江西省临川一中2012届高三冲刺模拟试卷理科数学

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江西省临川一中2012届高考冲刺模拟试卷

理 科 数 学

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一.选择题.(共10小题,每小题5分,共50分,每题均有A、B、C、D四个选项,只有一个选项正确) 1.复数（ ）

i1?i在复平面内的对应点到原点的距离为

12 B． C．1 D．2 2222.若“x?1”是“x?a”的必要不充分条件，则a的最大值为

A．

（ ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 3、已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形

中，可以是该几何体的俯视图的图（ ）

A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④ 4.设a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?...?a12(x?2)12?(x2?2x?2)6, （ ）

A. 492 B. 482 C. 452 D.472

形有

其中ai(i?0,1,2 为常数，则2a2?6a3?12a4?20a5?...?132a12?

5.已知函数f(x)的图像如右图所示，则f(x)的解析式可能是

2（ ）

2A．f(x)?x?2lnx B． f(x)?x?lnx C． f(x)?|x|?2lnx D．f(x)?|x|?lnx

6.若实数a、b?(0,1)，且满足(1?a)b?1，则a、b的大小关系是 43的概率 4( )

（A）a?b （B）a?b （C）a?b （D）a?b

7．设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数，则斜边的长小于为（ ）

9π A．

64

B．

9 64 C．

9π 16 D．

9 16 1

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8．满足A＝300，BC＝10的△ABC恰好有不同两个，则边AB的长的取值范围为（ ）

?203?? （A）?0,10? （B）?10,?3??? （C）?10,20? （D）?10,20?

9．有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、

7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（ ） A．42 B．48 C．54 D．60

x2y210.设P为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F

ab为双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的交点，e是双曲线C的离心率，则?APF的余弦的最小值为( )

1111A． B． C． D．2

2ee?1ee?1第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。

11、我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，

?利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(?3,4)，且法向量为n?(1,?2)的直线（点法式）方程为1?(x?3)?(?2)?(y?4)?0，化简得x?2y?11?0. 类

?比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n?(?1,?2,1)的平面(点法式)方程为 (请写出化简后的结果)

12. 若点P在直线l1:x?y?3?0上，过点P的直线l2与曲线

C:(x?5)2?y2?16只有一个公共点M，则PM的最小值为_______

13．程序框图（算法流程图）如图4所示，其输出结果A?_____ 14．已知a?0,当?a0(cosx?sinx)dx取最大值2?1时，a的最小值为

15．(选做题)(1) 极坐标系中，点P(2,??)到直线l:?sin(??)?1的距离是 66?（2）已知对于任意非零实数m，不等式|2m?1|?|1?m|?|m|(|x?1|?|2x?3|)恒成立，实数x的取值范围为

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

??16．已知向量a??1?cos?x,1?,b?(1,a?3sin?x)（?为常数且??0），函数

（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）把函数y?f(x)的图象向右f(x)?a?b在R上的最大值为2．

??平移个单位，可得函数y?g(x)的图象，若y?g(x)在[0,]上为增函数，求?的最

46?大值．

2

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17．（本小题满分12分）

某商场准备在元旦节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;

(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是金数额m最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x2?ax?aln(x?1)(a?R). （I）求函数f(x)的单调区间；

（II）试说明是否存在实数a(a?1),使y=f(x)的图象与直线y?1?ln2无公共点。

19.（本小题满分12分）

如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且?BCA?90，?B1BC?60?，BC?BB1?2，若二面角A?B1B?C为30，

（I）证明AC?平面BB1C1C； （Ⅱ）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；

（Ⅲ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P?BB1C为正三

棱锥，并求点P到平面BB1C距离. 20．（本小题满分13分）

已知抛物线W:y?ax2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2. （Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；

（Ⅱ）当直线l1与抛物线W相切时，求直线l2的方程

（Ⅲ）设直线l1,l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

3

??1,请问:商场应将每次中奖奖2河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

21．（本小题满分14分）函数f(x)?ax?b（a，b，c为常数，a?0）.

cx2?1ax?b（Ⅰ）若c?0时，数列{an}满足条件：点(n, an)在函数f(x)?2的图象上，

cx?1求{an}的前n项和Sn；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a3?7，S4?24，p, q?N（p?q），

证明：Sp?q??1(S2p?S2q)； 2（Ⅲ）若c?1时，f(x)是奇函数，f(1)?1，数列{xn}满足x1?1，xn?1?f(xn)， 2(xn?xn?1)25(x1?x2)2(x2?x3)2求证：?????.

x1x2x2x3xnxn?116

4

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江西省临川一中2012届高考冲刺模拟试卷

理科数学答案与评分标准

一、选择题 题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 B

6 A

7 A

8 C

9 D

10 B

二、填空题

11. x?2y?z?2?012.4 13．63 14.

415．（1）3＋1 （2）(??,?3]?[?1,??) 三、解答题

16. 解：（Ⅰ）f(x)?1?cos?x?a?3sin?x?2sin(?x???6)?a?1???3分

因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3?a?2故a??1????5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?2sin(?x?)

6把函数f(x)?2sin(?x???6)的图象向右平移

?个单位， 6?2???即??2

可得函数y?g(x)?2sin?x????????????????8分 又?y?g(x)在[0,?4]上为增函数?g(x)的周期T?所以?的最大值为2??????????12分

3?317解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有C7种选法,.

选出的3种商品中没有日用商品的选法有C4种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商

3C431品的概率为P?1?3?. ??4分

C735(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, m,2m,3m.??5分

X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以

1?1?0?1???6分 P?X?0??C3??????,228????

12113????1同理可得P?X?m??C3??7分 ??????,228????

[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]03?1??1?3??8分P?X?2m??C??????,?2??2?8

301?1?3?1???9分P?X?3m??C3??????.8 ?2??2?2321[来源:学科网ZXXK]

[来源:Z+xx+k.Com]

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

1331EX?0??m??2m??3m??1.5m. ??10分

8888

5

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要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有1.5m?150,所以m?100, ?? 11分

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利.? 12分 18．解：（I）函数f(x)?x2?ax?aln(x?1)的定义域是(1,??).

a?2)a2 f?(x)?2x?a? ??????2分 ?x?1x?1a?22x(x?)a?22 ①若a?0,则?1,f?(x)??0在(1,??)上恒成立， 2x?1 ?a?0时,f(x)的增区间为(1,??)

a?2?1 ②若a?0时,则2a?22x(x?)?a?2?2故x??1,时,f?(x)??0;?2x?1??a?22x(x?)?a?2?2,???时,f?(x)??0; x??x?1?2?2x(x??a?2??a?2??a?0时,f(x)的减区间为?1,,f(x)的增区间为,??????6分??2???2? （II）a?1时，由（I）可知，f(x)在(1,??)上的最小值为

a?2a2af()???1?aln242a?2a2a)???1?aln在a??1,???上单调减, ?g(a)?f(2423?g(a)max?g(1)??ln24314 ?g(a)max?1?ln2??ln2?1?ln2?ln?0

44e 即存在a(a?1)使f(x)的最小值大于1+ln2,

故存在a(a?1),使y=f(x)的图象与直线y=1+ln2无交点。 ????12分

19题．解：（Ⅰ） 面BB1C1C?面ABC，因为面BB1C1C?面ABC＝BC，AC?BC，所以AC?面BB1C1C． （4分） （Ⅱ）取BB1中点E，连接CE,AE，在?CB1B中，B BB1?CB?2,?CBB1?600

??CBB1是正三角形，?CE?BB1，又AC?面BB1C1C且BB1?面BB1C1C，

?BB1?AE，即?CEA即为二面角A?B1B?C的平面角为30°，C （6分）

? AC?面BB1C1C，?AC?CE，在Rt?ECA 中，

A B 1

C 1

A1

?CE?3,?AC?CE?tan300?1，

6

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又AC?面BB1C1C，??CB1A即AB1与面BB1C1C所成的线面角，

AC1? （8分） CB12CP12 （Ⅲ）在CE上取点P，使?，则因为CE是?B1BC的中线，?P1是?B1BC的1P1E1重心，在?ECA中，过P? AC?面BB1C1C，P1作P1P//CA交AE于P，1P//CA ?PP1?面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是?BCB1的中心，该点即为所求，且

PP111?，?PP1?． （12分）

3AC3在Rt?B1CA中，tan?CB1A?

20. 解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线y?ax2上， 所以 1?4a，即a?分

1. 4????.2

12 ??????.3分 x，其准线方程为y??1.

4（Ⅱ）当直线l1与抛物线相切时，由y?x?2?1，可知直线l1的斜率为1，其倾斜角为45?， 故所求抛物线的方程为y?所以直线l2的倾斜角为135?，故直线l2的斜率为?1，所以l2的方程为y??x?3 ?6分 （Ⅲ）不妨设直线AB的方程为y?1?k(x?2) (k?0)， ??????8分

?y?1?k(x?2)? 由? 得x2?4kx?8k?4?0,???.10分 12y?x??4 易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k?2， 所以点B的坐标为(4k?2,4k2?4k?1),

同理可得C点坐标为(?4k?2,4k?4k?1), ??????.11分 所以|BC|?[(4k?2)?(?4k?2)]2?[(4k2?4k?1)?(4k2?4k?1)]2

?(8k)2?(?8k)2?82k,

2yCAOBxy??1 ??????.9分

2. ?????.11分 2线段BC的中点为(?2,4k2?1)，因为以BC为直径的圆与准线y??1相切， 所以 4k2?1?(?1)?42k,由于k?0， 解得 k?此时，点B的坐标为(22?2,3?22)，点C的坐标为(?22?2,3?22)， 直线BC的斜率为(3?22)?(3?22)(?22?2)?(22?2)??1，

所以，BC的方程为y?(3?22)??[x?(22?2)]，即x?y?1?0. ??.13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依条件有f(x)?ax?b.

因为点(n, an)在函数f(x)?ax?b的图象上，所以an?f(n)?an?b. 因为an?1?an?a(n?1)?b?(an?b)?a，

所以{an}是首项是a1?a?b，公差为d?a的等差数列. ???????? 1分 所以Sn?n(a?b)?n(n?1)n(n?1)?a?nb??a. 22n(n?1)?a. ???????????? 2分 即数列{an}的前n项和Sn?nb?2 7

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?(a?b)?2a?7, ?3a?b?7, ?a?2,?（Ⅱ）证明：依条件有? 即解得 4?3??4(a?b)??a?24.?10a?4b?24.?b?1.??2所以an?2n?1.

所以Sn?n(a1?an)?n2?2n. ??????????????? 3分 2222因为2Sp?q?(S2p?S2q)=2[(p?q)?2(p?q)]?(4p?4p)?(4q?4q)

2??2(p?q)，

又p?q，所以2Sp?q?(S2p?S2q)?0.

1S?(S2p?S2q). ???????????????????? 5分 即p?q2（Ⅲ）依条件f(x)?ax?b. 2x?1因为f(x)为奇函数，所以f(?x)?f(x)?0.

ax?b?ax?baxb?0??0f(x)?. 解得. 所以.

x2?1x2?1x2?1又f(1)?1，所以a?2.

2x故f(x)?2. ???????????????????????6分

x?112x?因为xn?1?f(xn)，所以xn?1?2n. 所以x1??0时，有xn?1?0（n?N）.

2xn?12x2x又xn?1?f(xn)?2n≤n?1，

xn?12xn1若xn?1?1，则xn?1. 从而x1?1. 这与x1?矛盾.

2所以0?xn?1?1. ??????????????????????? 8分

即

所以xk?1?xk?xk(1?xk)?1?xk1≤?2xk?141xk?1?2?2xk?1≤112?1. ??422?28(xk?xk?1)2xk?1?xk2?111所以?(xk?1?xk)?(?). ??????10分

xkxk?1xkxk?18xkxk?1(xn?1?xn)2(x1?x2)2(x2?x3)2所以 ????x1x2x2x3xnxn?1??2?1111111[(?)?(?)???(?)] 8x1x2x2x3xnxn?12?1112?11(?)?(2?). ???????12分 8x1xn?18xn?1111因为x1?，xn?1?xn，所以?xn?1?1. 所以1??2.

22xn?1 8

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3?1(xn?xn?1)(x1?x2)(x2?x3)2?15所以?????(2?1)?2?. ?14分

x1x2x2x3xnxn?18816222

9

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