第一次高级微观经济学试题及解答

一、从经济学视角（非数学视角）简述消费者偏好的完备性，传递性、连续性、强单调性和严格凸性对于建立消费者行为理论的意义；

解答：

1.偏好关系的完备性:任意两个消费束都是可以比较的，其目的是为了确保“可比性”，即表明经济主体在任何可能的选择之间都具有界定很清楚的偏好。

2. 偏好关系的传递性:传递性意味着偏好关系不能存在一个循环，它确保消费者能选择一个最偏好的商品组合，使消费者能够对消费集中的消费束建立一种排序。

3. 偏好关系的传递性:传递性排除了消费者行为的不连续性，保证突然的偏好逆转不会出现。对连续性的研究是保证效用函数存在性十分重要的前提。

4. 偏好关系的传递性: 消费者总是偏好于消费更多的商品，消费的越多越好, 单调性说明，当我们增加某种商品的消费，而维持其它商品的消费不变时，消费者的效用至少不会下降，或者会上升（严格单调时）。

5. 偏好关系的严格凸性: 两个消费束的线性组合至少大于原消费束中的差者。, 其经济意义有两点：其一，意味着消费者更喜欢商品的多样化选择；其二，由第一点派生出，消费者消费商品的边际替代率递减。即对所消费的两种商品而言，一种商品的减少所需要的另一种商品的补偿数量不断增大。

二、写出罗伊等式、谢伯特引理、斯拉茨基方程的表达式，并分析经济意义；

解答： 1. 罗伊等式：

xj(p,w)???v(p,w)?v(p,w)， /?pj?wj?1,2,?,n。

经济意义：反映了瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数的重要关系，瓦尔拉斯需求函数等于负的间接效用边际商品价格与边际要素价格之比。 2. 谢伯特引理： ?e(p,u)xi*?hi(p,u)??pii?1,2,?,n

经济意义：希克斯需求函数是支出函数的边际价格。

3.斯拉茨基方程：

?xj(p*,w*)?pi?hj[p,v(p*,w*)]?xj(p*,w*)??xi(p*,w*) i,j?1,2,?,n

?pi?w 经济意义：普通需求曲线的价格弹性等于补偿需求曲线的价格弹性减去对应的收入弹性与研究的商品消费数量所占支出比例的乘积。 三、已知效用函数lnu(x1,x2)= alnx1+(1-a)ln(x2)，x1p1+x2p2=w。推导斯拉茨基方程，并分析替代效应和总效应；

解答：

构造L氏方程：L= alnx1+(1-a)lnx2-λ(x1p1+x2p2-w) 一阶条件：

?L/? x1=a/ x1-λp1=0, ?L/? x2=(1-a)/ x2-λp2=0, ?L/? λ= x1p1+x2p2-w=0 求得瓦尔拉斯需求函数：x1=aw/ p1 , x2=(1-a) w/ p2 代入目标函数lnv(p ,w)= aln( a w/ p1)+(1-a)ln[ (1-a) w/ p2]

= alna+(1-a)ln(1-a)+ lnw- aln p1- (1-a) ln p2 令lnA= alna+(1-a)ln(1-a)

?a则有间接效用函数v(p ,w)=Aw/ p1ap12

?a由对偶原理e[p,v(p,w)]?w 和 v[p,e(p,u)]?u 可得e(p,u)=1/A ·p1ap12 u 1?a1?ap2 u 由谢伯特引理得：h(p,u)=?e(p,u)/ ? p1=1/A ·ap1验证斯拉茨基方程：

?x1(p*,w*)2= - aw/p1

?p1?h1[p,v(p*,w*)]a?21?aa?21?aa1?a=1/A ·a(a?1)p1p2u=1/A ·a(a?1)p1p2·Aw/ p1p2

?p1 = a(a?1)w/p1

2?x1(p*,w*)x1(p*,w*)=a/p1·aw/p1=a2w/p12

?w?h1[p,v(p*,w*)]?x1(p*,w*)?x1(p*,w*)=a(a?1)w/p12-a2w/p12=-aw/p12

?p1?w所以可以验证斯拉茨基方程：

?x1(p*,w*)?h1[p,v(p*,w*)]?x1(p*,w*)=?x1(p*,w*)

?p1?p1?w?h1[p,v(p*,w*)]?p1在此斯拉茨基方程中，是替代效应，即当商品

x1的价格

p1发生变动时,而消费者又要沿着一个确定的无差异曲线移动以保持总效

?x1(p*,w*)x1(p*,w*)是用水平不变，他必须用x1去替代其他商品的比率。-?w收入效应，即价格保持不变时，消费者对商品x1的购买量随着他的收入变动而变动的比率。

四、一个消费者的效用函数为u(x1,x2)=Ax1ax2，?.?.>0,A>0

?(1)请推导瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数 （2）验证罗伊等式

解答：

令ln u(x1,x2) = ln Ax1ax2?=ln A+ ?ln x1+?ln x2 ，x1p1+x2p2=w 构造L函数：

L= ln A+ ?ln x1+?ln x2-λ(x1p1+x2p2-w) 一阶条件：

?L/? x1=a/ x1-λp1=0, ?L/? x2=?/ x2-λp2=0, ?L/? λ= x1p1+x2p2-w=0 求得瓦尔拉斯需求函数： x1(p,w)=

?a???w?w? ，x2(p,w)=

a??p2p1

代入原目标函数得间接效用函数：

????wa??v(p,w)= A ??? a??(a??)p1p2**罗伊等式验证：

?v(p,w)?v(p,w)????wa??????wa???1/-=?A/(a??) A ???p1?w(a??)a??p1??1p2?(a??)a??p1?p2? =

?a???w= x1(p,w) p1五、经济学分析的逻辑起点是什么？如何界定理性状态，举例并评价

解答：

德布鲁－阿罗两位经济学家提出基于偏好理论的理性假设作为经济学体系化理论的逻辑起点。以人们最基本、最简单的行为构建理性偏好

概念，作为理论体系的假设前提。

基于理性定义可形成，理性行为分析、不完全理性行为分析、非理性行为分析三个框架。理性主体行为是主线，是不完全理性行为分析、非理性行为分析的基础和比较坐标。举例：理性行为-- 不完全理性行为-- 非理性行为--

六、阐述凸性性质的作用

凸性，指如果两个消费束x1 x0那么对于所有的λ∈[0,1]（闭区间），都有λx1 + (1?λ) x0 x0。意思是两个消费束的线性组合（加权平均）至少与原消费束中的差者一样好。

严格凸性，若x1≠ x0（数量不相等）且x1 x0，那么对于所有的λ ∈(0,1)（开区间），都有λx1 + (1?λ) x0 x0。也就是两个消费束的线性组合至少大于原消费束中的差者。

设x,y,z ∈Rn，对于任意的0 ≤ λ ≤1，若存在z = λx + (1? λ)y ，则称z是x和y一个凸组合。

设X ?Rn，若X中任意两点的凸组合都在X中，则称X为凸集。 凸性偏好假定的经济意义有两点。其一，意味着消费者更喜欢商品的多样化选择；其二，由第一点派生出，消费者消费商品的边际替代率递减。即对所消费的两种商品而言，一种商品的减少所需要的另一种商品的补偿数量不断增大。

七、对偶性原理中各需求函数的逻辑关系分析。

maxu(x)

S.tp?x?w 代入u?v(p,w) 瓦尔拉斯需求函数 x(p,w) 代入w?e(p,u)

代入目标函数 ?v(p,w)/?pix(p,w)?? i ?v(p,w)/?w解出反函数u

间接效用函数 v(p,w) 解出反函数w minp?xs.tu(x)?u希克斯需求函数 h(p,u) ?e(p,u)代入目标函数

hi(p,u)??pi

支出函数 e(p,u) 1． 不确定条件下理性选择是怎么界定的？核心是什么？与确定

性条件下的理性选择有什么异同？ 2． 3．

风险分析理论中对决策者风险规避的不同视角描述方法 厂商的生产函数F(x1,x2)=x11/3 x21/3,求其成本函数和利润函数。

七、对偶性原理中各需求函数的逻辑关系分析。

maxu(x)

S.tp?x?w 代入u?v(p,w) 瓦尔拉斯需求函数 x(p,w) 代入w?e(p,u)

代入目标函数 ?v(p,w)/?pix(p,w)?? i ?v(p,w)/?w解出反函数u

间接效用函数 v(p,w) 解出反函数w minp?xs.tu(x)?u希克斯需求函数 h(p,u) ?e(p,u)代入目标函数

hi(p,u)??pi

支出函数 e(p,u) 1． 不确定条件下理性选择是怎么界定的？核心是什么？与确定

性条件下的理性选择有什么异同？ 2． 3．

风险分析理论中对决策者风险规避的不同视角描述方法 厂商的生产函数F(x1,x2)=x11/3 x21/3,求其成本函数和利润函数。

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