高中数学同步导学2018新课标预备知识1：专题四 一元二次不等式及

1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 {x|xx2} {x|x10)的根 x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|x≠x1} ? ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程

3．简单的分式不等式

(1)(2)

f（x）

＞0?f(x)·g(x)＞0； g（x）

f（x）

≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0． g（x）

ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？ 【提示】 a>0且b－4ac<0.

2

【自主测试】

1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是( ) 1

A．(－，1) B．(1，＋∞)

2

1

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)

2【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， 1

∴x＞1或x＜－.

2

1

故原不等式的解集为(－∞，－)∪(1，＋∞)．

2【答案】 D 2．不等式

x－1

≤0的解集为( ) 2x＋1

11A．(－，1] B．{x|x≥1或x＜－}

2211C．－，1] D．{x|x≥1或x≤－}

22

【答案】 A

3．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解析】 ∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，

∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0

11

4．一元二次不等式ax＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a＋b的值是________．

2

23

【解析】 由已知得方程ax2

＋bx＋2＝0的两根为－11

2，3

. ??－b＝－11则?a2＋3

??211a＝（－2）×3解得??a＝－12，?b＝－2，

∴a＋b＝－14. 【答案】 －14

例一 解下列不等式 (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2＋3＞2x； (3)

2xx－1

≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．

用配方法或用(2)1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．

2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．

解下列不等式： (1)－2x2－5x＋3＞0； (2)－1≤x2＋2x－1≤2；

【解】 (1)∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0， ∴(2x－1)(x＋3)＜0，

1

∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜}．

2

?x＋2x－1≥－1，

(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组?2

?x＋2x－1≤2，?x＋2x≥0， ①即?2 ?x＋2x－3≤0. ②由①得x≥0或x≤－2； 由②得－3≤x≤1.

故得所求不等式的解集为{x|－3≤x≤－2或0≤x≤1}.

例二 求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．

【思路点拨】 先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．

2

2

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