高等数学（上册）教案11 高阶导数、微分及其应用

第2章 导数与微分

高阶导数 微分及其应用

【教学目的】：

1. 理解高阶导数的概念，会求函数的二阶高阶导数。 2. 理解微分的概念,了解微分的几何意义；

3. 明确函数可微、可导、连续和有极限之间的关系； 4. 了解微分公式和微分法则及微分形式的不变性； 5. 掌握函数的微分运算。

【教学重点】： 1. 微分的概念

2. 函数的微分运算

【教学难点】： 1. 微分的概念；

2. （一介）微分形式的不变性。 3. 函数的微分运算

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

2.4.1 高阶导数的定义 2.4.2 高阶导数的求法

注意 从理论上讲，求高阶导数时，只需要将函数y?f(x)对x逐次求导，并不需要新的方法与技巧．但在实际计算时，特别是在求n阶导数时，每一次求导前后都需要整理式子，以便寻找规律，写出n阶导数y(n)．

引例2.5.1 设一正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长从x0变化到． x0??x该薄片的面积改变了多少？（如图2-2）

x0?x

(?x)2?xS?x02x0?xx0

图2-2

分析 此薄片在温度变化前后的面积分别为

S(x0)?x02，S(x0??x)?(x0??x)2，

所以，受温度变化的影响，薄片面积的改变量为 ?S=S(x0??x)?S(x0)?(x0??x)2?x02 ?2x0?x?(?x)2

?S由两部分构成：第一部分2x0?x是?x的线性函数（图中斜线部分的面积）；

第二部分是(?x)2（图中有交叉斜线的小正方形的面积）．当?x?0时，第二部分是一个比?x高阶的无穷小，即(?x)2?o??x?(?x?0)．由此可见，如果边长的改变很微小，即?x很小时，面积的改变量?S可近似地用第一部分2x0?x来代替，而且?x越小，近似程度也越好，即

?S?2x0?x

2.5.1函数的微分

1．微分的定义

定义 设函数y?f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，x0??x?U(x0)，如果函数在点x0处的增量?y?f(x0??x)?f(x0)可表示为 ?y?A?x??(?x), （1）

其中A是不依赖于?x的常数，当?x?0时， o(?x)是比?x高阶的无穷小，则称函数y?f(x)在点x0处是可微的，并称A?x为函数y?f(x)在点x0处相应于自变量增量?x的微分，记作dy,即

dyx?x?A?x．

02．可微与可导的关系

定理1 函数y?f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数y?f(x)在点

x0处可导，并且当函数y?f(x)在点x0处可微时，有dy?f'(x0)?x．

注意：

（ⅰ）可导?可微?连续?极限存在． （ⅱ）求微分公式：dy?f'(x0)?x. 微分有两个特性：

（ⅰ）当f?(x0)?0时，点x0处的微分dyx?x?f?(x0)?x是?x的线性函数．

0（ⅱ）当f?(x0)?0时， ?y?dy． 3．函数的微分

函数y?f(x)在区间(a,b)内每一点处都可微，则称函数f(x)是(a,b)内的可微函数．函数f(x)在(a,b)内任意一点x处的微分就称为函数的微分，记作

dy或df(x)，即有

dy?f'(x)?x （4）

通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记为dx，即dx??x．于是，函数的微分又可以记为

dy?f'(x)dx （5） 从而有

dy?f?(x)， dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商就等于函数的导数，因此，导数也称为“微商”．以前我们把

dy看作是导数的整体记号，现在也可以把它分离或看作一dx个分式．

4．微分的几何意义

对于可微函数y?f(x)而言，当?y是曲线y?f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量．当|?x|很小时，

|?y?dy|比|?x|小得多．因此在点M(x0,y0)的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段（即以直代曲）．

2.5.2 微分的运算法则

根据微分的表达式dy?f'(x)dx、导数基本公式和导数运算法则，可以相应地建立一套微分基本公式和微分运算法则．

1．微分基本公式 2．微分运算法则

设u?u(x),v?v(x)都可微，则

（1）d(u?v)?du?dv； （2）d(uv)?udv?vdu； （3）d(Cu)?Cdu;(C为常数)；

?u?vdu?udv（4）d???． 2v?v?注意 法则（1）和（2）可以推广到有限个函数的情形．

3．复合函数的微分法则

设y?f(u)及u??(x)都可导，则复合函数y?f[?(x)]的导数为 所以复合函数的微分为

dy?f???(x)????(x)dx dxdy?f???(x)????(x)， dx由于f???(x)??f?(u)，?'(x)dx?du,所以复合函数y?f[?(x)]的微分也可以写成

dy?f'(u)du．

由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式

dy?f'(u)du保持不变．这一性质称为（一阶）微分形式的不变性．这个性质扩充了微分基本公式的运用范围，特别是在积分法中有很重要的应用． 例3 求函数y?ln(1?ex)的微分dy. 解 解法一 由微分的定义得：

1exx(1?e)?dx?dx． dy?f?(x)dx?xx1?e1?e解法二 由一阶微分形式的不变性得：

1exxdy?d[ln(1?e)]?d(1?e)?dx．

1?ex1?exx

【教学小节】：

通过本节的学习，了解高阶导数概念和几个简单的n介导数递推公式，掌握求函数二阶导数的方法。理解微分的概念，明确函数可微、可导、连续和有极限之间的关系。掌握微分的运算法则与技巧，并理解（一介）微分形式的不变性。

【课后作业】：

能力训练 P68 3（6、8、9、10）

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