二元一次方程组应用题教案

二元一次方程组应用题

【例题选讲】 例1：（利息问题）

李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可

得利息43.92元。已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额?20％）

分析：利息问题是一个实际应用问题，一定要结合实际来理解掌握，如：一般说来，利息要

交20%的利息税，但是教育储蓄和国库券等一些特殊形式的储蓄是无须交利息税的。本题中需要求的是两个量，因此直接设两个未知数，从而列出方程组来解决。相等关系是：①两种储蓄的年利率的和=3.24%，②两种储蓄的利息和=43.92元。 解：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，存1000元的这种储蓄的年利率是y，

根据题意得：??x?y?3.24%

(2000x?1000y)?(1?20%)?43.92??x?0.0225

?y?0.0099解这个方程组得：?答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。 注意：本题也可以列一元一次方程来解决：

解法2：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，则存1000元的这种储蓄的年利率是

3.24%?x，

根据题意得：[2000x?1000(3.24%?x)]?(1?20%)?43.92 解这个方程组得：x?0.0225 则 3.24%?x?0.0099

答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。

例2：（人员调配问题）

某班学生参加义务劳动，男生全部挑土，女生全部抬土，这样安排恰需筐68个，扁担

40根，问这个班男生、女生各有多少人？

分析：本题看似条件很少，实际上里面还有隐含条件，那就是：挑土需要一个人、一根扁担

和两个筐，抬土需要两个人、一根扁担和一个筐，因此，本题就有充足的条件来解决了。

冬者，岁之余; 夜者，日之余; 雨者，时之余。

这里可以直接设两个未知数，列出方程组。本题的相等关系是：①男生需要筐的数量+女生需要筐的数量=68个，②男生需要扁担的数量+女生需要扁担的数量=40根。 解：设这个班有男生x人，女生y人，

y?2x??68??2根据题意得：? ?x?y?40??2解这个方程组得：??x?28

?y?24答：这个班有男生28人，女生24人

注意：本题也可以列一元一次方程来解决，同学们如果有兴趣不妨一试。其实，列二元一次

方程组来解决的问题大部分可以列一元一次方程来解决，只是有时候比较困难或是烦琐。

例3：（数字问题）

甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和是65，求原来的两个加数。

分析：这个数字问题中需要弄清的是，一个加数（如y）后面多写一个0可以表示为10y,

少写一个0可以表示为

1y，本题的两个相等关系是①一个加数+另一个加数的10倍101

=65。 10

=2342，②一个加数+另一个加数的

解：设两个加数分别为x和y，其中两人都看错的加数为y，

?x?10y?2342?根据题意得：? 1x?y?65??10解这个方程组得：??x?42

?y?230答：原来两个加数分别为42和230。

例4：（工程问题）

甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小时改装机器以

冬者，岁之余; 夜者，日之余; 雨者，时之余。

提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 分析：这是个工程问题，一定要抓住工作总量=工作效率?工作时间这个相等关系，这里有

两个条件，也就是本题的两个相等关系，①甲上午（4-2.5）小时完成的零件数+40个=乙上午4小时完成的零件数，②甲一天（8-2.5）小时完成的零件数=乙一天8小时完成的零件数+420个。这里的相等关系用的是工作量相等，因此只要知道工作时间和工作效率，工作时间已知，故本题间接设两人的工作效率为未知数。

解：设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件，则甲一天做(8?2.5)x个零件，乙

一天做8y个零件。

根据题意得：??(4?2.5)x?40?4y

?(8?2.5)x?8y?420?x?200

y?85?解这个方程组得：?则 (8?2.5)x?11000， 8y?680

答：这一天甲做了11000个零件，乙做了680个零件。

例5：（税利问题）

去年甲、乙两车间计划共完成税利150万元，由于技术革新，生产效率大幅度提高，结

果甲车间超额完成税利110％，乙车间超额完成税利120％，两车间一共上缴税利323万元，问甲、乙车间实际上缴税利多少万元？

分析：这里只要注意甲车间超额完成税利110%，实际上甲车间完成的税利是原来的

（1+110%），同样，乙车间完成的税利是原来的（1+120%）。两个相等关系是，①甲车间计划完成的税利+乙车间计划完成的税利=150万元，②甲车间实际完成的税利+乙车间实际完成的税利=323万元。

解：设去年甲车间计划完成税利x万元，乙车间计划完成税利y万元，则实际甲车间完成税

利(1?110%)x万元，乙车间完成税利(1?120%)y万元。

根据题意得：??x?y?150

?(1?110%)x?(1?120%)y?323冬者，岁之余; 夜者，日之余; 雨者，时之余。

解这个方程组得：??x?70

?y?80则 (1?110%)x?147， (1?120%)y?176

答：甲车间实际上缴税利147万元，乙车间实际上缴税利176万元。

例6：（行程问题）

一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如

果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度。

分析：行程问题是用方程或方程组解决问题的常见类型，主要要抓住路程=速度?时间这个

相等关系，本题的错车问题，实际上是两种情况：①相向而行，错车实际上是两车合走的路程是两车长之和，②同向而行，错车实际上是快车比慢车多走的路程是两车长之和。这就是本题的两个相等关系。

解：设快车的速度是x米/秒，慢车的速度为y米/秒，

根据题意得：??4x?4y?168?184

?16x?16y?168?184?x?55

y?33?解这个方程组得：?答：快车的速度是55米/秒，慢车的速度为33米/秒。

例7：（环行跑道问题）

甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15秒钟相遇一次；当两人同向运动时，每1分钟相遇一次，求各人的速度。

分析：环行跑道的问题主要抓住相向而行，每一次相遇两人合走了一圈，同向而行，每一次

遇到，快的人比慢的人多走了一圈。同样，这道题中的两个相等关系是：①反向运动：甲15秒所走的路程+乙15秒所走的路程=600米，②同向运动：甲1分钟所走的路程-乙1分钟所走的路程=600米。这里注意时间的单位名称。 解：设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，

冬者，岁之余; 夜者，日之余; 雨者，时之余。

根据题意得：??15x?15y?600

?60x?60y?600?x?25 y?15?解这个方程组得：?答：甲的速度是25米/秒，乙的速度是15米/秒。

例8：（利润问题）

某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。 该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行。受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶；

方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

分析：要比较那种方案的获利最多，当然要将两种方案的获利情况算出来，方案一直接就可

以计算，而方案二需要先求出制成奶片和酸奶各是多少，才能计算出利润来，因此这里需要先列方程组来解题。两个相等关系是：①加工酸奶的数量+加工奶片的数量=9吨，②加工酸奶的天数+加工奶片的天数=4天。

解：方案一：总利润=4?2000?(9?4)?500?10500元。

方案二：设4天内加工酸奶x吨，加工奶片y吨，则总利润为1200x?2000y元，

?x?y?9?根据题意得：?xy

??4??31解这个方程组得：??x?7.5

y?1.5?则 1200x?2000y?12000 因为方案一的总利润<方案二的总利润 所以选择方案二获利更多。

冬者，岁之余; 夜者，日之余; 雨者，时之余。

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