盈亏问题

由思考题谈盈亏问题的解法

环保小组的同学上山植树，如果每人种3棵，则还剩3棵；如果每人种4棵，则还差2棵。环保小组有多少人？一共植树多少棵？

分析与解：这是一道典型的盈亏应用题。盈，就是多余；亏，就是不足、少的意思。比较两种植树方式，第一种多了3棵，第二种少了2棵，一多一少共相差

（棵），或

（棵）。显然，相差5棵的原因是第二种植树方式每人种的棵数比第一种多了

（人），一共植树

（棵）。

（棵）。根据“相差的总数÷相差的每份数＝份数”得出，环保小组的人数是

从中得出：解盈亏问题，要先比较“盈”与“亏”两种情况，求出两种情况下总数之间的差，像上题是一盈一亏，差＝盈＋亏；再找出出现这个差的原因是每份数不同，求出两个每份数之间的差；最后根据“差??差”对应求出份数以及总数。 盈亏问题还有另外两种情况：两盈与两不足。有些题还要通过转化，先找出“盈亏”数。

例1. 工程队修一条路，如果每天修150米，则可以提前2天完成任务；如果每天修180米，则可以提前5天完成任务。这条路全长多少米？

分析与解：这道题没有直接给出“盈亏”数，但由题意可知，第一种情况如果再修2天，还可以修第二种情况如果再修5天，还可以修

（米）；

（米）。这300米与900米就是两个“盈”数。因此，可以把条件转化为：

如果每天修150米，可以多修300米；如果每天修180米，可以多修900米。显然，这道题是“两盈”类盈亏问题，相差的总数是这条路全长

米，相差的每份数是

（米），或

米，所以计划修的天数是

（米）。

（天），

例2. 小强每天早晨7点30分从家出发去上学。如果每分钟走60米，就会迟到5分钟；如果每分钟走75米，就可以提前2分钟到校。小强家距离学校有多少米？（首届创新杯中小学数学邀请赛决赛·五年级试题） 分析与解：由题意可知，第一种行走方式还差小强去学校要走

（米），第二种行走方式可以多走

（分钟），小强家距离学校有

（米），所以（米）。

例3. 有红、白球若干个。若每次拿出1个红球和1个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个。那么这堆红球、白球共有__________个。（2000年小学数学奥林匹克竞赛预赛试题·A卷）

分析与解：从第二种拿球方式得知，若每次拿走1个红球和3个白球，到红球拿完时，白球缺就把“盈亏”数统一到了白球上。根据“一盈一亏”问题的解法得，拿球的次数是红球的个数为100个，所以这堆红球、白球共有

这道题也可以把“盈亏”数统一到红球上。请同学们自己算算看。 盈亏问题公式

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式： （盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）÷（10-8）=16÷2 =8（个）………………人数

10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略） （2）两次都有余（盈），可用公式：

（个）。

（个）。这样，

（次），即

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”

解（680-200）÷（50-45）=480÷5 =96（人）

45×96+680=5000（发）

或50×96+200=5000（发）（答略） （3）两次都不够（亏），可用公式：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？” 解（90-8）÷（10-8）=82÷2 =41（人）

10×41-90=320（本）（答略）

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式： 亏÷（两次每人分配数的差）=人数。 （例略）

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式： 盈÷（两次每人分配数的差）=人数。 （例略）

盈亏问题练习题

1. 一天，聪聪幼儿园的老师给大班小朋友分苹果。如果每人分4个，则多10个；如果每人分5个，则少8个。你知道这个班有多少个小朋友？他们分多少个苹果吗？

2. 用一根绳子测量井的深度，如果把绳子3折，井外多2米；如果把绳子4折，还差1米不到井口。井深多少米？绳子长多少米？

3. 学校进行大扫除，分配学生擦玻璃。其中两人各擦4块，其余各擦5块，则

余12块；若每人擦6块，则正好擦完。你能帮助劳动委员算一算擦多少块玻璃？擦玻璃需要多少人吗？

4.市二实验小学组织学生参加科技展。如果每车坐75人，则有5人不能乘车；如果每车多坐5分，恰多余了一辆车。这次参观一共有几辆汽车？有多少位学生？

5. 雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。共有多少块砖？

6. 安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位；如果每间7人，则多4个床位。该校有宿舍多少间？学生多少人？

7. 一辆汽车从甲地到乙地，若以每小时10千米的速度，则提前2小时到达；若以每小时8千米的速度，则迟到3小时。甲地和乙地相距多少千米？

8. 阿姨给幼儿园小朋友分一堆糖，若每人分10块，则多8块，；若每人分12块，则刚好有一个小朋友没分到糖。要想使每个小朋友都分到11块糖，还需要增加几块？

9. 课间活动跳绳比赛，其中2组各借绳4根，其余的组借5根，这样分配最后余下12根；如果每组借7根，这样恰好借完。一共有绳多少根？

1.阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

2.某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？

3.小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？

4.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵.问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？

5.学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

盈亏问题练习题

（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？

（２） 某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？

（３） 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边有多少元？

（4）全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。全班有多少人？

（５） 小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈还差1.85米。问：绳子有多长？圆柱的周长是多少？

（6）某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？

（7）在桥上测量桥的高度。把绳长对折后垂到水面，还余4米；把绳长3折后垂到水面，还余1米。桥高多少米？绳长多少米？

（8）在一次大扫除中，有一些同学被分配擦玻璃，他们当中如果有2人各擦4块，其余的人各擦5块，就会多下12块玻璃没有人擦；如果每人擦6块，刚好擦完。擦玻璃的同学有多少人？玻璃共有多少块？

（9）有一个数，减去3所得差的4倍，等于它的2倍加上36。这个数是多少？

（10）体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”

牌足球，结果多了13元，体育老师原来身边有多少元钱？

（11）某小学学生乘汽车去秋游，如果每辆车坐65人，就会有15人不能乘车；如果每辆车车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有多少辆汽车？有多少个学生？

（12）有一个班同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问这个班共有多少同学？

（13）小红家买来一篮桔子分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，则多出4只；如果其中一人分6只，其余每人分4只，则又缺12只。小红家买来多少只桔子？共有多少人？

（14）小朋友分苹果，如果每人分2个，就多余16个；如果每人分5个，就缺少14个。小朋友有多少个？苹果有多少个？

(15) 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？

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