2012全国初中数学联赛试题

1

一、选择题（共5小题，每小题6分，共60分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数

||||a b b c ++可以化简为（ ）．

（A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a 2．如果2a =-111

23a

+

+

+的值为（ ）．

（A ）（B （C ）2 （D ）3．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x

b

（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一

个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．

（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）

4． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．

（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5

5．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）

214

a - （C ）12 （D ）1

4

6．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．

（A ）23 （B ）4

（C ）52 （D ）4.5

2 7．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

8．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．

（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8

9．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则

0123p p p p ，，，中最大的是（ ）

． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p

10．黑板上写有1

11123100

，　，　 ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．

（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

11．按如图的程序进行操作，规定：程序运行

从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次

操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .

12．如图，正方形ABCD 的边长为

E ，

F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB

分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .

13．如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111

x x 的值为 ．

14．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.

比赛结束后，所

3 有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .

15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，

AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，

交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线

交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的

长为 .

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

16．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910

-

．求m 的取值范围．

7．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1O 过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与1O 交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与1O 交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．

4 18．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.

19．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<< ，且122012

122012

n x x x +++= .

2012年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1 。C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

b a c

<<<，且b c

>，

所以

||||()()()

a b b c a a b c a b c

++=-+++--+a

=-．

2．B

解：

11

111

11

22

3a

+=+=+

++

+

111

===．3．D

解：由题设知，2(3)

a

-=?-，(3)(2)b

-?-=，所以

2

6

3

a b

==

，.

解方程组

2

3

6

y x

y

x

?

=

??

?

?=

??

，

，

得

3

2

x

y

=-

?

?

=-

?

，

；

3

2.

x

y

=

?

?

=

?

，

所以另一个交点的坐标为（3，2）.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

4．B

解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤22

(1)(1)

x y

-+-≤2.

因为x y

，均为整数，所以有

2

2

(1)0

(1)0

x

y

?-=

?

?

-=

??

，

；

2

2

(1)0

(1)1

x

y

?-=

?

?

-=

??

，

；

2

2

(1)1

(1)0

x

y

?-=

?

?

-=

??

，

；

2

2

(1)1

(1) 1.

x

y

?-=

?

?

-=

??

，

解得

1

1

x

y

=

?

?

=

?

，

；

1

2

x

y

=

?

?

=

?

，

；

1

x

y

=

?

?

=

?

，

；

1

x

y

=

?

?

=

?

，

；

x

y

=

?

?

=

?

，

；

2

x

y

=

?

?

=

?

，

；

2

1

x

y

=

?

?

=

?

，

；

2

x

y

=

?

?

=

?

，

；

2

2.

x

y

=

?

?

=

?

，以上共计9对x y

（，）.

5．D

解：由题设知，1112

a a

b a b

<+<++<+，所以这四个数据的平均数为

5

6 1(1)(1)(2)34244

a a

b a b a b +++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224

a a

b a b ++++++=， 于是 4423421444

a b a b ++++-=. 6．B

解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE .

由于AC = BC ，CD = CE ，

∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE ，

所以△BCD ≌△ACE ， BD = AE .

又因为30ADC ∠=?，所以90ADE ∠=?.

在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，

于是DE

4=，所以CD = DE = 4.

7．D

解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-??+=-?，，

消去x 得 (2y －7)n = y +4，

2n =7

21517215)72(-+=-+-y y y . 因为1527

y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．

8．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二

次函数2y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2330p q -->，即 39p q +<. 由

于p q ，都是正整数，所以1p =，1≤q ≤5；或 2p =，1≤q ≤2，此时都有240p q ?=+>. 于

是共有7组p q （，）符合题意．

9．

D

7 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p =

===，，，，因此3p 最大．

10．C

解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则

111

1(11)(1)(1)(1)23100x +=++++ ，

解得 1101x +=，100x =．

二、填空题

11．7＜x ≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.

由已知得

27

x 26≤487，

81x 80＞487.

解得 7＜x ≤19.

容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是

7＜x ≤19．

12．8

解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知

△BFN ∽△DAN ，所以

2

1AD AN DN BF NF BN ===，

由此得2AN NF =，所以2

3AN AF =.

在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以

AF ， 于是 cos AB BAF AF ∠==.

由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，

8 0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠= . 于是

cos AM AE BAF =?∠=，

23MN AN AM AF AM =-=-=， 415

MND AFD S MN S AF ??==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ?=??=，所以2481515

MND AFD S S a ??==.

因为a 8MND S ?=.

13．3

2- 解：根据题意，关于x 的方程有

?=k 2－4239(3)42k k -+≥0， 由此得 (k －3)2≤0．

又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +4

9=0，解得x 1=x 2=32-. 故2012220111

x x =2

1x =23-． 14．8

解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知

23130a b +=，

由此得0≤b ≤43.

又 (1)(2)2

m m a b +++=

，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43， 87≤(1)(2)m m ++≤130，

由此得 8m =，或9m =.

当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =．

15．2

23 解：如图，连接AC ，BD ，OD .

9 由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O

的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD ,

所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此 BC BA CF AD

=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是 2DE OE DC OB

==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.

由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ?=?．因为322BA AE BE BA =

=，， 所以 32322

BA AD AD BA ?=?，BA =22AD ，故 AD CF BC BA =?

==三、解答题

16．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以

23420m m ?=+-+>（）（），

即

2

10m +>（），所以1m ≠-． …………（3分）

当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即 2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，

且 2

33(3)2m m ++++≤0，

解得m ≤5-．

…………（8分）

设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得

()121232x x m x x m +=-+=+，．

10 因为1211910

x x +<-，所以 121239210

x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．

因此12m <-．

…………（15分）

17． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以

90ODB ∠=?．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形．

…………（5分）

设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=?．又

因

为OC OB =，所以 22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．

…………（10分）

又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以

△BOC ∽△1DO F ．

…………（15分）

18．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）.

因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，

所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，

(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2

.

…………（5分）

因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以 2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1. 解得 a =2(1)4m +，n =214

m -. 于是 b = a －m =214

m -（）. …………（10分）

11 又a ≥2012，即2

(1)4

m +≥2012. 又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892

+=2025. 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.

…………（15分）

19．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数，且122012x x x <<< ，所以

1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．

于是 122012122012n x x x =+++ ≤122012201212

2012+++= ． …………（5分）

当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==?=? ，，　，，则

122012

1220121x x x +++= . …………（10分）

当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k === ，，　，， 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-?,，，则

1220121220121(2012)2012k k x x x k

+++=+-?- 1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为1

22012 ，　，　，　． …………（15分）

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