2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文科卷(安徽卷)
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2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文科卷(安徽卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
参考公式:
如果时间A、B互斥,那么P(A?B)?P(A)?P(B)
如果时间A、B相互独立,那么P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
kkPn?k??CnP?1?P?n?k
2球的表面积公式S?4?R,其中R表示球的半径 球的体积公式V?43?R,其中R表示球的半径 3第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集U?{1,2,3,4,5,6,7,8},集合S?{1,3,5},T?{3,6},则CU?S?T?等于( )
A.? B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}
解:S?T?{1,3,5,6},则CU?S?T?={2,4,7,8},故选B
11?的解集是( ) x2A.(??,2) B.(2,??) C.(0,2) D.(??,2)?(2,??)
11112?x解:由?得:???0,即x(2?x)?0,故选D。
x2x22xx?1(3)函数y?e(x?R)的反函数是( ) A.y?1?lnx(x?0) B.y?1?lnx(x?0)
C.y??1?lnx(x?0) D.y??1?lnx(x?0)
x?1解:由y?e得:x?1?lny,即x=-1+lny,所以y??1?lnx(x?0)为所求,故选D。
(2)不等式
(4)“x?3”是x?4“的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:条件集是结论集的子集,所以选B。
2x2y2??1的右焦点重合,则p的值为( ) (5)若抛物线y?2px的焦点与椭圆62A.?2 B.2 C.?4 D.4
x2y2解:椭圆??1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0),则p?4,
622故选D。
(6)表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
22212? ? B.? C.? D.33333a2?23知,a?1,解:此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形,所以由8?4则此球的直径为2,故选A。
22(7)直线x?y?1与圆x?y?2ay?0(a?0)没有公共点,则a的取值范围是
A.
用心 爱心 专心 123号编辑 1
A.(0,2?1) B.(2?1,2?1) C.(?2?1,2?1) D.(0,2?1) 解:由圆x?y?2ay?0(a?0)的圆心(0,a)到直线x?y?1大于a,且a?0,选A。 (8)对于函数f?x??22sinx?1(0?x??),下列结论正确的是( )
sinxsinx?1(0?x??)的值域为函数
sinxA.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 解:令t?sinx,t?(0,1],则函数f?x??11y?1?,t?(0,1]的值域,而y?1?,t?(0,1]是一个减函减,故选B。
tt????(9)将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???,0??6?平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
A.y?sin(x?C.y?sin(2x??) B.y?sin(x?) 66) D.y?sin(2x?) 33???????解:将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???,0??6?平移,平移后的图象所对应的解析式为y?sin?(x?象知,?(?6),由图
7??3?,所以??2,因此选C。 ?)?1262?x?y?1?0?(10)如果实数x、y满足条件?y?1?0 ,那么2x?y的最大值为( )
?x?y?1?0?A.2 B.1 C.?2 D.?3 解:当直线2x?y?t过点(0,-1)时,t最大,故选B。
(11)如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值,则( ) A.?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B.?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形 C.?A1B1C1是钝角三角形,?A2B2C2是锐角三角形 D.?A1B1C1是锐角三角形,?A2B2C2是钝角三角形
解:?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则?ABC若?A2B2C2是锐角111是锐角三角形,
????sinA?cosA?sin(?A)A?211??22?A12???????三角形,由?sinB2?cosB1?sin(?B1),得?B2??B1,那么,A2?B2?C2?,所
222??????sinC?cosC?sin(?C)C?211??22?C12??以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。
(12)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率..为( )
用心 爱心 专心 123号编辑 2
1234 B. C. D. 77773解:在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形,要得直角非等腰三角形,则每..
A.
个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得
24,所以选C。 C83第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置。
3?21?3(13)设常数a?0,?ax?展开式中的系数为,则a=_____。 x?2x??11?r?r31r4?rr4?r8?2r8?2r2解:Tr?1?C4axa=知a=。 x,由xx2?x3,得r?2,由C422???????????????????????(14)在?ABCD中,AB?a,AD?b,AN?3NC,M为BC的中点,则MN?_______。??b表示) (用a、????????????????????????1?解:由AN?3NC得4AN?3AC=3(a?b),AM?a?b,所以
2?????3???1?1?1?MN?(a?b)?(a?b)??a?b。
42441(15)函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??,若f?1???5,则
f?x?f?f?5???__________。
解:由f?x?2??411?f(x),所以f(5)?f(1)??5,则得f?x?4??f?x?f?x?2?f?f?5???f(?5)?f(?1)?11??。
f(?1?2)5(16)平行四边形的一个顶点A在平面?内,其余顶点在?的同侧,已知其中有两个顶点
到?的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面?的距离可能是:
①1; ②2; ③3; ④4;
以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号) ..
解:如图,B、D到平面?的距离为1、2,则D、B的
3中点到平面?的距离为,所以C到平面?的距离为3;
2B、C到平面?的距离为1、2,D到平面?的距离为x,则x?1?2或x?2?1,即x?1,所以D到平面?的距
离为1;
C、D到平面?的距离为1、2,同理可得B到平面?的距离为1;所以选①③。
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(17)(本大题满分12分)已知0???C D
B ?4 5A 第16题图
?2,sin??sin2??sin2?(Ⅰ)求的值; 2cos??cos2?5?(Ⅱ)求tan(??)的值。
4用心 爱心 专心 123号编辑 3
解:(Ⅰ)由0????2,sin??sin??sin2?43,得cos??,所以=
cos2??cos2?552sin2??2sin?cos??20。 23cos??1sin?45?tan??11(Ⅱ)∵tan???,∴tan(??)??。
cos?341?tan?7(18)(本大题满分12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各
种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率; (Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率;
解:设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A,“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2种:
(0,4)、(1,3),故P(A)?2。 15P
(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1种:(0,1);芳香度之和等于2的取法有1种:
(0,2),故P(B)?1?(1113。 ?)?22C6C615F E
(19)(本大题满分12分)如图,P是H 边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,
A
O D PA?1,P在平面ABC内的射影为BF的中点
O。
C (Ⅰ)证明PA⊥BF; B (Ⅱ)求面APB与面DPB所成二面角第19题图 的大小。
解:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,?ABF为等腰三角形,
∵P在平面ABC内的射影为O,∴PO⊥平面ABF,∴AO为PA在平面ABF内的射影;∵O为BF中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O为BF中点,ABCDEF是正六边形 ,∴A、O、D共线,且直线AD⊥BF,则AD⊥平面PBF;又∵正六边形ABCDEF的边长为1,∴AO?1,2DO?33,BO?。
22过O在平面POB内作OH⊥PB于H,连AH、DH,则AH⊥PB,DH⊥PB,所以?AHD为所求二
面角平面角。
166AO在?AHO中,OH=,tan?AHO?。 ?2=
43OH643DO在?DHO中,tan?DHO??2?6;
OH64用心 爱心 专心 123号编辑 4
6?646而tan?AHD?tan(?AHO??DHO)?3 ??361??63(Ⅱ)以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,?31,0),B(,0,0),
22????????????31,0,?1),PD?(0,2,?1) D(0,2,0),∴PA?(0,?,?1),PB?(22?1?y1?1?0????????????????2设平面PAB的法向量为n1?(x1,y1,1),则n1?PA,n1?PB,得?,
?3x?1?01??2??23n1?(,?2,1);
3?2y2?1?0??????????????????设平面PDB的法向量为n2?(x2,y2,1),则n2?PD,n2?PB,得?3,
x2?1?0??2???231n2?(,,1);
32??????????n?n2?? cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|32(20)(本大题满分12分)设函数f?x??x?bx?cx(x?R),已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。
(Ⅰ)求b、c的值。
(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值。
证明(Ⅰ)∵f?x??x?bx?cx,∴f??x??3x?2bx?c。从而
322g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)=x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c是一个奇函数,所以g(0)?0得c?0,由奇函数定义得b?3;
23(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)?x?6x,从而g?(x)?3x?6,由此可知,
(??,?2)和(2,??)是函数g(x)是单调递增区间; (?2,2)是函数g(x)是单调递减区间;
g(x)在x??2时,取得极大值,极大值为42,g(x)在x?2时,取得极小值,极
小值为?42。
(21)(本大题满分12分)在等差数列?an?中,a1?1,前n项和Sn满足条件
S2n4n?2?,n?1,2,?, Snn?1(Ⅰ)求数列?an?的通项公式;
(Ⅱ)记bn?anpn(p?0),求数列?bn?的前n项和Tn。
a解:(Ⅰ)设等差数列?an?的公差为d,由
S2n4n?2a?a2?3,所以a2?2,?得:1a1Snn?1用心 爱心 专心 123号编辑 5
an?nd?a1?2n2(an?nd?a1)2(an?n?1)4n?2S2n2即d?a2?a1?1,又=,所???a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2以an?n。
(Ⅱ)由bn?anpn,得bn?np。所以Tn?p?2p?3p???(n?1)p当p?1时,Tn?当p?1时,
a
n23n?1?npn,
n?1; 2pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1,
(1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1
1?pn?1?,p?1?2?即Tn??。 n?p(1?p)?npn?1,p?1??1?px2y2(22)(本大题满分14分)如图,F为双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右焦点。P
ab为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形,PF??OF。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与?的关系式; (Ⅱ)当??1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若AB?12,求此时的双曲线方程。
解:∵四边形OFPM是?,∴|OF|?|PM|?c,作
M N O 第22题图 y H P x F a2双曲线的右准线交PM于H,则|PM|?|PH|?2,又
c|PF|?|OF|?c?c2?e2e?????,
a2a2c2?2a2e2?2|PH|c?2c?2cce2??e?2?0。
22x2y2(Ⅱ)当??1时,e?2,c?2a,b?3a,双曲线为2?2?1,设P(x0,y0),
4a3a15aa23a22?则x0?|MP|?|ON|?c?,y0?|MN|?|OM|?|ON|?,所以直线OP
2c21515(x?2a),代入到双曲线方程得:的斜率为,则直线AB的方程为y?334x2?20ax?29a2?0,
又AB?12,由AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2得:
529a2y222212?1?25a?4??12a,解得a?1,则b?3,所以x??1为所求。
343
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an?nd?a1?2n2(an?nd?a1)2(an?n?1)4n?2S2n2即d?a2?a1?1,又=,所???a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2以an?n。
(Ⅱ)由bn?anpn,得bn?np。所以Tn?p?2p?3p???(n?1)p当p?1时,Tn?当p?1时,
a
n23n?1?npn,
n?1; 2pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1,
(1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1
1?pn?1?,p?1?2?即Tn??。 n?p(1?p)?npn?1,p?1??1?px2y2(22)(本大题满分14分)如图,F为双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右焦点。P
ab为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形,PF??OF。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与?的关系式; (Ⅱ)当??1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若AB?12,求此时的双曲线方程。
解:∵四边形OFPM是?,∴|OF|?|PM|?c,作
M N O 第22题图 y H P x F a2双曲线的右准线交PM于H,则|PM|?|PH|?2,又
c|PF|?|OF|?c?c2?e2e?????,
a2a2c2?2a2e2?2|PH|c?2c?2cce2??e?2?0。
22x2y2(Ⅱ)当??1时,e?2,c?2a,b?3a,双曲线为2?2?1,设P(x0,y0),
4a3a15aa23a22?则x0?|MP|?|ON|?c?,y0?|MN|?|OM|?|ON|?,所以直线OP
2c21515(x?2a),代入到双曲线方程得:的斜率为,则直线AB的方程为y?334x2?20ax?29a2?0,
又AB?12,由AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2得:
529a2y222212?1?25a?4??12a,解得a?1,则b?3,所以x??1为所求。
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