贵州省六盘水市六枝特区七中2018-2019学年高二上学期期末考试数

六枝特区第七中学2018—2019学年度第一学期高二期末考试试题

数学

一：选择题（在每小题给定的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合A. B. 【答案】B 【解析】 【分析】

先求出集合N,然后集合M与集合N取交集即可. 【详解】集合所以故选：B

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2.定义在上的奇函数

，当

时，

，则

（ ）

.

，可得集合

，

，集合 C.

D.

，则

（ ）

A. -2 B. 2 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】

根据函数为奇函数可得【详解】∵函数∴又当

时，

．

， 为奇函数，

，然后由解析式可得结果．

∴，

∴故选A．

．

【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，解题的关键是将问题转化到所给区间上求解，然后根据解析式可得所求函数值，属于基础题．

3.已知A.

B.

C.

，则的取值范围为( )

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据对数函数的单调性和对数函数的定义域得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围． 【详解】由故选D．

【点睛】解对数不等式时可根据函数的单调性得到不等式组，然后通过解不等式组求解，解题时容易出现的问题是忽视定义域的限制，这也是解决对数问题时常出现的错误之一． 4.下图所示的算法流程图最后输出的结果是（ ）

，可得

，解得

．

A. 1 B. 4 C. 7 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】

该程序的功能是利用循环结构计算并输出S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】S＝1，i＝1

第一次执行循环体后，S＝2，i＝2，不满足条件； 第二次执行循环体后，S＝4，i＝3，不满足条件；

第三次执行循环体后，S＝7，i＝4，满足退出循环的条件；

故输出的S值为7， 故选：C．

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

5.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为

的圆，中间有边长为

的正方形孔，

若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意可得铜钱的面积边长为0．5cm的正方形孔的面积∴所求概率考点：几何概型 6.已知直线：

，：

，若

，则实数的值为( ）

，

，

A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】

由两条直线平行的条件求a值，同时要检验两直线是否重合. 【详解】由两条直线平行，可得检验：当当

时，直线与重合，舍去，

，解得

或8，

，两条直线平行，

故选：A

【点睛】本题考查两条直线平行的条件，直线

线不重合，求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 7.已知抛物线与双曲线A. 【答案】D 【解析】

和直线和平行，则且两直

有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程是（ ） C.

D.

B.

因为抛物线的顶点在原点且与双曲线D.

8.下列说法正确的是( ) A. 若与共线，则B. 若C. 若

，则中，点满足

或者

有相同的焦点，所以抛物线的方程为.故选

，则点为中点

D. 若，为单位向量，则【答案】C 【解析】

分析：由与共线可得量方向不确定得错误. 详解：由与共线得

，错误；由与可以同垂直于可得错误；由向量加法法则可得正确；由单位向

，故“若与共线，则

，则

或者”不正确，错误；

由与可以同垂直于可得“若由平面向量加法法则可得“若

”不正确， 错误；

，则点为

中点”正确，正确.

中，点满足

由单位向量的方向不确定得“若，为单位向量，则”不正确，错误，故选C.

点睛：本题主要考查平面向量的基本概念与基本运算，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 9.在A.

中，角 B.

C.

所对的边分别为 D.

．若

，则

（ ）

【答案】D 【解析】 【分析】

将已知条件利用正弦定理后结合余弦定理可得角A，从而得到tanA 【详解】由余弦定理得故选：D

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属于简单题. 10.设变量

满足约束条件

，则目标函数

的最大值为（ ）

，故

，结合正弦定理得

，即

，

， ，

.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D

【解析】 【分析】

由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件

画出可行域如图：目标函数z＝5x+y可化为y＝-5x+z，

即表示斜率为-5，截距为z的动直线，由图可知， 当直线由

过点

时，纵截距最大，即z最大，

得A（1，0）

∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5 故选：D

【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般

步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 11.已知函数对称中心是( ) A.

B.

C.

D.

的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个

【答案】B 【解析】 【分析】

利用三角函数图像的平移和伸缩变换得到新函数解析式为到对称中心. 【详解】函数得到图象的解析式为得到图象的解析式为

的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，

，再向右平移个单位， ，

，然后利用余弦函数图像的性质即可得

当时，，所以是函数的一个对称中心.

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的图像变换规律，考查余弦函数图像的对称性，属于基础题. 12.在四棱锥

，则二面角

中，底面

是直角梯形，

，

，

，

，

平面

的大小为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

取BC中点M,以点D为原点，以DM,DA,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求平面法向量，然后根据向量的数量积公式计算即可.

【详解】取BC中点M,由已知可得四边形ADMB为正方形，则可以以点D为原点，以DM,DA,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则所以设平面

，

，，的一个法向量为

，，

， ，

，

和平面PBC的

则，即

令，则，，所以

，，

，所以

，

为钝角，

，

，

，

设平面则令所以又二面角

的一个法向量为，即

，则，，

故二面角故选：C

的大小为

【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角

的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 13.设函数A.

B.

在区间 C.

上单调递减，则实数的取值范围是 ( ) D.

【答案】C 【解析】 【分析】

求导，先求函数得单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得实数a的取值范围. 【详解】

，解不等式

，

上单调递减，

且.

，解得

， ，得

，

即函数的单调递减区间为又函数则

在区间，即

所以实数的取值范围是故选：C

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

二、填空题。

14.学校教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查.现将800名学生从1到800进行编号，在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41～56中应抽取的数是_____. 【答案】55 【解析】

试题分析：由题意知：抽取间隔为16，则抽出的数分别为：考点：系统抽样

点评：系统抽样的特点是按照一定的间隔抽取，本题的间隔是16. 15.已知第一象限的点【答案】25 【解析】

由题意知2a＋3b＝1，a＞0，b＞0，则＋＝＝时取等号，即＋的最小值为25. 16.对于空间向量【答案】2 【解析】 【分析】

利用两个向量平行的条件列等式求解即可. 【详解】因为故答案为：2

【点睛】本题考查两个向量平行条件的应用，属基础题. 17.曲线【答案】【解析】 【分析】

先求函数在x=0时的导数即切线斜率，写出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程. 【详解】斜率则切线方程为故答案为：

，其中，在中的数是55

在直线上，则的最小值为___.

(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b

， ，若，则实数___.

，所以，所以.

在点

处的切线方程为___.

， ，切点为即y=3x+1

，

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程. 18.已知双曲线程为___. 【答案】【解析】

试题分析：双曲线的渐近线方程为

，即

，它与圆

相切，则

，又

的一个焦点为

，且双曲线的渐近线与圆

相切，则双曲线的方

，联立解得

考点：双曲线的标准方程．

，所以双曲线方程为．故填．

【名师点睛】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为

．

三：解答题（解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程.）

19.已知实数（1）若（2）若

是

，：

，：

的必要不充分条件，求实数的取值范围； ，

为真命题，求实数的取值范围． （2）

【答案】(1) 【解析】

试题分析：（1）是的必要不充分条件，转化为是的必要不充分条件，进而转化为集合的包含关系即可；（2）“

”为真命题，则为真，为真，分别求出满足条件的参数值，取交集即可。

解析： （1）因为：又则（2）当：因为则

或是

；

的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，

，得时，：

．

，又

时，

，所以

．

是真命题，所以

．

20.等差数列(1)求数列(2)求数列【答案】（1）【解析】

满足：与

，；正项等比数列满足：，．

的通项公式； 的前项和．

；（2）

．

试题分析：（1）根据已知根据

可求得公差，从而可得．根据可得公比，从而可得．（2）

的通项公式分析可知应用错位相减法求数列的和．

试题解析：（1）∵

又∵

因此数列，的通项公式．

（2）由（1）有两式相减，得

．

考点：1等差数列，等比数列的通项公式；2错位相减法求和． 21.在(1)若(2)若

，

，且

（2）

中，角

所对的边分别为，求角；

的面积为，求的值．

.

【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）将已知Ａ，Ｂ表示，再注意到的面积为

应用正弦定理转化为纯角的关系，并用

，从而可求得角Ａ的三角函数值，从而得到角Ａ的大小；（2）由于，可将

用含量a的代数式表示出来，再由

应用余弦定理就可将

将角Ｃ用角和△用含a

的代数式表示，最后注意到的值． 试题解析：（1）

即即

注：利用（2）

，

由余弦定理

，，

，直接得的面积为， ①

② ．

，从而就可得到关于a的一个一元方程，解此方程就可得到a

，由正弦定理可得

．

．

同样给分

．

由①，②得：

，

（2）或解：由由

由①，②得：

，

．

得

， 化简得，

得

②

，即．

①

，

考点：１．正弦定理和余弦定理；２．三角形的面积． 22.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图.

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；

（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率. 【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）根据概率和为1，即所有矩形的面积和为1，建立等式关系，即可求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解． 【详解】(1)由题意得(2)由直方图分数在

的频率为0.05，

的频率为0.35，

，所以

.

的频率为0.20，

（2）74.5（3）

的频率为0.30，

的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：

.

(3)由直方图，得：第3组人数为

.第4组人数为

人，第5组人数为

人.所

以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.设第3组的3位同学为，

，

，第4组的2位同学为， ，第5组的1位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15种可

能如下：

， ，

， ，

， ，

，

，

，

，

，共5种.所以其

，

，

，

，

，

，

，

，

，

其中恰有1人的分数不低于 90(分)的情形有：

中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.

【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和直方图中平均数的求法以及古典概型概率的求法，属于基础题． 23.在四棱锥

中，

平面

，

，

，

，

.

(1)求证：(2)当

.

时，求此四棱锥的体积.

【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】 （1）由已知可得

，再由勾股定理得AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，根据线面垂直的性质可证出

AC⊥PB；（2）利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】(1)∵∴又∵∴(2)当在∴

，

平面，∴是平面. 时，作中，

交

于. ，又在

中，

.

，∴

，

，∴

，故

内的两条相交直线，故

，又

.

平面

， ，

，

，

【点睛】本题考查线面垂直的性质定理的应用，考查锥体体积的计算，考查了计算能力和空间想象能力. 24.已知椭圆

(1)求椭圆的方程； (2)过定点【答案】（1）【解析】 【分析】

(1)由椭圆的离心率和椭圆经过的点

以及

，列出关于a,b,c的方程组，求解即可得椭圆方程；（2）

的直线与椭圆交于两点、，直线

（2）见证明

，

的斜率为、，求证：

为定值.

的离心率为，且经过点

.

设出直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理将k1+k2化简整理即可得到定值.

【详解】(1)由题意可知，解得，故椭圆的方程为.

(2)设：

，

，

，，，

.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查韦达定理的运用，考查计算能力.

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