＜m＜2 C．m＞1 D．0＜m＜1

【分析】根据双曲线离心率的性质求出m的取值范围，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．

【解答】解：∵双曲线则a=1，b=

，c=

，

，∴m＞0，

若离心率e=═，则1+m＞2，即m＞1，

则双曲线的离心率大于的必要不充分条件是，

故选：A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线离心率的性质求出m的取值范围是解决本题的关键． 3．已知双曲线x﹣ky=1的一个焦点是 A．

B．y=±4x

2

2

2

2

，则其渐近线的方程为（ ）

C．

=

D．y=±2x

，解出k=，从而得

【分析】根据双曲线方程，得a=1，b=，结合题意得c=

2

到双曲线方程为x﹣=1，由此不难得出该双曲线的渐近线方程．

【解答】解：双曲线x﹣ky=1化成标准方程得x﹣得a=1，b=， ∴c=

=

2

2

222

=1，

，

∵双曲线的一个焦点是

∴=，解之得k=，双曲线方程为x﹣

2

=1，

第 6 页 共 6 页

得a=1，b=2

∴该双曲线的渐近线方程为y=x，即y=±2x 故选：D 【点评】本题给出含有参数的双曲线方程，在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

4．已知抛物线y=4x的准线与双曲线

的焦点，若△FAB为直角三角形，则a的值为（ ）

2

交于A，B两点，点F为抛物线

A． B． C． D． 【分析】求出抛物线的准线为x=﹣1，焦点为F（1，0）．根据对称性可得△FAB是等腰直角三角形，从而算出A、B的坐标，将其代入双曲线方程，解关于a的等式即可得到实数a的值．

2

【解答】解：∵抛物线的方程为y=4x， ∴抛物线的准线为x=﹣1，焦点为F（1，0）．

又∵直线x=﹣1交双曲线于A、B两点，△FAB为直角三角形．

∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'=2 由此可得A（﹣1，2）、B（﹣1，﹣2），如图所示

将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得故选：D

，解之得a=（舍负）

【点评】本题给出抛物线与双曲线满足的条件，在已知抛物线的方程情况下求双曲线的标准方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．

5．若A．4

的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ） B．5

C．6

第 7 页 共 7 页

D．7

【分析】求得二项式展开式的通项公式，化简整理，再令x的指数为0，求得2n=5r，由n为正整数，可得r=2，n取得最小值．

【解答】解： =

（﹣1）x

r2n﹣5r

的展开式的通项公式为Tr+1=

，r=0，1，2，…，n，

（x）

2n﹣r

（﹣）

r

由题意可得2n﹣5r=0，

即n=，由n正整数， 可得r=2时，n取得最小值5． 故选：B．

【点评】本题考查二项式定理的运用：求常数项，注意运用二项式展开式的通项公式，以及指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．

6．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．48

【分析】甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素，共三个元素排列，不要忘记甲、乙两人之间的排列． 【解答】解：因为5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法

=36，

故选：C．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础． 7．用一个边长为

的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现

将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）

A． B． C． D．

【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离． 【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，

2

第 8 页 共 8 页

蛋槽立起来的小三角形部分高度是，

2

鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr得到r=1cm， 直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，

四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm， 根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=AE=AB+BE=

+，

． ，

∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为故选C．

【点评】本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用． 8．如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记

，

，

，则

=（ ）

A．﹣

+

B．﹣+

+

C．

﹣+

++

D．﹣

【分析】连接AE，根据AE是△ACD中CD边上的中线，可得向量再在△ABE中利用向量加法的三角形法则，即可得到向量

是、和的一半，

关于向量、、的表达式．

第 9 页 共 9 页

【解答】解：连接AE， ∵E是CD的中点，

，

∴=

∵△ABE中， ==，

∴=﹣+=﹣+

+

故选：B

的表达式，着重考

【点评】本题在四面体ABCD中，已知E为CD中点的情况下求向量查了向量的加法法则、空间向量的线性运算的知识，属于基础题．

9．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l

与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）

A．

B．

C．2

D．

【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．

【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，

第 10 页 共 10 页

∵|AB|+

2

=，

∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a， ∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|， ∴|AF1|=3． ∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a， ∴a=1． 在Rt△BF1F2中，

∴4c=52， ∴c=

．

2

=

+

=6+4=52，又

22

=4c，

2

∴双曲线的离心率e==． 故选A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

10．如图

，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任

取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．

3

【解答】解：从9个数中任取3个数共有C9=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；

∴所求的概率为=

故选D．

【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．

11．已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，定义线段PQ长度的最小值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．若曲线C1表示直线x=﹣，曲线C2表示射线y=0（x≥），则点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}所表示的图形是（ ）

第 11 页 共 11 页

A． B．

C．

D．

【分析】当﹣1≤y≤1时，点集为{P|d（P，C1）=|PC|}，当y≤﹣1或y≥1时，点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}，确定表示的图形，即可得出结论． 【解答】解：设P（x，y），点

，

2

当﹣1≤y≤1时，点集为{P|d（P，C1）=|PC|}，表示的图形是抛物线y=2x上的一段，其中

；

与

当y≤﹣1或y≥1时，点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}，表示的图形分别是直线

x轴正方向夹角的平分线上的一条射线，即和．对比选项知A正确． 故选：A． 【点评】本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题． 12．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是（ ）

第 12 页 共 12 页

①x=4y； ②

2

； ③x﹣y=1； ④（x﹣2）+（y﹣2）=4； ⑤3x+4y=4．

2222

A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①③④

22

【分析】设点P（x，y），曲线上有钝点，?存在点（x，y）使得x+y＜1．解出即可判断出结论． 【解答】解：设点P（x，y），曲线上有钝点，?存在点（x，y）使得x+y＜1．

2

2

①令P

2

2

，则x+

2

＜1，化为x+16x﹣16＜0，解得0≤x＜4

422

，满足

x+y＜1，因此是“有钝点的曲线”．

②由，可得：c=1，因此A（﹣1，0），B（1，0）为椭圆的两个焦点，椭圆上的

，可知：

点对焦点展开的角的最大值为椭圆短轴的两个端点，由b=

∠APB为锐角，因此此椭圆上不存在一点P，使∠APB为钝角．

22222③x﹣y=1，设P（secθ，tanθ），则secθ+tanθ=2tanθ+1≥1，因此双曲线上不存在一点P，使∠APB为钝角．

22222

④由（x﹣2）+（y﹣2）=4，设x=2+2cosθ，y=2+2sinθ，则x+y=（2+2cosθ）+（2+2sinθ）

2

=12+8∈

2

2

，

满足存在点（x，y）使得x+y＜1，因此此圆上存在一点P，使∠APB为钝角．适合条件． ⑤取3x+4y=4上点P

，则x+

2

=+≥，因此

次直线上存在一点P，使∠APB为钝角．适合条件． 综上可得：“有钝点的曲线”是①④⑤． 故选：C．

【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、数量积运算性质，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知的展开式中x的系数为，则常数a的值为

3

．

3

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x的系数，列出方程解得a．

第 13 页 共 13 页

【解答】解：的展开式的通项为

=令

解得r=8，

3

∴展开式中x的系数为9a， ∵展开式中x的系数为， ∴9a=解得a=，

3

故答案为：． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题；通过给二项式的x赋值求展开式的系数和． 14．过点的双曲线C的渐近线方程为，P为双曲线C右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3），则|PA|+|PF|的最小值为 8 ．

【分析】先求出双曲线的方程，根据A点在双曲线的两支之间，由双曲线的定义|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．

【解答】解：由题意，设双曲线方程为∵过点

的双曲线C的渐近线方程为

（a＞0，b＞0），则

，

∴∴a=2，b=

，

，

，0），

∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（

∴由双曲线的定义|PF|﹣|PF′|=2a=4 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=4 两式相加得|PF|+|PA|≥4+4=8，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立． ∴|PA|+|PF|的最小值为8 故答案为：8．

第 14 页 共 14 页

【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用． 15．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1468），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为 1359 ．

【分析】根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取4个，每种取法对应一个“渐升数”，再确定1在首位、2在百位；3在百位，4在十位，5在十位“渐升数”的个数，即可得出结论．

【解答】解：根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取4个，每种取法对应一个“渐升数”． 对于这些“渐升数”，1在首位、2在百位的有

=21个；

1在首位、3在百位，4在十位的有5个，1在首位、3在百位，5在十位的有4个

故第30个“渐升数”为1359， 故答案为：1359

【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐升数”的含义，其次要注意0不能在首位，即“渐升数”中不能有0，属于中档题．

16．已知曲线C：，给出以下结论：

①垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点

②直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点 ③曲线C关于直线y=﹣x对称

④若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有

写出正确结论的序号 ①②④ ．

【分析】去掉绝对值，化简曲线的方程，结合图形分析每个选择支的正确性，找出正确的选项．

【解答】解：当x＞0，y＞0 时，方程是一象限内的部分，

﹣

=1，图象是焦点在x轴上的双曲线位于第

当 x＞0，y＜0 时，方程是+=1，图象是椭圆在第四象限内的部分，

当 x＜0，y＞0 时，方程 是+=﹣1，不表示任何图形，

第 15 页 共 15 页

当 x＜0，y＜0 时，方程是﹣=1，图象是焦点在y轴上的双曲线位于第三象限内的

部分． 数形结合得，由曲线形状知，①正确，②正确．

③不正确，∵把方程中的x换成﹣y，y换成﹣x后，得到曲线方程和原来的方程不一样，∴曲线C不关于直线y=﹣x对称． ④正确，因为图象上任意的2个点连线的斜率都大于0． 故答案为 ①②④．

【点评】本题考查曲线与方程的概念，体现分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题． 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

22

17．已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）+（y﹣m）=16的内部，

命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，

命题s：“曲线表示双曲线”．

（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；

（2）若?s是?q的必要不充分条件，求t的取值范围．

【分析】（1）若p为真：（1+m）+（3﹣m）≥16，化简解得m范围．若q为真：则

22

，

解得m范围．若“p且q”是真命题，求上述范围交集即可得出． （2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，若?s是?q的必要不充分条件，则q是s的必要不充分条件，解出即可得出．

22

【解答】解：（1）若p为真：（1+m）+（3﹣m）≥16，解得m≤﹣1或m≥3．

若q为真：则，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4．

若“p且q”是真命题，则，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4．

（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1， 若?s是?q的必要不充分条件，则q是s的必要不充分条件，

则可得{m|t＜m＜t+1}?{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}，即解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．

或t≥4

第 16 页 共 16 页

【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．有5个不同的球，5个不同的盒子，现要把球全部放入盒内． （1）共有几种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？ （3）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？ 【分析】（1）直接利用分步计数原理求解即可．

（2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，通过小球分组然后求解即可． （3）5个球分为3组有两种分法，（2，2，1），（3，1，1），故此题分为两类来求解，再求出它们的和． 【解答】解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，由分步乘

5

法计数原理，放法共有5=3125种； （2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，故共有 （3）5个球分为3组有两种分法，（2，2，1），（3，1，1），

种；

所以恰有两个盒子不放球的不同放法是种． 【点评】本题考查简单计数原理与排列组合的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，（3）解题的关键是理解5个球分为3组有两种分法，分步求不同的放法种数． 19．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；

（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；

（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值． 【分析】（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，证出

=0，

=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；

第 17 页 共 17 页

（2）求出平面NCB1的一个法向量CNB1所成的角

，利用

与此法向量的夹角求出直线C1N与平面

⊥

，利用向量数量积

（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知

为0求出a的值，并求出． 【解答】（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC，BB1两两垂直． …（2分） 以B为坐标原点，分别以BA，BB1，BC所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4） ∵

=（4，4，0）（﹣4，4，0）=﹣16+16=0 =（4，4，0）（0，0，4）=0

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1， ∴BN⊥平面C1B1N； …（4分）

（2）解：设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，

则

则；…（8分）

，∵MP∥平

（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则面CNB1， ∴

又PM?平面CNB1，∴MP∥平面CNB1， ∴当PB=1时，MP∥平面CNB1

．

∴…（12分）

【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确． 20．已知关于x的一次函数y=ax+b，

（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=ax+b是增函数的概率；

第 18 页 共 18 页

（2）实数a，b满足条件求函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限的概率．

【分析】（1）是古典概型，只要求出所有事件个数以及满足条件的事件个数，利用古典概型公式解答；

（2）是几何概型，分别求出已知区域的面积以及满足条件的区域面积，利用面积比求概率． 【解答】解：（1）由已知a≠0，集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，

所有事件有5×3=15个，设A事件为：函数y=ax+b是增函数的3×3=9个，由古典概型的概率公式得到，

；

（2）线性约束条件所表示的区域面积S=，

要使函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则实数a，b必须满足条件图阴影部分，

，如

其面积为S1=1，所求的概率为P=

=．

【点评】本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；关键是明确概率模型，利用公式解答．

第 19 页 共 19 页

21．已知椭圆C：B两点． （1）求

=1，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与曲线C相交于A，

的取值范围；

（2）若B点关于x轴的对称点为E点，探索直线AE与x轴的相交点是否为定点． 【分析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣4），代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求范围；

（2）由对称求得E的坐标，直线AE的方程，由A，B满足直线方程，再令y=0，代入韦达定理，即可得到定点（1，0）． 【解答】解：（1）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=k（x﹣4），

2222

代入椭圆方程，消去y得（3+4k）x﹣32kx+64k﹣12=0，

2222

由△=（﹣32k）﹣4（3+4k）（64k﹣12）＞0， 得﹣＜k＜．

设A（x1，y1），B （x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=

①，

可得

=x1x2+y1y2=（1+k）x1x2﹣4k（x1+x2）+16k=25﹣

222

，

由﹣＜k＜，可得25﹣∈[﹣4，），

则的取值范围是[﹣4，）； （2）直线与x轴相交于定点（1，0）．

由B，E关于x轴对称，可得点E的坐标为（x2，﹣y2），

直线AE的方程为y﹣y1=

又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

（x﹣x1），

令y=0，代入①得x=．

可得直线与x轴相交于定点（1，0）．

【点评】本题考查向量的数量积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查直线恒过定点的求法，注意运用直线方程，化简整理，属于中档题．

第 20 页 共 20 页

22．已知动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）+y=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）是否存在常数λ，使

=λ

2

22

总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．

【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，由此能求出曲线C的方程．

（Ⅱ）设直线OQ：x=my，直线MN：x=my﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），

联立方程组数λ．

，得：（7m+16）y﹣42my﹣49=0，由此能求出存在符合条件的常

22

（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S△MNQ=S△MNO=|OA||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由此利用均值不等式能求出最大值．

2

2

【解答】解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）+y=64相切，

∴点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径， ∴|PA|+|PB|=8， ∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，

∴曲线C的方程为：．

（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，

∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my﹣3， 设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3）， 则

，

，

联立方程组，消去x，得：（7m+16）y﹣42my﹣49=0，

22

∴y1+y2=

，，

第 21 页 共 21 页

x1x2=（my1﹣3）（my2﹣3）=my1y2﹣3m（y1+y2）+9， x1+x2=m（y1+y2）﹣6， ∴

=（x1+3）（x2+3）+y1y

2

=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2

2

=（m+1）y1y2

=﹣，

联立方程组，消去x，得

，y3为其一根，

∴∵解得

=λ

=（m+1），∴﹣49=112λ， ，

2

=

．

2

，

∴存在符合条件的常数λ，

2

（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m+16）y﹣42my﹣49=0，

y1+y2=∵MN∥OQ，

，

，

∴S=S△MNQ=S△MNO=|OA||y1﹣y2|=|y1﹣y2| =

=

=

=当且仅当

≤2．

时取等号，

第 22 页 共 22 页

∴所求最大值为2．

【点评】本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线是副产品存在，考查最大值的求法，是中档题．

第 23 页 共 23 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/83l.html