2014年高考真题——数学理(新课标I卷)纯word解析版

2014年高招全国课标1（理科数学word解析版）

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

21.已知集合A={x|x?2x?3?0}，B=x?2?x?2，则A?B=

??A.[-2,-1] B.[-1,2） C.[-1,1] D.[1,2）

【答案】：A

2【解析】：∵A={x|x?2x?3?0}=xx??1或x?3，B=x?2?x?2，

????∴A?B=x?2?x?1，选A..

??(1?i)32.= 2(1?i)A.1?i B.1?i C.?1?i D.?1?i

【答案】：D

(1?i)32i(1?i)??1?i，选D.. 【解析】：∵=2?2i(1?i)

3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

【答案】：C

【解析】：设F(x)?f(x)g(x)，则F(?x)?f(?x)g(?x)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴F(?x)??f(x)g(x)??F(x)，F(x)为奇函数，选C.

4.已知F是双曲线C：x?my?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距

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22

离为

A.3 B.3 C.3m D.3m

【答案】：A

x2y2??1，c2?3m?3,c?3m?3 【解析】：由C：x?my?3m(m?0)，得

3m322设F?3m?3,0，一条渐近线y??3x，即x?my?0，则点F到C的一条渐近线3m的距离d?

3m?3=3，选A. .

1?m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A. B. C. D.

【答案】：D

1838587 8【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有2?16种，

11周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有C4A2?8种；②每2天2人有C4则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为?6种，

48?67?；或间接解法：1684位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,?]上的图像大致为

16?27?；选D. 168

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【答案】：B

【解析】：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=sinx，OM=cosx,

在Rt?OMP中，MD=

OMPMcosxsinx??cosxsinx

OP1?

11sin2x，∴f(x)?sin2x(0?x??)，选B. . 227.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A.

2071615 B. C. D. 3258【答案】：D

【解析】：输入a?1,b?2,k?3；n?1时：M?1?133?,a?2,b?； 22228383315815n?2时：M?2??,a?,b?；n?3时：M???,a?,b?；

33232883815n?4时：输出M? . 选D.

8

8.设??(0,?1?sin??)，??(0,)，且tan??，则 22cos?A.3????【答案】：Ｂ

?2 B.2?????2 C.3?????2 D.2?????2

【解析】：∵tan??sin?1?sin??，∴sin?cos??cos??cos?sin? cos?cos????????sin??????cos??sin????，??????,0????

2222?2?∴?????2??，即2?????2，选B

9.不等式组??x?y?1的解集记为D.有下面四个命题：

?x?2y?4第 3 页 共 13 页

p1：?(x,y)?D,x?2y??2，p2：?(x,y)?D,x?2y?2, P3：?(x,y)?D,x?2y?3，p4：?(x,y)?D,x?2y??1.

其中真命题是

B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，P A.p2，P3 3

【答案】：C

【解析】：作出可行域如图：设x?2y?z，即y??当直线过A?2,?1?时，

1zx?，22zmin??2?2?0，∴z?0，∴命题p1、p2真命题，选C.

10.已知抛物线C：y2?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP?4FQ，则|QF|=

A.

75 B. C.3 D.2 22【答案】：C

【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵FP?4FQ ∴

PQQMPQ33?，又??，∴QM?3，由抛物线定义知QF?QM?3 PF44PF4选C

11.已知函数f(x)=ax?3x?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为

32A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1）

【答案】：B

2【解析1】：由已知a?0，f?(x)?3ax?6x，令f?(x)?0，得x?0或x?2， a当a?0时，x????,0?,f?(x)?0;x??0,??2??2???,f(x)?0;x?,?????,f(x)?0； a??a?第 4 页 共 13 页

且f(0)?1?0，f(x)有小于零的零点，不符合题意。

当a?0时，x????,??2??2???,f(x)?0;x???,0?,f(x)?0;x??0,???,f?(x)?0 a??a?2a2要使f(x)有唯一的零点x0且x0＞0，只需f()?0，即a?4，a??2．选B

32【解析2】：由已知a?0，f(x)=ax?3x?1有唯一的正零点，等价于a?311? xx3有唯一的正零根，令t?13，则问题又等价于a??t?3t有唯一的正零根，即y?a与xy??t3?3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧记f(t)??t3?3t，f?(t)??3t2?3，由

f?(t)?0，t??1，t????,?1?,f?(t)?0;t???1,1?,f?(t)?0;，

t??1,???,f?(t)?0，要使a??t3?3t有唯一的正零根，只需a?f(?1)??2，选B

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A.62 B.42 C.6 D.4

【答案】：C

【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D?ABC， 其中AB?BC?4,AC?42,DB?DC?25，DA?

?42?2?4?6，故最长的棱的长度为DA?6，选C

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.(x?y)(x?y)的展开式中xy的系数为 .(用数字填写答案) 【答案】：?20

【解析】：(x?y)展开式的通项为Tr?1?C8x8822r8?ryr(r?0,1,,8)，

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7626∴T8?C8xy7?8xy7，T7?C8xy?28x2y6

∴(x?y)(x?y)8的展开式中x2y7的项为x8xy7?y28x2y6??20x2y7，故系数为?20。

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 【答案】：A

【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市 ∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO?【答案】：90 【解析】：∵AO?001(AB?AC)，则AB与AC的夹角为 . 21(AB?AC)，∴O为线段BC中点，故BC为O的直径， 20∴?BAC?90，∴AB与AC的夹角为90。

16.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，则?ABC面积的最大值为 . 【答案】：3 【解析】：由a?2且 (2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，

即(a?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，由及正弦定理得：(a?b)(a?b)?(c?b)c

b2?c2?a21?，∴?A?600，∴b2?c2?4?bc ∴b?c?a?bc，故cosA?2bc2222第 6 页 共 13 页

14?b2?c2?bc?bc，∴S?ABC?bcsinA?3，

2三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数.

(Ⅰ)证明：an?2?an??；

（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，两式相减

an?1?an?2?an???an?1，由于an?0，所以an?2?an?? …………6分

（Ⅱ）由题设a1=1，a1a2??S1?1，可得a2??1?1，由(Ⅰ)知a3???1 假设{an}为等差数列，则a1,a2,a3成等差数列，∴a1?a3?2a2，解得??4； 证明??4时，{an}为等差数列：由an?2?an?4知

数列奇数项构成的数列?a2m?1?是首项为1，公差为4的等差数列a2m?1?4m?3 令n?2m?1,则m?n?1，∴an?2n?1(n?2m?1) 2数列偶数项构成的数列?a2m?是首项为3，公差为4的等差数列a2m?4m?1 令n?2m,则m?n，∴an?2n?1(n?2m) 2*∴an?2n?1（n?N），an?1?an?2

因此，存在存在??4，使得{an}为等差数列. ………12分

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

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(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?2)，其中?近似为样本平均数x，?近似为样本方差s. (i)利用该正态分布，求P(187.8?Z?212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：150≈12.2.

2若Z～N(?,?)，则P(????Z????)=0.6826，P(??2??Z???2?)=0.9544.

222【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为

2x?170?0.02?180?0.09?190?0.22?200?0.33?210?0.24?220?0.08?230?0.02?200222

s2???30??0.02???20??0.09???10??0.22?0?0.33??10??0.24??20??0.08??30??0.02222

?150 …………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而

P(187.8?Z?212.2)?P(200?12.2?Z?200?12.2)?0.6826 ………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826

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依题意知X

B(100,0.6826)，所以EX?100?0.6826?68.26 ………12分

19. (本小题满分12分)如图三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C. (Ⅰ) 证明：AC?AB1；

（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60o，AB=BC 求二面角A?A1B1?C1的余弦值.

【解析】：(Ⅰ)连结BC1，交B1C于O，连结AO．因

为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C?BC1，且O为B1C与BC1的中点．又AB?B1C，所以B1C?平面ABO，故B1C?AO又 B1O?CO，故

AC?AB1 ………6分

（Ⅱ）因为AC?AB1且O为B1C的中点，所以AO=故OA⊥

又因为AB=

，所以?BOA??BOC

，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz． 因为

?CBB1?600，所以?CBB1为等边三角形．又AB=

，则

???3?3?3?A??0,0,3??，B?1,0,0?，B1??0,3,0??，C??0,?3,0?? ?????????33?3?3?AB1??0,,?AB?AB?1,0,?,BC?BC??1,?,0?， ????1111?3?????3?3?3????设n??x,y,z?是平面的法向量，则

??n???n?33y?z?0?AB1?0?33，即? 所以可取n?1,3,3

A1B1?0?x?3z?0?3???第 9 页 共 13 页

??mA1B1?0设m是平面的法向量，则?，同理可取m?1,?3,3

??nB1C1?0??则cosn,m?

nmnm?11，所以二面角A?A的余弦值为. B?C11177x2y2320. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，ab2F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为(Ⅰ)求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程.

23，O为坐标原点. 3【解析】：(Ⅰ) 设F?c,0?，由条件知

223，得c?3?c3又

c3， ?a2x2?y2?1. ……….6分 所以a=2，b?a?c?1 ,故E的方程4222（Ⅱ）依题意当l?x轴不合题意，故设直线l：y?kx?2，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?

x2?y2?1，得?1?4k2?x2?16kx?12?0， 将y?kx?2代入438k?24k2?3当??16(4k?3)?0，即k?时，x1,2? 241?4k224k2?14k2?3从而PQ?k?1x1?x2?1?4k22

又点O到直线PQ的距离d?2k?12，所以?OPQ的面积

S?OPQ144k2?3 ， ?dPQ?21?4k2设4k2?3?t，则t?0，S?OPQ?4t4??1， t2?4t?4t第 10 页 共 13 页

当且仅当t?2，k??7等号成立，且满足??0，所以当?OPQ的面积最大时，l的方2程为：y?

77x?2 或y??x?2. …………………………12分 22bex?121. (本小题满分12分)设函数f(x0?aelnx?，曲线y?f(x)在点（1，f(1)处的

xx切线为y?e(x?1)?2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)?1.

x【解析】：(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为?0,???，f?(x)?aelnx?axbx?1bx?1e?2e?e xxx由题意可得f(1)?2,f?(1)?e，故a?1,b?2 ……………6分

22ex?1?x（Ⅱ）由(Ⅰ)知，f(x)?elnx?，从而f(x)?1等价于xlnx?xe?

exxx)?x?nlx设函数g(x)?xlnx，则g?(，所以当x??0,?时，g?(x)?0，当x??,?????1?e??1?e??时，g?(x)?0，故g(x)在?0,?单调递减，在?,???单调递增，从而g(x)在?0,?????1?e??1?e??1e2?x?x设函数h(x)?xe?，则h?(x)?e?1?x?，所以当x??0,1?时，h?(x)?0，当

e的最小值为g()??. ……………8分

故h(x)在?0,1?单调递增，在?1,???单调递减，从而h(x)g(x)x??1,???时，h?(x)?0，

在?0,???的最小值为h(1)??.

综上：当x?0时，g(x)?h(x)，即f(x)?1. ……………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

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1e1e

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以

?D=?CBE，由已知得，?CBE=?E ,

所以?D=? ……………5分

知MN⊥

N（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=

所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故?A=?CBE， 又?CBE=?E，故?A=?所以△ADE为等边三角形． ……………10分

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

由(Ⅰ)（1）知?D=?E，

?x?2?tx2y2??1，直线l：?已知曲线C：（t为参数）. 49?y?2?2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：?o?x?2cos? （?为参数），

?y?3sin?直线l的普通方程为：2x?y?6?0 ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos?,3sin?)到l的距离为

d?54cos??3sin??6， 54d25tan???5sin????6，其中为锐角．且. ???3sin3005则|PA|?当sin???????1时，|PA|取得最大值，最大值为225； 5第 12 页 共 13 页

当sin??????1时，|PA|取得最小值，最小值为

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a?0,b?0，且

3325. …………10分 511??ab. ab(Ⅰ) 求a?b的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 由ab?112??，得ab?2，且当a?b?2时等号成立， abab故a3?b3?3a3b3?42，且当a?b?2时等号成立，

∴a?b的最小值为42. ………5分 （Ⅱ）由6?2a?3b?26ab，得ab?333，又由(Ⅰ)知ab?2，二者矛盾， 2所以不存在a,b，使得2a?3b?6成立. ……………10分

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