华东理工大学概率论答案-17,18

华东理工大学

概率论与数理统计

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十七次作业

一．计算题：

1. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏

的概率都是0.1，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有88%的部件起作用。

（1）已知系统中共有900个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地工作的概率）。 （2）为了使整个系统的可靠性达到0.99，整个系统至少需要由多少个部件组成？

?～b(n,p)，解: 设?是起作用的部件数 ，当n比较大时，近似有?～N(np,npq)。 （1）n?900，p?0.9，q?1?p?0.1,np?810，npq?81。

整个系统要能可靠地工作，至少要有 n?88%?900?88%?792 个部件起作用， 所以，这时系统能可靠地工作的概率等于

P{792???900}≈ ?(900?810792?810)??()??(10)??(?2) ≈ 0.9772 . 8181（2）设至少需要n个部件，np?0.9n，npq?0.09n。 这时系统能可靠地工作的概率等于

P{0.88n???n}≈?(n?0.9n0.09n)??(0.88n?0.9n0.09n)=?(nn)??(?) 315 ≈1??(?nn)??() 1515（ 因为本题中n很大，

nn的值远远超过了4，所以可以认为 ?()≈1 ） 。 33要?(nn)?0.99 ，查表可得?2.3263，即n?(2.3263?15)2≈1218 ， 1515即如果整个系统可靠性要达到0.99，它至少需要由1218个部件组成。

2. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有

1

100000人参加这项保险，每人每年需付保险费20元，在此类保险者里，每个人死亡的概率是0.002，死亡后家属立即向保险公司领得8000元。若不计保险公司支出的管理费，试求：

（1）保险公司在此项保险中亏本的概率；

（2）保险公司在此项保险中获益80000元以上的概率。

解： 设?是死亡的人数，?～b(n,p)，n?100000，p?0.002 ，q?1?p?0.998。

?0.002?200，npq?200?0.998?199.6。 近似有 ?～N(np,npq)，np?100000?。 保险公司的净获益为 20?100000?8000??0 ，即 ??250时，保险公司在此项保险中亏本，（1）当 20?100000?8000其概率为

P{??250}≈1??(250?200)≈1??(3.539)≈0.0002 . 199.6??80000，必须有 ??240，这时，概率为 （2）若要 20?100000?8000P{??240}≈?(240?200)≈0.9977 。 )≈?(2.831199.6

3. 抽样检查产品质量时，如果发现次品不少于10个，则认为这批产品不能接受，应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9。

解: 设要检查n个产品，?是其中的次品数，?～b(n,p)，p?0.1 ，

q?1?p?0.9。近似有 ?～N(np,npq)，np?0.1n，npq?0.1n?0.9?0.09n 。

当??10时这批产品不被接受，所以，产品不被接受的概率为

P{10???n}≈?(n?0.1n10?0.1n10?0.1n)??() ??(3n)??() 0.09n0.09n0.09n10?0.1n0.1n?10)??() ≈1??(0.09n0.09n（ 因为本题中n很大，3n的值远远超过了4，所以可以认为 ?(3n)≈1 ） 。

现在要P{10???n}??(0.1n?100.09n)?0.9，查表可得

0.1n?100.09n?1.2816，即有

0.1n?0.38448n?10?0 。

2

这是一个关于n的一元二次不等式方程，解这个方程，得到 n?12.1055 或

n??8.2607 ，但n不可能小于负值，所以只有n?12.1055，平方后得到

n?(12.1055)2?146.543 ，

大于146.543的最小整数是147，即只要检查147个产品即可达到要求。

4. 分别用切比雪夫不等式和德莫哇佛-拉普拉斯极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的概率在0.4～0.6之间的概率不少于90%。 解 设要掷n次硬币，?是掷出的正面数，?～b(n,p)，p?0.5 ，q?1?p?0.5，

E??np?0.5n，D??npq?0.5n?0.5?0.25n 。

（1）用切比雪夫不等式估计。

P{0.4??????0.6}?P??0.5?0.1??P{??0.5n?0.1n} n?n?0.25n25D??1??1? 。 22n0.01n(0.1n)?P{??E??0.1n}?1?现在要 P{0.4?2525?0.9，即要有 n??250 。用切比

nn1?0.9雪夫不等式估计，需要掷250次。

（2）用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计。

?0.6}?1??因为?～b(n,p)，近似有?～N(np,npq)，np?0.5n，npq?0.25n 。

P{0.4??n?0.6}?P{0.4n???0.6n}≈?(0.6n?0.5n0.25n)??(0.4n?0.5n0.25n)

??(0.2n)??(?0.2n)?2?(0.2n)?1 。

现在要 P{0.4??n?0.6}?2?(0.2n)?1?0.9，即要有?(0.2n)?0.95，查

1.64492)?67.6424。大于67.6424的最小整0.2数是68，用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计，只要掷68次就可以了。

表可得 0.2n?1.6449，即有 n?(

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5. 设{?n}为独立同分布随机变量序列，P(?n??logk)?于零的常数，试证{?n}服从大数定理。

1(n?1,2,?),k为大211logk?(?logk)?0，数学期望22有限，满足辛钦大数定理的条件，服从辛钦大数定理。

解: {?n}是独立同分布随机变量序列，E?n?6. 设{?n}为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为：

2k1P(?n?2)?k，k?1,2,?

k2试证{?n}是否服从大数定律。

证: 由于{?n}为独立同分布随机变量序列,而

?2k11E?n??2?k??2??? 收敛,

2k?1kk?1k?满足辛钦大数定律的条件,故大数定律成立.

17. 随机变量序列{?k}各以的概率取值ks和?ks，当s为何值时，大数定理可

2应用于独立随机变量序列 ?1,?,?n,?，的算术平均值。 解: E?k?1s111k?(?ks)?0，E(?k2)?(ks)2?(?ks)2?k2s， 2222D?k?E(?k2)?(E?k)2?k2s?02?k2s。

当s?1时， 2n11D(?)??kn2n2k?11?s)21D???kn2k?1n?kk?1n2s1?2n?nk?1n2s?2(?s)12s?2n?n?n2， n1因为 limnn???2(n1?0，所以lim2D(??k)?0 ；

n??nk?1当s?1时， 2n11D(?)??kn2n2k?1?D?k?k?1n1n2?k2s?k?1n1n2?k?k?1n1n(n?1)??2n21?21n?2 ，

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n1这时，显然不可能有 lim2D(??k)?0 。

n??nk?1所以，当且仅当s?定理。

1时，满足马尔可夫大数定理的条件，可应用马尔可夫大数2第十八次作业

一．填空题：

1．设121， 128， 130， 109， 115， 122， 110， 120 为总体X的一组样本观察值，则

2样本均值X=__119.375 __； 样本方差Sn?1=__58.839___；

样本标准差Sn?1=_7.671___； 样本二阶原点矩X2=_ 14301.88_。

1)，X1，X2，2．设总体X~N(0，?，Xn为样本，则

22 (1)X12?X2~?2(3)； (2)?X3X1?X2X?X2324~t(2)；

(3)3n(?1)?Xi23i?1?Xi?4n~F(3,n?3)。

2i

二． 选择题：

1. 设(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本, 若样本观测值分别为 (-2, -1, 0, 0, 1, 2), 则下述选项错误的是 ( D )。

A. 样本均值为0 ； B. 样本中位数为0； C 修正样本方差为2； D. 样本极差为2。 2． 已知总体X~N(?，?2)，其中?已知而?2未知，X1，X2，?，Xn是总体X的一个样本。则下列的( C ) 不是统计量。

1nA. ?(X?X)； B. X1?2?；

ni?15

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