2009届硚口区高三数学交流卷（一）

2009届硚口区高三数学交流卷（一）

命题教师：武汉市第十一中学 彭晓斌 田祥高 审题教师：硚口区教研室 黄绘林

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（理科）已知复数z?(3?i)(3?i)，则|z|?

2?i（A）

525 （B） （C）5 （D）25 55（文科）某质检人员从编号为1～100，这100件产品中，依次抽出号码为3, 7, 13, 17, 23, 27, ?93, 97

的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )

A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上都不对 2．设A，B，C为非空集合，M=A∩C，N=B∩C，P=M∪N，则必有 （ ） A．C∩P=C B．C∩P=P C．C∩P=C∪P D．C∩P=Φ

3．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是 ①若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数；②若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数 A．① B．② C．①② D．①②都不是

1

4．已知函数f(x)= +(x-1)0的定义域为M，g(x)= ln(2-x)的定义域为N，则M∩N=（ ）

2+xA.{x|x>-2} B. {x|x<2} C. {x|-2

5．若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且OA?OB?OC?0,则OA?OB?（ ）

A．2

B．0

C．1

D．―2

6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（A）83?3?3? （B） （C） （D）83? 362a3?3b2? 7．（理科）已知(2x?1)的展开式中，二项式系数和为a，各项系数和为b，则lim3n??2a?b2n A

13 B ? C -3 D 3 22（文科）若(5+4x)n的展开式中各项二项式系数之和为an，(3x2+9x)n的展开式中各项系数之和为bn，则

bn的值为 an

A．2n B．3n C．24n D．6n 8．已知曲线C：x2y+xy2=1，则曲线C关于对称的序号有（ ）

(1) x轴对称；(2) y轴对称；(3) 原点对称；(4) 直线y=x对称；(5) 直线y=―x对称． A．(3) (4) B．(1) (5) C． (4) D．(2) (5)

9

9．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0,a为常数),则点P的轨迹

a

A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段

10．设四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径

相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中一半高度的酒．设剩余酒的容积从左到右依次为V1，V2，V3，V4，则它们的大小关系正确的是（）

A．V4＞V1＞V3 B．V1＞V2＞V3 C．V4＞V2＞V3 D．V4＞V1＞V2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.

11．2008年9月25日21时10分,我国成功地用长征2F运载火箭将“神舟七号”宇宙飞船送入太空, 21时33分，飞船成功进入距地球表面近地点高度约200公里、远地点约346公里的椭圆轨道。该轨道的一个焦点在地球中心，y 3 已知地球半径约为6371公里，则椭圆轨道的离心率是_______.

12．一扇形的中心角为α，周长为8―π，若在直角坐标系中，

5 当α角的始边与x角的正半轴重合时，x角的终边上的一点坐标

3 O x 为（3.5sin2，―3.5cos2），则扇形的面积为 .

-1 13．二次函数f(x)的部分图象如右，则| f(x)|≤2的解集为________ 14．（理科）从－3，－2，－1，0，1，2，3，4折8个数中任选

3个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线的概率是 .

（文科）设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表 80) [80，90) [90，100) [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 分数 [0，人数 2 5 6 8 12 6 4 2 那么分数在[100，110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是 、 ． 2

15．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下，当它第10次着地时，

3共经过的路程是 米．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. →→

16．（本小题满分12分）在△ABC中，已知|AC|＝5，|AB|＝8，点D满4→5→→→

足AD＝DB，CD·AB＝0，设∠BAC＝θ，cos(θ＋x)＝，－π＜x

115π

＜－，求sinx的值．

4

A D B 17．（本小题满分12分）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒. 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种. 假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需1元；假定每个成活的坑可收获100粒试验种子.

(1) 用ξ表示补种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；

(2) 用η表示收获试验种子粒数，分别求出两种方案的η的数学期望； (3) 由此你能推断出怎样的结论？

C

（文科）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，

0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．

（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且AD?底面ABCD,E为AD的中点,F为PC的中点. （1）求证：EF为AD及PC的公垂线；（2）求直线BD与平面BEF所成的角。

19．(本小题满分12分) （理科）某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与e(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

（Ⅰ）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，

并求出L（x）的最大值。

（文科）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

20．（本小题满分13分）已知向量n=(1，0)，点A(0，2)，动点P满足：|0P| 比向量0P在n的方向上的投影多2.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）在P点的轨迹上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. y b21．(本小题满分14分) （理科） 已知函数f(x)=ax - -2lnx，f(1)=0.

x(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为1，且an+1= 1

f ′()- n 2+1，a1=4.

an- n+1①若a1≥3，求证：an≥n+2；

A P B O x C x2AB,AB?AP,PA?②若a1=4，试比较

12 1 1 1+++?+与的大小，并说明你的理由. 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 5

11

S10和S19的等比中1019

（文科）数列{an}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为Sn，若

1

项为S16．数列{bn}满足：bn= anan+1an+2． 求：（1）数列{an}的通项an；（2）数列{bn}前n项和Tn

16最大时n的值． 一、选择题：

1. （理科）D（文科）B 2.B 3.B 4.D 5.D 6. （理科）A（文科）D 7.C 8.C 9.D 10.D 二、填空题：

732411． 12.4-π 13.[3-5,2]∪[4,3+5] 14. （理科） （文科）0.18、0.47 15.421

664449三、解答题：

5→5→5→→

16．如图所示，∵AD＝DB，∴D在线段AB上，且|AD|＝|AB|＝.

11162

→→

又CD·AB＝0，∴CD⊥AB. →|AD|1

在Rt△ACD中， cosθ＝＝，

→2|AC|∴sinθ＝

π2ππ3

，∴θ＝， ∴－＜x＋θ＜. 23312

C A D B ππ344

若0≤x＋θ＜ ， 得0≤x＋θ＜，∴cos(x＋θ)＞＞，而cos(θ＋x)＝矛盾．故0≤x

126255π

＋θ＜不成立．

12

2π3故－＜x＋θ＜0， ∴sin(x＋θ)＝－．

35

3＋43∴sinx＝sin[(x＋θ)－θ]＝sin(x＋θ)cosθ－cos(x＋θ)sinθ＝－．

10

11

17. （理科）(1) 方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p1=(0.5)3= ,ξ1~B(40, ) 881

∴所求的数学期望为Eξ1= 40× =5元；

8

11

方案二：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p2=(0.5)2= ,ξ2~B(60,)

441

∴所求的数学期望为Eξ2= 60× =15元；

471763

(2) 方案一：一个坑内种子成活的概率为q1= + × = , 8886463

∴所求的数学期望为Eη1= 100×40× =3987.5粒；

6431315

方案二：一个坑内种子成活的概率为q2= + × = ,

4441615

∴所求的数学期望为Eη2= 100×60× =5625粒.

16

(3) 方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大.

（文科）（Ⅰ）设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i?1,2．

Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i?1,2．

． Ci表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”

则C?A1?A2?A1?B2?B1?A2．

由已知 P(Ai)?0.9，P(Bi)?0.05，i?1,2．

所以，所求的概率为P(C)?P(A1?A2)?P(A1?B2)?P(B1?A2)

2 ?0.9?2?0.9?0.05?0.9．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为P(C)?0.9．

3 故所求概率为： 1?0.9?0.271

18. 方法一：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系。

2

（1）A?0,0,0? B?0,1,0? C2,1,0 D2,0,0 ?2??211???E?,0,0? P?0,0,1? F?,,??? 2222??????????????11?AD?2,0,0 PC?2,1,?1 EF??0,,?

?22?????????????11?AD?EF?0 PC?EF????0

22?AD?EF PC?EF

故PC为AD及EF的公垂线 （6分）

???????????2?PC?EB??1?1?0?0 （2）EB????2,1,0?

??设AB?1，则AD??????????PC?EB ?PC?平面EFB 故PC可看成平面EFB的法向量

故sin?????PC?BD?????????????PCBD2?13? （12分） 62?3P方法二：

（1）连FO、OE、EP、EC

?EP?EA?AP

222 EC?ED?CD 又?AB?AP?CD EA?ED

AHO222FBE

?EP?EC

又?F为PC的中点 ?EF?PC 又?OF∥AP

?OF?平面ABCD 而OE?AD ?EF?AD

故EF为AD及PC的公垂线 （6分）

（2）过O作OH?平面EFB于H，连BH，?OBH为所求BD与平面EFB所成的角

（8分）

设AD?2 AB?1

22223?1?1???1??1?22???1 BF??EF??????????2?2??2??2??2???EF2?BF2?BE2 ?VO?EFB?VF?OEB

11211211???1?OH????? （10分） 322322221314? （12分） ?OH? sin?OBH?4632（其它解法参照给分）

19. （理科）设日销售量为t，与e(e为自然对数的底数)成反比例，不妨设t?ex=K,当x=40,t=10代入得K=10?e40 得t(x)=10?e40-x

(1)L(x)=t?(x-30-a)= 10?e40-x(x-30-a) (2≤a≤5为常数，x∈[35,41]) (2)L’(x)= 10?e40-x(31+a-x)

若2≤a<4,则L’(x)<0恒成立，L(x)在[35,41]上严格单调递减，此时最大值为L(35)=10(5-a)?e5 若4≤a≤5,取x=31+a,则L’(x)=0,列如下表得：

x L’(x) L(x) [35,31+a) + 增 31+a 0 极大值 (31+a,36] - 减 x最大值L(31+a)=10?e9-a 综上若2≤a<4, 最大值为L(35)=10(5-a)?e5 若4≤a≤5, 最大值L(31+a)=10?e9-a （文科）设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

18?12x3??h??4.5?3x(m)?0＜x＜?.

42??故长方体的体积为V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2时，V′（x）＜0， 33(0＜x＜).

2故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

20. （1）∵向量0P在n的方向上的投影为|0P|cos∠POx，即P点到y轴的距离，又|0P| 比向量0P在n的方向上的投影多2，∴P点到原点的距离等于它到直线x= -2的距离，∴P点的轨迹是以原点为焦点、直线x= -2为准线的抛物线.

故所求的轨迹方程为y2=4(x+1).

11

（2）假设存在这样的两点B、C，设B( y12 -1，y1)，C( y22 -1，y2)，则

44

AB=(4 y12 -1，y1 -2)= 4( y1 -2) (y1 +2，4)，BC=(4 y22 - 4 y12，y2 - y1)= 4( y2 - y1) (y2 + y1，4)，

11

又AB⊥BC，∴AB?BC=0，即( y1 -2) ( y2 - y1)[ (y1 +2) (y2 + y1)+16]=0，

44即y2= -

1616

+ y+2). 由均值不等式得y2≥10或y2≤- 6. - y1=2- ( y1+2y1+2 1

11111

故存在这样的两点B、C，且C点的纵坐标的取值范围为 (-∞,-6]∪[10,+∞).

21. （理科）(1)∵f(1) =a- b =0，∴a=b. ∴f ′(x) = a +

要使函数f(x)在其定义域内为单调函数， 当a=0时，f’(x)<0,f(x)在定义域内严格单调；

a2111

当a≠0时,在(0，+∞)内f ′(x) = a + x2 - x =a(x - a)2+a - a恒不小于零，或恒不大于零. 111

①当 a>0时，则有f ′(x) = a( - )2+a - ≥0 恒成立，即a - ≥0，即a≥1；

aaa1111

②当 a<0时，则有f ′(x) = a( - )2+a - ≤0 恒成立，即a - ≤0，即a≤-1.

xaaa

∴所求实数a的取值范围为a=0或a ≥1或a ≤-1.

(2)∵函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，∴f ′(1) =0，即a + a - 2=0，解得a=1. 1n111

∴f ′(x) = ( - 1)2，∴an+1= f ′()- n 2+1=( an - )2- n 2+1= an2- n an +1.

xn424

an-+12

①用数学归纳法证明：

（i）当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立.

（ii）假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak- k≥2>0， ∴ak+1= ak ( ak- k )+1≥2(k+2)+1= (k+3)+k+2> k+3， 也就是说，当n=k时，ak+1≥ (k+1) +2. 根据（i）和（ii），对于所有n≥1，有an≥n+2. ②由an+1= an ( an- n )+1及①，对k≥2，有ak= ak -1 ( a k -1- k+1 )+1≥ak -1 ( k- 1+2- k+1 )+1=2 ak -1+1，

-∴ak+1≥2(ak -1+1)≥22(ak -2+1)≥23(ak -3+1) ≥?≥2 k 1 (a1+1). 而

11111

≤×k -1. = ，于是当k≥2时，a1+15ak+1a1+12

a2

-. x2 x

11- n 2 211111112 1 1 1∴≤(1 + + 2 + ? + n -1)= × + + +? + =(1- n)< 1+a11+a21+a31+ana1+1225152 52

1- 2

n(n－1)n－11

（文科）（1）设an=21+(n－1)d(d≠0)， 则Sn=21n+d，∴Sn=21+d，

2n2191115

∴S10=21+d，S19=21+9d，，S16=21+d. 10219162

111159

由题设可知：(S16)2=(S10)( S19)，即 (21+d)2=(21+d)( 21+9d)，解得d=－2.

16101922

∴an=21－2(n－1)=23－2n.

（2）由an=23－2n>0，得n<12. ∴当n<10时，bn= anan+1an+2>0；当n>11时，bn= anan+1an+2<0. 而Tn=Tn－1+ bn，∴当bn>0时，Tn>Tn－1；当bn<0时，Tn11时，{Tn}递减. 又b10=a10a11a12=－3，b11=a11a12a13=3，∴T9=T11，∴当n=9或11时{ Tn}取最大值．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/82ow.html