高考数学二轮复习微专题强化练习题14直线与圆

第一部分 一 14

一、选择题

1．(文)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2 B.823

C. 3

D.833

[答案] B

[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，

∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2

3＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝

|6－23

|

12＋(－1)2

＝

82

3

.故选B. (理)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x －y ＋2＝0

C ．x ＋y －3＝0

D ．x －y ＋3＝0

[答案] D

[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y ＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系

方程

约束条件 位置关系

l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0

平行

k 1＝k 2，且b 1≠b 2

A 1

B 2－A 2B 1＝0，且B 1

C 2－B 2C 1≠0

相交

k 1≠k 2

特别地， l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1

A 1

B 2≠A 2B 1

特别地，l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0 重合

k 1＝k 2且b 1＝b 2

A 1

B 2－A 2B 1＝0且B 1

C 2－B 2C 1＝0

2.与直线y ＝kx ＋b 平行的直线设为y ＝kx ＋b 1，垂直的直线设为y ＝－1

k

x ＋m (k ≠0)；与

直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线设为Bx －Ay ＋C 1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．

2．(文)(2015·安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是

( )

A ．－2或12

B ．2或－12

C ．－2或－12

D ．2或12 [答案] D

[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．

∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切， ∴|3＋4－b |32＋4

2＝1?b ＝2或12，故选D. (理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )

A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2

[答案] B

[解析] 由题意知，圆心C 既在与两直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行且距离相等的直

线上，又在直线x ＋y ＝0上，设圆心C (a ，－a )，半径为r ，则由已知得|2a |2＝|2a －4|2

，解得a ＝1，∴r ＝2，故选B.

[方法点拨] 1.点与圆的位置关系

①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ?点在圆外，d ＝r ?点在圆上；d

②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．

2．直线与圆的位置关系

直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.

根据d ＝|Aa ＋Bb ＋C |

A 2＋

B 2

与r 的大小关系

?

????

Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 消元得一元二次方程， 根据判别式Δ的符号

相交 d 0 相切 d ＝r Δ＝0 相离

d >r

Δ<0

系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．

3．(文)(2014·安徽文，6)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )

A. (0，π

6]

B ．(0，π3]

C. [0，π6]

D ．[0，π

3

]

[答案] D

[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P 的圆的两切线为P A 与PM .P A 处倾斜角为0，在Rt △POM 中易知PO ＝2，OM ＝1，∴∠OPM ＝π6，∠OP A ＝π6

，

∴∠MP A ＝π3，∵直线l 倾斜角的范围是[0，π

3

]．

[方法点拨] 本题还可以设出直线l 的方程y ＝kx ＋b ，将P 点代入得出k 与b 的关系，消去未知数b ，再将直线代入圆方程，利用Δ>0求出k 的范围，再求倾斜角的范围．

1．求直线的方程常用待定系数法．

2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．

(理)(2015·山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2

＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )

A ．－53或－3

5

B ．－32或－2

3

C ．－54或－45

D ．－43或－34

[答案] D

[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2

＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1

＝1，∴12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－3

4

.故

选D.

4．(文)(2014·湖南文，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )

A ．21

B ．19

C ．9

D ．－11

[答案] C

[解析] 本题考查了两圆的位置关系．

由条件知C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r 1＝1，r 2＝

25－m ，由两圆外切的性质知，5＝1＋

25－m ，∴m ＝9.

[方法点拨] 圆与圆的位置关系

(理)一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线y ＝1

4x 2上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方

程为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝1

32

C ．y ＝－1

32

D ．y ＝－1

[答案] D

[解析] ∵A (0,1)是抛物线x 2＝4y 的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A ，圆心C 在抛物线上，由抛物线的定义知|CA |等于C 到准线的距离，等于⊙C 的半径，∴⊙C 与

定直线l ：y ＝－1总相切．

5．(文)(2014·哈三中一模)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( ) A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6 [答案] D

[解析] 弦心距d ＝|2|2

＝1，半径r ＝2， ∴劣弧所对的圆心角为2π3

. (理)(2014·福建理，6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”

是“△OAB 的面积为12

”的( ) A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件 [答案] A

[解析] 圆心O (0,0)到直线l ：kx －y ＋10＝0的距离d ＝

11＋k 2，弦长为|AB |＝21－d 2＝2|k |1＋k 2，

∴S △OAB ＝12×|AB |·d ＝|k |k 2＋1

＝12，∴k ＝±1， 因此当“k ＝1”时，“S △OAB ＝12”，故充分性成立． “S △OAB ＝12

”时，k 也有可能为－1， ∴必要性不成立，故选A.

[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．

2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d ＝r ，而不使用Δ＝0.

6．(2015·太原市一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．3 5 B ．6 5 C ．415

D ．215 [答案] D

[解析] 圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆的最长弦AC 为直径25；设圆心M (2，－

1)，圆的最短弦BD ⊥ME ，∵ME ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，∴BD ＝2R 2－ME 2＝23，

故S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12

×25×23＝215. 7．(2015·重庆理，8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )

A ．2

B ．4 2

C ．6

D ．210 [答案] C

[解析] 易知圆的标准方程C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心O (2,1)，又因为直线l ：x ＋ay －1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a ＝－1，A (－4，－1)，又因为直线AB 与圆相切，则△OAB 为直角三角形，|OA |＝

(2＋4)2＋(1＋1)2＝210，|OB |＝2，|AB |＝OA 2－OB 2＝6.

8．过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 [答案] D

[解析] 过P (－2,3)与x 轴负半轴和y 轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．

9．(文)(2014·江西理，9)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )

A.45

π B.34π C ．(6－25)π

D.54π [答案] A

[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想． 依题意，∠AOB ＝90°，∴原点O 在⊙C 上，又∵⊙C 与直线2x ＋y －4＝0相切，设切点为D ，则|OC |＝|CD |，∴圆C 的圆心C 的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O ，准线为直线2x ＋y －4＝0.要使圆C 的面积有最小值，当且仅当O 、C 、D 三点共线，即圆C 的直径等于O

点到直线的距离，∴2R ＝45，∴R ＝25

.S ＝πR 2＝45π.选A. (理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( )

A ．a >7或a <－3

B ．a >6或a <－ 6

C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7

D ．a ≥7或a －3

[答案] C

[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，

由?????

|2(－1)＋a |5<5

|2(－1)＋a 2＋1|5<5得－6

由????? |2(－1)＋a |5>5

|2(－1)＋a 2＋1|5>5

得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a 的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C.

[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有：

1．圆的半径最小时，圆面积最小．

2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d ＋r ，最小值d －r (d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d ＋r ，最小值r －d .

3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d ＋r ，最小值d －r ；直线与圆相交，则最大值d ＋r ，最小值0.

4．P (x ，y )为⊙O 上一动点，求x 、y 的表达式(如x ＋2y ，x 2＋y 2等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．

二、填空题

10．(文)设直线mx －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦长为23，则m ＝________. [答案] 0 [解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d ＝|m ＋1|m 2＋1

＝1，解得m ＝0. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12

sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为________．

[答案] 27

[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12

c 2， ∴圆心到直线距离

d ＝|c |

a 2＋

b 2＝

c 12

c 2＝2， ∴弦长l ＝2r 2－

d 2＝29－2＝27.

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．

[答案] (－13,13)

[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题． 要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．

即|c |

122＋52<1，解|c |<13，

∴－13

12．已知过点P (2,1)有且只有一条直线与圆C ：x 2＋y 2＋2ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0相切，则实数a ＝________.

[答案] －1

[解析] 由条件知点P 在⊙C 上，∴4＋1＋4a ＋a ＋2a 2＋a －1＝0，∴a ＝－1或－2. 当a ＝－1时，x 2＋y 2－2x －y ＝0表示圆，当a ＝－2时，x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0不表示圆，∴a ＝－1.

三、解答题

13．(2015·福建文，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.

(1)求抛物线E 的方程；

(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．

[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．

(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF ＝∠BGF ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．

[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2

. 因为|AF |＝3，即2＋p 2

＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，

所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．

由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．

由????? y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，

得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)． 又G (－1,0)，

所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．

法二：(1)同法一．

(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .

因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，

所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．

由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．

由?

???? y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝12

，从而B ????12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，

从而r ＝|22＋22|8＋9

＝4217 . 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，

所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9

＝4217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．

14．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)．

(1)求圆C 的方程；

(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A 、B 两个不同点，且满足关系OM

→＝12OA →＋32

OB →(O 为坐标原点)的点M 也在圆C 上，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．

[解析] (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4， 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.

(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)． ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，

联立?????

y ＝k (x ＋1)＋1，x 2＋y 2－4＝0.

消去y 得， (1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，

由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2， x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2

， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3， 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，

因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，

由OM →＝12OA →＋32OB →得，x 0＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22

， 由于点M 也在圆C 上，则(x 1＋3x 22)2＋(y 1＋3y 22

)2＝4， 整理得x 21＋y 214＋3·x 22＋y 224＋32x 1x 2＋32

y 1y 2＝4， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k 2

－3)＝0， 从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.

②若直线l 的斜率不存在，

则A (－1，3)，B (－1，－3)，M (－1－32，3－32

) (－1－32)2＋(3－32

)2＝4－3≠4， 故点M 不在圆上与题设矛盾，

综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝0.

(理)已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A 、B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F .若P 是圆O 上一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x ＝－2于点Q .

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；

(3)试探究：当点P 在圆O 上运动时(不与A ，B 重合)，直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

[解析] (1)因为a ＝2，e ＝22

，所以c ＝1， 则b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22

＋y 2＝1. (2)因为P (1,1)，F (－1,0)，所以k PF ＝12

， ∴k OQ ＝－2，所以直线OQ 的方程为y ＝－2x .

又Q 在直线x ＝－2上，所以点Q (－2,4)．

∴k PQ ＝－1，k OP ＝1，

∴k OP ·k PQ ＝－1，

即OP ⊥PQ ，

故直线PQ 与圆O 相切．

(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆P 保持相切的位置关系，设P (x 0，y 0)，(x 0≠±2)， 则y 20＝2－x 20，k PF ＝y 0x 0＋1

，k OQ ＝－x 0＋1y 0， ∴直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1y 0

x ， ∴点Q (－2，2x 0＋2y 0)，

∴k PQ ＝y 0－2x 0＋2y 0x 0＋2＝y 20－(2x 0＋2)(x 0＋2)y 0

＝－x 20－2x 0(x 0＋2)y 0

＝－x 0y 0，又k OP ＝y 0x 0. ∴k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ (P 不与A 、B 重合)，直线PQ 始终与圆O 相切．

15．(文)(2014·石家庄市质检)已知动圆C 过定点M (0,2)，且在x 轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C .

(1)求曲线C 方程；

(2)设点A 为直线l ：x －y －2＝0上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标．

[解析] (1)设动圆圆心坐标为C (x ，y )，根据题意得

x 2＋(y －2)2＝

y 2＋4， 化简得x 2＝4y .

(2)解法一：设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，

由?????

x 2＝4y y ＝kx ＋b 消去y 得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则????? x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝－4b

，且Δ＝16k 2＋16b 以点P 为切点的切线的斜率为y ′1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12

x 1(x －x 1)， 即y ＝12x 1x －14

x 21. 同理过点Q 的切线的方程为y ＝12x 2x －14x 22

. 两条切线的交点A (x A ，y B )在直线x －y －2＝0上，

解得????? x A ＝x 1＋x 22＝2k y A ＝x 1x 24＝－b ，即A (2k ，－b )．

则：2k ＋b －2＝0，即b ＝2－2k ，

代入Δ＝16k 2＋16b ＝16k 2＋32－32k ＝16(k －1)2＋16>0， |PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝41＋k 2k 2＋b ，

A (2k ，－b )到直线PQ 的距离为d ＝|2k 2＋2b |k 2＋1

， S △APQ ＝12|PD |·d ＝4|k 2＋b |·k 2＋b ＝4(k 2＋b )32

＝4(k 2－2k ＋2)32＝4[(k －1)2＋1]32

. 当k ＝1时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)． 解法二：设A (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在抛物线x 2＝4y 上，

则以点P 为切点的切线的斜率为y 1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12

x 1(x －x 1)， 即y ＝12

x 1x －y 1， 同理以点Q 为切点的方程为y ＝12

x 2x －y 2. 设两条切线均过点A (x 0，y 0

)，则??? y 0＝12x 1x 0－y 1，y 0＝12x 2x 0－y 2.

点P ，Q 的坐标均满足方程

y 0＝12xx 0－y ，即直线PQ 的方程为：y ＝12

x 0x －y 0， 代入抛物线方程x 2＝4y 消去y 可得：

x 2－2x 0x ＋4y 0＝0

|PQ |＝

1＋14x 20|x 1－x 2| ＝1＋14

x 204x 20－16y 0 A (x 0，y 0)到直线PQ 的距离为d ＝|12x 20－2y 0|14x 20

＋1， S △APQ ＝12|PQ |d ＝12|x 20－4y 0|·x 20－4y 0

＝12

(x 20－4y 0) 32 ＝12(x 20－4x 0＋8) 32 ＝12

[(x 0－2)2＋4] 32 当x 0＝2时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．

(理)已知点A (－2,0)，B (2,0)，直线P A 与直线PB 斜率之积为－34

，记点P 的轨迹为曲线C .

(1)求曲线C 的方程；

(2)设M 、N 是曲线C 上任意两点，且|OM →－ON →|＝|OM →＋ON →|，是否存在以原点为圆心且

与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)设P (x ，y )，

则由直线P A 与直线PB 斜率之积为－34

得， y x ＋2·y x －2

＝－34(x ≠±2)， 整理得曲线C 的方程为x 24＋y 23

＝1(x ≠±2)． (2)若|OM →－ON →|＝|OM →＋ON →|，则OM →⊥ON →.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．

若直线MN 斜率不存在，则y 2＝－y 1，N (x 1，－y 1)．

由OM →⊥ON →得y 1x 1·－y 1x 1＝－1，又x 214＋y 213＝1. 解得直线MN 方程为x ＝±127.原点O 到直线MN 的距离d ＝127

. 若直线MN 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m .

由????? y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1

得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3

. (*) 由OM →⊥ON →得y 1x 1·y 2x 2＝－1，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.

代入(*)式解得7m2＝12(k2＋1)．

此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>0.此时原点O到直线MN的距离

d＝|m|

k2＋1

＝12

7.

故原点O到直线MN的距离恒为d＝12

7.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方

程为x2＋y2＝12

7.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/814e.html