2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文科卷（安徽卷）

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文科卷(安徽卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

如果时间A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果时间A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn?k??CnP?1?P?n?k

2球的表面积公式S?4?R，其中R表示球的半径 球的体积公式V?43?R，其中R表示球的半径 3第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集U?{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S?{1,3,5}，T?{3,6}，则CU?S?T?等于（ ）

A．? B．{2,4,7,8} C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}

解：S?T?{1,3,5,6}，则CU?S?T?＝{2,4,7,8}，故选B

11?的解集是（ ） x2A．(??,2) B．(2,??) C．(0,2) D．(??,2)?(2,??)

11112?x解：由?得：???0，即x(2?x)?0，故选D。

x2x22xx?1（3）函数y?e(x?R)的反函数是（ ） A．y?1?lnx(x?0) B．y?1?lnx(x?0)

C．y??1?lnx(x?0) D．y??1?lnx(x?0)

x?1解：由y?e得：x?1?lny,即x=-1+lny，所以y??1?lnx(x?0)为所求，故选D。

（2）不等式

（4）“x?3”是x?4“的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选B。

2x2y2??1的右焦点重合，则p的值为（ ） （5）若抛物线y?2px的焦点与椭圆62A．?2 B．2 C．?4 D．4

x2y2解：椭圆??1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0)，则p?4，

622故选D。

（6）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

22212? ? B．? C．? D．33333a2?23知，a?1，解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8?4则此球的直径为2，故选A。

22（7）直线x?y?1与圆x?y?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是

A．

用心 爱心 专心 123号编辑 1

A．(0,2?1) B．(2?1,2?1) C．(?2?1,2?1) D．(0,2?1) 解：由圆x?y?2ay?0(a?0)的圆心(0,a)到直线x?y?1大于a，且a?0，选A。 （8）对于函数f?x??22sinx?1(0?x??)，下列结论正确的是（ ）

sinxsinx?1(0?x??)的值域为函数

sinxA．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 解：令t?sinx,t?(0,1]，则函数f?x??11y?1?,t?(0,1]的值域，而y?1?,t?(0,1]是一个减函减，故选B。

tt????（9）将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???,0??6?平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．y?sin(x?C．y?sin(2x??) B．y?sin(x?) 66) D．y?sin(2x?) 33???????解：将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???,0??6?平移，平移后的图象所对应的解析式为y?sin?(x?象知，?(?6)，由图

7??3?，所以??2，因此选C。 ?)?1262?x?y?1?0?（10）如果实数x、y满足条件?y?1?0 ，那么2x?y的最大值为（ ）

?x?y?1?0?A．2 B．1 C．?2 D．?3 解：当直线2x?y?t过点(0，-1)时，t最大，故选B。

（11）如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形 C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形

解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?ABC若?A2B2C2是锐角111是锐角三角形，

????sinA?cosA?sin(?A)A?211??22?A12???????三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得?B2??B1，那么，A2?B2?C2?，所

222??????sinC?cosC?sin(?C)C?211??22?C12??以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。

（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率．．为（ ）

用心 爱心 专心 123号编辑 2

1234 B． C． D． 77773解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形，要得直角非等腰三角形，则每．．

A．

个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得

24，所以选C。 C83第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

3?21?3（13）设常数a?0，?ax?展开式中的系数为，则a＝_____。 x?2x??11?r?r31r4?rr4?r8?2r8?2r2解：Tr?1?C4axa=知a=。 x，由xx2?x3,得r?2,由C422???????????????????????（14）在?ABCD中，AB?a,AD?b,AN?3NC，M为BC的中点，则MN?_______。??b表示） （用a、????????????????????????1?解：由AN?3NC得4AN?3AC=3(a?b)，AM?a?b，所以

2?????3???1?1?1?MN?(a?b)?(a?b)??a?b。

42441（15）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??，若f?1???5,则

f?x?f?f?5???__________。

解：由f?x?2??411?f(x)，所以f(5)?f(1)??5，则得f?x?4??f?x?f?x?2?f?f?5???f(?5)?f(?1)?11??。

f(?1?2)5（16）平行四边形的一个顶点A在平面?内，其余顶点在?的同侧，已知其中有两个顶点

到?的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面?的距离可能是：

①1； ②2； ③3； ④4；

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号） ．．

解：如图，B、D到平面?的距离为1、2，则D、B的

3中点到平面?的距离为，所以C到平面?的距离为3；

2B、C到平面?的距离为1、2，D到平面?的距离为x，则x?1?2或x?2?1，即x?1，所以D到平面?的距

离为1；

C、D到平面?的距离为1、2，同理可得B到平面?的距离为1；所以选①③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（17）（本大题满分12分）已知0???C D

B ?4 5A 第16题图

?2,sin??sin2??sin2?（Ⅰ）求的值； 2cos??cos2?5?（Ⅱ）求tan(??)的值。

4用心 爱心 专心 123号编辑 3

解：(Ⅰ)由0????2,sin??sin??sin2?43，得cos??，所以＝

cos2??cos2?552sin2??2sin?cos??20。 23cos??1sin?45?tan??11（Ⅱ）∵tan???，∴tan(??)??。

cos?341?tan?7（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各

种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；

解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B

（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：

(0,4)、(1,3)，故P(A)?2。 15P

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：

(0,2)，故P(B)?1?(1113。 ?)?22C6C615F E

（19）（本大题满分12分）如图，P是H 边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，

A

O D PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点

O。

C （Ⅰ）证明PA⊥BF； B （Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角第19题图 的大小。

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，?ABF为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO?1，2DO?33，BO?。

22过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以?AHD为所求二

面角平面角。

166AO在?AHO中，OH=，tan?AHO?。 ?2=

43OH643DO在?DHO中，tan?DHO??2?6；

OH64用心 爱心 专心 123号编辑 4

6?646而tan?AHD?tan(?AHO??DHO)?3 ??361??63（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，?31,0)，B(，0,0)，

22????????????31,0,?1)，PD?(0,2,?1) D(0,2，0)，∴PA?(0,?,?1)，PB?(22?1?y1?1?0????????????????2设平面PAB的法向量为n1?(x1,y1,1)，则n1?PA，n1?PB，得?，

?3x?1?01??2??23n1?(,?2,1)；

3?2y2?1?0??????????????????设平面PDB的法向量为n2?(x2,y2,1)，则n2?PD，n2?PB，得?3，

x2?1?0??2???231n2?(,,1)；

32??????????n?n2?? cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|32（20）（本大题满分12分）设函数f?x??x?bx?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。

（Ⅰ）求b、c的值。

（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。

证明（Ⅰ）∵f?x??x?bx?cx，∴f??x??3x?2bx?c。从而

322g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)＝x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c是一个奇函数，所以g(0)?0得c?0，由奇函数定义得b?3；

23（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)?x?6x，从而g?(x)?3x?6，由此可知，

(??,?2)和(2,??)是函数g(x)是单调递增区间； (?2,2)是函数g(x)是单调递减区间；

g(x)在x??2时，取得极大值，极大值为42，g(x)在x?2时，取得极小值，极

小值为?42。

（21）（本大题满分12分）在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足条件

S2n4n?2?,n?1,2,?， Snn?1（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）记bn?anpn(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn。

a解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d,由

S2n4n?2a?a2?3，所以a2?2，?得：1a1Snn?1用心 爱心 专心 123号编辑 5

an?nd?a1?2n2(an?nd?a1)2(an?n?1)4n?2S2n2即d?a2?a1?1，又＝，所???a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2以an?n。

（Ⅱ）由bn?anpn，得bn?np。所以Tn?p?2p?3p???(n?1)p当p?1时，Tn?当p?1时，

a

n23n?1?npn，

n?1； 2pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1，

(1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1

1?pn?1?,p?1?2?即Tn??。 n?p(1?p)?npn?1,p?1??1?px2y2（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点。P

ab为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，PF??OF。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与?的关系式； （Ⅱ）当??1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若AB?12，求此时的双曲线方程。

解：∵四边形OFPM是?，∴|OF|?|PM|?c，作

M N O 第22题图 y H P x F a2双曲线的右准线交PM于H，则|PM|?|PH|?2，又

c|PF|?|OF|?c?c2?e2e?????，

a2a2c2?2a2e2?2|PH|c?2c?2cce2??e?2?0。

22x2y2（Ⅱ）当??1时，e?2，c?2a，b?3a，双曲线为2?2?1，设P(x0,y0)，

4a3a15aa23a22?则x0?|MP|?|ON|?c?，y0?|MN|?|OM|?|ON|?，所以直线OP

2c21515(x?2a)，代入到双曲线方程得：的斜率为，则直线AB的方程为y?334x2?20ax?29a2?0，

又AB?12，由AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2得：

529a2y222212?1?25a?4??12a，解得a?1，则b?3，所以x??1为所求。

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用心 爱心 专心 123号编辑 6

an?nd?a1?2n2(an?nd?a1)2(an?n?1)4n?2S2n2即d?a2?a1?1，又＝，所???a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2以an?n。

（Ⅱ）由bn?anpn，得bn?np。所以Tn?p?2p?3p???(n?1)p当p?1时，Tn?当p?1时，

a

n23n?1?npn，

n?1； 2pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1，

(1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1

1?pn?1?,p?1?2?即Tn??。 n?p(1?p)?npn?1,p?1??1?px2y2（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点。P

ab为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，PF??OF。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与?的关系式； （Ⅱ）当??1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若AB?12，求此时的双曲线方程。

解：∵四边形OFPM是?，∴|OF|?|PM|?c，作

M N O 第22题图 y H P x F a2双曲线的右准线交PM于H，则|PM|?|PH|?2，又

c|PF|?|OF|?c?c2?e2e?????，

a2a2c2?2a2e2?2|PH|c?2c?2cce2??e?2?0。

22x2y2（Ⅱ）当??1时，e?2，c?2a，b?3a，双曲线为2?2?1，设P(x0,y0)，

4a3a15aa23a22?则x0?|MP|?|ON|?c?，y0?|MN|?|OM|?|ON|?，所以直线OP

2c21515(x?2a)，代入到双曲线方程得：的斜率为，则直线AB的方程为y?334x2?20ax?29a2?0，

又AB?12，由AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2得：

529a2y222212?1?25a?4??12a，解得a?1，则b?3，所以x??1为所求。

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