文科2006年江西高考数学解析版

2006高等学校全国统一数学文试题（江西卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合P??xx(x?1)≥0?，Q??x?1??0?，则P?Q等于（ ） ?x?1?Ａ．?

Ｂ．?xx≥1?

Ｃ．?xx?1?

Ｄ．?xx≥1或x???

2．函数y?4sin???2x???????1的最小正周期为（ ）

Ａ．??

Ｂ．? Ｃ．2? Ｄ．4?

3．在各项均不为零的等差数列?a2n?中，若an?1?an?an?1?0(n≥2)，则S2n?1?4n?（ ）

Ａ．?2 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

4．下列四个条件中，p是q的必要不充分．．．．．条件的是（ ） Ａ．p:a?b，q:a2?b2 Ｂ．p:a?b，q:2a?2b

Ｃ．p:ax2?by2?c为双曲线，q:ab?0

Ｄ．p:ax2?bx?c?0，q:cx2?bx?a?0 5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f?(x)≥0，则必有（ Ａ．f(0)?f(2)?2f(1)

Ｂ．f(0)?f(2)≤2f(1) Ｃ．f(0)?f(2)≥2f(1)

Ｄ．f(0)?f(2)?2f(1)

6．若不等式x2?ax?1≥0对一切x????0，1?2??成立，

则a的最小值为（ ） ） Ａ．0 Ｂ．?2

n

Ｃ．?

52 Ｄ．?3

2?x?7．在???的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（ ） x??Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12

8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）

1234C4C8C12C16Ａ． 10C402314C4C8C12C16Ｃ． 10C40

2134C4C8C12C16Ｂ． 10C401342C4C8C12C16Ｄ． 10C40

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ） ．．．Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

????????BaO?AaC?10．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若O1O002????BC，，且A，三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ） Ａ．100

Ｂ．101

Ｃ．200

Ｄ．201

x2y2?1的右支上一点，11．N分别是圆(x?5)2?y2?4P为双曲线?M，916和(x?5)2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值为（ ） Ａ．6

Ｂ．7

Ｃ．8

Ｄ．9

12．某地一天内的气温Q(t)（单位：℃）与时刻t（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差（即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差）．C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（ ） C(t)C(t) 1Q(t) 4 4 28 112t 图

14 4 O4 8 1122t Ａ O 4 8 112Ｂ 2t C(t)

1C(t)1

4 4 8 11224 Ｃ O t O 4 8 1122tＤ 第II卷

二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

????sin?)，b?(1，cos?)，则a?b的最大值为 13．已知向量a?(1， ．

[f?1(n)?6]?27，14．设f(x)?log3(x?6)的反函数为f?1(x)，若[f?1(m)?6]?则f(m?n)? ．

A

C

15．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两．周到达A1点的最短路线的长为 ．

．

B A1

C1

B1

x2y216．16．已知F1，F2为双曲线2?2?1(a?0，b?0且a?b)的两个焦点，Pab为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（ ）

Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?a上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?b上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点?a，0?． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值． （1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

（2）若对x?[?1，2]，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围． 18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19．（本小题满分12分）

23在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA?（1）求tan2B?CA?sin2的值； 22Ａ

22， 3（2）若a?2，S△ABC?2，求b的值． 20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA?1，OB?OC?2，E是OC的中点． （1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E?AB?C的大小． 21．（本小题满分12分）

x2y2如图，椭圆Q：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c，过点F的一动直线0)，

abＢ

Ｏ Ｅ Ｃ

，B两点，P为线段AB的中点．m绕点F转动，并且交椭圆于Ay （1）求点P的轨迹H的方程；

（2）若在Q的方程中，令a?1?cos??sin?，

2B O F P A D x

???b2?sin??0??≤?．

???l 设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当?为何值时，△MNF为一个正三角形？ 22．（本小题满分14分）

a1?3，已知各项均为正数的数列?an?，满足：且

2an?1?an?anan?1，n?N*．

2an?an?1（1）求数列?an?的通项公式；

22???an（2）设Sn?a12?a2，Tn?111，求Sn?Tn，并确定最????a222a1a2an小正整数n，使Sn?Tn为整数．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合P??xx(x?1)≥0?，Q????x1x?1?0???，则P?Q等于（C Ａ．?

Ｂ．?xx≥1?

Ｃ．?xx?1?

Ｄ．?xx≥1或x???

解：P＝｛x|x?1或x?0｝，Q＝｛x|x?1｝故选C

2．函数y?4sin???2x???????1的最小正周期为（B ）

Ａ．?? Ｂ．? Ｃ．2? Ｄ．4?

解：T＝

2?2＝?，故选B 3．在各项均不为零的等差数列?a?a2n?中，若an?1n?an?1?0(n≥2)，则S2n?1?4n?（ A ）

Ａ．?2 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

解：设公差为d，则an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，a22n?1?an?an?1?0(n≥2)可得2an－an＝0，解得an＝2（零解舍去），故

S2n?1?4n?2×（2n－1）－4n＝－2，故选A

4．下列四个条件中，p是q的必要不．．．充分．．条件的是（ D ） Ａ．p:a?b，q:a2?b2 Ｂ．p:a?b，q:2a?2b

Ｃ．p:ax2?by2?c为双曲线，q:ab?0

） 由

Ｄ．p:ax2?bx?c?0，q:cb??a?0 x2x解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充要条件；C. p是q的充分条件，不是必要条件；D.正确

5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f?(x)≥0，则必有（C ）

Ａ．f(0)?f(2)?2f(1)

Ｂ．f(0)?f(2)≤2f(1) Ｄ．f(0)?f(2)?2f(1)

Ｃ．f(0)?f(2)≥2f(1)

解：依题意，当x?1时，f?（x）?0，函数f（x）在（1，＋?）上是增函数；当x?1时，f?（x）?0，f（x）在（－?，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有 f（0）?f（1），f（2）?f（1），故选C

?6．若不等式x2?ax?1≥0对一切x???0，?成立，则a的最小值为

?12?（ C ） Ａ．0

Ｂ．?2

Ｃ．?

52 Ｄ．?3

a2解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－

若－?，即a?－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有

125－?x?－1 2a1若－?0，即a?0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f

22a21212f（）?0?

（0）＝1?0恒成立，故a?0

a2a2a2a1a若0?－?，即－1?a?0，则应有f（－）＝－＋1＝1－?0424222恒成立，故－1?a?0 综上，有－?a故选C

2?x?7．在? ??的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（ B ）x??n52Ａ．3

rn Ｂ．6

n－r Ｃ．9 Ｄ．12

3r2rrrn－Tr＋1＝C（x）?（）＝2Cnx2x?n－3r＝0解：，由?rr解得n＝6故选B

?n－3r＝02C＝60?n?rr?2Cn＝608．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（A ）

1234C4C8C12C16Ａ． 10C402314C4C8C12C16Ｃ． 10C40

2134C4C8C12C16Ｂ． 10C401342C4C8C12C16Ｄ． 10C40

解：依题意，各层次数量之比为4?3?2?1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ B ） ．．．Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的

射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B

????????????10．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若OB?a1OA?a200OC，且A，BC，三点共线（该直线不过点O），则S200等于（A ） Ａ．100

Ｂ．101

Ｃ．200

Ｄ．201

解：依题意，a1＋a200＝1，故选A

x2y211．?1的右支上一点，N分别是圆(x?5)2?y2?4P为双曲线?M，

916和(x?5)2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值为（ D ） Ａ．6

Ｂ．7

Ｃ．8

Ｄ．9

解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时

|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B 12．某地一天内的气温Q(t)（单位：℃）与时刻

t（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令C(t)Q(t) 4 4 28 112t 表示时间段[0，t]内的温差（即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差）．C(t)与t之间的函数关

图系用下列图C象象(t)表示，则正确的图C(t)大致是（D ）

1

14 1C(t)

C(t)4 8 1122Ａ 8 11224 Ｃ 14 O 4 t

O 4 4 8 112Ｂ 2t O t O 4 8 1122tＤ

解：结合图象及函数的意义可得。

第II卷

二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

????sin?)，b?(1，cos?)，则a?b的最大值为2 13．已知向量a?(1，???解：a?b＝|sin?－cos?|＝2|sin（?－）|?2|

4[f?1(n)?6]?27，14．设f(x)?log3(x?6)的反函数为f?1(x)，若[f?1(m)?6]?则f(m?n)? 2 ．

A

C 解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕?〔f－1（x）＋6〕＝3m?3n＝3m ＋n＝27 ?m＋n＝3?f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2

15．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 ．．

10 ．

B C1A1

B1

解：将正三棱柱ABC?A1B1C1沿侧棱CC1展开， 其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。

x2y216．已知F1，F2为双曲线2?2?1(a?0，b?0且a?b)的两个焦点，P为ab双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题

（ ）

Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?a上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?b上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点?a，0?． 其中真命题的代号是 号）．

解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）（A）、（D）

（写出所有真命题的代

－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于

x轴，故A、D正确。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值． （1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

（2）若对x?[?1，2]，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围． 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b 由f?（－）＝

122323124－a＋b＝0，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得 93a＝－，b＝－2

f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x （－?，－） － 0 2323（－，1） 1 － 0 23（1，＋?） ＋ f?（x） ＋ f（x） ? 极大值 ? 23极小值 ? 所以函数f（x）的递增区间是（－?，－）与（1，＋?） 递减区间是（－，1）

23（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝

22＋c 271223为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c 解得c?－1或c?2 18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

992729 ?（）＝10101000192112918118131（2）法一：P2＝? （）＋?（）＋?2＋?2＝1010101010101010500119119131法二：P2＝＋2??－?2??＝

101010101010500解：（1）P1＝

法三：P2＝1－

91199131 ?（?＋?）＝101010101050019．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA?（1）求tan2B?CA?sin2的值； 2222， 3（2）若a?2，S△ABC?2，求b的值．

解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?，sinA?＝，则

B＋CB＋CA2＋sin2Atan2＋sin2＝22cos2B＋C2

21－cos（B＋C）11＋cosA17＝＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33sin21322，所以cosA3（2）因为S?ABC＝2，又S?ABC＝bcsinA＝bc?133b121222，则bc＝3。将a＝2，3cosA＝，c＝代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中得b4－6b2＋9＝0解得b＝3

20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA?1，

OB?OC?2，E是OC的中点．

Ａ

（1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E?AB?C的大小． 解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

因为OB＝OC，则OD?BC、AD?BC，?BC?面OAD.

Ｂ

Ｏ

Ｅ Ｃ

过O点作OH?AD于H，则OH?面ABC，OH的长就 是所求的距离. 又BC＝22，OD＝OC2－CD2

＝2，又OA?OB，OA?OC ?OA?面OBC，则OA?OD AD＝OA＋OD＝3，在直角三角形OAD中，

22A有OH＝

OA?OD26＝＝ AD33MFOEHGC（另解：由等体积变换法也可求得答案） （2）取OA的中点M，连EM、BM，则 EM//AC,?BEM是异面直线BE与AC 所成的角，易求得EM＝BM＝

5，BE＝5， 2BD172.由余弦定理可求得cos?BEM＝， 25??BEM＝arccos

（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC?面OAB，得OC?AB，又OH?面ABC，所以CF?AB，EF?AB，则?EFC就是所求的二面角的平面角. 作EG?CF于G，则EG＝OH＝

OA?OB2＝ AB525126，在Rt△OAB中，OF＝6在Rt△OEF中，EF＝OE2＋OF2＝1＋＝453 563030EG30＝6＝?sin?EFG＝??EFG＝arcsin.（或表示为31818EF185arccos

76） 18注：此题也可用空间向量的方法求解。

21．（本小题满分12分）

x2y2如图，椭圆Q：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c，过点F的一动直线0)，

ab，B两点，P为线段AB的中点．m绕点F转动，并且交椭圆于Ay （1）求点P的轨迹H的方程；

F B O P A D x

（2）若在Q的方程中，令a2?1?cos??sin?，

???b?sin??0??≤?．

???2l 设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当?为何值时，△MNF为一个正三角形？

x2y2解：如图，（1）设椭圆Q：2＋2＝1（a?b?0）

ab上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则

222222??bx1＋ay1＝ab????（1） ?222222??bx2＋ay2＝ab????（2）1?当AB不垂直x轴时，x1?x2， 由（1）－（2）得

b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

y1－y2b2xy?＝－2＝ x1－x2ayx－c

?b2x2＋a2y2－b2cx＝0????（3）

2?当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3） 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0

c2（x－）y2c22（2）因为轨迹H的方程可化为：＋＝（） a2b22acbccbc?M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三

22a22a角形时，则

bc?btan＝2a＝，即a2＝3b2. 由于a2?1?cos??sin?，

ca62??4?b2?sin??0??≤?，则1＋cos?＋sin?＝3 sin?，得?＝arctan

??3?

22．（本小题满分14分）

a1?3，已知各项均为正数的数列?an?，满足：且

2an?1?an?anan?1， n?N*．

2an?an?1（1）求数列?an?的通项公式；

22???an（2）设Sn?a12?a2，Tn?111????a，求Sn?Tn，并确定最22a12a2an小正整数n，使Sn?Tn为整数． 解：（1）条件可化为an＋1－1an＋1＝（2an－11），因此｛an－｝为一个等比anan1a181，所以an－＝3an数列，其公比为2，首项为a1－＝8n－12n＋2?2＝（n?N?）????1? 33因an?0，由1?式解出an＝（2n＋1＋22n＋2＋9）????2?

13222（2）由1?式有Sn＋Tn＝（a1－）＋（a2－）＋?＋（an－）＋2n

1a11a21an2322422522n＋22＝（）＋（）＋（）＋?＋（）＋2n

3333＝（4n－1）＋2n（n?N?）

4n－164n?为使Sn＋Tn＝（4－1）＋2n（n?N）为整数，当且仅当为整数.

27276427当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，

1233nn?3＋Cn?32＋3（Cn＋?＋3n－3Cn）当n?3时，4n－1＝ （1＋3）－1 ＝Cn123Cn＋32Cnn3n－1?只需＝?为整数，因为3n－1与3互质，所以

2792为9的整数倍.当n＝9时，?

n3n－1＝13为整数，故n的最小值为9.

92

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