周益春-材料固体力学习题解答习题十

第十章 热应力习题及解 习题1、如图10-1所示，将一圆锥体固定在两壁间，计算温度由T1升高到T2时所产生的压缩热应力。 图10-1 解：设圆锥体棒温度升高为??T2?T1，其线胀系数为?。在自由膨胀时，其伸长为??l 。 若假设壁给予的压缩力为P，而棒应缩短??l。各截面的粗细不同，因此各截面产生的热应力不同。与左端距离x的截面AB处的直径为dx，

dx?d1??d2?d1?x/l。设AB截面的面积为Sx，于是该截面上的压缩热应力为

?x??PSx??4P??d1???(d2?d1)lx???2

故AB处的应变为

?x???xE??4P?E?d1???(d2?d1)lx???2

与AB距离dx微段的缩短了?xdx，因此整个棒缩短

?l4Pdx0?E?d1???(d2?d1)lx???2?4Pl?Ed1d2???l

那么P??E?d1d2?/4，于是热应力为

???E?d1d2?(d2?d1)??d1?x??l??2x

最大热应力发生在截面积最小的左端，为?max??Ed2??/d1。

习题2、如图10-2所示，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而另一

端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用，设两棒分别从最初的无应力

1

状态下温度升高了T1和T2，试计算两棒中的热应力。 棒1：E1,?1,S1,T1,?1 棒2：E2,?2,S2,T2,?2 图10-2 解：假定T2?T1,?2??1，则棒1的自由膨胀量为?1T1L1，而棒2的自由膨胀量为?2T2L2。棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为?2L2??2L2/E2，其最终伸长量为 ?2T2L2??2L2/E2。

而棒1除自由膨胀外，还因相应拉应力的伸长?1L1??1L1/E1，其最终伸长量为

?1T1L1??1L1/E1

其中?1,?2中包含了应力符号。

因右端连接在刚体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即

?1T1L1??1L1/E1??2T2L2??2L2/E2??l （a）

设弹簧的弹性常数为ks，则其压缩力为P?ksl，故有

?1S1??2S2?P （b）

可求得

?S2E2S1E1??1T1L11???2T2L2???S2E2L1S1E1L2ks?1T1L1S1?1?ksL1S1E1

?S1E1S2E2??2T2L21???1T1L1???S1E1L2S2E2L1ks?2T2L2S2?2?ksL2S2E2

讨论：

（1）若ks?0，弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅起连接作用，此时

2

?1??E1??1T1L1??2T2L2?/L11?S1E1L2/S2E2L1'

再假设L1?L2,T1?T2?T，则

?1??E1T??1??2?'1?S1E1/S2E2。

（2）若ks??，弹簧不能伸缩，即为全约束下（即为上题情形），此时

?1??E1?1T1

对于?2，以上讨论完全类似。

习题3、如图10-3所示，重量为P=9072Kg的刚体块，吊在长为L1=30.5cm的钢棒和长为L2=61cm的铝棒下，现温度升高56?C。其中钢棒:

E1?2.1?10Kg/cm,?1?1.22?106262?5,S1?5.16cm

?52铝棒：E2?0.7?10Kg/cm,?2?2.22?10且认为棒受压后不会弯曲，试求各棒中的热应力。 ,S2?10.32cm，不考虑各棒的自重，2图10-3 解：利用第2题中的（a）式 ?1T1L1??1L1/E1??2T2L2??2L2/E2??l得 1.22?10?5?30.5?56??5?1?30.52.1?100.7?106?2.22?10?61?56??2?616

整理后得14.5?1?87.14?2?54998Kg 利用第3题中的（b）式得

2??1?5.16??

2?10.32?9072Kg

3

由上述两式可求出 ?1?1294Kg/cm,?2??415Kg/cm。

习题4、将钢制螺钉拧进铜管中长L，假定螺钉与铜管的截面积之比为S1/S2?1/2，钢制螺钉的纵向弹性系数为E1?2?10Kg/cm,?1?1.1?10E2?10Kg/cm,?2?1.65?1062?562?522，铜管的纵向弹性系数为

，试计算温度由20?C上升到220?C时的热应力。

解：由于是拧进去的，膨胀相互受到约束，伸长量必须相等，即将伸长量等式与合力平衡条件联立求解，可利用第2题中的讨论（1）

?1??E1T??1??2?'1?S1E1/S2E2

其中T?220?C?20?C?200?C，代入上式得

?1??2?10?6'?200?1.1?101?1/2?10??5?1.65?10?6?52?10?6??1100Kg/cm2

由合力平衡条件?1S1???2S2得

????S1/S2??1??12?1100??550Kg/cm22

习题5、证明：在二维热弹性问题中，使面内应力?拉普拉斯方程?T?0。

证明：热弹性力学的物理方程为

?x??y??z?1?1?1?[?[?[?x2x??y??xy?0的变温分布T一定满足

?v(??v(??v(?y??z)]??T,??x)]??T,??y)]??T,?????yz???1G1G1G?yz?xz ?xyyzxzzxxy现在为二维热弹性问题中，而面内应力?面应变问题均有?z?0 ，于是

?x??T,?y??T,?z??T,???xy??xy?0，故无论是平面应力问题，还是平

yz???1G1G1G?yz?0?xz?0 ?xy?0xzxy再据变形协调方程

4

??x?y22???y?x22???2xy?x?y,??y?z222???z?y22???2yz?y?z,??z?x22???x?z22???2zx?z?x

得 ?(?T?x22??T?y22)?0,?(?T?y22??T?z22)?0,?(?T?z22??T?x22)?0

三式相加得 2?(2?T?x?22?2?T?y2??T?z22)?0， 所以有

?(?T?x22?T?y?22)???T?0,即?T?0;或?T?z2222，得证。

)?2??T?0,即?T?0222?(?T?x2?T?y2?习题6、证明：在平面应力热弹性问题中，杜汉梅-偌衣曼原理可表述为：若在无体力及表面力作用时因变温T???1??1?引起的位移及应力u?与???(?,??1,2)。而该同一弹性体在等温情况下由体

?1?力????E?1??T,??使及表面力?T1?v1?v???1??2??E?1????所引起的位移及应力为u?与???(?,??1,2)，那么 ???2??2?u??u?,?????????1??2??E1??T?1????

证明：在平面应力热弹性问题中， 变形几何方程为：????12?u?,??u?,??，?kk?uk,k （a）

平衡方程为： ???,??f??0 （b）

????2G??????????kk?E1?2???T???,物理方程为：

????1?v?v??????E?1?v （c）

??????T???,kk 其中?为线膨胀系数

应力边界条件为： ???v??X? （d） 将（c）中第一式左右两边对x?求导，然后与（b）联立得：

???,??f??2G???,?????????E1?2?T,?????f?

2kk,?因为 2G???,??G(u?,???u?,??)?G(u?,???u?,??)?G?u??Ge,?，

5

?kk,??????kk,??uk,k??e,?,T,?????T,?

所以以位移表示的平衡方程为

G?u?????G?uk,k??2?E1?2vT,??f??0 （e）

?1??1?（1）若在无体力及表面力作用、即f??0,X??0时，因变温T???可由下列公式求得

?1?引起的位移及应力u?与

将f??0代入（e）式得

2(1)(1)位移公式： G?u?????G?uk,k???E1?2vT,?(1)?0 （f）

将X??0代入（d）式、再由（f）、（a）、（b）、（c）、（d）式得 应力分量公式： ??1?x?2G1?v?????v?????11xy?E1?vT?1? （g）

??1?y?2G1?vxy?????v?????11yx?E1?vT?1?

?xy?G??1?（2）同一弹性体在等温情况下、即T?0时，由体力f????E1?v?E1?vT,?及表面力

?1?X??T?1???所引起的位移及应力u?与???为

?2??2?将T?0、f????E1?vT,?代入（e）式得

?1?2(2)(2)位移公式：G?u?????G?uk,k???E1?2vT,?(1)?0 （h）

X???E1?vT?1???代入（d）式、再由（h）、（a）、（b）、（c）、（d）式得

应力分量公式： ??2?x?2G1?v???2?x?v?y?2?? （ｉ）

6

??2?y?2G1?vxy???2?y?v?x?2??

?xy?G??1??2?（3）比较（f）和（h）式得：u??u? 因为u??u?，由（a）得?????

再比较（g）和（i）式得：?????????1??2??2??1??2??1??2??E1??T?1????

?1?故：若在无体力及表面力作用、即f??0,X??0时，无约束弹性体在温度变化T后，对

其每一很薄平面微元体的膨胀或收缩在该平面内给以完全的限制，即可设想在微元体的x，y方向施加压力P，从而做到因变温引起的?x??y???x??y?1Exy?0。所以P可由下式求得

?P?1??vP???T?1??0

而 P???E1?vT

这种压力分布可以一定的体力和面力作用在弹性体上来实现，对微元体说，也就是将

????P???E1?vxyT?1?

附加到等温情况下的应力状态。

习题7、如图10-4所示，一等厚度的矩形薄板，其温度只沿高度方向按T?T(y)变化，板端不固定，试计算因温度分布不均匀而引起的热应力，并据不同的约束情况和温度分布情况讨论热应力的分布。

图10-4

解：首先假设使板两端固定，此时板中每根纵向（x向）纤维因膨胀而引起的应变?T完全被限制，板中显然受到压力，其压应力为

??1?x???ET?y? （a）

但这样假设后，在板的两端面（x??l）上会有（a）式表示的应力分布，这不符合板两端面各点应力为零的实际情况。要满足板两端面各点应力为零的条件，只需在x??l面上加一个大小与

7

（a）式相等而方向相反的应力系?ET?y?即可。这样加上的应力系沿端面积分所得的合力和合力矩为

Px?M??c?c?ET?y?bdy （b）

cz??c?ET?y?bydy （c）

据圣维南原理，由在端面所加应力系?ET?y?在远离端部所引起的应力，与Px,Mz所引起的应力相同，故有

??2?x?PxA?Px2bc??2c?1c?c?ET?y?dy （d）

??3?x?MzyIz?3Mzy2bc33y2c3?c?c?ET?y?ydy （e）

结果，在板中所产生的热应力，除了板端部附近外，是以上（a）、（d）、（e）三种应力的叠加，即

?x???1?x???2?x??1?3?xc ???ET?y???2c?c?ET?y?dy?3y2c3?c?c?ET?y?ydy （f）

讨论：

（1）如板只受到对弯曲的约束，则（f）式中?式中??2?x?3?x项不存在；如只受到对压缩的约束，则（f）

项不存在。

z（2）如果T(y)关于x轴对称分布（即为y的偶函数），则式（c）中的积分为零，即M那么（f）式中??3?x?0，

项不存在。

（3）如果T(y)关于x轴反对称分布（即为y的奇函数），则式（b）中的积分为零，即Px?0，那么（f）式中??2?x项不存在。

（4）如果T(y)为抛物线分布时，例如

yc22T(y)?T0(1?)

22则 ?x?23?ET0??ET0(1?23yc)

y??c处，?x??ET0 为拉应力；

8

（5）如果T(y)的分布为T(y)?T0(1?yc)的情况下，则不产生热应力。

习题8、一个四边自由的厚矩形板，例如可认为图10-4中的b很大，并把它视为板宽，可以把2c视为板的厚度而得到的厚矩形板。其温度沿厚度方向按T?T(y)变化，试计算因温度分布不均匀而引起的热应力，并据温度分布情况讨论热应力的分布。

解：由于板在z方向很宽，故在z方向的纤维因T(y)不同而有不同量的热膨胀，因此板中除了?x外，还产生了?z。假设在z和x方向都受到完全约束，则??x??y??z?1E1E1E?0而

y??????x????????????y??????z????T????yzxzxy??????T?

???T???则必有?x??z?0，故在此假设情况下

??????ET?y?1?vxz

在z和x方向分别类似于第7题中的处理方法得板内（远离边缘处）各点的热应力为

?x??z???1?z???2?z????3?z ???ET?y?1?v3y2c3?2c?1?v?c?c1c?c?ET?y?dy （a）

??1?v???ET?y?ydy如果?E为常数（不随温度而变化），则上式变为

?x??z??E?1?v???T?y??12c?c?cT?y?dy ?3y2c3?c?cT?y?ydy? （b） ??当温度分布T(y)对称于xz面（中性面）时，上式右端第三项不存在，故板不产生弯曲。此时，设平均温度为Tm，则

Tm?12c?c?cT(y)dy,?T(y)ydy?0

?cc所以 ?x??z??E1?v?Tm?T?y??。

习题9、试证明：对于平面温度场，当设区域内的任意闭曲线为?时，不产生热应力的充要条

9

2件是：且??T?0、

?T?n?和?P?z?dz?0（位移单值性），其中P?z?ds?0（闭曲线内部无热源）

?是实部为T的解析函数。

证明：

一、先证必要条件：

线性、各向同性热弹性体中的热传导方程为

?c?T?t??kT,i?,i????E?1?2vT0??kk

设?,c,?,k,E,?,v等材料常数不随温度变化，忽略耦合项?E?1?2vT0??kk，则热传导方程为

?T?t???T?2W?c

式中??k?c为导温系数，W???为单位时间每单位体积热源的发热量。

考虑三维情况，由于不产生热应力，自由膨胀情况下，其应变量为

?x??y??z??T?xy??yz??zx?0

代入应变协调方程得

??x?y22???y?x22???2xy?x?y,??y?z222???z?y22???2yz?y?z,??z?x22???x?z22???2zx?z?x

即 ?(?T?x22??T?y22)?0,?(?T?y22??T?z22)?0,?(?T?z22??T?x22)?0

三式相加得 2?(?T?x22?T?x222??T?y?T?z222??T?z22)?0， 所以有

2?(??T?y2?)?2??T?0,即?T?0

22且??T?n?ds?0（闭曲线内部无热源W=0），?P?z?dz?0（保证位移单值性），据热传导方

?程得

?T?t?0，这就是无热源定常温度场，也就是不产生热应力的必要条件。

二、证充分条件：

(一)充分条件一——闭曲线内无热源

以平面温度场来证明，平面应力状态下，在应力-应变关系式中令热应力为零，则有

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?x??y??xy1E1E????yzx??????zxy???T???T??T??T （a）

yx?????0同样在平面应变状态下，令热应力为零，也有?x??y??1?v??T 将以上各式代入应变协调方程中得

?T?0 （b）

2此外，由?z?v??x??y???ETz可知，即使是不产生热应力的平面温度场，在平面应变状

态下，如有温度的变化，也会有????ET的热应力。

由（b）式可知，不产生热应力的平面温度场的必要条件是无内热源的定常温度场，但这并非充分条件。

在弹性体的变形中，旋转的定义为

???ux1??uy???2??x?y?? （c） ??但?必须是单值的。对于任意的两点a，b

??b????a???ba????????dx?dy?? （d） ?y??x?由（a）、（c）两式得

??22?ux1??uy???2?x2??x?x?y?2??ux??x???ux??T???????? ??????x?y?y?x?y?y???2 将上述两式代入（d）式中得

???y??uy?x?y???T?x

??b????a???ba???T?T????dx?dy?????y?x???b?T?nads

为使旋转是单值的，上式沿任意闭曲线?积分一周为零，所以

??T?n?ds?0

沿区域内任意闭曲线积分，这个条件必须成立。这个积分是与流出热量有关的量，故必须是横

截面内无热源的温度场。

(二)充分条件二——位移的单值性

根据?x??y，及?xy?0得

11

?ux?x??uy?y,?uy?x???ux?y

显然ux,uy满足哥西-黎曼条件，于是可以定义一个函数

v?z??ux?iuy （e）

由（b）式可知，T是一个平面调和函数，因此它是某解析函数的实部，于是定义P?z?这样一个解析函数，即

P?z??T(x,y)?iS(x,y)

上式中S是T的共轭函数，S???。

此外，由（e）式得 v??z???P(z) 所以 v?z????P(z)dz?0

由于位移必须是单值的，从上式和（e）式可知，沿区域内任意闭曲线?积分一周为零，即

?P?z?dz?综上所述不产生热应力的充要条件是

?T?0、?2?T?n?ds?0、?P?z?dz?0。

?习题10、试分析坐标原点处热源引起的温度场。 解：现用极坐标表示，r?x?y22，??arctgyx，z?rei?，此温度场为

T?lnr

设想在r=0的周围有一圆，从这圆流出的热量为Q0，若板厚取为b，由傅立叶公式得

Q0?kb??T?nds?kb?2??lnr?r0rd??2?kb

对于这种情况，取

P?z??lnz?lnr?i?

在z=0处有奇点，故

v?z????P(z)dz???lnzdz??z?lnz?1?

当?从0变到2?，此值增加2?i?r，它不满足不产生热应力的条件，也就是在这种情况下会产生热应力。

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习题11、设热量通过板的上下表面向周围进行传递，试推导求解此定常温度场所产生的热应力的基本微分方程。 y图10-5 解：如图10-5所示在板中取出面积为dxdy，厚度为b的微元体来导出热平衡式。从x轴向的??T??bdy?x??一侧面bdy流入的热量为?k?，从其相对的侧面流出的热量为

2??T???2T??T?bdxdy。?k??dx?因此通过这两个面沿x轴方向流入的热量为k?同样沿y22???bdy，??x?x?x??????2T轴方向流入的热量为k?2???y??bdxdy。 ??若周围介质温度为TA，并设传热系数为?，则在两个表面上热传递为

2??T?TA?dxdy

由于是定常温度场，温度与时间无关，微元体中的热量保持不变，所以有

?T?x22??T?y22?m2?T?TA?，即?T?x22??T?y22?m2?T?TA??0 （a）

上式中 m?22?kb

为了方便，引入新变量?，??T?TA，（a）式可写成

???m???TA

222若周围介质温度一定，则?TA?0，故有 ???m? 因此此平面应力问题的热弹性位移势?满足 ????1?v?????TA?

2222 13

据第10题中所述的充要条件：当TA一定或为平面调和函数时，它是与应力无关的，于是热弹性位移势?满足微分方程

????1?v???

2此方程的特解为 ???1?v?那么有

?x??ux?x????x22??m2

,?y??uy?y????y22,?xy??ux?y2??uy?x?2???x?y2

?x?????2G2???x22?(??2G)??2??????2G2??y?2?2?? ??2G??????x2?

?y??2G???x22,?xy?2G???x?y2

所以由热弹性位移势?特解所产生的热应力为

??1?x??2G???y22??2G?1?v??m??2G???x222?2???y22???Em???x2??22?2??1?y???Em???Em?2?xy?2G?1????x?y?2?x?y2???2??y??? ????由于这个解在一般情况下不满足自由边界条件，所以改变它在边界上的值的符号，并以此作为边界条件，来解这样的等温弹性问题而求得的应力为?所求的热应力。

习题12、试求初始温度为T0、半径为b的实心圆柱体表面被冷却到零度时的非定常热应力。 解：设圆柱体侧面从t?0的瞬间急剧冷却到0?C，则由式

T?2T0b??2?x,??2?y,??2?xy，然后将二者叠加起来便得到

?n?1e??gnt2J0?rgn?gnJ1?bg?n （a）

（a）式中gn为下列方程的根

' gJ0?gb???J0?gb??0，其中?为传热系数，J0为第一种零阶贝塞尔函数。

（a）式中J1为第一种一阶贝塞尔函数。

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由（a）式得任意时刻t的温度分布

r??pt?T?T0?AnJ0??n?en （b）

b??n?1?（b）式中?n为方程J0????0的根， An?将（b）式代入下列各式中

??????Trdr?Trdr???r2??1?v?r0b0???E?1r1b???Trdr?Trdr?T?2??? 2?001?v?rb???E?2b???z??2?Trdr?T??1?v?b0???1r2?nJ1??n?，常数pn?k?nc?b22

?E?1b分别得出所求的热应力为

??2?ET0???r???1?vn?1?????r????r????J1??n???J0??n???????2?ET01b?pnt?1??b????b?????e????? ?221?vn?1?nrJ1??n??nJ1??n?????n?????????r????J0??n???????2?ET0?pnt?2??b????z???e??2??J????1?vn?1n1n??n??????????r???J?n?????1?1b?pt?1??b???en?2?2?????rJ?n1n?n???????习题13、试求初始温度为0?C、半径为b的实心圆柱体放入温度为TA的介质中时的的非定常热应力。

解：初始温度为0?C的实心圆柱体，从t?0的瞬间放入温度为TA的介质中，此时温度变化为

TTA??1?2A?en?1??nt?2??J0?r?n/b?2n?A2?J???0n （a）

（a）式中?n?bgn，而gn为下列方程的正根

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gnJ1?gnb???J0?gnb??0，其中?为传热系数，J0为第一种零阶贝塞尔函数，J1为第一种一阶贝塞尔函数。

（a）式中的t?'?tb2，A?b?

对（a）式稍加修改为

2?2?T?TA?1?b???n?0e??gnt2?gJ0?rgn?2n??2??? （b）

gnJ1?bgn??将（b）式代入下列各式中

??????Trdr?Trdr???r2??1?v?r0b0??

??E?1r1b????2?Trdr?2?Trdr?T?1?v?r0b0????1r?E?1b分别得出所求的热应力为

???g2??2r21?vb?n?1n2? ??gnt2??E2?TAeb??????????gbJgr?Jgr?Jgb?n0n1n1n2222??1?vbgnJ1?gnb??r???n?1gn?????E2?TA2?e??gnt???b?????Jgr?Jgb1n1n2?gnJ1?gnb???r?2????习题14、空心圆柱辊子的外直径为2b?400mm，内圆孔直径为2a?80mm，线膨胀系数

??12?10?6/?C，弹性模量E?2.16?10N/mm52，泊松比v?0.3，辊子外侧表面温度为

Tb，内孔表面温度为Ta，试求该空心圆柱辊子的非定常热应力。

解：该空心圆柱辊子半径为r处的非定常热应力为

??b??ETa?Tb?bab?????r??ln??1ln???22?2?b2?1?v?rb?ara?????lna?22?b??ETa?Tb?bab???2?1?ln?? （a） ????2?1?ln2??b2?1?v?rb?ara?????lna?2??ETa?Tb?b2ab??z?1?2ln?2ln??2b?2?1?v?rb?aa???lna?22内外表面的应力为

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??r?a??z??r?b??z?????rr?a??rr?b?0???????2?E?Ta?Tb?12b???? （b） ??22r?ab2?1?v??b?a???ln?a?????????2?E?Ta?Tb?12a?????22r?bb2?1?v??b?a???ln?a????据（b）式得内外表面的应力为

?rr?a??rr?b?6?0 ?2.16?102?1?0.3?5??r?a??zr?a?12?10?Ta?Tb??12?200??2?200?40?ln522????

?2.707?Tb?Ta???r?b??zr?b?12?10?6?2.16?102?1?0.3?5?Ta?Tb??12?40??2?200?40?ln522????

??0.996?Tb?Ta?由（a）式得半径为处r的热应力为

?200?2002????r?1.15?Tb?Ta??ln?0.067??1?2????rr??????200???2002??????1.15?Tb?Ta??ln?0.067??1?1? ?2??r?r?????200???z?1.15?Tb?Ta??2ln?0.866??r????当温差?Tb?Ta?为正值时，则??及?z在外表面为压应力，而在孔内表面则为拉应力；径向应力?r沿整个辊子截面均为拉应力，而在辊子内外表面其值降为零。

习题15、如图10-6所示，无限长楔形坝体的中心角为2?，坝体的中心轴为x轴。首先，假定变温在中心轴上为T?T0，在两边为T?0，

（1）变温按cos?的一次式变化： T?T0cos??cos?1?cos?17

β β θ 图10-6 （2）变温与r成正比，并按cos?的一次式变化： T?T0r?cos??cos?h?1?cos???

其中h为某指定长度，例如坝高的一部分 试分别求该楔形坝体中的非定常热应力。

解：坝体的温度场，由于受到混凝土硬化发热的影响以及水温和气温变化的影响，分布复杂而且随时改变，上述变温分布已做特别简化。

2（1）设位移势函数为?，?应满足????1?v??T，取极坐标系，有

2??21?1????222?r?rr????r?cos??cos?????1?v??T0 (a) ?1?cos??2取位移势函数为 ??r?C1cos??C2? （b）

代入（a）式得

3C1cos??4C2??1?v??T0cos??cos?1?cos?

将上式两边的cos?项和常数项进行对比，得到 C1??1?v??T0

3?1?cos??C2???1?v??T0cos?

4?1?cos??代回式（b）得

???1?v??T01?2?1r?cos??cos?? （c）

1?cos?4?3?位移特解的应力分量为

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??1?r?1?????1?v??r?rE?1?????1?vE???1??r???1?v?r?E21??????22??r????2??? ?2?r?1??????r???? （d）

将（c）式代入上式得位移特解的应力分量为

1?1cos??cos??r1?cos??32E?T0?21?1??????cos??cos?1?cos??32E?T0?1??1??1??r????r???sin??1?cos??3???1???E?T0?????????? （e） ?????在边界上应力分量为如下常量

?1??cos????r????1?cos??6??E?T0?1???1??????cos??? ????1?cos??6????1??E?T0?r??1????????1???sin???1?cos??3??E?T0由此可见，为了满足边界条件，相应的位移补充解应力分量应当与r无关，而只是?的函数。于是利用第四章习题14中的（c）式所示的应力分量，并根据问题的对称性，?r和??只取其中的偶?项，而?r?只取其中的奇?项，从而有

???2Acos2??2D,???2????2Acos2??2D,? ?2??2??r????r?2Asin2???r?2?将上式与（e）式叠加，得

?r???1?r??????1??r??1?cos??r1?cos??3E?T0?2?2???????cos??1?cos??3E?T0?1??2????r??r???r???1?cos????2???E?T0??cos???2Acos2??2D,?2??1??cos???2Acos2??2D,? （f） 2???1???sin???2Asin2???3??1应用边界条件 ???????0,?r??????0

求出常数A及D，再代回（f）式，即得热应力

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?r?E?T0sin??cos?cos??cos3cos??1?cos??22???2?,????E?T0?cos??cos??r????r?,3cos??1?cos??E?T0sin??cos??cos?3cos??1?cos??????? ????其中最大拉应力是

?r?????E?T0?1?cos?3cos??。

2（2）设位移势函数为?，?应满足????1?v??T，取极坐标系，故

2??21?1????222??rr?rr????r?cos??cos??????1?v??T0 (g) ???h1?cos??2取位移势函数为 ??r?C1cos??C2? （h）

代入（g）式求出C1,C2，然后代回（h）式求出?，再将?代入（d）式得 位移特解的应力分量为

?1?cosrh?1?cos???4E?T0r?3?1??????cosh?1?cos???4E?T0r?1??1??r????r??h?1?cos???1???E?T0r??cos???3??2????cos??? （i）

3???1???sin?????4????1在边界上应力分量为如下常量

?1??cos????r????h?1?cos???12??E?T0r?1???1?????cos??? ?????h?1?cos???12????1??E?T0r?r??1????????1???sin???h?1?cos???4??E?T0r由此可见，为了满足边界条件，相应的位移补充解应力分量应当与r成正比，而对应的应力函数? 应当是r的三次式

??rf???

3将其代入相容方程

2??21?1????222?r?rr????r????0 ??2 20

解出f???，从而得出应力函数?，再利用如下求应力分量的公式

?2?r??1??r?r?2????2????r?r???21????22?r???2????2?r??1??????r??????

求得相应的应力分量为

??2r?3Acos3??3Bsin3??Ccos??Dsin??,???2????6r?Acos3??Bsin3??Ccos??Dsin??,? ?2??2??r????r?2r?3Asin3??3Bcos3??Csin??Dcos??????2?r根据问题的对称性，??2?r2?和??只取其中的偶?项，而?r??只取其中的奇?项，从而有

?2?B?D?0，将上式中剩余的各项与（i）式叠加，得

?r?????1?1???cos??cos??2r3Acos3??Ccos?,???h?1?cos???43??E?T0r32??????cos??cos???6r?Acos3??Ccos??,? （j）

h?1?cos???43???1??sin???2r?3Asin3??Csin?h?1?cos???4?E?T0rE?T0r?r????r??????应用边界条件

???????0,?r??????0

求出常数A及C，再代回（j）式，即得热应力

??2E?T0r?cos??cos???2cos??cos??????,? 23hcos??1?cos???22E?T0rsin?sin??sin???r????r?2?3hcos??1?cos???r??E?T0rcos?3??sin22?cos??cos?33hcos??1?cos???,???其中最大拉应力是

?r?????E?T0r?1?cos?3hcos??。

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