数学物理方程总复习

南航数学物理方程

数学物理方程Mathematical Equations for Physics

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用数理方法研究问题的步骤Á Á Á1、写出定解问题 2、求解: 求解方法：行波法、分离变量法、格林函 数法、…… 3、分析解答： 物理意义 存在 适应性 唯一 稳定ÁÁ

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本次课主要内容数学物理方程总复习 一、偏微分方程理论 二、行波法 三、分离变量法3

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一、偏微分方程理论 (一)、偏微分方程理论掌握定解问题的建立a、掌握基本方程的建立 b、掌握定解条件的推导 c、掌握定解问题的概念4

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定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出 定解条件（边界条件(包括衔接条件，自然条件） 和初始条件）。 建立偏微分方程的主要方法是微元法 (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2).进行微元分析；分析短时间内微元和相邻部分的相互作用，根据物理定 律用算式表达这种作用。(3).化简、整理算式。5

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如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界； (2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式。6

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一、基本方程的建立

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用数理方法研究问题的步骤Á Á Á1、写出定解问题 偏微分方程：数理方程(一般规律) 定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)

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掌握三类数理方程的导出The derivation of three types of mathematical equations for physics

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一、波动方程 常用物理规律(一)1、牛顿第二定律∑d 2s dv F =m 2 =m dt dt2、胡克定律P = Yu x

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对胡克定律的说明：P = Yu x公式中P称为协强或应力。它表示弹性物 体单位截面所受作用力，P=F/S。 公式中ux表示伸长率，称为协变。 Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。 杨氏弹性模量由材料决定！

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例、 弦的横振动研究张紧的弹性轻弦的微小横振动。

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现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。t时刻 位移NM记作u u(x,t)q' 两端 弧段 MM 所受的张力记作T,T’

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根据牛顿第二定律F = maq' 受力的总和为 在x轴方向弧段 MMT 'cos a ' T cos a = 0按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M’ 点处切线的倾角都很小，即 α ≈ 0, α ' ≈ 0 从而由a2 a4 cos α = 1 + " 2! 4!cos α ≈ 1, cos α ' ≈ 1T '=T

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根据牛顿第二定律 F = ma u 方向运动的方程可以描述为 T sin a + T 'sin a ' ρ gds＝ma又因为α ≈ 0, α ' ≈ 0 u ( x, t ) ≈ tan a = sin a = 2 x 1 + tan a tan a u ( x + dx, t ) sin a ' ≈ tan a = x u ( x, t ) ds = 1 + dx ≈ dx x 2

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根据牛顿第二定律 F = ma u 方向运动的方程可以描述为 T sin a + T 'sin a ' ρ gds = ma且小弧段在时刻t沿u方向运动的加速度近似为 小弧段质量为ρ ds 2 u ( x, t ) 2 t 2 u ( x, t ) T sin a + T 'sin a ' ρ gds ≈ ρ ds t 22 u ( x + dx , t ) u ( x , t ) u ( x, t ) T ρ gdx ≈ ρ dx 2 x x t

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u ( x, t ) u ( x + dx, t ) u ( x, t ) T ρ gdx ≈ ρ dx 2 x x t 2 u ( x, t ) 由于x产生dx的变化而引起的 x 的改变量，可用微分近似代替，即 u ( x + dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) dx = dx ≈ 2 x x x x x2

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u ( x, t ) u ( x + dx, t ) u ( x, t ) T ρ gdx ≈ ρ dx 2 x x t 22 2 u ( x, t ) u ( x, t ) T x 2 ρ g dx ≈ ρ t 2 dx T u ( x, t ) u ( x, t ) ≈ +g 2 2 ρ x t2 2

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T 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) ≈ +g 2 2 ρ x t u 2 u 一维波动方程 2 = a 2 t x2 2a =2Tρ

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Á如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平 行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)， 显然弦的强迫振动方程2 2u Fds T sin a + T 'sin a ' ρ gds ≈ ρ ds 2 tT 'cos a ' T cos a = 0 u 2 u =a + f ( x, t ) 2 2 t x2

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弦的强迫振动方程 u 2 u =a + f ( x, t ) 2 2 t x2 2表示t时刻单位质量的弦在 x点处所受的外力密度f ( x, t ) =1ρF ( x, t )

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