概率论和数理统计期末考试题库

数理统计练习

一、填空题

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B?A)=0.8，则P(A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为

802，则此射手的命中率。

3813、设随机变量X服从[0，2]上均匀分布，则D(X)? 1/3 。

[E(X)]24、设随机变量X服从参数为?的泊松（Poisson）分布，且已知E[(X?1)(X?2)]＝1，则??___1____。 5、一次试验的成

功率为p，进行100次独立重复试验，当p?1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

26、（X，Y）服从二维正态分布N(?1,?2,?12,?2,?)，则X的边缘分布为 N(?1,?1) 。

27、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则

其他E(X)=4。

38、随机变量X的数学期望EX??，方差DX??2，k、b为常数，则有E(kX?b)= k??b,；D(kX?b)=k?。

229、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

?, ??是常数?的两个 无偏 估计量，若D(??)?D(??)，则称??比??有效。 10、?1212121、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(AB)=_0.3__。 2、设X?B(2,p)，Y?B(3,p)，且P{X ≥ 1}=5，则P{Y≥ 1}=19。

927

3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 5、设随机变量X的概率密度是：

?3x2f(x)???00?x?1，且P?X????0.784，则?=0.6 。 其他6、利用正态分布的结论，有

??????1(x2?4x?4)e2?(x?2)22dx? 1 。

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7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则

其他E(Y)= 3/4 。

8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

P?Y??aX?b??1，则X与Y的相关系数?XY?-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。

10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“X?1/2”出现的次数，则P{Y?2}= 3/8 。 1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则P(A?B)?0.6 。

2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1,1,1,1，则密码能被译出的概率是 11/24 。

5436

5、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则PX?2? 0.6247 。

??7、随机变量X的概率密度函数f(x)?1?e?x2?2x?1，则E(X)= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，?，Xn是来自总体X的简单随机样本，则

?Xi?1n2i~x(n)。

2T?????9、设T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?xy,10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数f(x,y)????0,??a。 20?x?2,0?y?1，则E(X)= 4/3 。

其他1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(AB), 则P(B)= 0.4 。 2、设随机变量X与Y相互独立，且

XP?110.50.5，

YP?110.50.5，则P(X =Y)=_ 0.5_。

3、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。

4、设随机变量X~N(?,?)，其密度函数

2f(x)?16?e?x2?4x?46，则?= 2 。

5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y?(X?EX)/DX，则DY= 1 。

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6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从??5的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联合密度函数f (x,

?e?5yy)= ??00?x?5,y?0其它。

7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。 8、设X1,X2,?,Xn是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则

?(Xi?1ni?X)2服从的分布为x2(n?1)。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为,111,，则目标能被击中的概率是3/5 。 543?4xe?2y,0?x?1,y?010、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，

其它?0则EY = 1/2 。

1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6 __。 2、设随机变量X的分布律为

Xp01211，且X与Y独立同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为ZP2014134。

3、设随机变量X ～N (2，?)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。 4、设随机变量X 服从??2泊松分布，则P?X?1?=1?e。

?225、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为

1yfX(?)。 226、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。

7、X1，X2，?，Xn是取自总体N?,??2?的样本，则

?(Xi?1ni?X)2?2～x(n?1)。

2?4xe?2y,0?x?1,y?08、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，则EX = 2/3 。

其它?0?为参数?的 无偏 估计量，如果E(?)=?。 9、称统计量?10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A?B)?0.6，则P(AB)? 0.3 。

?第3页，共38页

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则E(X)? 18.4 。

3、设随机变量X～N (1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“X?1/4”出现的次数，则P{Y?2}= 5/16 。 4、已知随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则?=23。

2??5、称统计量?为参数?的无偏估计量，如果E(?)=θ 。

6、设X~N(0,1),Y~x(n)，且X，Y相互独立，则

2XYn~ t(n) 。

7、若随机变量X～N (3，9)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X－2Y＋2，则Z ～ N (7，29) 。 8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??6xe???3y,0?x?1,y?0，则

其它EY = 1/3 。

09、已知总体X~N(?,?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，要检验Ho：?22??20，则采用的统计量是

(n?1)S2?20。

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?T????1???a。 21、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(AB)?0.7，则P(A?B)? 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。 3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为

37，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 644、设随机变量X的概率分布为P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3,P(X?3)?0.5，则X的期望EX= 2.3。 5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。 6、设(X, Y)的联合概率分布列为

－1 0 4 －2 1 1/9 1/18 1/3 2/9 a b 若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

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7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则P?2?X?4?? 1/2 。 8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,111,，则密码能被译出的概率是3/5 。 5432X,S分别为样本均值和样本方差，9、若X~N(?1,?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则

2(X??)n~ t (n-1) 。

S?,??是常数?的两个无偏估计量，若D(??)?D(??)，则称??比?? 有效 。 10、?1212121、已知P (A)=0.8，P (A－B)=0.5，且A与B独立，则P (B) ＝ 3/8 。 2、设随机变量X～N(1，4)，且P{ X ? a }= P{ X ? a }，则a ＝ 1 。 3、随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X??1)?P(Y??1)?11，P(X?1)?P(Y?1)?，则P(X?Y)?0.5。 224、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度f(x,y)???4xy0?x?1,0?y?1，则EY= 2/3 。

0其它?5、设随机变量X～N (1，4)，则PX?2＝ 0.3753 。（已知?(0.5)=0.6915，?(1.5)=0.9332） 6、若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，9) 。 7、设总体X～N(1，9)，X1, X2, ?, Xn是来自总体X的简单随机样本，X, S分别为样本均值与样本方差，则

2??1n1n222；?(Xi?1)2~?（9）。 (Xi?X)~?(8)；?9i?19i?18、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。

这类错误称为 二 错误。

1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)= 0.4 。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。 3、设随机变量X的概率分布为

X P －1 0.1 0 0.3 1 0.2 2 0.4 第5页，共38页

则PX?1= 0.7 。

4、设随机变量X的概率密度函数f(x)??2?1?e?x2?2x?1，则D(X)=

12 。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P {X＝

10}＝ 0.39*0.7 。

6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是C5?0.7?0.3。

4417、设随机变量X的密度函数f(x)?1e2??(x?2)22，且P?X?c??P?X?c?，则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4－9X，V= 8＋3Y，且X与Y的相关系数?XY＝1，则U与V的相关系数?UV＝－1。 9、设X~N(0,1),Y~x(n)，且X，Y相互独立，则

2XYn~t (n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。 1、随机事件A与B独立，P(A?B)?0.7,P(A)?0.5，则P(B)? 0.4 。 2、设随机变量X的概率分布为则X的概率分布为

3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则P?3?X?4?? 0.25 。

4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则EX=_18.4__。

?X??~222

5、随机变量X~N(?,4)，则Y N(0,1) 。

6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是

59/60 。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是

80，则袋中白球的个数是 4 。 818、已知随机变量U = 1＋2X，V= 2－3Y，且X与Y的相关系数?XY ＝－1，则U与V的相关系数?UV ＝ 1 。 9、设随机变量X～N (2，9)，且P{ X ? a }= P{ X ? a }，则a＝ 2 。

??10、称统计量?为参数?的无偏估计量，如果E(?)= θ 第6页，共38页

二、选择题

1、设随机事件A与B互不相容，且P(A)?P(B)?0，则（ D ）。

Ａ. P(A)?1?P(B) B. P(AB)?P(A)P(B) Ｃ. P(A?B)?1 Ｄ. P(AB)?1 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

1C2222!2!A. 2 B. 2 C. D. 2C44!4P4３、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为（ D ）。 A. 2fX(?2y) B. fX(?y1y1y) C. ?fX(?) D. fX(?) 22222４、设随机变量X~f(x)，满足f(x)?f(?x)，F(x)是x的分布函数，则对任意实数a有（ B ）。 A. F(?a)?1??a0f(x)dx B. F(?a)?a1??f(x)dx C. F(?a)?F(a) D. F(?a)?2F(a)?1 20５、设?(x)为标准正态分布函数，

100?1, 事件A发生；?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.8，X1，X2，0， 否则；i?1?限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?80) C．?(16y?80) D．?(4y?80) 4１、设A，B为随机事件，P(B)?0，P(A|B)?1，则必有（ A ）。

A. P(A?B)?P(A) B. A?B C. P(A)?P(B) D. P(AB)?P(A)

２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。 33 B. 321 C. 123 D. 212 A. （）（）?（）?C（）44444443、设X1, X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。 A. ???11233?1?1?2X1?X2 B. ??X1?X2 C. ??X1?X2 D. ??X1?X2 223344554、设?(x)为标准正态分布函数，

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?1, 事件A发生；?，X100相互独立。令Y?Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.1，X1，X2， 否则。?0，?Xi?1100i，则由中心极限定

理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?10) C．?(3y?10) D．?(9y?10) 325、设(X1,X2,?,Xn)为总体N(1,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。

1nX?11n2A. ~t(n)； B. ?(Xi?1)~F(n,1)； C. ~N(0,1)； D. ?(Xi?1)2~?2(n)；

4i?14i?12/n2/nX?1１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。 A. ABC

２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。

B. ABC

C. A+B+C D. ABC

?1?0xA. F(x)?,???x?? B. F(x)??21?x??1?xC. F(x)?e,???x?? D. F(x)??xx?0x?0

31?arctgx, ???x?? 42?3、(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y)?0不等价的是（ D ）

A. E(XY)?E(X)E(Y) B. D(X?Y)?D(X)?D(Y) C. D(X?Y)?D(X)?D(Y) D. X和Y相互独立 4、设?(x)为标准正态分布函数，

100?1, 事件A发生?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.2，X1，X2， 否则i?1?0，限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(2y?20) C．?(16y?20) D．?(4y?20) 425、设总体X~N(?,2)，其中?未知，X1,X2,?,Xn为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为s， 则下列各

式中不是统计量的是（ C ）。

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A. 2X

B.

s2?2 C.

X??? D.

(n?1)s2?2

1、若随机事件A与B相互独立，则P(A?B)＝（ B ）。

A. P(A)?P(B) B. P(A)?P(B)?P(A)P(B) C. P(A)P(B) D. P(A)?P(B)

2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效

的是（ D ）

1111111X1?X2?X3?X3 B. X1?X2?X3 663333334111111C. X1?X2?X3?X4 D. X1?X2?X3?X455554444A. 2

3、设?(x)为标准正态分布函数，Xi???1, 事件A发生?，X100相互 i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.3，X1，X2， 否则?0，独立。令Y??Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. ?(y) B．?(y?30y?30) C．?() D．?(y?30)

21214、设离散型随机变量的概率分布为P(X?k)?k?1，k?0,1,2,3，则E(X)＝（ B ）。 10A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A. H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。 B. H1不真时接受H1称为犯第一类错误。 C. 设P{拒绝H0|H0真}??，P{接受H0|H0不真}??，则?变大时?变小。 D. ?、?的意义同（C），当样本容量一定时，?变大时则?变小。 1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. P(AB)?P(A)P(B) B. P(A?B)?1 C. P(A?B)?P(A)?P(B) D. P(AB)?0 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。

A. B?BA?BA B. B?BA?BA C. B?BA?BA D. B?1?B 3、设?(x)为标准正态分布函数，

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?1, 事件A发生?，X100相互独立。令YXi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.4，X1，X2， 否则?0，??Xi，则由中心

i?1100极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?40y?40) C．?(y?40) D．?()

24244、若E(XY)?E(X)E(Y)，则（D ）。 A. X和Y相互独立

B. X与Y不相关 C. D(XY)?D(X)D(Y) D. D(X?Y)?D(X)?D(Y)

5、若随机向量（X,Y）服从二维正态分布，则①X,Y一定相互独立； ② 若?XY?0，则X,Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④若X,Y相互独立，则 Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。 A. ① ② ③

④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④

1、设随机事件A、B互不相容，P(A)?p, P(B)?q，则P(AB)＝（ C ）。 A. (1?p)q B. pq C. q D.p

2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B相互独立 B. P(AB)?P(B)P(AB)，其中P(B)?0 C. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)?P(A)P(BA)，其中P(A)?0 3、设?(x)为标准正态分布函数，

100?1, 事件A发生?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极限Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.5，X1，X2， 否则i?1?0，定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?50y?50) C．?(y?50) D．?() 5254、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X的密度函数为（ B ）

1y?51y?5f(?) B. f(?) 22221y?51y?5C. ?f(?) D. f(?)2222A. ?第10页，共38页

（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt??2tdt?1

01?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1? (3) P（1/2

?kx?1, 0?x?2

f(x)???0, 其它

求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5

2k2f(x)dx??(kx?1)dx?(x2?x)|0?2k?2?1 ??0解： 2 k??1/2 (1) ???（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 x2f(t)dt??(?0.5t?1)dt???x 04x 当0?x?2时， F(x)?? 当x?2时， F(x)????x??f(t)dt?1

?0, x?0?2?x 故 F(x)????x, 0?x?2 ?4??1, x?2(3) P（1.5

??ax, 0?x?1f(x)??

?0, 其它?求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。

第16页，共38页

2f(x)dx??axdx?a?1 ??0解： 3 a?3/2 (1) ???1（2）当x?0时， F(x)??xf(t)dt?0 ?? 当0?x?1时， F(x)??x3/2??f(t)dt??x302tdt?x 当x?1时， F(x)??x??f(t)dt?1

?0, x?0 故 F(x)???x3/2 , 0?x?1 ??1, x?1(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为

f(x)???2x, x?(0,A)?0, 其它

求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 解：

(1) ?????f(x)dx??A02xdx?A2?1

A?1 2）当x?0时， F(x)??x??f(t)dt?0 当0?x?1时， F(x)??x??f(t)dt??x02tdt?x2 当x?1时， F(x)??x??f(t)dt?1

?0, x?0 故 F(x)???x2, 0?x?1 ??1, x?1(3) P（-0.5

?cf(x)???1?x2, x?1

??0, 其它求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。

第17页，共38页

）

（解：

(1) ???1-x2 c?1/? ???1xf(x)dx?? 1cdx?carcsinx|1?1?c??1

（2）当x??1时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??x 当?1?x?1时， F(x)?? ?11???1?1?t2dt?1?xarcsint|?1 ?(arcsinx?x???2 )

当x?1时， F(x)??f(t)dt?1 ?0, x??1?1?? 故 F(x)??(arcsinx? ), －1?x?1 2????1, x?1(3) P（-0.5

x??2?F(x)??A?Be, x?0

??0, 其它2求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1

(1) lim F(x)?A?1 x???解： lim F(x)?A?B?0?x?0

B??1 （2） ??xe?x/2, x?0 f(x)? F?(x)?? ??0, x?0(3) P（1

四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为

F(x)?A?Barctanx

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1

第18页，共38页

(1) lim F(x)?A?x????2B?1 解： lim F(x)?A?x??? B?02 A?1/2, B?1/? ?（2） f(x)? F?(x)? 1 ?(1?x2)(3) P（0

1?arctan2

四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为

?0, x?0?F(x)??Ax, 0?x?1

?1, x?1?求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。

（2）解：

(1) lim F(x)?A?1 x?1?1 , 0?x?1? A?1 f(x)? F?(x)??2x?0, 其他?(3) P（0

A??1?2, x?2F(x)??x

??0, x?2求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

（2）、解：

(1) lim F(x)?1?A/4?0 x?2?8 ?3, x?2? A?4 f(x)? F(x)??x??0, x?2(3) P（0

四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为

第19页，共38页

?2x?, x?(0,a)f(x)???2

?0, 其它?求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。

（2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 ??x??a2xx(1) ?f(x)dx?? 2dx?1 当x??时， F(x)???0?解：???f(t)dt?1 a?? ?0, x?0?2?x 故 F(x)??2, 0?x?? ????1, x??2tx2 当0?x??时， F(x)??f(t)dt??2dt?2 ??0??xx(3) P（-0.5

14?2

五（1）、设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求系

统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z) ＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝因此，系统L的寿命Z的密度函数为

??e0z??xdx??e??ydy＝(1?e??z)(1?e??z)。

0z??e??z??e??z?(???)e?(???)z, z?0dFZ(z)??f Z (z)＝ dz0, z?0?五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 的密度函数。 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝P(?y?X?2

2

2

y)

＝

?y12??ye?x2/2dx?2?y12?0e?x2/2dx

第20页，共38页

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421

??14 8??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?8 6???44?21?? ? 1???21? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－6 6??

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3

?(X?Y,X?Y)3X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?27*3?13

Y?27 3??所以，（X—Y， X＋）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?3 3?? 和 ????1?3 1? 4 －5X?六（4）、已知随机向量（，Y）的协方差矩阵V为??－5 9??

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5

?X?Y,X?Y)X?Y,X?Y?Cov(D(X?Y)D(X?Y)??5?523*3?69

??23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?-5 13?? 和 ???-5?69第26页，共38页

?1?3?? ???-5?69?? ??? 1? 1 －1?六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

－1 4??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??37*3??321

??7 -3??1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-3 3???-3-3?21?? ? 1???21?求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165

七（1）、设总体X的概率密度函数是

??x??1, 0?x?1f(x;a)??

?0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, ?, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L???xii?1n??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx

ii?1n第27页，共38页

dlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1n?lnxi?1n

i

七（3）、设总体X的概率密度函数是

?2?xexp{??x2}, x?0f(x)??

?0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2??xiexp{??i?1i?1n2nnnn2nn2 lnL?nln(2?)?lnx??xx})?i?i ?ii?1i?1i?1dlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n

2i 七（4）、设总体的概率密度函数是

?3?x2exp{??x3}, x?0f(x)??

?0, 其它其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3??xiexp{??i?1i?1n2i3nnn2?xi?1n3i}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3

2i?1i?1nndlnLnn3?????xi?0 ?

d??i?1n?xi?1n

3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)??xx!e??（x=0，1， ?），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一

组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L??n?xixi!i?1e????n?xii?1ne?n? lnL??xi!i?1?xln???ln(x!)?n?

iii?1i?1nn第28页，共38页

xidlnL??? ?i?1?n?0 ?d??

n?xi?1nin?x

七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=p(1-p),x?0,1。 设x1,x2,x3,?,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最

大似然估计法求p的估计值。 解：

x1-xL??p?1?p?xii?1n1?xin?n??? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p?

i?1?i?1???ndlnL?n?1?1n?1????xi???n??xi??0 p??xi?x

i?1dpni?1?i?1?p??1?p 七（7）、设总体X服从参数为

n1的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 ?n解： L??n1i?1?e1?xi?1xi?1???i??1?1n?1???e lnL?nln????xi ???????i?1dlnLn1n1n????2?xi?0 ???xi?x

ni?1d???i?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数

L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi

i?1ndlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是

(x??)21?12f(x;?)?e, ???x???

2?x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？

解：似然函数

?xi???21?1 L??e2?i?12?n1?2??nn1n2??1nexp????xi???? lnL??ln?2????(xi??)2

22i?1?2i?1?第29页，共38页

dlnLn1n???(xi??)?0 ???xi?x

d?ni?1i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是

x?12?f(x;?)?e, ???x???

2??2x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？

解：似然函数

i1n?2? L??()e?i?12??nx21?2???nnn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??i?1i?1222?2???dlnLn1n21n2?????xi ???xi

ni?1d?2?2?2i?1

八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度

X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95

?/n) 经计算 x?19所以?的置信区间为(x?u0.025?n,x?u0.025?n?xi?19i?6

1 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?13,6?1.96?3) 即(5.347，6.653)

八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

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