山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.3.2圆周角和圆心角

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.3.2圆周角和圆心角

的关系》教案 北师大版

教学目标：

1.掌握圆周角定理的推论的内容； 2.会熟练运用推论解决相关问题．

3.由观察猜想到推理证明的过程中，感受分类、转化、类比等数学思想的重要性．

教学重点：

教学难点：

理解推论的“题设”和“推论”

教学准备：

多媒体课件、几何画板软件、圆规、三角尺． 教法学法：

类比教学法、启发式教学法、合作探究法

一、创设情境，引入新课．

师：这节课我们来学习“圆周角和圆心角的关系（二）”，首先我们来回顾一下上节课学习的主要内容．谁来说一下？

生1：圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 生2：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 设计意图：能将上节课学到的圆周角定理记忆巩固．

师：圆周角定理在证明或计算中应用非常广泛．上节课，我们提出来足球场上射门角度的问题，大家看一下这幅图，仅从射门角度大小考虑，小明在B,D,E,O四个点中的哪个点相对于球门的角度更好？

生：O点．根据圆周角定理，∠AOC=2∠ABC，∠AOC=2∠ADC，∠AOC=2∠AEC，∠AOC比∠ABC，∠ADC和∠AEC都大． 师：我完全认同你的观点，那如果只在B,D,E三个点中选择的话，哪个点的射门角度更好呢？为了研究这个问题，我们来看第一个探究．

设计意图：激发学生的求知欲望，肯定学生的合理解释． 二、师生互动，探究新知 （一）探究一 课件出示：

1

探究一：同弧所对圆周角之间的关系

问题：判断图中∠ABC，∠ADC和∠AEC的大小关系？ 安排学生小组讨论后在探究纸上写出简要的证明过程．

师：我看同学们都很快就得出了结论，哪个小组来说一下你们的看法． 生：我们认为甲、乙两位同学谁的射门角度是一样大的．

∵∠ABC =

1∠AOC 21∠ADC =∠AOC

21∠AEC=∠AOC

2∴∠ABC=∠ADC=∠AEC

师：通过以上证明，再结合图形，同学们能得到怎样的结论呢？ 生：同弧所对的圆周角相等．

师：这一结论能不能扩充为“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．” 学生思考后举手回答．

生：是可以的．根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”就可以推出这一结论．

师：同学们明白他所表达的意思吗？ 生：明白．

师：这就是我们这节课要学习的圆周角定理的第一个推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．给同学们一分钟的时间理解记忆一下． 生阅读、理解、记忆．

师：现在请同学们找出图中四对相等的圆周角． 课件出示：

找一找：找出图中四对相等的圆周角． 学生看图寻找并把答案写在探究纸上． 师：谁来说一下？

生：∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8.因为他们都分别对着同一条弧．

师：这位同学找的非常全面．这个定理又为我们在圆中找等

角提供了一个重要依据．我们已经知道“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,”下面请同学们思考一下，如果我们把这个命题中的条件和结论互换一下，也就是：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对弧一定相等吗？为什么？ 生猜想，并在练习本上画图并尝试证明自己的猜想．

生：相等．因为，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，根据“圆周角定理”，它们所对圆心角也相等；再根据“圆心角、弦、弧三者关系定理”，就能够得出那么它们所对弧也相等．

师：是的．这样我们就能得到一个结论：在同圆或等圆中，如果两圆周角相等，那么它们所对弧一定相等 （二）探究二

师：下面我们来深入探索一下． 课件出示：

1.如图，AB是⊙O的直径，你能求的度数吗？

2

学生思考，在探究纸上完成证明过程．

师：我看多数同学已经有答案了，谁来说一说自己的想法？ 生：∵AB是⊙O的直径

∴点A，O，B在同一条直线上，即∠AOB是平角，为180°．

∵∠ACB和∠AOB对着同一弧AB ∴∠ACB=

1∠AOB=90° 2师：那么把刚才的问题的条件和结论再互换一下：如果圆周角∠ACB=90°，那么它所对的弦AB是⊙O的直径吗？

学生讨论，老师巡视，发现学生不好组织语言，就进一步做出提示：什么叫直径？过圆心的弦叫做直径．那我们要证明弦AB是不是⊙O的直径，只需要证明什么？ 生：证明点O，A，B是否在同一条直线上即可． 生根据提示快速思考，获得结论，举手回答问题． 生：分别连接OB，OC， ∵∠ACB=90°

∴∠AOB=180°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） 即点O，A，B在同一条直线上， ∴弦AB是⊙O的直径

师：综上所述：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． （三）归纳

师：通过上面几个问题的探讨，我们归纳出了圆周角定理的推论有两个． 课件出示： 圆周角定理的推论： 推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径． 怎么样，同学们，大家对这两个推论都理解了吗？ 生：理解．

设计意图：在探究的过程中，既能发展学生的独立思考能力，又发展能互相合作的能力．老师要做的就是引导学生体会一般到特殊如何总结规律． （四）例题分析

师：下面我们化心动为行动——请同学们来看一道例题． 课件出示：

例：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

3

师：请同学们思考一下．

学生独立思考的基础上，在小组内讨论，验证自己的想法，然后师生共同完成题目．

师生共同分析：由题中AB是⊙O的直径，我们不难想到“推论2”——直径所对的圆周角是直角．那么既然有直径AB，但图中并未作出它所对的圆周角，所以我们可以直接连接AD，那么∠ADC=90°，即AD⊥BC．又因为AC=AB，根据等腰三角形的“三线合一”，所以BD=CD． 师：下面谁能来说一下具体的步骤？ 生：解：连接AD

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC 又∵AC=AB

∴BD=CD（三线合一）

（五）议一议

师：在以上的探究过程中，你用到了哪些方法？ 学生组内交流，全班进行汇总．

生：在研究图形的过程中，我们用了度量、证明、分类、转化以及类比等方法．在解决例题时还认识到一类辅助线的添加方法：构造直径上的圆周角．

师：同学们总结的非常好，下面我们还要沿用以上方法来解决一下这类问题． 设计意图：培养学生善于总结和向他人学习的学习态度． （六）做一做 课件出示：

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就是有可能触礁．

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？ 安排学生在课本上作图，独立思考的基础上小组讨论以完善自己的想法，然后小组派代表阐述自己小组的观点． 分析：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于⊙O内部．可以用反证法予以说明：假设船位于⊙O上如图点E处，则∠α等于“危险角”，这与已知相矛盾，所以船

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不能位于⊙O上；假设船位于⊙O外如图点P处，则∠α+∠PBE=∠BEA=∠C，此时有∠α小于“危险角”，这与已知相矛盾，所以船不能位于⊙O外．综上所诉，船位于⊙O内部． （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于⊙O外部．证明过程仿照（1）．假设船位于⊙O上如图点E处，则∠α等于“危险角”，这与已知相矛盾，所以船不能位于⊙O上；假设船位于⊙O内，如图点Q处，则∠α=∠BEA+∠EBQ=∠C+∠EBQ，此时有∠α大于“危险角”，这与已知相矛盾，所以船不能位于⊙O内．综上所诉，船位于⊙O外部． 设计意图：发展学生分析问题，解决问题的能力． 三、随堂练习，巩固应用．

师：下面我们来看一些练习题，检测一下同学们最本节课内容的掌握和理解情况． 课件出示： 1.判断题：

（1）同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.（ ） （2）90°的角所对的弦是直径. （ ） （3）同弦所对的圆周角相等. （ ） 学生思考，举手回答，师生共同讲评． 分析：（1）（√）这句话就是推论一．

（2）（×）反例: （3）（×）反例:如图，弦AB所对的圆周角有两类，它们的顶点分别在弦AB所对的优弧和劣弧上，这两类圆周角显然不一定相等（除非这条弦是直径）．可以引导学生进一步分析得出：∠ACB+∠ADB=180°．

师：下面我们来看两道填空题，同学们先独立完成，一会找同学来说答案和依据． 课件出示： 2.填空题:

(1)如图1,所示,∠BAC= ,∠DAC= .

(2)如图2所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC= cm．

图1 图2 学生独立思考完成题目，教师组织回答问题． 生1：（1）∠BAC=∠BDC，∠DAC=∠DBC．因为同弧所对的圆周角相等． 生2：（2）∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形 又∵∠BAC=30°

∴BC=

1AB=5cm． 25

师：我们知道数学来源于生活运用与生活，下面我们来看一下生活中的数学． 课件出示：

3.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？

生：第（2）个，因为只有90°的圆周角所对的弦才是直径． 4. 确定一个圆形纸片圆心

师：下面我们来实际操作一下，请同学们拿出你做好的圆形纸片，试一试你能确定一个它的圆心吗？你能设法有几种做法？同学们先思考一下，然后在小组内交流一下，看看你们小组一共有几种做法．

学生开始活动，教师巡视，留意收集学生的较好做法，作为随后汇报环节的素材． 学生边演示边讲解．

生1：连续对折两次，折痕的交点即为圆心．

生2：我是先对折一次打开，然后再对折一次，折痕的交点即为圆心．

生3：在圆心纸片上利用直角三角板画两个90°的圆周角，是它们所对的弦相交，这个交点就是圆心．

生4：在图中画两条不平行的弦，分别作这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心．

生5：在圆上任意画一条弦，然后作这条弦的垂直平分线，交圆于A,B两点，再作AB的垂直平分线，两线的交点就是圆心．

设计意图：巩固所学知识，加深对新知识的理解和应用，发展学生分析问题，解决问题的能力．

四、课堂小结 师：同学们在这节课中表现的非常棒，我们顺利的解决了很多问题．现在请同学们回忆一下，本节课我们都学习了哪些知识？

生：圆周角了两个推论：推论1——同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2——直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

师：我们在解决问题时都用了哪些方法？ 生：引辅助线的方法：（1）构造直径上的圆周角；（2）构造同弧或等弧所对的圆周角． 师：是的构造直径上的圆周角，就可以得到直角三角形，构造同弧或等弧所对的圆周角就会出现一些相等的量，为我们解决问题提供很大的帮助． 设计意图：学生畅所欲言，包括学习心得和困惑，互相帮助，互相促进；鼓励学生大胆发言，锻炼学生的语言表达能力． 五、随堂检测

1.如图1，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 (1)OC与AD的位置关系是 ; (2)OC与BD的位置关系是 ; (3)若OC = 2cm,则BD = cm

2.如图2,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.

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3.如图3,⊙O中,D、E分别是AB和AC的中点, DE分别交AB和AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形.

图1 图2 图3 六、布置作业

A类：课本116页地题． B类：

1、如图1，足球赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻．当甲带球到A点时，乙随后冲到B点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)

2.如图2，当甲带球到C点时，乙冲到了D点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)

图1 图2

七、板书设计

§3.3圆周角和圆心角的关系（二） 一、圆周角定理的推论 推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 二、例题

三、引辅助线的方法 （1）构造直径上的圆周角； （2）构造同弧或等弧所对的圆周角． 教学反思：

收获：本节课重视给学生抒发感受的机会，让学生总结出自己在“做中学”的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯。

问题：组织学生探究“90°的圆周角所对的弦是直径．”这个问题时，我是直接把问题抛给

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学生，我发现多数学生很快的可以猜测出结论，但怎样说理就比较茫然了。 改进：对以上问题提出后，引领学生分析一下，再让学生动手去完成证明。

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