park变换

派克变换，是将abc相变量系统各电磁量(电流、电压、磁链等)，转换到以转子纵轴d、横轴q及静止轴0为坐标轴的dqo轴变量系统，使按相坐标建立的具有时变电感的变系数微分方程，变换为轴坐标表示的电感为常数的常系数微分方程。由于定子与转子之间有相对运动及转子纵轴、横轴磁路不对称，绕组间的磁祸合将随转子转角不同而周期变化。不仅互感是转子角度的函数，定子绕组自感也受转子位置的影响。

同步电机的坐标变换

首先，我们以同步电机中各绕组的空间位置以及电流的方向来看电磁之间的关系：

abziDifZd轴XiQaccyYbq轴 图1 同步发电机的绕组空间位置

由于各绕组是相互耦合的，与各绕组相交链的磁通将包括本绕组电流所产生的磁通和由其他绕组的电流产生而与本绕组交链的那部分磁通。所以磁链方程为：

??a??Laa?????b??Mba?????c???Mca??f??Mfa?????D??MDa????M?Q??QaMabLbbMcbMfbMDbMQbMacMbcLccMfcMDcMQcMafMbfMcfLffMDfMQfMaDMbDMcDMfDLDDMQDMaQ???ia????MbQ???ib?McQ???ic????MfQ??if????MDQ??iD??iQ?LQQ???? 下面我们分析一下各自的自感与互感的系数。首先我们知道电机的旋转磁场

与各定子绕组相交链的磁通的磁路发生周期性变换且周期为，由于电感与磁阻成

反比，与绕组匝数的平方成正比。所以定子绕组的自感也成周期性变化。

Laa?l0?l2cos2?Lbb?l0?l2cos2(??120?)l0为自感的平均值，l2为自感的变化部分。 Lcc?l0?l2cos2(??120?)

由于定子绕组间的空间位置相差120度，使得定子绕组间的互感恒为负值。

Mab?Mba???m0?m2cos2(??30?)?Mbc?Mcb???m0?m2cos2(??90?)? m0为互感的平均值，m2为互感变化部分。 Mca?Mac???m0?m2cos2(??150?)?转子上的转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁阻总是不变得，所以各绕组自感是常数，转子绕组间的互感系数也是常数。直轴与交轴的互感系数均为零。

定子绕组与转子绕组的互感系数，根据转子绕组产生的磁场方向与各相绕组的轴线的关系，定子与直轴绕组的互感关系为周期为2π的余弦关系：

Maf?Mfa?mafcos?Mbf?Mfb?mbfcos(??120?) Mcf?Mfc?mcfcos(??120?)MaD?MDa?maDcos?MbD?MDb?mbDcos(??120?) McD?MDc?mcDcos(??120?)而由于转子交轴超前于直轴90度则定子绕组与交轴的阻尼绕组之间的互感关系为：

MaQ?MQa??maQsin?MbQ?MQb??mbQsin(??120?) McQ?MQc??mcQsin(??120?)有park变换不唯一，在这比较一下两种不同系数的，一种是修正之后的，一种是原始的park变换。

即列出变换矩阵为P为修正之后的Park变换，Q为原始的Park变换。

P???cos?2???sin?3?1?2??cos(??120?)cos(??120?)???sin(??120?)?sin(??120?)?11??22?

??cos?2?Q??sin?3?1??2??cos(??120?)cos(??120?)??sin(??120?)?sin(??120?)?

?11??22???abc??LSS??根据之前的磁链方程为???fDQ???M???RS??dq0??P0???abc??P0??LSS??????????????fDQ?????fDQ???0E0E????MRS??????PLSSP?1PMSR???Idq0????????MP?1?ILRR??fDQ???RSMSR???Iabc???进行park变换。 ???LRR??IfDQ??MSR??P0????0E??LRR?????1MSR???Iabc??P0??LSS?????????IfDQ???LRR?0E??MRS?????P0???Iabc????0E????IfDQ?????其中：

?Ld????????L0??3?L?l?m?l2d00?2?3??Lq?l0?m0?l2

2?L?l?2m000??? PLSSP?1Lq??33?Ld00mafmaD0???22???i?3??d??Lq000maQ??d????02???iq???q??0L0000??????0?i0?0??????3?????m00Lfmr0??if?则?f??2af???

??iD???D??3maD00mrLD0??i???Q?????2??Q???3maQ000LQ??02??同理利用Q矩阵得到原始的park变换之后的磁链方程为：

?Ld???d??0????q??0????3?0???maf??f??2???3??D??2maD??Q?????0??0Lq0003maQ200L0000maf00Lfmr0maD00mrLD00???id?maQ????0???iq?????i0??0???if????0??iD? ??i??Q?LQ???比较这两个变换之后的磁链方程，我们发现，对于原始的park变换中定子电流产生耦合转子的磁链与转子电流产生耦合定子的磁链两者的互感不相等，即定子与转子之间互感不可逆。即由转子电流产生的磁链对等效的定子绕组dd、qq的互感系数是转子对定子一相绕组ax、by、cz互感系数的幅值maf、maD、maQ。而由等效的定子绕组dd、qq电流产生的磁链对转子绕组的互感系数是定子一相绕组ax、by、cz对转子互感系数的幅值的3/2倍3 maf /2、3 maD /2、3 maQ /2。而改进的park变换则定子与转子的互感可逆。

虽然P变换与Q变换都可得到常数电感矩阵，大大简化同步电机的数学描述，但是采用P变换有两个明显的优点：

1．P变换的逆变换P?1?PT，这表明变换是正交的，从而能直接产生可逆的常数电感矩阵.

2．P变换的正交性满足恒功率变换的条件，这不仅对计算电磁功率和内转矩带来了方便。

P变换不仅使得发电机的内部的电磁关系没有变化，还保证了功率的守恒。 Q变换不是正交变换，为了解决定、转子间互感不可逆的问题需要进一步处理使得转子电流乘以2/3，同时将与转子电流有关的相应的电感系数乘以3/2，这样就能使得定子与转子的互感系数可逆，但是仍然得不到恒功率变换。

总结Park变换的意义为： 1、

从数学意义上讲，park变换没有什么，只是一个坐标变换而已，从abc坐标变换到dq0坐标，ua,ub,uc,ia,ib,ic,磁链a,磁链b,磁链c这些量都变换到dq0坐标中，如果有需要可以逆变换回来。

从物理意义上讲，park变换就是将ia,ib,ic电流投影，等效到d,q轴上，将定子上的电流都等效到直轴和交轴上去。对于稳态来说，这么一等效之后，iq、id正好就是一个常数了。

从观察者的角度来说，我们的观察已经从定子转移到转子上去，我们不再关心定子三个绕组所产生的旋点转磁场，而是关心这个等效之后的直轴和交轴所产生的旋转磁场了。

2、

3、

异步电机的Park变换

上面是以同步电机的例子介绍和对比了park变换的两种形式，下面是对异步电机的park变换，是不同于同步电机的，由于异步电机的定转子均有三相绕组，所以应分别对定子三相和转子三相进行Park变换。推导异步电机的park变化公式是分两步进行的，首先将在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组?、? 之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称 3/2 变换；其次，从两相静止坐标系到两相旋转坐标系变换称作两相—两相旋转变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示静止，r 表示旋转。最后达到了将三相静止的坐标系转换到旋转的两相坐标系下。 3/2 变换 图2 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量 图中绘出了 A、B、C 和 ?、? 两个坐标系，为方便起见，取 A 轴和 ? 轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。 当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 ?、? 轴上的投影都应相等： N2iα?N3iA?N3iBcos60??N3iCcos60??N3(iA?N2iβ?N3iBsin60??N3iCsin60??3N3(iB?iC) 211iB?iC) 22

写成矩阵形式： ??iα?N3?1??i??Nβ2?0?????12321??i?A2??i?? 3??B???i?2???C??N3?N22，得到： 3为了保证功率不变，匝数比应为?iα??i???β?1?1?2?2?33?0?2?1??i?A?2?i??3??B? ?????iC?2??C3/2?1?1?2?2?33?0?2?1?2??3? ?2???由于三相相电流在电源的Y型与三角形联接下iA + iB + iC = 0。则可得到简化3/2变换矩阵： C3/2??iα????????iβ????3212?0??i???A?iB? ??2??两相—两相旋转变换（2s/2r变换）

两相交流电流 i?、i?和两个直流电流 im、it 产生同样的以同步转速?1旋转的合成磁动势 Fs ； M，T 轴和矢量 Fs（ is ）都以转速 ?1 旋转，分量 im、it 的长短不变，相当于M，T绕组的直流磁动势。 但 ?、? 轴是静止的，? 轴与 M 轴的夹角 ? 随时间而变化，因此 is 在 ?、? 轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，i?、i?和 im、it之间存在下列关系：

iα?imcos??itsin?iβ?imsin??itcos?

写成矩阵形式：

?iα??cos??i????β??sin??sin???im??im??i??C2r/2s?i? ?cos???t??t??1我们想要将两相交流电流 i?、i? 转换成两个直流电流 im、i t则：

?im??cos??i????t??sin??sin???iα??cos?sin???iα??i????i? ?cos???β???sin?cos????β?则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是 ：

C2s/2r?cos?sin?????

?sin?cos???即从abc轴到αβ轴再到mt轴这之间的两次变化使得从三相静止的坐标系下

转换到两相旋转坐标系下：

1?1??im??cos?sin???iα?2?cos?sin???2??i???i??????33??sin?cos????t???sin?cos???β?0?2?1??i?A?2?i???B?3???iC???2????2?3?cos?cos(??120?)cos(??120?)???iA????sin??sin(??120?)?sin(??120?)???iB???iC??其中???t。

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