数值分析李庆杨版习题及答案

第四版

数值分析习题答案

第一章 绪论习题参考答案

(x*)

1． ε（lnx）≈

x

n

*

r(x*)

。

r(x)

2．

*

n

(x)

x

*n

nx*

n 1

(x*)

x

*n*

n (x*) 0.02n*

x

*

。

*

3． x1有5位有效数字，x2有2位有效数字，x3有4位有效数字，x4有5位有效

*x5数字，有2位有效数字。

****** 4 3 3 3

(x x x) (x) (x) (x) 0.5 10 0.5 10 0.5 10 1.05 101241244．

************ (x1x2x3) x2x3 (x1) x1x3 (x2) x1x2 (x3) 0.214790825

**

x2x21** (*) * (x2) *2 (x4) 8.855668 10 6

x4x4x4

。

r(R) r5．

6．

(V)1 (V)1

r(V) 0.00333333

。

(Y100) 100

111

10 3 10 310022。

7．

x1 28

55.982，

x2 28

1

0.01786

55.982。

1

arctgN N1 x228．

1

1

(x) S2 (S) 0.005

29．

。

gt (t)2 (t)0.2

r(S)

12ttgt210． (S) gt (t) 0.1gt，，故t增加时S的

绝对误差增加，相对误差减小。

1

(y10) 1010 (y0) 108

211． ，计算过程不稳定。

12．

6

f 1)6 0.005051，

1.4，

则f1 1)

0.004096，

f2

0.005233f 0.00512543f (3

0.008

，3，，

f5 99 1，f4的结果最好。

f(30) 4.094622，开平方时用六位函数表计算所得的误差为13．

10 4中

12

，分别代入等价公式f1(x) ln(x

x2 1),f2(x) ln(x x2 1)

计算

可

得

4

(f1) ln(1 (f2) ln(1

1

(x 60 10 3 10

2

，

11

10 4 8.33 10 7602。

14．

方程组的真解为

x1

1000000000999999998 1.000000,x2 1.000000

999999999999999999，

而无论用方程一还是方程二代入消元均解得x1 1.00,x2 1.00，结果十分可

靠。

sbsinc a asinc b abcosc c a b c

tanc c

sabsincabc 15．

第二章 插值法习题参考答案

Vn(x) (x xi)

i 0n 1

0 j i n 1

1.

； Vn 1(x0,x1, ,xn 1) (xi xj)

0 j i n 1.

(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)(x 1)(x 1)

L2(x) 0 ( 3) 4

(1 1)(1 2)( 1 1)( 1 2)(2 1)(2 1) 2.

537 x2 x

23. 6

3. 线性插值：取x0 0.5,x1 0.6,y0 0.693147,y1 0.510826，则

ln0.54 L1(0.54) y0

y1 y0

(0.54 x0) 0.620219x1 x0

；

(x

i

xj)

二次插值：取

x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,y0 0.916291,y1 0.693147,y2 0.510826，则 ln0.54 L2(0.54)

(0.54 x0)(0.54 x2)(0.54 x0)(0.54 x1)(0.54 x1)(0.54 x2)

y0 y1 y2

(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)

＝－0.616707 .

1

R1(x) f(x) L1(x) f ( )(x x0)(x x1)

24. ，其中 [x0,x1]. 1

|R1(x)| max|cos (x)| max|(x x0)(x x1)|

x0 x x12x0 x x1所以总误差界

(x1 x0)21 11 8

1 1.06 10248 60180 .

2

5. 当

x x0

l2(x)

(x x0)(x x1)(x x3)

(x2 x0)(x2 x1)(x2 x3)

4 h3 时，取得最大值

10 7x0 x x327 .

k

f(x) x,(k 0,1, ,n)在x0,x1, ,xn处进行n次拉格朗日插值，则有 6. i) 对

max|l2(x)|

xk Pn(x) Rn(x)

由于f

(n 1)

lj(x)xkj

i 0

n

n

1

f(n 1)( )(x x0) (x xn)

(n 1)!

j

k(x)xkj x

. k

ii) 构造函数g(x) (x t),在x0,x1, ,xn处进行n次拉格朗日插值，有

Ln(x) (xj t)klj(x)

i 0

k

( ) 0，故有i 0

l

n

.

g(n 1)( )n

(x t) Ln(x) (x xj) (n 1)!j 0插值余项为 ，

(n 1)

( ) 0,(k 1,2, ,n).故有 由于 g

n

(x t) Ln(x) (xj t)klj(x).

k

i 0

令t x,即得

(x

i 0

n

j

t)klj(x) 0

.

7. 以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式

f(b) f(a)

L1(x) f(a) (x a)

b a，

1

f(x) L1(x) f ( )(x a)(x b), [a,b]

2据余项定理，，

由于f(a) f(b) 0,故

|f(x) L1(x)| |f(x)|

11

max|f (x)|max|(x a)(x b)| (b a)2max|f (x)|.

a x ba x b2a x b8

8. 截断误差

R2(x)

1

e(x x0)(x x1)(x x2), [ 4,4].6

x x1

hx x h,x x h,1213时取得最大值 其中 0 则

2

max|(x x0)(x x1)(x x2)| 3 h3 4 x 49 .

由题意，

所以，h 0.006.

n 1n2n 2n 1n 1nn

y 2 2, y (2 2) (2 2) 2, 则可得 nn9.

4yn 2( 2yn) 2n.

|R2(x)|

142

e ( h3) 10 6,69

yn 2n 1/2 2n 1/2， 2yn (2n 1 2n) (2n 2n 1) 2n 1，则可得 10. 数学归纳法证

当k 1时， f(x) f(x h) f(x)为m－1次多项式；

k

假设 f(x)(0 k m)是m-k 次多项式，设为g(x)，则 k 1f(x) g(x h) g(x)为m-(k+1)次多项式，得证。

4yn 2( 2yn) 2n 2.

11. 右 fk(gk 1 gk) gk 1(fk 1 fk) fk 1gk 1 fkgk 左 12.

f

k 0

n 1

k

gk f0g1 f0g0 f1g2 f1g1 fn 1gn fn 1gn 1, fk f1g1 f0g1 f2g2 f1g2 fngn fn 1gn.

2

j

g

k 0

n 1

k 1

13.

(y2 y1) (y1 y0) (y3 y2) (y2 y1) (yn 1 yn) (yn yn 1) (yn 1 yn) (y1 y0) yn y0 .

j 0

y

n 1

14. 由于x1,x2, ,xn是f(x)的n个互异的零点，所以

f(x) a0(x x1)(x x2) (x xn)

a0 (x xi) a0(x xj) (x xi),

i 1

i 1i j

n

n

对f(x)求导得

n n

f (x) a0 (x xi) (x xj)( (x xi))

i 0 i 1 i j i j ，

f (xj) a0 (xj xi)

n

则

i 1

i j

，

j 1

n

1 f (xj)a0

xkj

j 1

n

xkj

(x

i 1

i j

n

xi)

j

0,0 k n 2,(n 1)

g(x) k

g(x) x, (n 1)!,k n 1. 记k则

由以上两式得

j 1

n

1 f (xj)a0

xkj

j 1

n

gk(xj)

(x

i 1

i j

n

j

xi)

1

gk[x1,x2, ,xn]a0

( ) 0,0 k n 2,1gk

1

a0(n 1)! a0,k n 1. nF(xj)

F[x0,x1, ,xn]

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) 15. i)

nc f(xj) c f[x0,x1, ,xn]

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn.

(n 1)

ii) 证明同上。

f(7)( )7!

f[2,2, ,2] 1;

7!7!16.

1

7

f(8)( )

f[2,2, ,2] 0.

7!

RR(x) f(x) p(x) 0,jj17. 3j 3(xj) f(xj) p(xj) 0,j k,k 1.

即xk,xk 1均为R3(x)的二重零点。因而有形式：

1

8

R3(x) K(x)(x xk)2(x xk 1)2.

22

(t) f(t) p(t) K(x)(t x)(t x). kk 1作辅助函数

则 (xk) 0, (x) 0, (xk 1) 0, (xk) 0, (xk 1) 0.

由罗尔定理，存在 1 (xk,x), 2 (x,xk 1),使得

( 1) 0, ( 2) 0.

类似再用三次罗尔定理，存在 ( 1, 2) (xk,xk 1),使得

(4)( ) 0, 又 (4)(t) f(4)(t) 4!K(x),

(4)

K(x) f( )!, 可得

(4)22

R(x) f( )(x x)(x x)!., (xk,xk 1). 3kk 1即

18. 采用牛顿插值，作均差表：

p(x) p(x0) (x x0)f[x0,x1] (x x0)(x x1)f[x0,x1,x2]

(A Bx)(x x0)(x x1)(x x2)

0 x x(x 1)( 1/2) (A Bx)x(x 1)(x 2)

31A ,B ,

44 又由 p (0) 0,p (1) 1, 得

x2

p(x) (x 3)2.

4所以 b ah ,xk a kh.

n19. 记 则

x xi 1x xi

f(xi 1),x [xi,xi 1].

xi xi 1xi 1 xi

因为f(x) C[a,b]，所以f(x)在[a,b]上一致连续。

b ah

n Nn当时，，此时有

max|f(x) n(x)| maxmax|f(x) n(x)|a x b0 i n 1xi x xi 1

x xx xi

maxmaxf(x) f(xi)i 1 f(xi 1) 0 i n 1xi x xi 1x xx xi 1ii 1i

x xx xi

maxmax[f(x) f(xi)]i 1 [f(x) f(xi 1)]0 i n 1xi x xi 1xi 1 xixi 1 xi

n(x) f(xi)

maxmax

0 i n 1xi x xi 1

xi 1 xx xi

.

xi 1 xixi 1 xi

由定义知当n 时， n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。 20. Ih(x)在每个小区间[xk,xk 1]上表示为

x xk 1x xk

fk fk 1,(xk x xk 1).

xk xk 1xk 1 xk

计算各值的C程序如下： #include"stdio.h" #include"math.h" float f(float x)

{ return(1/(1+x*x)); }

float I(float x,float a,float b) {

return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b)); }

void main() { int i;

float x[11],xc,xx; x[0]=-5;

printf("x[0]=%f\n",x[0]); for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=x[i-1]+1;

printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); }

for(i=0;i<10;i++)

Ih(x)

{ xc=(x[i]+x[i+1])/2; I(xc,x[i],x[i+1]);

printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1])); }

for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2; f(xx);

printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx)); } }

21. Ih(x)在每个小区间[xk,xk 1]上为

Ih(x)

x xk 12x xk2

xk xk 1 (xk 1 xk)x xkxk 1.

xk xk 1xk 1 xk

2

(xk 1 xk)2h2

|R(x)| |Ih(x) f(x)| |x (xk 1 xk)x xkxk 1| .

44

3

22. f (x) 4x, 则Ih(x)在每个小区间[xk,xk 1]上表示为

x xk 1

Ih(x) x x

k 1 k

2

2

x xk

1 2 xk 1 xk 4 x xk

xk x x

k k 1

2

2

x xk 1 4 1 2 xk 1

x xkk 1

x xk 1 x xk 33

4 (x x)x 4 (x x)xkkk 1k 1. x x x x k 1 k k k 1

|R(x)| |f(4)( )(x xk)2(x xk 1)2/4!|

xk 1 xkh42xk 1 xk2

4! ( xk)( xk 1)! .

2216

23. h1 x2 x1 0.05, h2 x3 x2 0.09,

h3 x4 x3 0.06, h4 x5 x4 0.08.

hi 1

i

hi hi 1

yi 1 yiyi yi 1 6 i h hhhii 1i 1i

则三次样条插值函数表达式为

mmymym

Si(x) i 1(xi x)3 i(x xi 1)3 (i 1 i 1hi)(xi x) (i ihi)(x xi 1)

6hi6hihi6hi6

i) 由S (0.25) 1.0000,S (0.53) 0.6868，得

1 0.6429, 2 0.4, 3 0.5714

0 6(f[x0,x1] 1) 0.276， 1 4.3157, 2 3.264, 3 2.43

4 6(0.6868 f[x3,x4]) 0.1692 关于m0,m1,m2,m3,m4的方程组为

2

f(x) C[a,b],所以 24. i) 因为

右＝ a

baba

b

[f (x) S (x)]2dx 2 S (x)[f (x) S (x)]dx

a

b

{[f (x) S (x)]2 2S (x)[f (x) S (x)]}dx (f (x)2 S (x)2)dx

＝左。

ii) 由于S(x)为三次函数，故S (x)为常数，又f(xi) S(xi)，则

xi 1

xi

[f (x) S (x)]dx 0

b

，所以

n

xi 1

i 0

xi

a

S (x)[f (x) S (x)]dx

S (x)[f (x) S (x)] S (x)[f (x) S (x)]dx

[S (x)(f (x) S (x)) S (x)(f (x) S (x))]dx

a

b

S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]。

第三章 函数逼近与计算习题参考答案

1. (a) 区间变换公式为

x' (b a)x a,x

n

x' a

b a，代入原公式可得新区间里的伯

kx akk

Bn(f,x) f((b a) a)Pk(),Pk(x) Cnx(1 x)n k

nb ak 0恩斯坦多项式为;

3，相应的麦克劳1313

P(x) x,P(x) x xR(x) 0.645964131

6，48林级数分别为部分和误差则为，

(b)

B1(f,x)

2

x,B3(f,x)

3x

(1

2x

)

2

2

2

(1

2x

)

8x3

R3(x)

1

5 0.07969263840，大于伯恩斯坦多项式的误差。

m m Pk(x)

k 0

k 0

nn

n

n

k

f()Pk(x) Bn(f,x) M Pk(x) Mnk 0，

2. m f(x) M，故

n

kkkn kk 1k 1

Bn(f,x) Cnx(1 x) x Cn(1 x)(n 1) (k 1) x 1x

k 0nk 1当f(x) x时，。

2(k1) x ,k ,18, sin4x 0 1g(x)83. ，对任意不超过6次的多项式，在时，

若有g(x) sin4x 1，则g(x)在 0,2 上至少有7个零点，这与g(x)不超过6次矛盾，所以g(x) sin4x 1，g(x) 0就是所求最佳一致逼近多项式。

(f,g) max(M c,m c),M maxf(x),m minf(x)g(x) ca x ba x b4. 设所求为，，

由47页定理4可知g(x)在 a,b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别

1

M c (m c),c(M m)

2为f(x)的最大值和最小值处，故由可以解得

g(x)

1

(M m)2即为所求。

x

3x 1 a a 1，

故，

5.

原函数与零的偏差极大值点分别为

3

4。 解方程可得出唯一解

222a1 0.636620cosx x2 arccos 0.880689,f(x2) 0.771178

， 6. ，故得，f(x2)xa0 a12 0.105257

22，故所求最佳一次逼近多项式为P 0.63 6x620，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为0.1052571(x)

a

0 x

maxsinx P1(x) P1(0) 0.105257

2

。

x

7. a1 e 1 1.71828，故由e2 e 1可以解得x2 0.541325，f(x2) 1.71828，

1 f(x2)x

a12 0.89406722则有，故所求最佳一次逼近多项式为

P1(x) 1.71828x 0.894067。

a0

8. 切比雪夫多项式在

1,1 上对零偏差最小，

所求函数必为切比雪夫多项式的常

111

r p(x) T2(x) x2

2。 22，解得唯一解 数倍，

11153119x tg(t) t4 t3 t2 t

22代入f(x)得1682816，则g(t)在9. 作变换

1,1

三次最佳逼近多项式为15251173

S(t) g(t) T3(t) t3 t2 t

1288168128，作逆变换t 2x 1代入S(t)，则

5211293

P(x) 5x x x

f(x)在 0,1 上的三次最佳逼近多项式为44128。

上的

***2T(x) T(2x 1) 1T(x) T(2x 1) 2x 1T(x) T(2x 1) 8x 8x 1，00112210. ，，

T3*(x) T3(2x 1) 32x3 48x2 18x 1，其中x 0,1 。

11.

1

*

*0

1

Tn*(x) ，故正

1

交。

12. 用T4(x)的4个零点

xk cos

2k 1

(k 1,2,3,4)8做插值节点可求得三次近似最

23

L(x) 0.0524069 0.855066x 0.0848212x 0.0306032x佳逼近多项式为3。

x 1,1 。由拉格朗日插值的余项表达公式13. f(x) e，则有f(x) e，其中

x

n

x

可得出

, n n1n)

e

f(x Ln)x( ))e fn 1(

n

Tn 1(x)(n 1)!2(n 1)!2n

n

，

)

!

令

2

e 1

n

(n

14. 由

!，则待证不等式成立，得证。2(1

1级数项数节约，在 1 ,上有

1511651

(x )5M,)(x)T(x)5

38483840，16即1511651183321219931101

M5,3(x) (x) T4(x) T5(x) x x x

3848384016102412840961096

151165131

max (x) M5,3(x) 0.00756836

38483840164096其中误差限为 1 x 1。

115115

f(x) sinx x x3 x P5(x) x x3 x

61206120为f(x)的近似，15. ，取

1

maxf(x) P5(x) 0.000198413

7!误差限为 1 x 1，再对幂级数的项数进行节约就

可以得到原函数的3次逼近多项式

115383

M5,3(x) P5(x) T5(x) x3

1201632384，其误差限为

111

maxf(x) M5,3(x) 0.000719246 1 x 17!12016，即为所求

泰勒

a,a 上的奇函数时，设Fn(x)为原函数的最佳逼近多项式，则16. 当f(x)为

*

Fn*(x) f(x) En

* Fn*( x) f(x) Fn*( x) f( x) En F( x)n，对有，所

*

以 Fn( x)也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性， Fn*( x) Fn*(x)，即 Fn*( x)是奇函数。同理可证，当f(x)为 a,a 上的偶*Fn函数时，最佳逼近多项式(x)也是偶函数。

17.

2

ax b sinx dx

3

a

2

3

24

a

2

2

b

2

2

4

ab 2a 2b

a

4，为使均方误差最小，

,b

8 24

2

4

则有12

18. (a)

b 2 0,

b

2

4

a b 2 0

，

96 24

，解得

3

ba

2

。 ，c为常

，

(f,g) (g,f) f'(x)g'(x)dx

a(cf,g) c(f,g) c f'(x)g'(x)dx

b

a数，

(f,f) 0，但当f(x) c时，(f,f )

(f1 fg2, f)g 1(fg, 2)ff'x(g)

x(gxdx,1 )f

a

b

xgx'dx()'()

,0不满足定义，所以

'x(dx

不构成内积。（b）(f,g) (g,f)，(cf,g) c(f,g)，

(f1 f2,g) (f1,g) (f2,g)，(f,f) 0且当且仅当f(x) 0时(f,f) 0，满

a

(f,g )

b

足定义，所以(f,g)构成内积。

61x1x1112

()(xdx) 0.196116 0 0(1 x)2 0 0

261 19. 1 x，1 x

1

6

1

1

1

212

12

1

x6dx

，

61x11

0.0714286 0.142857

01 x7其中0 1，则14，由此可知用积分

中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。 12221222(x ax)dx ax axdx 13520. ，a 0时最小。 1在a 1时，值为2121a 2 a 33a，a 1时，值为1，a 1时，值为33a2，a 1时最小。

11

22a 1,b (x ax b)dx

6，误差为21. 要使 0最小，由拉格朗日乘子法可解得

11

21001012 (x ax bx)dx

180，要使 0最小，由拉格朗日乘子法可解得20097992009294a ,b

53565356，误差为 0.164063，前者误差小。

242

(x a bx cx)dxx 22. 1上均为偶函数，也为偶函数，则 0最小，由拉格朗

日乘子法可解得

15105a 0 .b1 7 c18

12864。

sin(n 2)arccosx sinnarccosxun 1(x) un 1(x) 2xun(x)

23.

，和差化积得

证。

11

(f,P0) sinxdx 0

1224. 由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知，

1311

(f,P2) (x2 )sinxdx 0

1222，将原函数在此积分区间上按勒让德多项式

1111

(f,P) xsxd x8in co s0.3250741 1222三次展开就可以求得，

153111

(f,P3) (x3 x)sinxdx 236cos 432sin 0.00234807

122222，代入可*3

S(x) 0.487611P(x) 0.00821825P(x) 0.499938x 0.0205456x13得3，均方误

1

7

差为

2

n2 sin2xdx (f,P) 2(f,P3) 2.4487 10 1

222 1

1

137

1

2

4

。

212 1***

C cosk d f(x) C0

CkTk(x)k 0 2k 125. ，其中。

10a 10654b 542.8 0 10654a 14748998b 738643.0 0

26. a， b，解方程得a 4.00955,b 0.0471846，均方误差 13.0346。

27. 经验公式为s at bt，最小二乘法解得a 2.31346,b 10.65759，运动方程

2

2

为s 2.31346t 10.65759。

28. 经验公式为y t/(at b)，最小二乘法解得a 0.160744,b 3.17914，浓度与

时间的函数关系为y t/0.160744t 3.17914。

29.

30.

Ck

xjexp(i) 0 1, 1 2 i, 3 4，j 0，C0

16，31.

7

C1 4 ，C2

0，C3 4 ， C4

0，C5 4 ，C6

0，C7 4 。

第四章 数值积分与数值微分习题参考答案

2

1. 1) 公式可对f(x) 1,x,x均准确成立，即

A 1 A0 A1 2h

hA 1 hA1 0 2 h2A 1 h2A1 h3

3

h4

,A0 h33，具有3次代数精度。 解得

84

A 1 A1 h,A0 h

33，具有3次代数精度。 2)

3) x1 0.28990,x2 0.62660,或x1 0.68990,x2 0.12660.

A 1 A1

具有2次代数精度。

1

12，具有3次代数精度。 4)

11234567T8 [f(0) 2(f() f() f() f() f() f() f()) f(1)]

2 888888882. 1) 1

[0 2(0.0311 0.0615 0.0906 .01176 0.1644 .1836) 0.2]

＝16 ＝0.1114

11357123S4 [f(0) 4(f() f() f() f()) 2(f() f() f()) f(1)]

6 48888444 1

[0 4(0.0311 0.0906 0.1423 0.1836) 2(0.0615 0.1176 0.1644) 0.2] 24 ＝0.1116

2) T10 1.3915 S5 1.4547 3) T4 17.2277 S2 17.3222 4) T6 1.0356

S3 1.0358 3. 柯特斯公式为

b aC [7f(x0) 32f(x1) 12f(x2) 32f(x3) 7f(x4)]

90.

其中

xk a kh,h

b a4.

b

2

3

4

5

6f(x)dx C

验证对于f(x) 1,x,x,x,x,x， a均成立，但f(x) x时不成立。

1

S (e0 4 e 1/2 e 1)

64. ＝0.63233 b ab a4(4)

RS ()f( )

1802，

1111

|RS| ()4(e ) ()4 0.00035

18021802所以。

5. 1) 此差值型求积公式的余项为

由于x a在[a,b]上恒为正，故在[a,b]上存在一点 ，使

bf ( ) R f( ) (x a)dx (b a)2.

a2

bf ( )2f(x)dx (b a)f(a) (b a)

2所以有 a。

a

R f ( )(x a)dx

b

2)

R f ( )(x b)dx

a

ba

b

f ( )

(b a)2.2

f ( ) (x b)dx

b

f ( )a b2

(x )dx

a22 3) f ( )ba b2 (x )dx a22 f ( ) (b a)3.

24

6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为

b a2

Rr hf ( )

12 b ah4(4)

RS ()f( )

1802

b a

[a,b],h

n， 其中

R

f(x)dx

所以当n 时，Rr 0,RS 0，即两公式均收敛到积分 a，且分别为二阶和四阶收敛。

7. 设将积分区间分成n等分则应有

b a b a (b a)3

|R| M f ( ) 2

12 n 12n

其中

M max|f (x)|

a x b

b

2

，

(b a)3Mn

12 解得。

8. 首先算出T1,T2,T4,T8，然后逐次应用3个加速公式

计算结果如下表

2I 0.63212 0.71327

所以，积分。

9. a (2R H h)/2 7782.5，

.5， c (H h)/2 972

41

S2k T2k 1 T2k,k 0,1,2

33 161

C2k S2k 1 S2k,k 0,1

1515 641R2k C2k 1 C2k,k 0,1

6363

c

S 4a 2 ()2sin2 d

0a所以

＝4×7782.5×1.56529 ＝48728

（可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式

2

4 7782.5 2 0.01561sin d

x3x5

sinx x

3!5!

nsi 24

n3!n5!n有

1

limn sin T(h) sin h

nh由于n ，用外推算法，令，则

111T() 2.59808,T() 3,T() 3.1058,33 6 12 1411114111T1() T() T() 3.13397T1() T() T() 3.1411133633631236， ，

3 5

116111

T2() T1() T1() 3.141593156153， 即 的近似值为3.14159。

1) 计算结果如下表

即积分I＝1.09862。

31111 f(t) 1t 2t 2 2) 1y，令

三点高斯公式

585f( ) f(0) f() 1.0980495995 五点高斯公式

I 0.23693f( 0.90618) 0.47863f( 0.53847) 0.56889f(0) 0.47863f(0.53847)I

0.23693f(0.90618) ＝1.09862。

31I 1y3)

212.51311

dy1y1.5y22.5yy

111111111

( dt dt )

10.25t 1.75 10.25t 2.25 10.25t 2.754 10.25t 1.25 1f(x)dx f( ) f() 133，得 对每个积分用高斯公式

I＝1.09854。

此积分精确值为ln3 1.09861。 12. 三点公式：

1

f (1.0) [ 3f(1.0) 4f(1.1) f(1.2)] 0.247

2 0.1 1

f (1.1) [ f(1.0) f(1.2)] 0.217

2 0.1 1

f (1.2) [ f(1.1) f(1.3)] 0.189

2 0.1。

f (x) 2(1 x) 3， f (x) 6(1 x) 4， f (x) 24(1 x) 5

3

h20.12

|R1| f ( ) 24(1 1.2) 5 1.55 10 3

33f (1.0)的误差 h20.12

|R2| f ( ) 24(1 1.2) 5 7.8 10 4

66f (1.1)的误差

4

f (1.2)的误差 |R3| 6.2 10。

五点公式：

1

[ 25f(1.0) 48f(1.1) 36f(1.2) 16f(1.3) 3f(1.4)] 0.2483

12 0.1 1

f (1.1) [ 3f(1.0) 10f(1.1) 18f(1.2) 6f(1.3) f(1.4)] 0.2163

12 0.1 1

f (1.2) [f(1.0) 8f(1.1) 8f(1.3) f(1.4)] 0.1883

12 0.1。

误差分别为 f (1.0) R1 1.7 10 3， R2 3.4 10 4， R3 4.7 10 4。

第五章 常微分方程数值解法习题参考答案

yn 1 yn h(axn b)

n(n 1)2n2

ahah nbh

22，误差，改进尤拉

1． 尤拉法表达式

hn22

yn 1 yn f(xn,yn) f(xn h,yn hf(xn,yn)) ah nbh

22法表达式，无误

差。

h2 h2 hn

yn 1 yn ( yn yn 1)yn 1 ynyn 1 ()

y(0) 122 h，2 h。4． ，即又由，则有

2

nh2 hn2h22 hh 22 hhn

2 h

limyn lim() lim(1 ) lime e xn

h 02 hh 0h 02 h当h 0时，h 0。

5． 取步长h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。

K fn th(fx f fy)n o(h)，K3 fn (1 t)h(fx f fy)n o(h)，7． K1 fn，2

则

h2h

yn hy'n y"n yn (fn th(fx f fy)n fn (1 t)h(fx f fy)n) o(h2)

22

h2h

hfn (fx f fy) (2fn h(fx f fy)n) o(h2) o(h2)

22

D f

K1 fn， x y8． (1)令，泰勒展开可得11

K2 fn hDfn h2D2fn o(h2)

318，2221 2

K3 f(xn h,yn hK2) fn h(D hDfn)fn h2D2fn o(h2)

3333 y9，

11

yn 1 yn hfn h2Dfn h3(D2f fyD)fn o(h3)

26同理有， 代入龙格-库塔

3

o(h)。(2) 类似(1)展开可得K1 fn，公式可得

11

K2 fn hDfn h2D2fn o(h2)

28，3331 9

K3 f(xn h,yn hK2) fn h(D hDfn)fn h2D2fn o(h2)

4442 y32，

同理有

yn 1 yn hfn

121

hDfn h3(D2f fyD)fn o(h3)26， 代入龙格-库塔

3

公式可得 o(h)。

h

yn 1 yn (2 yn 1 yn)

29． 二阶显式公式为，代入得y(1.0) 0.626，二阶隐式h

yn 1 yn (2 yn yn 1)

2公式为，代入得y(1.0) 0.633，真解为

y(1. 0)0。.6

10．

h2(2)h3(3)

yn 1 yn hy yn yn o(h3)

26

(1)

n

(1)n

(2)n

，

y'n 1 y hyy'n 1 y hy

(1)n

h2(3)h2(2)h3(3)2(1) yn o(h)yn 1 yn hyn yn yn o(h3)226，，h2(3)5(3) yn o(h2) h3yn o(h3) o(h2)28，代入得，截断误

(2)

n

53(3)hyn

差首项为8。

11．

h2(2)h3(3)

yn 1 yn hy yn yn o(h3)

26

(1)

n

(1)n

(2)n

，

y'n 1 y hyy'n 2

h2(3)4h3(3)2(1)2(2) yn o(h)yn 2 yn 2hyn 2hyn yn o(h3)23，，

(1)

n

h2(2)h3(3)

yn 1 yn hy yn yn o(h3)(1)(2)2(3)2

yn 2hyn 2hyn o(h)，26，

代入待定系数的公式中可得系数之间的关系式为a0 a1 a2 1， a1 2a2 b0 b1 b2 1，a1 4a2 2b1 4b2 1， a1 8a2 3b1 12b2 1。

12．

y' z,z' 3z 2yy( 0z) (1)，其中

y' z,z' 0.1(1 y2)z yy( 0z，其中

x' a,a' y' b,b' (3)，

x(0) 0,a(0) 0,y(0) 0,b(0) 2。

1。 )

(2) 。

中

其

13．

用差商逼近导数的方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得 31y1 16y2 0,16y1 31y2 16y3 0,16y2 31y3 26.88，解此方程组可得

y1 0.494380,y2 0.957862,y3

1.36148。

14．

h 1,xn n，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得

2

2

(n 1)2h2 (n 1)h(n 1)2h2 (n 1)hyn 1 2yn yn 1 1 nh nh 1

22，即

差分法求出的解恒等于准确解。 15． 差分方程6y0 5y1 1,26y0 54y1 25y2 1.8,29y1 59y2 27y3 0.6，

34y2 68y3 31y4 0.6,41y3 81y4 72.2，代入得y0 1.01487,y1 1.01785，y2 1.07010,y3 1.21030,y4 1.51329。

第六章 方程求根

2

f(x) x x 1，则f(0) 1 0,f(2) 1 0. 1. 令

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