高二数学（人教版）选修4-5教案：第08课时 不等式的证明方法之 - 比较法

就像是特别的云彩课 题： 第08课时 不等式的证明方法之一：比较法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0

二、典型例题：

例1、设a?b，求证：a2?3b2?2b(a?b)。

2422例2、若实数x?1，求证：3(1?x?x)?(1?x?x).

证明：采用差值比较法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2

=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x =2(x?x?x?1) =2(x?1)(x?x?1) =2(x?1)[(x?22424234322123)?]. 2413?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,

241232∴ 2(x?1)[(x?)?]?0,

24∴ 3(1?x?x)?(1?x?x).

讨论：若题设中去掉x?1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

?例3、已知a,b?R,求证ab?ab.

abba2422本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.

就像是特别的云彩?a?b?0?ab?ab?ab(aabbabba?b?ba?b)?0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设a?b?0,

aaabba??1,a?b?0, ?ba?()a?b?1.故原不等式得证。 bbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，

另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m?n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有

t1t2SSSS(m?n)??t2，可得t1?m?1n?S，，t2?，

m?n2m2n2mn222SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2?从而t1?t2?， ???m?n2mn2(m?n)mn2(m?n)mn其中S,m,n都是正数，且m?n。于是t1?t2?0，即t1?t2。 从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果m?n，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设f(x)?2x?1,pq?0,p?q?1.求证；对任意实数a,b，恒有 pf(a)?qf(b)?f(pa?qb). （1） 证明 考虑（1）式两边的差。 pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).

＝p(2a?1)?q(2b?1)?[2(pa?qb)?1]

＝2p(1?p)a?2q(1?q)b?4pqab?p?q?1. （2）

222222

?p?q?1,pq?0,

?(2)?2pqa2?2pqb2?4pqab

就像是特别的云彩?2pq(a?b)2?0.

即（1）成立。

三、小结：

四、练习：

五、作业：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与x?x?1；（2）x?x?1与(x?1)2.

22．已知a?1. 求证：（1）a?2a?1; （2）

a?b?c32222a?1.

1?a23．若a?b?c?0，求证abc?(abc)abc.

4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)

= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)

2???b2b2?2

= - (a-b)????3a???3??0 (当且仅当d＝b时取等号)

3?????? ∴a4-b4?4a3(a-b)。

5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．

?x?1?与?x?1?的大小．

8．已知a≠0，比较?a?2a?1??a?2a?1?与?a7．如果x>0，比较

22222?a?1??a2?a?1?的大小．

9．设x?1，比较x3与x2-x+1的大小． 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

阅读材料：琴生不等式

例5中的不等式pf(a)?qf(b)?f(pa?qb)有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：

设函数f(x)的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数x1,x2，都有

就像是特别的云彩当且仅当x1?x2???xn时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。

更为一般的情况是：设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点

x1,x2，有pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),

其中p,q?R?,p?q?1，则称f(x)是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有

pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),则称f(x)是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设q1,q2,?,qn?R?,q1?q2???qn?1，f(x)是[a,b]上的凸函数，则

对

任

意

x1,x2,?,xn?[a,b],有

f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn)，

当且仅当x1?x2???xn时等号成立。

若f(x)是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

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