热力学统计物理习题、作业

热力学统计物理习题、作业

本课程习题、作业分为三类。1随手练习:结合教学具体内容设置，供学生在课后复习时使用，边复习边练习，起到加深理解、熟悉运算技巧、及时巩固所学知识的作用，其中有些难度的可作为习题课讨论内容；2习题：与随手练习相比，难度与综合性均略有提高，放在每章后面，作为课外作业。其中又分为两个层次，带星号的选自国内外考博、考硕中的难题，供有志于此业务方向的学生练习；3综合性作业：有助于学生作阶段性小结或全课程总结。

1、随手练习：

第一章 随手练习题

L.S 1.3.2 经典二维转子，可以用广义坐标?,?和广义动量p?,p?描述。转子

22的能量表达式为??(p??p?/Sin2?)/2I，其中I为转子的转动惯量。证明在μ空间

中等能曲面所包围的相体积为 ?(?)????d?d?dp?dp??8?2I?

?L.S 1.3.3 自由的刚性双原子分子与弹性双原子分子其μ空间各是多少维？分别写出它们的相体积元和能量表达式。

L.S 1.3.6 利用L.S 1.3.2的结果，求转子的态密度。

L.S 1.3.7 已知光子的能量与动量的关系为???cp,其中c为光速，处于同一平动状态的光子还可处在两个不同的偏振状态，试证明光子的态密度

g(?)?8?V?2/h3c3

L.S.1.3.10 由Ｎ个全同粒子组成的系统，个体量子态只有两个，系统的微观量子态共有Ｎ+1个，试问该系统是由定域子、费密子、玻色子三种粒子中的哪一种组成的？

L.S.1.3.12 若系统中所含Ｎ个粒子中有两种全同非定域粒子,数目分别为N1,N2￡在d?中所含系统微观态数为何？

1

L.S 1.4.4 已知分子自由程介于x—x+dx之间的概率密度为Aexp(-x/λ),其中λ是一个常数，求归一化常数A以及自由程超过2λ的概率。

L.S 1.4.5 利用上题给出的概率密度计算分子的平均自由程。

L.S 1.4.6 已知粒子能量的概率密度正比于?1/2e??/kT，求粒子的平均能量和能量平方平均值。

L.S 1.6.1 已知在无外场时，气体分子位置的概率分布为??1/V,其中V为气体的体积，试证明分子位置的信息熵为S?klnV。

L.S 1.6.2 已知气体分子动量的概率分布为

?(p2)?(2?mkT)?3/2exp(?p2/2mkT)

3/2试证明分子速率的信息熵为S?kln(2?mkTe)。提示:采用动量空间球坐标比较

方便。

L.S 1.7.4 由两种原子组成的固体 ，第一种原子数目所占比例为 x ,原子总数为N ，试计算由于原子在晶体格点上的随机分布所对应的“混合熵”。

L.S 1.7.5 若原子在晶体中的正常位置有 N 个，填隙位置也有 N 个，求含有N个原子的晶体出现n个缺位和填隙原子而具有的熵。

L.S 1.7.6 某种定域子只有两个能级，其能量分别为0，ε，简并度分别为2、3。如果由两个这样的粒子组成一个系统，求系统的配分函数。若两个能级都是非简并的情况如何？

L.S 1.7.7 上题中的粒子如果换成玻色子或费米子，试分别求出系统的配分函数。

L.S 1.7.9 利用(1.7.19)(1.7.20)两式的结果计算单原子分子理想气体的定容热容和定压热容。

L.S 1.8.1 1 kg 0℃ 的水和100℃的热源接触，水的温度达到100℃时，水的熵增加多少？热源的熵增加多少？水和热源的总熵增加多少？(水的定压比热为4.187×103Jkg-1K-1)

2

L.S 1.8.2 0.2 kg 0℃的冰和1 kg 20℃的水混合,求达到平衡后总熵的增加量。(水的定压比热为4.187×103Jkg-1K-1，冰的熔解热为3.35×103Jkg－1)

L.S 1.8.3 用熵增原理证明热力学第二定律克劳修斯表述的正确性。 L.S 1.8.5 对于不可逆变化(1.8.11)式是否还反应能量守恒与转化关系？ L.S 1.8.6 指出下列等式和不等式是否正确,如果是正确的,其适用条件如何？

(1)TdS?dU?dW (2)TdS?dU?dW (3)?Q?dU??tXtdxt (4)

TdS?dU??tXtdxt

L.S 1.9.4 试证明U是以S、V为独立变量时的特性函数。 L.S 1.9.5 试证明H是以S、P为独立变量时的特性函数。 L.S 1.10.1 证明 (?T/?V)UL.S 1.10.2 证明 (?P/?S)UL.S 1.10.3 证明

?CV?V?T?P(?T/?U)V?T(?P/?U)V

?P(?T/?U)S?T(?P/?U)S?2P?T2

????T,V???CP?P??TT??

?2V?T2P?1￡?T/?P)H?CP[T(?V/?T)P?V] L.S 1.10.4 证明 (L.S 1.10.5 证明??U/?P)T?PV?T??PTV

(?U/?P)V?CV(?T/?P)V

L.S 1.10.6 证明 (?S/?T)P?T?1(?U/?T)P?T?1P(?V/?T)P L.S 1.10.7 证明 L.S 1.10.8 求

3

?1(?H/?P)T?V?T(?V/?T)P;(?V/?H)′P?T(?T/?P)S

(?H/?V)T?T(?P/?T)V?V(?P/?V)T

(?S/?P)V

L.S 1.10.9 证明

?S/?T?CV/CP 其中

?S?V?1(?V/?P)S

3

L.S 1.10.10 求

?S??T

L.S 1.10.11 证明

(?T/?P)S?(?T/?P)H?V/CPL.S 1.10.12 当选取T、P作为独立变量时，先计算焓往往比先计算内能更方便。证明dH?CPdT?[V?T(?V/?T)P]dP,且对于理想气体有H??CPdT?H0.

L.S 1.10.13 选取T、P作为独立变量，试证明dS?(CP/T)dT?(?V/?T)PdP，对于理想气体则有

S??(CP/T)dT?RlnP?S0?

L.S 1.10.14 简单固体的态式为 热容与体积无关，并求其内能和熵。

V(T,P)?V0(T0,0)[1??P(T?T0)??TP] 证明其定容

L.S 1.10.15 求范氏气体的内能和熵。

第二章 随手练习题

L.S 2.1.1 试由最大熵原理出发，直接求出N-E分布。

L.S 2.1.2 为什么E分布配分函数不仅是?、V的函数，而且还是N的函数。 L.S 2.1.3 根据N-V分布和E分布的特点，你能否由N-V分布和V分布这两个名称写出两种分布的形式，确定相应配分函数的自变量。

L.S 2.1.4 试计算单原子分子理想气体N-V分布的配分函数Z(?,E,?) L.S 2.1.5 试计算单原子分子理想气体0分布的配分函数Z(N.E.V)(取

?E?2E/3N?kT)

L.S 2.1.6 若分布的量子表达式为Ps?e??NS??VS/Z(?,E,?)，试写出其经典表达式。即系统处于粒子数为N体积为V附近无穷小体积内的概率。

L.S 2.1.7 若分布经典的表达式为

4

P(N)?e??N???E/hNfN!Z(?,E,V) ?E试写出与其相应的量子表达式。

L.S 2.1.8 试写出E-V分布并确定其配分函数的独立变量 L.S 2.1.9 已知某分布配分函数为Z(?.E.?)，试写出该分布。 L.S 2.2.1 试用经典的N?E状态分布，验证(2.2.1)式。

L.S 2.2.2 试用单原子分子理想气体的N?V分布配分函数，计算该系统的平均粒子数和平均体积。

L.S 2.2.3 计算单原子分子理想气体的E-V分布配分函数，并用之计算该系统的内能和平均体积。

L.S 2.2.4 某种遵从经典分布的理想气体，其粒子能量?正比于动量p的大小，即??cp，试计算该系统的N?E配分函数、平均粒子数和内能。

L.S 2.2.5 计算L.S 2.2.4所给系统的N-V配分函数，并用之计算该系统的平均粒子数和平均体积。

L.S 2.2.6 用N-V分布计算单原子分子理想气体的熵。 L.S 2.2.7 用N-E分布计算L.S 2.2.4所给气体的熵。 L.S 2.2.8 试用E分布计算单原子分子理想气体的?、?。 L.S 2.2.9 试用0分布计算单原子分子理想气体的?、?、?。 L.S 2.2.10 试由L.S 2.2.4给出的N—E分布计算该气体的?。

L.S 2.2.11 考虑L.S 2.2.8—9计算的结果与上面讨论的?、?、?的意义是否相符？

L.S 2.2.12 在上面的讨论中，若孤立系统内只有两个子系且温度、压强相???2,试从熵增原理出发讨论相变的进行方向。 等，但是?

L.S 2.2.13 试证明SdT?PdV?Nd??0

5

L.S 4.5.4 四元系最多能有几项共存？当有三相共存时需用几个参量描述它的状态？

L.S 4.6.1 写出(4.6.1)和(4.6.2)式所给化学反应的平衡条件。

L.S 4.6.2 写出(4.6.1)和(4.6.2)式所给化学反应的质量作用定律第一、第三两种具体形式。

L.S 4.6.3 使破坏系统在等温下改变压强，反应将向何方向进行？以此说明勒夏忒列原理

第五章 随手练习题

L.S 5.1.1 试以?S、?P为自变量，证明S、P的涨落分别为 (?S)2?kCP,2?kT/V?,(?P)S?S?P?0

L.S 5.1.2 试用(5.1.11)-(5.1.13)式计算(?P)2与上个练习比较，如果直接从(5.1.9)式出发计算(?S)2，选用哪些自变量比较方便？

L.S 5.1.3 如果选?T、?S或?P、?V做自变量，从(5.1.9)式看可能会遇到什么问题？若选?T、?P或?S、?V做自变量又如何？

L.S 5.1.4 计算上述系统的?T?S,?P?V,???N。 L.S 5.1.5 计算上述系统的?T?P,?T??,???P。 L.S 5.1.6 计算上述系统的?V?S,?S?N,?V?N。

2、习题： 第一章习题

16

1 已知二维振子的能量为??(P?P)/2m?k(x?y)/2,求在?空间内等能曲面包围

2x2y22的相体积。

2 已知声子的能量与动量的关系为?=vp，其中v为声子的速度。对应同一平动状态，尚有纵波声子和横波声子之分,它们有不同的速度v?和vt，而且横波有两个偏振方向。试证明固体中声子的态密度为

3g(?)?4?Vh?3?2(2/v3t?1/v?)

3 n个全同可识别的粒子，分布在N个个体量子态中，每一种具体分配方式称为一个配容，假定所有Nn个配容都是等可能的，求有m个粒子处于某一指定量子态的概率。

*4 一副扑克去掉两张王牌分发给两队(每队两人)，问其中某队得到一整套同花牌的概率是多少？

*5 一醉汉从路灯处开始行走，每一步的距离均为L，但方向随机地取东西南北四个方向之一。试问醉汉走过三步之后，仍处于以路灯为中心，半径为2L的圆圈内的概率。

*6 经典线谐振子的质量为m，弹性常数为k，具有总能量E。其初始时刻是完全不知道的，求在(x,x+dx)区域内找到质量m的概率。

*7 肉眼可以看清的星球大约有6500个。有时两个星看起来非常靠近，可是通过仔细研究发现它们之间并没有物理上的联系，这样一对星称为光学双星。a 假设星球在天空中是随机分布的，试计算角距不大于1'的光学双星数目的期望值；b 只有两个光学双星的概率是多少？c 粗略估计一个光学三重星的概率。

*8 a、b两种细菌除颜色不同外其它没有区别。每个细菌都以“一分为二”的方式进行无性繁殖，繁殖时间为一小时。开始时a、b两种各有5000个，由于引入噬菌体使细菌的总数保持在10000个，噬菌体无选择地随机吞噬两种细菌。

17

试问（1）经过很长时间后，a种细菌数目的概率分布如何？（2）如果噬菌体以1％的优越选择性吞噬a种细菌，结果有何变化？

*9 某过程具有如下性质：在[t,t+h]间隔内发生一事件的概率为h,与以前发生什么情况无关。假定在此区间内发更多事件的概率等于h的高次方项，试取h趋于零的极限，确定在0--t时间内发生n个事件的概率，并用这个分布函数求n和n2的平均值。

10 已知概率分布dW=ce-?xdx，求x的平均值、均方值、均方涨落和相对涨落。

11 在上题中若令y2=x，求该系统的概率分布以及y的平均值和均方值。 12 自旋为1的原子核，沿给定方向的磁矩分量?有三个可能值,即?0、0、- ?的平均值、方均值和均方涨落。 0相应的概率分别为P、1-2P、P，试求?

13 已知连续变量x的分布函数为F(x)在x轴上[-1,1]区间内F(x)=A(1-x2),在此区间外F(x)=0。试大致画出F(x)-x图形，计算归一化常数和x、x2的平均值.。

14 由N个粒子组成的系统，粒子速率的分布函数为f(v)，在v轴上[0,u]区间内f(v)=A,v>u时f(v)=0。若A为常数，求A以及粒子的平均速率和平均平动动能。

－1/2exp[-(x-a)2/2?], 15 若随机变量x的概率分布为W(x)=(???)则称x服从正态分布或高斯分布，试计算x的平均值和均方涨落。

16 处于真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强PO时，将活门关上。试证明，小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能UO之差为U-UO=POVO,其中VO是它原来在大气中的体积。若当作理想气体处理，求它的温度和体积。

18

17 一个具有绝热壁的金属容器内有n摩尔高压氦气，其压强为P。此容器通过一活门和一个很大的气瓶相通，此瓶内的气体压强保持PO，并和大气的压强非常相近。将活门打开，让氦缓慢、绝热地流入气瓶，直到活门两边压强相等为止。试证明u-n'u'/n=h'-n'h'/n,其中n'是留在金属容器内的氦的摩尔数， u是金属容器内1摩尔氦的初始内能，u'是它的最后内能，h'是气瓶内1摩尔氦的焓。

18 试根据热力学第二定律证明：两条绝热线不能相交；绝热线和等温线不能有两个交点。

*19 橡皮棒的弹性可以用N个分子首尾相连(可以打折)构成的一维聚合物来模拟。若分子间连键的方向等概率地取0。或180。,每一链长均为d,总长为2md求此模型的微观态数及熵

20 由两个相同原子组成的系统,原子的量子态有三个,能量分别为0、?、2?。写出两原子分别为定域子、玻色子和费米子三种情况的E分布配分函数。

21 由两个全同粒子组成的系统，粒子可以占据能级?n=n?，n=0,1,2中的任何一个，能级2?是双重简并的，求两粒子分别为定域子、玻色子、费米子三种情况下，系统的E分布配分函数和能量。

22 一个两能级系统，基态能量为0，能级差为?E，求E分布配分函数和系统的最概然能量。

23 有N个如上题所述的两能级系统的集合，求集合的熵。

*24 一个电容器的容量对温度很敏感，它被完成下述循环：1）与温度为T1的热源接触并缓慢充电到带电荷q1,此时电压为V1，在此过程中电容器吸热Q1；2）脱离热源，但继续充电到电压为V2，此时温度为T2；3）保持温度为T2并缓慢放电；4)脱离温度为T2的热源，全部放电完毕回到温度为T1的初

19

始状态。a)求整个循环中所做的总功。b）在过程3）中，电容器放出多少热量? c）固定的带电电荷q,求电容器的dV/dY。

25 一物体的初温T1高于热源的温度T2。有一热机在此物体和热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止。若热机从物体吸收的热量为Q，试证明此热机输出的最大功为Wd=Q-T2(S1-S2),其中S1-S2是物体熵的减少。

26 有两个相同的物体，热容量为常数，初温为T。今使一制冷机在此两物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T'为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变。试证明此过程所需的最小功为Wx=CP(T2/T'+T'-2T)。

*27 在室温27℃的情况下，要造出3kg的冰，至少需做多少功？如果实际上做3.3×105J的功，该过程熵产生以及所用制冰机的制冷系数各为多少？

28 有0.02kg温度为-10℃的冰，在大气压下变成10℃的水，试计算其熵的变化。已知冰与水的定压比热分别为2093Jkg-1·K-1、4187Jkg-1·K-1,冰的熔解热为3.349×105Jkg-1。

*29 一建筑物其内温度为T现用理想泵浦从温度为T'的河水中吸取热量给建筑物供暖，如果泵的功率为W，建筑物的散热率为a(T-T'),a为常数。证明建筑物的平均温度为T'+(W/2a)[1+(1+4aT'/W)1/2],如果换用功率为W的加热器给建筑物直接加热，与泵浦相比是否合算？为什么？

30 质量为m，比热为c的某种物质，温度从T1升至T2，计算其熵的变化。若将它所吸收的热量看作是在平均温度(T1+T2)/2下吸收的，再计算其熵的变化，并证明当?T=T两种作法将得到一致的结果。[当x2<1时，2-T1<

20

31 一均匀杆一端的温度为T1，另一端的温度为T2，计算达到均匀温度(T1+T2)/2时，均匀杆熵的增加值。

32 10安电流通过一个25欧的电阻器，历时1秒。试求当电阻器保持室温27℃时电阻器熵的增加值；若电阻器有绝热包壳，初温为27℃，熵增为若干？已知电阻器质量为0.01kg,比热为836Jkg-1·K-1

33 以温度T为纵轴，以熵S为横轴，画出的T-S图称为温-熵图。试在其中画出可逆等温、绝热、等容、等压四条曲线。分别在P-V图和T-S图中画出卡诺循环，利用T-S图证明卡诺循环的效率为?=1-T2/T1。

34 证明下列关系式：(?T/?S)H?T/CP?T2/V(?V/?H)P

U??T2[?(F/T)/?T]V

?V/?S?1?CV/CP 35 试证明：?P/?S?1?CP/CV

36 整理对气体的测量结果得到： (?V/?T)P?R/P?a/T2;(?V/?P)T??Tf(P)

其中a为常数，f仅为P的函数，在低压下，气体的摩尔定压热容为5R/2，试证明

f(P)?R/P2;PV?RT?aP/T;CP?2aP/T2?5R/2

37 普朗克函数的定义为K=-H/T+S,证明dK=(H/T2)dT -(V/T)dP 38 简单固体和液体的体胀系数与压缩系数都很小，在一定范围内可视为常数。试证明这类物质的物态方程为 v(T,P)=vO(TO,O)[1+?TP] P(T-TO)-?

39 假设在压强不太高时，1摩尔真实气体的物态方程为PV=RT(1+BP)。其中P为温度的函数。求? P、?T，并给出在P?O时的极限值。

21

40 某气体的?P、?T分别为?P=nR/PV,?T=1/P+a/V,其中n、R、a都是常数，求此气体的物态方程。

41 已知某气体的?P=1/T+3a/VT2,?T=1/P+a/PVT2,其中a是常数，求物态方程。

*42 证明P、V、T系统有下列关系式：

(?CV/?V)( (CP?CV)?2T/?P?V?(?CP/?P)(V?T/?V)P?P?T/?P)V?1

43 某气体介质电容器贮存的电量为Z库仑，其电位差为E伏特，温度为T，并测得(?Z/?T)E=-b1E/T2,(?E/?T)Z=b1E/(b1T+b2T2),求气体介质的物态方程。

44 测得某顺磁质的(?H/?T)I=H/T,(?I/?T)H=-aH/T2,求物态方程。 45 1摩尔气体的物态方程为(P?a/Tnv2)(v?b)?RT,其中a、b、n、R都是常数。在v??时，其定容摩尔热容趋于常数c,试计算此气体的内能。

46 金属丝的横截面为A，长度为L,张力为F，在大气压下发生的过程其压强、体积的变化可以忽略。一般说它的线胀系数a=[(?L/?T)F/L] 和等温杨氏模量Y=[L(?F/?L)T/A]都是T的函数，对F仅有微弱的依赖关系，如果温度变化不大，可以视为常数。设金属丝两端固定，当温度从T1降至T2，证明其张力的增加为?F=-YAa(T2-T1)。

47 证明：(?S/?H)P?1/T(?S/?P)H/(?S/?H)P??V

48 设表面张力系数?为温度的函数，求表面膜面积从A可逆等温膨胀到B时吸收的热量。可逆绝热膨胀引起的温度变化与什么量有关？

49 一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比,X=-Ax,A是温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，证明其自由能、熵和内能的表达式为

F(T,x)=F(T,O)+Ax2/2 S(T,x)=S(T,O)-(x2/2)(dA/dT)

22

U(T,x)=U(T,O)+(x2/2)(A-TdA/dT)

50 已知超导体的磁感应强度B=Io(H+I)=0,证明磁化强度I保持不变时的热容CI与I无关，只是温度T的函数，并求内能和熵。

51 沿磁场H放置长度为L的棒，受到外面的拉力Z,对于可逆等温变化，将引起棒长的改变。由实验得知，当拉力足够大，场强足够弱时，磁矩M可表为M=C(LH/Z),其中C为常数。

1）试写出该系统的热力学基本等式；

2）引入G=U-TS-LZ-MH,证明(?L/?H)Z,T=(?M/?Z)H,T ; 3）若磁场由0增至H，棒长的相对变化为 2/2Z2)[LZ(?L/?Z)-1] ?L/L=(H

52 橡胶被拉伸时将从非晶结构转变为晶型结构，问在等温过程中张力从0增至Z时，橡胶的熵增加还是减少？证明橡胶的线胀系数[(?L/?T)Z/L]<0。

53 均匀杆被力矩M?扭转?角，试求杆的“扭转倔强系数”(?M?/??)S和

(?M?/??)T之间的关系。

第二章 习题

1 试用经典E能量分布证明??dln?'(E)/dE 其中 ?'(E)?d?(E)/dE。 2 试用经典E能量分布证明?(E)/?'(E)???1。 3 证明E分布的能量方均涨落可以表为kT2Cv。 4 证明N-E分布的能量方均涨落为

23

??2kT2Cv?(?N)2(?U/?U)2r.v，其中(?N)?kT(?N/??)

*5 设J?E??N，?为化学势，试证明对于N-E分布有

2（?J)2?kT2Cv?(?N)2?(?U/?Ur.v???

*6 单原子分子理想气体的体积为V，试用N-E分布证明在一小体积v中有n个分子的概率为Pn?e?n(n)n/n!，其中n?vN/V是v中的平均粒子数。

7某系统由A与B两个子系组成，它们之间仅有微弱的相互作用，于是整个系统的能量可以写为E=EA+EB，试用E分布证明系统的熵具有可加性，即S=SA+AB。

*8 由E分布证明两个温度不同一物体经热接触达到平衡后熵增加。假设两物体相互不作功，接触作用很小接触后的总能量不变，且仍可表为两个物体能量之和。

*9 用E分布证明两物体接触后热量从高温物体传向低温物体，条件同上题。 *10设有相互独立的N个粒子，每个粒子仅有两个非简单的能级??和??，，

???，N)的微观态数及系统的熵和温度。 求对应于总能量E?M?(M?N，11 由N个粒子组成的单元系具有唯一的外参量V，试证明E分布的配分函数满足如下关系：

N(?lnZ/?N)T.V?V(?lnZ/V)T.N?lnZ。12 试由E分布证明广义能量均分定理：pi(?H/?pi?kT；qi(?H/?qi)?kT，并由此证明：能量H中每一平方项的平均值为kT/2。

13 N个定域子组成的系统，每个粒子可以占据三个非简并能级中的任一个-E，0，E，系统保持恒温T.部T=0K时系统的熵是多少？系统的最大熵是多少？最小能量是多少，E分布配分函数是什么？最概然能量是多少？

14 N个 定域子组成的系统，每个粒子自旋为1/2，磁矩为?0。系统处于均

24

匀外磁场H中，自旋只与磁场作用，除此以外是自由的，求系统的熵、总磁矩和能量。

15 频率为v的N个独立经典谐振子组成一个系统，求系统能量为E时的状态数，以及温度与能量之间的关系。

16 由N个相互独立，频率为v的量子线性谐振子组成的系统，处于温度为T的平衡态。试求系统的E分布配分函数、内能、热容量、自由能和熵。

17 固体中原子的振动相当于3N个量子化线性谐振子，在v-v+dv频率范围

3内振子数为9Nv2dv/vd，vd为频率的上限，求系统在高温和低温时的E分布配分

函数、内能和熵。

18仿照三维固体的情况，计算长度为L的一维晶格在高温和低温时的内能与熵。

19 一固体包含N个自旋为1的非相互作用核，每个核均可处于量子数分别为m=0、1、-1三个状态中的任意一个大状态。由于固体内电荷与场的相互作用，一个核在m=1状态或m=-1状态具有相同的能量?，而在m=0时其能量为零，试导出N个核的自由能、熵和内能的表达式。

20 试证明近独立粒子系粒子数分布的涨落分别为 玻色粒子系(Nl?Nl)2?Nl?(Nl)2/gl 费米粒子系(Nl?Nl)2?Nl?(Nl)2/gl

*21设一晶体单位体积内有N0个彼此独立的吸附中心，N0>>1，它们处于不同的位置。这些吸附中心可以吸附晶体中的传导电子（后者可视为电子气体）。假定每个吸附中心最多只能吸附一个电子，被吸附的电子有两种可能的自旋状态（向上或向下），并具有相同的能量??。今考虑N0个吸附中心上的电子与晶体中的电子气体达到平衡，温度为T.设晶体中的电子气体的化学势已知为?，试求单位体积内，被吸附中N0个吸附中心上的总平均电子数。

*22 拉链共N节，每节仅有两个状态。状态1为节关闭，能量为0；状态2

25

为节打开，能量为?。拉链只能从左端打开，并且第s节左端的各节都打开时才能打开。求拉链有E分布配分函数，在低温极限下，求开节的平均数。

第三章习题

1 试找出二维理想气体分子平动动能的分布，并计算分子平动动能的平均值和方均值。

2 从处于热力学平衡态的理想气体中任意取两个分子1和2，试求它们的速度分别处于v--v+dv,u--u+du之间的概率，以及两个粒子总能量处于e--e+de之间的概率，并求出e的平均值。

3 找出在单位时间内到达单位器壁表面积上速率在v--v+dv之间的分子数目表达式，进而证明单位时间碰在单位器壁表面上的总分子数为nu/4,其中n为分子密度，u为分子平均速率。

4 试计算由器壁上一细孔泄出的分子的平均速率和方均根速率，若是单原子分子求其平均能量，并讨论为什么不等于3kT/2？

5 若将与水平衡的蒸汽看成理想气体，并认为打到水平面的分子不反射。水温298K时的饱和蒸汽压为3173Pa试计算单位时间从液体单位表面积蒸发出的分子数。

6 设有某种粒子其动能和动量的关系是ε=api,今有N个这种粒子组成的理想气体，其平衡分布函数为dW=4pVf(p)p2dp,式中f(p)为任意函数，试求气体压强与单位体积能量之间的普遍关系。

7 由炽热灯丝发射出的电子，形成密度为n的气体这些电子通过一系列狭缝而形成定向的射线束，其截面积为1cm2,射线束通过一个电压为V的减速电场，使部分电子停下来，试求单位时间内能通过这个减速电场的电子数。

26

8 在圆柱形气缸内，气体进行可逆绝热膨胀，假设活塞移动的速度u比气体分子的平均速度小得多，试证明与活塞碰撞的所有分子弹回后所损失的动能恰好等于气体膨胀所作的功，符合能量守恒定律。

9 某种气体的原子辐射出波长为λ0的光，这原子相对于观察者以速率v运动，由于多普勒效应，观察者看到的波长为λ=λ0(1+v/c)，其中c为光速。如果原子的速度分布满足麦克斯韦速度分布，试找出这种气体原子的光谱线强度的分布及光谱线宽度(???0)2的表达式。

*10 器壁极薄的矩形容器中装有温度为T而压强极低的水银蒸汽，在上器壁开一个半径小于水银平均自由程的小园孔。在园孔上方距离为h处，放置一个平行于器壁的金属收集板，将收集板冷却，当任何水银原子打到上面时，蒸汽都立刻凝聚。导出在时刻t用收集点与小孔法线之间的夹角?表示的水银在收集板上的分布表达式。

*11 一容器贮有压强为P的气体，它的外面为真空，器壁上有面积为A的一个小孔，气体分子可以通过泻流的方式从小孔进入真空，在真空中距孔为L的正前方有一半径为R的圆盘，通过圆盘中心的法线指向小孔，假设泻流分子被圆盘弹性反射，试证明当R<

12 试计算单原子分子理想气体在重力场中的内能、自由能与定容热容量，气柱的高度为H，截面为S。若理想气体由双原子分子或多原子分子组成，试计算其内能和热容。

13 吸附在表面上的单原子分子，能在表面上自由运动，可以看作是二维理想气体，式计算其摩尔热容，设表面的大小不变。

*14 氦原子能够被金属表面吸附，将氦原子从金属移到无穷远必须做一定量的功W。在二维金属表面上氦原子的运动是完全自由的，没有相互作用。如果这样的金属表面与氦气在压强为P时接触，同时整个系统处于平衡，温度为

27

T，金属表面单位面积上平均吸附的原子数等于什么？用题目中所给的量和基本常数表示你的答案。

15 服从玻耳兹曼分布的某种理想气体粒子，其能量与动量的关系为

??cp,c

为光速。若单位质量中包含N个粒子，试计算此气体的定容热容量。

16 二维谐振子的两个振动频率都等于?，它的能量为??(n?1)h?，考虑其能级简并度并计算它的配分函数、平均能量和比热容。

17 三维谐振子的三个振动频率都等于?，它的能量为??(n?3/2)h?,考虑其能级简并度比计算它的配分函数、平均能量和比热容。

*18 s维谐振子的能量本征值为?i?(i?s/2)h?,i?0,1,2,3?,n为谐振子频率。证明能级i中有(i+s-1)!/i!(s-1)!个量子态，并计算此谐振子的配分函数、平均能量和熵。

19 二氧化碳分子是线性分子，有四个振动方式，振动频率分别为

?1??2?2010?1010Hz,?3?3900?1010Hz,?4?7050?1010Hz

试计算它的定压热容，并与下列实验数据比较： 温度K 93 CP/Nk208 4.52 331 4.70 393 4.35 483 5.81 632 5.16 869 6.33 9054 6.50 16 .44 20 二氧化碳的分子量为M=44，转动惯量为I?71?10?47kg?m2(振动频率见上题)，计算1摩尔气体在1大气压及25℃时的熵。

*21 氢分子中两个原子间势能的经验公式为V?D[e?2a(r?r0)?2e?a(r?r0)]

28

其中r为原子间距,D=7×10-19J,a=2×1011/m,r0=8×10-11m,氢原子质量m=1.672×10－27,计算转动和振动特征温度，给出在温度分别为250K和2500K时的定压摩尔热容和定容摩尔热容。

22 假设双原子分子的振动是非线性的，振动能量的经典表达式为

?v?p2/2??kq2/2?aq3?bq4

式中最后两项是非简谐的修正项，其数值远较前面两项为小。试证明，振动内能可表为

Uv?NkT?Nk2T2?

2Cvv?Nk?2NkT?

振动热容量为 其中 ??15a2/2k3?3b/k2

提示：由于非简谐修正项很小，在计算配分函数时可以作近似：

exp?(??v)?(1??aq3??bq4??2a2q6)exp?[?(p2/2??kq2/2)]

2in2?)/2I， 23 双原子分子转动能量的经典表达式为?r?(p2试计算在经??p?/s典近似下的转动配分函数以及转动内能和熵。

24 假设双原子分子在平衡距离附近作简谐振动，试证明分子的平均线度等于两原子的平衡距离。这说明在简谐振动的分子不会发生热膨胀。这一结论对晶体也同样适用。

25 分子具有固有的电偶极矩，在电场E下转动能量的经典表达式为

r?dEco??r??0s 0r其中?0是没有电场时的转动能量，证明在经典近似下转动配分函数为

zr?(4?2I/?h2)(e?d0E?e??d0E)/?d0E

26 证明上题中极化强度

??nd0cos??nd0[(ex?e?x)/(ex?e?x)?1/x]

2E/3kT其中x?d0E/kT,n为单位体积内的分子数。又当x<<1时证明??d0

29

?j?2 27 证明二维玻色理想气体的平均能量为E?AkT(2?mkT/h2)?j?1e/j

*28 证明二维自由玻色子系统不能产生玻色-爱因斯坦凝聚。

29 相对论电子的能量为?2￡?c2p2?2?c2p2?m0c4,其中m0是电子的静止质量，c是光速。试求完全简并性电子气体的能量和物态方程。

30 假设极端相对论电子的能量与动量的关系为??cp，试计算绝对零度时该种电子气体的费米能级和内能。

31 某种样品中的电子服从费米分布，其态密度为

??0,g(?)?0;??0,g(?)?g0

电子的总数为N，试求:a T=0K时系统的化学势?0和总能量E0；b 证明系统的非简并条件为T>>N/D0k;c 证明系统强烈简并时cv?T。

32 证明0K时极端相对论电子气体每秒钟碰撞到器壁单位面积上的次数??cN/4V。

*33 1010个微弱相互作用的无自旋粒子，每个都具有电子的质量，它们的外貌虽然相同但是遵守经典统计。这些粒子限制在边长为10－6cm的方箱中，每个粒子与方箱之间都有两种相互作用势能，一个是吸引势并导致将粒子完全局限在方箱中心的束缚状态，具有能量－1eV;另一相互作用是强烈的排斥势以阻止粒子通过箱壁逃逸。求方箱内压强为1大气压时系统的温度。

34 计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数。 35 找出N个光子气体的态密度与其能量的函数关系，光子气体的能量

N为E??i?1cpi

*36 如果黑体辐射只占满二维空间，面积为S，在达到平衡时，温度为T。试导出二维空间辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。

37 计算单位时间碰到单位面积上的光子所携带的能量，证明空腔辐射的辐射通量密度为J??5k4T4/15h3c3。

30

38 已知辐射压与辐射能密度的关系为P?u/3，试用纯热力学理论求出辐射能密度与绝对温度的关系。

39 半径为r的球形人造卫星涂成黑色，在距太阳中心为D的园轨道上运行(r<

40 令空腔体积绝热膨胀到原来的二倍，找出黑体辐射能量分布的尖峰频率的初值和末值的关系。

41 平衡辐射突然从具有理想反射硬壁的容积为V的空腔中反射到具有同样窖壁的容积为V'的空腔中，试求过程前后辐射场温度的变化及熵的增量。

42若太阳的行为象6000K的黑体一样，其直径为106公里。问太阳在波长3厘米附近每兆周带宽的总微波发射功率是多少？

*43 如果声子服从费米统计，固体比热的德拜理论将发生什么变化？在这样的假设下，求远低于德拜温度和远高于德拜温度时的比热与温度的关系(常数不必算出)。

*44 一容器中装有N摩尔某种单原子分子理想气体，容器与外界绝热。用两个隔板将气体分割为三部分。这三部分处于不同的平衡态，其体积、温度、摩尔数分别为V1,V2,V3求系统熵的变化。

45含有N个原子的晶体，出现n个缺位和填隙原子。若原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能nu?TS为极小的条件证明，在温度为T时，缺位和填隙原子数为n?Ne?u/2kT (设n<

46 晶体内部的原子脱离正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，称为肖脱基缺陷。若忽略晶体体积的变化，试由自由能为极小的条件证明：在温度为T时，缺位数n?Ne?W/kT，W为原子在表面位置与正常位置的能量差。

T1,T2,T3;N1,N2,N3，若把两个隔板同时抽掉，最后达到平衡，

31

47 钠的原子量为23，密度为950kg/m3,每个原子贡献一个自由电子。计算在0K时自由电子气体的能量及压强，说明金属如何抵消此压力而保持稳定。计算电子的费米温度TF??0/k。如果用蒸发液氦来冷却金属钠，试计算将100cm3的钠降到0.3K需要蒸发多少立方厘米的液氦，已知在这样低的温度下，晶格的比热与电子比热相比较可以忽略，蒸发1立方厘米的液氦需要0.8焦耳的热量。

*48 一块晶体包含N个原子，原子自旋为1，磁矩为?，被置于均匀磁场中，这些原子的磁矩可以平行、垂直、反平行于磁感应强度B，原子间的相互作用可以忽略不计，只考虑磁矩同磁场间的相互作用。如果这块晶体处于热平衡时的温度为T，求晶体平均磁矩M的表达式，并由此导出居里定律。

*49 某种半导体有n个施主能级，它们的能量为-?。一施主能级只能被一个自旋向上或自旋向下的电子占据，而不能同时被两个电子占据。试求施主能级中的电子气体N-E配分函数以及处于施主能级中的电子数。

50 磁介质置于磁场H中并受到外压力的作用，对于等温可逆过程，试求磁致伸缩与压磁效应之间的关系，并计算磁场由零增加到H的弱场中因磁致伸缩而产生的体积的相对变化。

51 求自旋为1/2的理想核自旋系统熵与内能的关系并画出S-U曲线的示意图。已知在外磁场中每个自旋的能级为

?m???0m,m??1,?1,

?0?qBh/4??c?0,

其中μ为核质量，q为核电荷，自旋总数为N。

52 求上述系统在恒定场强情况下的热容CH，讨论在T??0K,??时的CH与?CH/?T值，给出CH-T曲线的示意图。求上述系统在外场不变的情况下，温度升高吸收的热量，当系统温度从?T0上升到?需吸收多少热量？当系统温度从T0上升到?T0需吸收多少热量？与一般能级无上限系统进行比较。

第四章习题

1 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为

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?u?L(1?PdT) TdP如果一相是气相，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 2 若将凝聚相的摩尔体积忽略并把与之平衡的气相看作理想气体，试从克拉珀龙方程出发证明在相变潜热近似与温度无关的情况下，蒸汽压方程可以近似表为lnP=-L/RT+A。

3 蒸汽与液相平衡，若蒸汽视为理想气体，液相比容忽略，以dV/dT表示在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为V-1dV/dT=T-1(1-L/RT)。

4 从计算下述循环的焓变和熵变出发，求：a 相变潜热 b蒸汽压方程。从循环为 1摩尔凝聚相在T1、P1时，完全蒸发；蒸汽等温膨胀，压强从P1降至P2；气体等压冷却到饱和状态T2、P2；蒸汽在T2、P2完全凝聚；凝聚相由T2、P2经加热恢复到T1、P1。

5 固态氨的蒸汽压方程为lnP=18.70-3754/T,液态氨的蒸汽压方程为lnP=15.16-3063/T,其中压强以大气压为单位。求三相点的温度和压强以及三相点处三个潜热的数值。

*6 证明遵从范氏方程的系统在临界点以下恒温增压时，自由焓按图示规律变化。说明系统在这一过程中发生了什么变化？

7 证明半径为r的肥皂泡，其内压与外压之差为4s/r.。

8 证明在有曲面分界的条件下，相变潜热为L=ha-hb=T(sa-sb)。

9 忽略表面张力，求一带电肥皂泡的平衡半径r，电势f及外压强与内压强之差?P之间的关系。

10 应用自由焓判据导出在有曲面分界时的平衡条件。 11 证明在三级相变中平衡曲线的斜率为

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dP/dT??(?CP??) )/PvT?(?T?TP

dP/dT??(??)P/?(??)P?T?T

dP/dT??(??)T/?(??)T?P?P 12 求证(?U/?n)T,V????T(??/?T)V,n

13求证(?U/?T)?,v?(?U/?T)n,v?T?1(?n/??)T,v(?U/?n)2T,v

T *14 某些金属在超导态时呈现迈斯纳效应：即使施加外磁场，磁通也不能进入金属内部(即内部B等于零)。但若外场超过临界值Hc(T),超导态转为正常态，内部的B变到等于H。试确定磁场强度不等于零、T

2常态的摩尔热容，v为摩尔体积。假定Hc=H0[1?(T/Tc)]成立，在任意温度下Cs

和

Cn的关系如何？ 15

n0?1摩尔的气体A1和n0?2摩尔的气体A2混合，在温度为T、压强为P时

体积为V0。当发生化学变化?3A3??4A4??1A1??2A2?0,并在同样温度和压强情况下达到平衡时，其体积为Ve。证明反应度?为

??(Ve?V0)(?1??2)/V0(?3??4??1??2)

16 定压平衡常数KP的数值与化学反应的写法有关，试找出与下面的两个反应式相应的平衡常数KP1与KP2的关系

N2/2?3H2/2?NH3

N2?3H2?2NH3

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*17 在星球间的气层中存在着很强的热电离金属蒸汽，并在进行着电离与复合反应。试用电子气、离子气、中性的原子气平衡的质量作用定律，求出一次电离度?与温度T及总压强的关系。

*18 甲醇脱氢的反应方程为CH3OH?HCHO?H2，已知在800K、1atm时，平衡常数KP=2.68求当甲醇的投料为1摩尔时，氢的最大产量是多少？

第五章习题

1 以压强?P和熵?S作自变量，求焓的均方涨落。 2 证明?E?S?kTCP?kTP(?V/?T)P,?H?S?kTCP。

3 试以?T、?V为自变量，证明(?F)2??kTP2(?V/?P)T?kT2S2/CV 4 证明?E?F??kT2P(?V/?T)P?kTP2(?V/?P)T?kST2

5 试以?P、?S、?N为自变量求(?N)2、(?S)2、?N?S

6 试求一铅直悬挂的数学摆自发摆动时熵的改变及其偏离角度的方均涨落。

?2/2T 注意：?S??Wmin/T??T?1?0?mgl?d???mgl7 一系统中粒子数为N，总能量相对涨落为?E，一个粒子的能量相对涨落为

??，试证明???N1/2?E。

8 一极灵敏的弹簧秤，弹性常数为a，在绝对温度为T时，置于重力加速度为g的地方。(1) 如将质量为M的极微小物体挂在弹簧上，所产生的弹簧平均伸长是多少？(2) 用这种秤可以测量的最小质量M是多少？

9 长为i的弦，被张力F所拉紧，求弦上各点横位移的方均涨落。

3、综合题

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