2012全国初中数学联赛试题
更新时间:2023-03-29 04:38:01 阅读量: 建筑文档 文档下载
1
一、选择题(共5小题,每小题6分,共60分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数
||||a b b c ++可以化简为( ).
(A )2c -a (B )2a -2b (C )-a (D )a 2.如果2a =-111
23a
+
+
+的值为( ).
(A )(B (C )2 (D )3.如果正比例函数y = ax (a ≠ 0)与反比例函数y =x
b
(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一
个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).
(A )(2,3) (B )(3,-2) (C )(-2,3) (D )(3,2)
4. 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2+y 2≤2x +2y 的整数点坐标(x ,y )的个数为( ).
(A )10 (B )9 (C )7 (D )5
5.如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A )1 (B )
214
a - (C )12 (D )1
4
6.如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=?,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ).
(A )23 (B )4
(C )52 (D )4.5
2 7.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ).
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
8.如果关于x 的方程 20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( ).
(A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8
9.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则
0123p p p p ,,,中最大的是( )
. (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p
10.黑板上写有1
11123100
, , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).
(A )2012 (B )101 (C )100 (D )99
二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)
11.按如图的程序进行操作,规定:程序运行
从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次
操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 .
12.如图,正方形ABCD 的边长为
E ,
F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB
分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .
13.如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2-3k +92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111
x x 的值为 .
14.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分.
比赛结束后,所
3 有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .
15.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,
AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD ,
交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线
交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的
长为 .
三、解答题(共4题,每题15分,共60分)
16.已知二次函数232y x m x m =++++(),当13x -<<时,恒有0y <;关于x 的方程2320x m x m ++++=()的两个实数根的倒数和小于910
-
.求m 的取值范围.
7.如图,⊙O 的直径为AB ,⊙O 1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B .C 为⊙O 上的点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >.点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O 交于点F ,求证:△BOC ∽△1DO F .
4 18.已知整数a ,b 满足:a -b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值.
19.求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ,, ,,满足122012x x x <<< ,且122012
122012
n x x x +++= .
2012年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1 。C
解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知
b a c
<<<,且b c
>,
所以
||||()()()
a b b c a a b c a b c
++=-+++--+a
=-.
2.B
解:
11
111
11
22
3a
+=+=+
++
+
111
===.3.D
解:由题设知,2(3)
a
-=?-,(3)(2)b
-?-=,所以
2
6
3
a b
==
,.
解方程组
2
3
6
y x
y
x
?
=
??
?
?=
??
,
,
得
3
2
x
y
=-
?
?
=-
?
,
;
3
2.
x
y
=
?
?
=
?
,
所以另一个交点的坐标为(3,2).
注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).
4.B
解:由题设x2+y2≤2x+2y,得0≤22
(1)(1)
x y
-+-≤2.
因为x y
,均为整数,所以有
2
2
(1)0
(1)0
x
y
?-=
?
?
-=
??
,
;
2
2
(1)0
(1)1
x
y
?-=
?
?
-=
??
,
;
2
2
(1)1
(1)0
x
y
?-=
?
?
-=
??
,
;
2
2
(1)1
(1) 1.
x
y
?-=
?
?
-=
??
,
解得
1
1
x
y
=
?
?
=
?
,
;
1
2
x
y
=
?
?
=
?
,
;
1
x
y
=
?
?
=
?
,
;
1
x
y
=
?
?
=
?
,
;
x
y
=
?
?
=
?
,
;
2
x
y
=
?
?
=
?
,
;
2
1
x
y
=
?
?
=
?
,
;
2
x
y
=
?
?
=
?
,
;
2
2.
x
y
=
?
?
=
?
,以上共计9对x y
(,).
5.D
解:由题设知,1112
a a
b a b
<+<++<+,所以这四个数据的平均数为
5
6 1(1)(1)(2)34244
a a
b a b a b +++++++++=, 中位数为 (1)(1)44224
a a
b a b ++++++=, 于是 4423421444
a b a b ++++-=. 6.B
解:如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE .
由于AC = BC ,CD = CE ,
∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE ,
所以△BCD ≌△ACE , BD = AE .
又因为30ADC ∠=?,所以90ADE ∠=?.
在Rt △ADE 中,53AE AD ==,,
于是DE
4=,所以CD = DE = 4.
7.D
解:设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ,均为非负整数. 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-??+=-?,,
消去x 得 (2y -7)n = y +4,
2n =7
21517215)72(-+=-+-y y y . 因为1527
y -为正整数,所以2y -7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11.从而n 的值分别为8,3,2,1;x 的值分别为14,7,6,7.
8.C
解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负.由二
次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即 39p q +<. 由
于p q ,都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5;或 2p =,1≤q ≤2,此时都有240p q ?=+>. 于
是共有7组p q (,)符合题意.
9.
D
7 解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p =
===,,,,因此3p 最大.
10.C
解:因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则
111
1(11)(1)(1)(1)23100x +=++++ ,
解得 1101x +=,100x =.
二、填空题
11.7<x ≤19
解:前四次操作的结果分别为
3x -2,3(3x -2)-2 = 9x -8,3(9x -8)-2 = 27x -26,3(27x -26)-2 = 81x -80.
由已知得
27
x 26≤487,
81x 80>487.
解得 7<x ≤19.
容易验证,当7<x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是
7<x ≤19.
12.8
解:连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知
△BFN ∽△DAN ,所以
2
1AD AN DN BF NF BN ===,
由此得2AN NF =,所以2
3AN AF =.
在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==,,所以
AF , 于是 cos AB BAF AF ∠==.
由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,
8 0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠= . 于是
cos AM AE BAF =?∠=,
23MN AN AM AF AM =-=-=, 415
MND AFD S MN S AF ??==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ?=??=,所以2481515
MND AFD S S a ??==.
因为a 8MND S ?=.
13.3
2- 解:根据题意,关于x 的方程有
?=k 2-4239(3)42k k -+≥0, 由此得 (k -3)2≤0.
又(k -3)2≥0,所以(k -3)2=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +4
9=0,解得x 1=x 2=32-. 故2012220111
x x =2
1x =23-. 14.8
解:设平局数为a ,胜(负)局数为b ,由题设知
23130a b +=,
由此得0≤b ≤43.
又 (1)(2)2
m m a b +++=
,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43, 87≤(1)(2)m m ++≤130,
由此得 8m =,或9m =.
当8m =时,405b a ==,;当9m =时,2035b a ==,,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =.
15.2
23 解:如图,连接AC ,BD ,OD .
9 由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O
的内接四边形,所以
∠BCF =∠BAD ,
所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此 BC BA CF AD
=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是 2DE OE DC OB
==. 因此 223DE CD AD CE AD ===,.
由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ?=?.因为322BA AE BE BA =
=,, 所以 32322
BA AD AD BA ?=?,BA =22AD ,故 AD CF BC BA =?
==三、解答题
16.解: 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以
23420m m ?=+-+>()(),
即
2
10m +>(),所以1m ≠-. …………(3分)
当1x =-时,y ≤0;当3x =时,y ≤0,即 2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,
且 2
33(3)2m m ++++≤0,
解得m ≤5-.
…………(8分)
设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ,,由一元二次方程根与系数的关系得
()121232x x m x x m +=-+=+,.
10 因为1211910
x x +<-,所以 121239210
x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-.
因此12m <-.
…………(15分)
17. 证明:连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以
90ODB ∠=?.又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形.
…………(5分)
设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=?.又
因
为OC OB =,所以 22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠.
…………(10分)
又因为1BOC DO F ∠∠,分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以
△BOC ∽△1DO F .
…………(15分)
18.解:设a -b = m (m 是素数),ab = n 2(n 是正整数).
因为 (a +b )2-4ab = (a -b )2,
所以 (2a -m )2-4n 2 = m 2,
(2a -m +2n )(2a -m -2n ) = m 2
.
…………(5分)
因为2a -m +2n 与2a -m -2n 都是正整数,且2a -m +2n >2a -m -2n (m 为素数),所以 2a -m +2n =m 2,2a -m -2n =1. 解得 a =2(1)4m +,n =214
m -. 于是 b = a -m =214
m -(). …………(10分)
11 又a ≥2012,即2
(1)4
m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892
+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =. 因此,a 的最小值为2025.
…………(15分)
19.解:由于122012x x x ,, ,都是正整数,且122012x x x <<< ,所以
1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012.
于是 122012122012n x x x =+++ ≤122012201212
2012+++= . …………(5分)
当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==?=? ,, ,,则
122012
1220121x x x +++= . …………(10分)
当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k === ,, ,, 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-?,,,则
1220121220121(2012)2012k k x x x k
+++=+-?- 1k n =+=. 综上,满足条件的所有正整数n 为1
22012 , , , . …………(15分)
正在阅读:
2012全国初中数学联赛试题03-29
荆州市“中国制造2025”国家级示范区创建方案编制咨询(目录)04-07
国际货币基金组织IMF在线数据库试用通知09-23
情绪管理与职场减压-试题(B)10-15
雨巷作文350字06-20
- 在担当责任中培养主人翁意识
- 疫苗信任危机下的自我救赎
- 2015年湖南省农村信用社招考复习资料
- 《草原》课外阅读:五月的青岛(老舍)
- 最低生活保障申请审批流程
- 2015年中央财经大学保险硕士考研经验汇总@才思
- 司法考试必备—民法笔记(4)
- 2012初级会计实务讲义--行政事业单位会计
- 论东北三省跨界民族非物质文化遗产保护方式
- M4735A-SHANGHAI除颤仪
- 《那一年,面包飘香》
- word上机操作基础试题
- 用双脚弹钢琴的人
- 关于学会感恩的作文
- 2014年一月货币基金BR收益排名
- 二年级语文下册《画风》教学设计及教学反思
- 公因数和最大公因数 0
- 水产用药常识及注意事项
- 通用电气对中国的借鉴意义
- 龙年束姓女孩大气雅致取名大全
- 试题
- 联赛
- 初中
- 数学
- 全国
- 2012
- 2014届中考历史复习课件:第20课时 资产阶级统治的巩固与扩大(
- 成长故事开头和结尾
- 大棚型日光温室光照_温度及湿度等性能的初步研究
- 回访母校总结报告
- 2012证券投资分析章后习题及答案详解(1-9章全)
- 冠华期货8月2日螺纹钢和黄金期货日评.
- 纳米技术相关知识
- 销售人员的胜任力(能力素质模型)
- 最简单的制冷由四大要件组成
- C19027S 在深化改革扩大开放中不断提高金融服务实体经济的能力,
- 内燃观光车司机培训考核试卷及答案B
- 湖南师范大学新闻与传播学院专业介绍
- 《把童年还给童年》读后感
- led产品详细描述
- “走进家庭、携手育人”大家访活动实施方案
- 分析主题酒店的主题选择及主题设计
- 羟基磷灰石合成方案
- 高考新闻点评(教案)
- 华师大网络教育选修课《计算机应用基础统考》平时作业答案
- 旅游管理专业办学特色研究_以民办高校为例