学位论文-—勾股定理的无字证明勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

abba aaca a cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.

a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. H∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.

a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

aCbcFcbaB2??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

?a?b?21?4?ab?c22222. ∴ a?b?c.

1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

DbGaHEFC角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. A∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.

124?ab??b?a??c2∴ 2.

cB2??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

∴ a?b?c.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面

1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、CE、B三点在一条直线上.

222∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, D∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

a∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. A∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

cbEcabB12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

∴ AD∥BC.

1?a?b?2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1?a?b?2?2?1ab?1c222. ∴ 2∴ a?b?c.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

222∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

1a2?b2?S?2?ab,2 1c2?S?2?ab2,

FbGbcabAcaEPbCHcaBcaD ∴ a?b?c.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条

E直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. ba过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 cAFF作FN⊥PQ，垂足为N. P∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， b∴ ∠MPC = 90o， MccC∵ BM⊥PQ，

N∴ ∠BMP = 90o， a∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90oQ. cB∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）

222做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点

G在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

H交AB于点M，交DE于点

KaL. C∵ AF = AC，AB = AD， Fb∠FAB = ∠GAD， baM∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， BA12a∵ ΔFAB的面积等于2， cΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

2∴ 矩形ADLM的面积 =a. EDLc2b同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222∴ c?a?b ，即 a?b?c. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

C在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

b∠CAD = ∠BAC， a∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， cADB2即 AC?AD?AB.

2同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.

222222??AC?BC?AD?DB?AB?AB∴ ，即 a?b?c.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，

DGa∴ ∠DAH = ∠BAC.

c又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，

1b92AD = AB = c， cAF8R∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. HP∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

T3cQE7B45ca6bC

由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2?S1?S2?S3?S4?S5 ①

S8?S3?S4?1?b??b?a????a??b?a??b2?1ab22， = 1ab?S822= b?S1?S8 . ②

∵

S5?S8?S9，

∴

把②代入①，得

S3?S4?b2?c2?S1?S2?b2?S1?S8?S8?S9

222b= ?S2?S9 = b?a.

∴ a?b?c.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， BbT∴ ∠TBH = ∠ABE. 2CR8D又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

6BT = BE = b， a13H∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. M7GFAE∴ HT = AE = a.

45∴ GH = GT―HT = b―a.

c又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o， Q∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

222

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/81g7.html