2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科） 解析版

2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、选择题（每题5分） 1．（5分）（2016春?厦门期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（ ） A． B．5 C． D．10 2．（5分）（2016春?厦门期末）用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（ ） A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数

C．a，b，c至多两个负数 D．a，b，c至多一个负数

3．（5分）（2016春?厦门期末）已知命题p：?x∈R，x+x+1≤0，则（ ）

2

A．p是真命题，￢p：?x0∈R，使得x0+x0+1＞0

2

B．p是真命题，￢p：?x∈R，使得x+x+1＞0

2

C．p是假命题，￢p：?x0∈R，使得x0+x0+1＞0

2

D．p是假命题，￢p：?x∈R，使得x+x+1＞0 4．（5分）（2016春?厦门期末）函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（ ） A．f（（

）=f′（）=f′（

）

）

B．f（

）=f′（

）

C．f（

）=f′（

）

D．f

2

5．（5分）（2016春?厦门期末）2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的2×2列联表：

不喜喜欢 欢足总计 足球 球 35 15 50 男 25 25 50 女 60 40 100 总计 参考公式k=临界值表： 2P（K≥k0） 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 k0 2

，（其中n=a+b+c+d）

参照临界值表，下列结论正确的是（ ）

A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关” B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关” D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关” 6．（5分）（2016春?厦门期末）下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（ ）

A．独脚难行，孤掌难鸣 B．前人栽树，后人乘凉

C．物以类聚，人以群分 D．飘风不终朝，骤雨不终日

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2

7．（5分）（2016春?厦门期末）已知过双曲线Г：

2

2

2

作圆x+y=a的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（ ）

A．y=±2x B．y=±x C．y=±

x D．y=±

x

8．（5分）（2016春?厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x?f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（ ）

A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3） 9．（5分）（2016春?厦门期末）“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x+ax+bx+a在x=1处有极值10“的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（5分）（2016春?厦门期末）记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…Cn﹣1的外切正三角形的外接圆为Cn，则C16的面积是（ ）

3

2

2

A．2?π B．2?π C．2?π D．2?π 11．（5分）（2016春?厦门期末）函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

15

16

30

32

A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx

C．f（x）=lnx+sinx

2

D．f（x）=lnx﹣cosx

12．（5分）（2016春?厦门期末）点M在抛物线C：x=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（ ） A．点Q在圆M内 B．点Q在圆M上 C．点Q在圆M外 D．以上结论都有可能

二、填空题（每题5分） 13．（5分）（2016春?厦门期末）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数

= ．

14．（5分）（2016春?厦门期末）已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关

2

于x的不等式x﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是 ． 15．（5分）（2016春?厦门期末）已知点P是椭圆Г：

=1（a＞b＞0）上的一点，F1、

2

F2为椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为是 ．

16．（5分）（2016春?厦门期末）已知函数f（x）=

a，则椭圆的离心率

（m≠0），则下列结论正确的是

①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）； ②函数f（x）的极值点是x=±；

③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；

④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．

三、解答题

17．（10分）（2016春?厦门期末）已知函数f（x）=x﹣3x﹣9x﹣3 （1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值； （2）求函数f（x）的极值． 18．（12分）（2016春?厦门期末）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格： 网店 A B C D 名称 x 3 4 6 7 y 11 12 20 17 由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系 （1）求y与x的回归直线方程；

2

（2）在（1）的回归模型中，请用R说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）

3

2

参考公式：：；；R═1﹣

2

参考数据：

xiyi=320；

x=110．

2

19．（12分）（2016春?厦门期末）椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线

l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．

（1）求椭圆Г的方程；

（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直． 20．（12分）（2016春?厦门期末）厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：

f（x）=

若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．

（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；

（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）

2

21．（12分）（2016春?厦门期末）抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ| （1）求抛物线的方程；

（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．

2x

22．（12分）（2016春?厦门期末）函数f（x）=（﹣x+ax+a）e（a＞0，e是自然常数） （1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是

3

2

，求a的值；

（2）当x∈（0，1]时，证明：2x﹣x﹣x＞

．

2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分） 1．（5分）（2016春?厦门期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（ ） A． B．5 C． D．10

【分析】由已知求得a，b的值，然后代入复数模的计算公式得答案． 【解答】解：∵3+bi与a﹣i互为共轭复数， ∴a=3，b=1， 则|a+bi|=|3+i|=

．

故选：C．

【点评】本题考查共轭复数的概念，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题． 2．（5分）（2016春?厦门期末）用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（ ） A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数

C．a，b，c至多两个负数 D．a，b，c至多一个负数

【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．

【解答】解：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”， 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”， 故选：B．

【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．

3．（5分）（2016春?厦门期末）已知命题p：?x∈R，x+x+1≤0，则（ ）

2

A．p是真命题，￢p：?x0∈R，使得x0+x0+1＞0

2

B．p是真命题，￢p：?x∈R，使得x+x+1＞0

2

C．p是假命题，￢p：?x0∈R，使得x0+x0+1＞0

2

D．p是假命题，￢p：?x∈R，使得x+x+1＞0 【分析】根据一元二次函数和不等式的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

【解答】解：命题是全称命题， ∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，

2

∴?x∈R，x+x+1＞0，故命题p是假命题，

2

∵命题是全称命题则命题的否定是￢p：?x0∈R，使得x0+x0+1＞0， 故选：C．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定以及全称命题的真假判断，比较基础．

2

4．（5分）（2016春?厦门期末）函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（ ） A．f（（

）=f′（）=f′（

）

）

B．f（

）=f′（

）

C．f（

）=f′（

）

D．f

【分析】根据基本导数公式求导，再根据各选项可知若f（x）=f′（x），则sinx=cosx，判断即可．

【解答】解：∵f（x）=sinx， ∴f′（x）=cosx， 若f（x）=f′（x）， ∴sinx=cosx， ∴sin∴f（

=cos）=f′（

， ），

故选：D．

【点评】本题考查了导数的运算法则和三角函数值，属于基础题． 5．（5分）（2016春?厦门期末）2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的2×2列联表：

不喜喜欢 欢足总计 足球 球 35 15 50 男 25 25 50 女 60 40 100 总计 参考公式k=临界值表： P（K≥k0） 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 k0 参照临界值表，下列结论正确的是（ ） A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关” B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关” D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”

【分析】根据条件求出观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.17＞3.841，即可得到结论．

【解答】解：由题意K=由于P（x≥3.841）≈0.05，

2

2

22

，（其中n=a+b+c+d）

≈4.17，

∴有95%把握认为“喜欢足球与性别相关”． 故选：A．

【点评】本题考查独立性检验的应用，解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义． 6．（5分）（2016春?厦门期末）下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（ ）

A．独脚难行，孤掌难鸣 B．前人栽树，后人乘凉

C．物以类聚，人以群分 D．飘风不终朝，骤雨不终日 【分析】利用归纳推理、演绎推理的定义，即可得出结论．

【解答】解：由题意，根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程， 可得A，C，D是归纳推理，B是演绎推理， 故选：B． 【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．

7．（5分）（2016春?厦门期末）已知过双曲线Г：

2

2

2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2

作圆x+y=a的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（ ）

A．y=±2x B．y=±x C．y=±

x D．y=±

x

【分析】设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双

22

曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c=5a，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程． 【解答】解：设切点为M，连接OM， 可得OM⊥AF2，

AF1⊥AF2，可得AF1∥OM， 且OM=a，AF1=2a，

由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a， 在直角三角形AF1F2中，

222AF1+AF2=F1F2，

222

即为4a+16a=4c，

22

即有c=5a，

222

由c=a+b，可得b=2a，

可得双曲线的渐近线方程为y=±x， 即为y=±2x． 故选：A．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查运算能力，属于中档题． 8．（5分）（2016春?厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x?f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（ ）

A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3） 【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式． 【解答】解：设g（x）=xf（x），

则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0， 即函数g（x）=xf（x）单调递减， 显然g（2）＞g（3）， 则2f（2）＞3f（3）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

9．（5分）（2016春?厦门期末）“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x+ax+bx+a在x=1处有极值10“的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】利用导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．

【解答】解：f（x）=x+ax+bx+a，f′（x）=3x+2ax+b． ∵f（x）在x=1处有极值10，

2

∴f′（1）=3+2a+b=0，1+a+b+a=10，

2

化为a﹣a﹣12=0， 解得a=4或a=﹣3．

反之不成立，f（x）在x=1处不一定有极值10．

322

故“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x+ax+bx+a在x=1处有极值10”的必要不充分条件． 故选：A． 【点评】本题考查了导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（5分）（2016春?厦门期末）记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…Cn﹣1的外切正三角形的外接圆为Cn，则C16的面积是（ ）

3

2

2

2

3

2

2

A．2?π B．2?π C．2?π D．2?π

15

【分析】由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为2，即可求出C16的面积．

15

【解答】解：由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为2，

30

∴C16的面积是2?π， 故选：C．

【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，确定C16的半径是关键． 11．（5分）（2016春?厦门期末）函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

15

16

30

32

A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx 【分析】由图象可知，f（1）＞f（再比较即可．

【解答】解：由图象可知，f（1）＞f（

C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx

），

）＞0，分别对A，B，C，D计算f（1），f（

）＞0，

当x=1时，对于A：f（1）=ln1﹣sin1＜0，不符合，

对于D，f（1）=ln1﹣cos1＜0，不符合， 对于B：∵f（对于C：∵f（

）=ln）=ln

+cos+sin

=ln=ln

，f（1）=ln1+cos1=cos1， +1，f（1）=ln1+sin1=sin1，∴f（

）＞f（1），不

符合

故选：B

【点评】本题考查了函数图象的识别，最关键是利用排除法和函数值得变化趋势，属于基础题．

12．（5分）（2016春?厦门期末）点M在抛物线C：x=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（ ） A．点Q在圆M内 B．点Q在圆M上 C．点Q在圆M外 D．以上结论都有可能

【分析】设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论． 【解答】解：设P（a，b），则 ∵x=2py，∴y=

2

2

x，∴y′=，

2

∴过P的切线的方程为y﹣b=（x﹣a），即y=x﹣b，

令y=0，可得x=

2

=，

代入抛物线C：x=2py，可得y==，

∴M（，）

OP的中点为Q（，），∴|MQ|=，

∴点Q在圆M上， 故选：B．

【点评】本题考查抛物线与圆的方程的综合，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

二、填空题（每题5分） 13．（5分）（2016春?厦门期末）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数

=

．

【分析】由图得到点Z对应的复数z，代入复数化简，则答案可求．

【解答】解：由图可知：z=﹣1+2i． 则复数故答案为：

=

．

=

，

，然后利用复数代数形式的乘除运算

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 14．（5分）（2016春?厦门期末）已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关

2

于x的不等式x﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ． 【分析】根据不等式恒成立求出命题q的等价条件，结合p且q是真命题，建立不等式关系进行求解即可．

2

【解答】解：命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x﹣a≤0恒成立，

2

即a≥x，恒成立，

2

∵0≤x≤1，

∴a≥1，

若p且q是真命题，则p，q同时为真命题， 则

，即a≥2，

故答案为：[2，+∞）

【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．

15．（5分）（2016春?厦门期末）已知点P是椭圆Г：

=1（a＞b＞0）上的一点，F1、

2

F2为椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为 ．

【分析】由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为

a，则椭圆的离心率是

a，可得|PF1|?|PF2|．再根据椭圆的定义可

2

得|PF1|+|PF2|=2a，利用余弦定理得到a，c的关系，即可求出椭圆的离心率． 【解答】解：由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为F1PF2=

|PF1|?|PF2|=

2

a，可得|PF1|?|PF2|?sin∠

2

a，

2

∴|PF1|?|PF2|=a．

再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a．

2222

再利用余弦定理可得4c=|PF1|+|PF2|﹣2|PF1||PF2|?cos60°=（|PF1|+|PF2|）﹣

22

3PF1?PF2=4a﹣3a， 求得a=2c，∴e==． 故答案为：．

【点评】本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．

16．（5分）（2016春?厦门期末）已知函数（fx）=

（m≠0），则下列结论正确的是 ①④

①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）； ②函数f（x）的极值点是x=±；

③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；

④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个． 【分析】利用函数的解析式对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①∵f（﹣x）=﹣

=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，

∵f（0）=0，∴函数f（x）过点（0，0），故正确；

②m＞0，函数f（x）的极值点是x=±；，故不正确

③当m＜0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=单调递减函数，故不正确；

④当m＞0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=

，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）

，大致图象如图所示

所以函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．正确． 故答案为：①④．

【点评】本题考查函数的解析式与性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题

32

17．（10分）（2016春?厦门期末）已知函数f（x）=x﹣3x﹣9x﹣3 （1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值； （2）求函数f（x）的极值．

2

【分析】（1）求导数，f′（x）=3x﹣6x﹣9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x0的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；

（2）根据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值．

【解答】解：（1）f′（x）=3x﹣6x﹣9， 根据题意，

∴x0=0，或2；

∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3； ∴切线方程为y=﹣9x﹣3； ∴b=﹣3；

②当x0=2时，f（x0）=﹣25； 切线方程为y=﹣9x﹣7；

；

2

∴b=﹣7；

（2）f′（x）=3（x﹣3）（x+1）；

∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0； ∴f（x）的极大值为f（﹣1）=2，f（x）的极小值为f（3）=﹣30．

【点评】考查函数在函数图象上某点的导数的几何意义，直线的点斜式方程，以及二次函数的图象，极大值和极小值的概念及求法． 18．（12分）（2016春?厦门期末）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格： 网店 A B C D 名称 x 3 4 6 7 y 11 12 20 17 由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系 （1）求y与x的回归直线方程；

（2）在（1）的回归模型中，请用R说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）

2

参考公式：：；；R═1﹣

2

参考数据：

xiyi=320；

x=110．

2

【分析】（1）根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

22

（2）相关指数R的计算公式，求得R的值，即可求得销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的． 【解答】解：（1）由=

=5，=

=15，

xiyi=320，

=110，

===2，

∴=15﹣2×5=5，

∴线性回归方程为=2x+5； （2）

（yi﹣

）=54，

2

（yi﹣

）=14，

2

R═1﹣

2

=1﹣=0.74，

说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的． 【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法求线性回归方程的系数及相关指数的计算，考查样本中心点的求法，属于基础题．

19．（12分）（2016春?厦门期末）椭圆Г：

=1（a＞b＞0）过点（1，

），且直线

l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．

（1）求椭圆Г的方程；

（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．

【分析】（1）利用点到直线的距离公式整理可知a=2b，将点（1，可知a=2、b=1，进而可得结论；

（2）通过设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），结合中点坐标公式，将点M、N代入椭圆方程并做差，计算即得结论． 【解答】（1）解：椭圆中心到l的距离为

=

=×2c，即a=2b，

）代入椭圆方程计算

点（1，）代入椭圆方程，得：a=2、b=1，

+y=1；

2

∴椭圆Г的方程为：

（2）证明：法一：设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），

则，，

∵?=﹣，即?=﹣，

∴kMN?kOP=﹣≠﹣1，即直线MN与直线OP不垂直．

法二：设直线方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）， 联立

，整理得：（1+4k）x+8kbx+4b﹣4=0，

2

2

2

∴x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2b=

，

∴kOP=

==﹣，

∵kMN?kOP=﹣≠﹣1，

∴直线MN与直线OP不垂直．

【点评】本题考查椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 20．（12分）（2016春?厦门期末）厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：

f（x）=

若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．

（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；

（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7） 【分析】（1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=﹣4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值；

（2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围． 【解答】解：（1）由题意可知，当x=2时，f（2）=5.2， 即有aln2﹣×2+×2=5.2，解得a=﹣4．

2

则f（x）=．

当2≤x≤15时，f（x）=﹣4lnx﹣x+x， f′（x）=﹣﹣x+=﹣

，

2

当2＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当8＜x＜15时，f′（x）＜0，f（x）递减．

当2≤x≤15时，f（x）max=f（8）=﹣4ln8﹣16+36=11.6． 当0＜x＜2时，f（x）＜2×4﹣（2ln2）×2=5.2． 故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大；

2

（2）当0＜x＜2时，2x﹣（2ln2）x＜0，

解得0＜x＜ln2，该企业亏本；

当2≤x≤15时，f（2）=5.2，f（15）=﹣4ln15﹣×15+×15=0.45＞0，

则f（x）min=f（15）=0.45＞0，

综上可得，0＜x＜ln2，即0＜x＜0.7时，该企业亏本．

【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．

21．（12分）（2016春?厦门期末）抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ| （1）求抛物线的方程；

（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值． 【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，以及P，Q的坐标，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程；

（2）设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，|CD|，由四边形的面积公式可得S=|AB||CD|，运用基本不等式即可得到所求最小值．

【解答】解：（1）抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣， 由题意可得P（，4），Q（0，4），

由|PF|=2|PQ|，结合抛物线的定义可得|PF|=+， 即有+=2?（p＞0），解得p=4， 则抛物线的方程为y=8x； （2）由（1）知：F（2，0），

设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），

联立AB方程与抛物线的方程得：y﹣8my﹣16=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16， ∴|AB|==

?

?

=8（1+m）， ）．

2

2

2

2

2

2

2

同理：|CD|=8（1+

∴四边形ACBD的面积：S=|AB||CD|=32（1+m）（1+=32（2+m+

2

）

）≥128．

2

当且仅当m=即：m=±1时等号成立．

∴四边形ACBD的面积的最小值为128．

【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，四边形面积的最值以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．

22．（12分）（2016春?厦门期末）函数f（x）=（﹣x+ax+a）e（a＞0，e是自然常数） （1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是

3

2

2

x

，求a的值；

（2）当x∈（0，1]时，证明：2x﹣x﹣x＞．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；

（2）问题转化为（﹣x+x+）e＜（x）=

（1﹣

2

x

（1﹣），设g（x）=﹣x+x+）e，设h

2x

），根据函数的单调性分别求出其最大值和最小值，从而证出结论．

x

【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）e，

a＞0时，由f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，

∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减， a≥1时，f（x）在[0，1]递增， ∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e=

，解得：a=

+＜1，不合题意，舍，

0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减， ∴f（x）max=f（a）=ae=

a

，解得：a=，符合题意，

；

综上，存在a=，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是

3

2

（2）当x∈（0，1]时，要证：2x﹣x﹣x＞，

即证（﹣x+x+）e＜

2

x

2x

（1﹣），

设g（x）=﹣x+x+）e， 由（1）可得g（x）max=g（）=设h（x）=

（1﹣

，

），h′（x）=，

h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）=

，

∴（﹣x+x+）e＜

3

2

2x

（1﹣），

即2x﹣x﹣x＞．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一

道中档题．

参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；546278733@qq.com；maths；whgcn；双曲线；沂蒙松；wkl197822；990524069@qq.com；cst；1619495736（排名不分先后） 菁优网

2016年9月4日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/82ut.html