2011年数模培训讲座

第一讲 数学模型和数学建模

一、 数学模型

数学模型就是使用数字、字母以及其它符号来体现和描述现实原型的各种因素形式以及数量关系的一种数学结构。它通常表现为定律、定理、公式、算法、以及图表等。

马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。可以认为，数学在各门科学中被应用的水平标志着这门科学发展的水平。随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学、技术到工农业生产建设，从经济到社会的各个领域。一般的说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而如何将已有的数学成果应用于实际问题，就需要建立数学模型来解决。 二、数学建模

简单来说，就是用数学的语言和方法通过抽象、简化去近似地刻划实际问题，进而通过计算机分析得出结果，再回到实际中接受检验，逐步完善，最终解决实际问题，以求得更高的经济、社会效益。 三、建立数学模型的一般步骤和原则

建立数学模型是一种十分复杂的创造性劳动，因此不可能用一些条条框框规定出每种模型如何建立，这里所说的步骤只是一种大体上的规划，具体问题具体分析，灵活应用，边干边创造。 1、模型准备

当我们得到或接受一个现实原型，或者说一个实际问题要建立数学模型时，首先要对原型进行仔细的分析，明确建模的目的，特别是对生产实际问题，要到原型所处的环境中进行深入的调查研究，了解用户对问题的各种要求，搜集已有的各种资料和数据，为建立数学模型提供可靠的依据。 2、模型假设

根据原型的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化、并用精确的语言做出假设。一般的说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也难求解。不同的简化假设会得到不同的数学模型。假设做得太少，试图把复杂的原型的各方面因素都考虑得很周全，则或者模型无法建立，或者建立的模型在数学上取法求解；假设做得太多，把本应当考虑的因素都忽略掉，模型固然好建立并容易求解，但这时模型可能反映不了原型，也是失败。总之，模型假设要根据问题的要求，本着抓主要矛盾的方针合理的做出。 3、模型构成

根据所作的假设分析原型各环节之间的因果关系，利用其内在规律和适当的数学工具，建立各个量（常量与变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。这里除需要一些相关学科的专门知识外，数学方面必要的知识是必需的。如果遇到所用工具不够，就要进行大胆的创造，这是建立数学模型最重要的一步。 4、模型求解

采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传

统的和近代的数学方法得到模型的结果，就是模型求解。这里需要特别提出的是，随着数学模型这门学科的不断发展，计算机技术成为了重要的甚至是必不可少的工具。 5、模型分析

对模型的结果进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有事实根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。不论哪种情况还常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。 6、模型检验

把数学上分析的结果翻译回到实际问题中去，并和实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性，模型检验的结果如果不符合或部分不符合实际，问题通常处在模型假设上，应该修改、补充假设、重新建模。有时模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。 四、建立数学模型的逻辑思维方法

建立数学模型是一种创造性的思维活动,没有统一模式和固定的方法.建立数学模型需要较强的抽象概括能力,数学语言的翻译能力,善于抓住本质的洞察能力，联想及综合分析能力，掌握和使用当代科技成果的能力等。从逻辑思维的角度看，抽象、归纳、演绎、类比、模拟等方法被大量的采用，这些方法在数学建模的过程中起到重要的作用。

抽象就是忽略每个具体事物的特殊性，寻找事物发展变化的共性

和一般规律。

归纳就是在观察、经验或实验的基础上，依据若干已知的不完全的现象推断尚属未知的现象，即从特殊的、具体的认识推进到一般认识的一种思维方式。

演绎是由一般性的命题推出具体命题的推理方法，演绎法可以把特殊情况明晰化，把蕴涵的性质揭示出来，有助于科学的理论化和体系化。

类比是在两类不同的事物间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似处的一种思维方式，。类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测被正在研究中的其他事物的属性，类比的结果只是猜测性的，不一定可靠，但它有发现的功能，是创造性思维的重要方法。

模拟是人们仿照事物发展变化的机理和过程去描述和研究其变化情况的一种方法，一般是用一个简化、迅速、经济、安全的系统对原系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测一个系统的行为效果，这是解决复杂实际问题的一条有效途径。

值得指出的是，数学建模是一种创造性的劳动，除了以上提出的各方面的能力之外，直觉和灵感有时在建模过程中会产生意想不到的效果。历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律。所以在建模过程中，相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，借以激发直觉和灵感是非常必要的，有时起着决定性的作用。

第二讲 初等模型建模的一些例子

例1四个工厂A、B、C、D，且AB=a（公里）、BC=a(公里)、CD=a(公里)、?ABC?45?、?BCD?120?，现在要找一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由，1223并求出最小值。

解、根据题意，作图有两种情况：

（1） 凸多边形 2）凹多边形

（

C D H D C(H) G A B A G B

练习题1

有一截面为直角梯形的棱柱形液体容器，其尺寸如下图所示，内有体积为a2L的液体，现为减少液体蒸发，需将底面绕柱体的一条棱旋转一个角度?(0????/6)使液面面积最小，试求出θ（要求写出解题过程）

例2掷骰子游戏

你必须为学校的游园会组织一个碰运气的游戏，参赛者付10便士参加费，可摇动3个骰子。记录下点数，对高点数有现金奖赏。问题是要决定这些奖金是否足以刺激人们参与此游戏，而对学校来说，游戏收入起码要与付出的奖金相抵，学校不要赚很多钱。

游戏设计：只付10便士便可掷3次骰子！ 总点数18 赢1磅 总点数16，17 赢50便士 总点数13，14，15 赢20便士

这里用的模型是直截了当的，你可以联想到每摇动一下骰子得到任一点数为1，2，3，??，6的概率都是1/6，

对一个参赛者来说，数学问题是确定预期赢或输。为找到预期的赢，你必须首先求出得到总点数18，17，??，13的概率，因为只

34有这些点数才能赢的奖赏。 得到各点数的概率 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 1 1/216 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 用这些概率，现在能确定对一个参赛者能期望的赢或输了。 赢一镑的概率为1/216 赢50便士的概率为9/216 赢20便士的概率为46/216

这样参赛者有一个期望的奖赏（按便士记）为

100?19461470690?50??20??10??10????3便士 216216216216216因为平均而言每个参赛者将输3便士，如果游园会上有100个人参加了这种游戏，学校期望得到收益大约是：

100×3便士=3镑 没有多少盈利! 练习题2

轮盘赌

轮盘边缘分成57等份，分别标上1，2，5，10，20，J，K七种数字或字母，轮盘转动后，慢慢停下，最后被挡钉卡住的一格就是结果。盘面上数字或字母个数如下：（在盘面无规则分布） 1 27 2 15 5 7 10 4 20 3 J 1 K 1 游戏规则：押在1上的赌客，如果结果为1，那么他1：1获赔，

如果结果不是1，他就输了赌资。押在2上的赌客，如果结果是2，那么他2：1获赔，如果结果不是2，他就输了赌资，??，以此类推。J，K分别作45处理。请问： 1． 押2好呢还是押1好呢？

2． 同时押1个1，1个2，比押2好吗？

3． 是否存在一种组合，使你在期望的意义下获利？

讨论：澳大利亚墨尔本赌场的轮盘赌的数字（字母）有些不同，个数如下： 1 24 3 12 5 8 11 4 23 2 J 1 K 1 试回答上面的问题1~3的类似问题，你觉得现在这个方案有什么特点？ 练习题3

长方体形状物品的包装问题

市场上一包火柴内装10盒火柴，一条香烟内装10包香烟??，它们打包作外包装的形式一样吗？那一种包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包法”，这就是指打包时要求包内相邻两物必须以全等的两个侧面来对接，打包后的结果仍是一个长方体。我们可以更数学化的提问：火柴、香烟或其他长方体的物体，按“规则打包”的形式将10包打成一个打包，怎样打包可使表面积最小？

可以用香烟盒的外形尺寸a=88mm，b=58mm，c=22mm来验证你的结

论，但需得到一般的结论，另外也可以考虑将6包或8包打包成一个大包的情况。 例4雨中行走问题

人在雨中沿直线从一处向另一处行进。当雨的速度已知时，问人行走的速度多大才能使淋雨量最少？

假设将人视为长方柱体，其前、侧、顶的面积之比为1：b：c，进去如下的直角坐标系，是人的速度为（u,0,0）,又设雨的速度为（vx,vy,vz）。再记行走距离为l，则行走的时间为

l 。 u 在上述假定下，由高等数学曲面积分中的通量概念，显然单位时间内的淋雨量正比于

u?vx?l?0?vy?b?0?vz?c 从而总淋雨量正比于

l(u?vx?a)u其中a?vy?b?vz?c?0,于是问题归结为：在l,vx,a已知的条件下，求R（u)的最小值。R(u)? 由于这个模型的特殊性，容易用图解法求解。

当vx〉0时，?l （1）?u[(vx?u)?a],u?vx

R（u）??l?[(u?vx)?a]，u?vx?u?l(vx?a)??lu?vx ?? u??l(a?vx)/u?lu?vx当vx>a时，易知R(u)的图形如图所示。 由图可知，u=vx时R（u）取最小值为

位所代表的人数，这两个值越大，对第i方越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能反应对第i方的不公平程度，增加的一席应分给Q值最大的一方。

练习题5

学校共1000名学生，235住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。

（1）

按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2） （3）

例5中的Q值法。

D. Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用1，2，3，??正整数相除，其商如下表

A B C 1 2 3 4 5 ?? 235 117.5 78.3 58.75 ?? 333 166.5 111 83.25 ?? 432 216 144 180 86.4 ?? 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5，这就是3个宿舍分配的席位，你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10人增至15人，分配名额如何改变。 例7磁带问题

当录音机的磁带转动时，两个绕带盘的

半径是变化的，一个半径增大，一个半径减 小，我们还知道磁带是匀速地通过磁头的， 即两绕带盘边缘的线速度是常数。试问：

磁带绕盘的半径与时间的关系。 设磁条厚度为a，转轮轴半径为R0，所 有磁条绕在一个轮上时的半径为R1,磁条通 1

过磁头时的线速度为v，放完磁带一面所需 的时间为T，开始时（t=0）磁条都绕在转轮

模型假设

1上，经过时间T，磁条都绕在转轮2上。

设t时刻转轮2的半径为R(t)（轴半径加上所绕磁条的总厚度），则有关系式：

R(t??t)?R(t)?v?t2?R(t)?a 令?t?0得

dR(t)vadt?2??1R(t) 解之得

12R2(t)?va2?t?C 注意到

R(0)=R0 于是

2

R2(t)?（*）

va?t?R02

此即转轮2的半径与时间的关系。

模型检验

由于磁条每圈长度是由2?R0均匀的增加至2?R1，所以每圈的平均长度为(2?R0?2?R1)??(R0?R1)，故放完磁带一面时的总圈数为

vaTvTvT，于是磁条总厚度为R1?R0?。?a，即R12?R02???(R0?R1)?(R0?R1)12这和利用（*）式得到的结果是一样的。

用类似的方法可得到转轮1的半径和时间的关系为 R2(t)?? 例8追线问题

我缉私舰雷达发现距c公里处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。 选取走私船逃跑方向为y轴方向，缉私舰在（c，0）位置发现走私船在（0，0）处，显然缉私舰、走私船的大小比他们运动的范围小得多，可视为两个质点。设从缉私舰发现走私船时算起的时间为t，走私船到达R=(0,at)点，缉私舰到D=(x,y)，因直线DR与路线相切，由几何关系得

dyy?at?tan??x dxdyx?y??at或 dx

va?t?R12

上式两端对x求导，有

d2ydtx2??adx dxds?bdt代入得到

dtdtds1dy????1?()2bdx dxdsdx其中的负号是因为s随x的减小而增大，于是

?d2ydy?x2?k1?()2?dxdx? ?y(c)?0,y?(0)?0

adyd2ydpk??p?2bdxdx，则上式可化为 dx其中上式不显含y，令及

dp

1?p2?kdxx

两端积分并利用初始条件：x=c时p=0,得到

xln(p?1?p2)?ln()kc

从而

要继续求y是x的怎样一个函数，必须进一步确定k。 （1） 若a

c1x1?k1x1?kck(()?())?21?kc1?kc1?k2

ckabcy??2b2?a2,即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离当x=0时，1?ky?p?dy1xkc?(()?()k),y(c)?0dx2cx

为

abcybct??ab2?a2 b2?a2，所用的时间是

（2） 若a=b,即k=1,则

1x2?c2xy?(?cln)22cc

显然x不能取零值，缉私舰不可能追上走私船。 （3） 若x>b，即k>1,显然缉私舰不可能追上走私船。 练习题6

设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言传播的数学模型。

（解答）设在t时刻听说此谣言的人数为N(t)，比例系数设为k，则有下列等式

1111N(t??t)?N(t)?k(???)N(t)(n?1?N(t))?t

2423两边同除以

?t，在令?t?0得

N?(t)?7kN(t)(n?1?N(t)) 24考虑到N(0)?1，可得到

7k(n?1)t24N(t)?(n?1)en?e7k(n?1)t24

当t?0时，N(t)?n?1，即所有人都将听说这一谣言。

练习题7

某河有一小船已被水冲走，现要将其拉回岸边。已知水流速度为

因此，要决策的是每周将多少磅的每一种材料加入到每一等级的产品中去。

因为资源有限，收益受到规定，以及确定的需求，该问题就有了相当多的约束，归纳如下：

有限的资源：四种固体废弃物所能获得的数量如表2的第2栏所示，此外，表1的第2栏还表明材料1与材料3的用量有限，这些有限的资源都将形成资源的约束条件。

规定的受益：收益是指所收集和处理的每一种材料，表2的右边显示最低可接受的收益水平是可获得的材料的一半，而表1规定材料2的最低可接受的施用量，这些都是收益约束。

确定需求的约束：1.表1第2栏所示的材料4的固定用量。2.表2右边所示的处理固体废弃物的固定开销。

管理层的目标是使得三种等级的产品所能实现的每周总利润最大，因此，这就是该问题的总绩效测度。这一测度可通过在销售总收入中减去混合处理的总成本计算出。$30,000的捐款全部用于处理固体废弃物，这一部份在计算利润时不能包含在成本里，因此，混合成本将是唯一的成本。这样，对于每一等级的产品，每磅的利润是将表1第四栏的销售价减去第3栏的混合成本计算出的。

建模：若用Xxy表示每周分配给x等级产品的材料y的数量，则有如下数学模型：

目标函数：最大化利润

?5.5(XA1?XA2?XA3?XA4)?4.5(XB1?XB2?XB3?XB4)?3.5(XC1?XC2?XC3?XC4) 约束条件： 1．

混合的比例规定（表1的第2栏）

XA1?0.3(XA1?XA2?XA3?XA4)XA2?0.4(XA1?XA2?XA3?XA4)XA3?0.5(XA1?XA2?XA3?XA4)XA4?0.2(XA1?XA2?XA3?XA4)XB1?0.5(XB1?XB2?XB3?XB4)XB2?0.1(XB1?XB2?XB3?XB4)XB4?0.1(XB1?XB2?XB3?XB4)XC1?0.7(XC1?XC2?XC3?XC4)

2． 可获得的材料（表2第2栏）：

XA1?XB1?XC1?3,000XA2?XB2?XC2?2,000XA3?XB3?XC3?4,000XA4?XB4?XC4?1,000

3． 要处理的材料的约束（表2的右边）：

XA1?XB1?XC1?1,500XA2?XB2?XC2?1,000XA3?XB3?XC3?2,000XA4?XB4?XC4?500

4． 处理成本的约束（表2的右边）：

3(XA1?XB1?XC1)?6(XA2?XB2?XC2)?4(XA3?XB3?XC3)?5(XA4?XB4?XC4)?30,005。非负约束：

XA1?0,XA2?0,??,XC4?0

例3 普拉夫家族拥有并经营着一家世代相传的640亩的农场，他们必须在农场上辛苦的工作才能维持生活和渡过难关。这个家族的

相当一部分历史是记载着先辈们如何与洪水、旱灾和其他灾害作斗争的。但是，这个家族的成员很满意这种自力更生的生活方式，当时许多的家庭都放弃了农场或者被大的农业公司收购，但是普拉夫的成员为能够继续保持传统的生活而感到自豪。

约翰.普拉夫是目前农场的经理，他的妻子尤尼斯管理着家务和财政，约翰的父亲还住在农场上，并且将大部分的时间都投入农场的劳动中去。约翰和尤妮斯的较年长的儿子弗兰克、菲利斯和卡尔放学之后都要干很重的农活。

整个家族在冬、春两季可提供4000个人工（每人每小时），而夏、秋两季可提供4500个人工。如果不需要这么多的劳动力，弗兰克、菲利斯和卡尔会到邻近的农场打工，冬、春季节每小时$5，夏、秋季节每小时$5.5。

该农场饲养了两种牲畜，奶牛和蛋鸡，同时种植三种农作物：大豆、玉米和小麦。（这三种农作物都可以售出换回现金，但玉米可用于喂牛，而小麦可用于喂鸡。）农作物在夏末和秋天收割，在冬天，约翰、尤妮斯和爷爷决定下一年要生产的牲畜和农作物。

现在，这个家族正经历了一次大丰收，拥有了$20000可用于购买更多的牲畜。他们现在总共有价值$35000的30头牛和价值$5000的2000只鸡，他们希望能够保存这些牲畜并再购买一些。如果要购买的话，每头牛的价格是$1500，而每只鸡的价格是$3。

一年之后，每头牛会增至10％，而鸡由于老化会贬值25％。每头牛需要有两亩地的草，以及每月10个人工，每年可净收入现金

$850。而鸡呢,相对应的数字就微不足道了，一只鸡每月0.05个人工，每年净收入$4.25。由于鸡舍和牛圈的限制，最多可饲养5000只鸡和42头牛。

下表给出了种植三种农作物的每亩地的相关数据，包括在上半年和下半年需要的人工以及净收入的大致的估计。 大豆 玉米 0.9 1.2 $60 小麦 0.6 0.7 $40 为了给牲畜提供足够的饲料，约翰决定在下一年，为每头牛种植至少一亩的玉米，而为每只鸡种植至少0.05亩的小麦。

约翰、尤尼斯和爷爷现在正在讨论每年应该种植多少的农作物以及饲养多少头牛和多少只鸡。他们讨论的目的是为了明年年底能够拥有最多现金及资产。

例4 NBS公司的炼焦煤供应问题

NBS公司是一家小型的企业，炼焦煤是NBS公司炼钢时所必需的一种原材料，每年的需求量是100至150万吨。现在到了该公司计划明年生产的时候了，他们收到了来自八家供应商的报价。

Ashley Bedford Consol 50.00 61.00 Dunby 冬春季节，人工数 1.0 夏秋季节，人工数 1.4 净值 $70 Earlam Florence Gaston Hopt 80.00 Price($/t49.50 on) 63.50 66.50 71.00 72.50 Union/Non-union Union Union Non-union Union Non-union Union Non-union Non-union Truck/RRail ail Volatility(%) Capacity(mtons/year) 300 15 Truck Rail Truck Truck Truck Rail Rail 16 18 20 21 22 23 25 600 510 655 575 680 450 490 根据对未来的形势估计和生产现状的考察，NBS计划明年要订购1225千吨的炼焦煤，这些炼焦煤的平均可燃率至少要达到19%，为了不影响劳工关系，NBS决定至少50%的炼焦煤要来自于工会煤矿。另外，每年由火车运输的炼焦煤至多不超过550千吨，而由卡车运输的炼焦煤至多不超过720千吨。现在要解决以下问题： 1．为了使炼焦煤的成本最小，应该从各个供应商处定购多少吨炼

焦煤？

2．NBS的总供应成本是多少？

历历例 奥

例5德怀特公司的目标规划问题

德怀特公司的管理科学部在接下来的一个月中将要开展一项研究,研究的重点是确定三种新产品的组合,以最好的实现管理层的三个

u，拉绳子的速度为v，求小船在河中行驶的轨迹。

（解答）如图建立直角坐标系和极坐标系，其中 拉船的人群位于坐标系的原点（0,0），船被 冲走的瞬间位置在y轴上一点（0，h），

A （至于在其他位置并不影响建模和求解的

难度）

由于水流速度为u（方向向右），人拉绳 子的速度为v，方向总是指向原点，所以不难 建立如下的微分方程模型：

??u?vco?s?x ? （1）

?y??vsin??并有初始条件

r(0)?h,?(0)?利用直角坐标和极坐标之间的关系

?2或x(0)?0,y(0)?h （2）

?x?rcos? （3） ?y?rsin??（1）式变为

?sin??u?vcos??r?cos??r? （4） ???sin??r?cos???vsin??r从（4）中解出

???v??r?ucos?????usin? （5） ?r?（r?0）

由（5）得

drcos?v??r?r （6） d?sin?usin?（6）是一个可分离变量的微分方程，解之得

lnr??lnsin??再由（2）得??vln(csc??cot?)?C （C为任意常数） u?2时，r?h，可确定C?lnh，所以模型的解为

rsin??h(csc??cot?) （7）

评注：若在某一时刻T，船被拉到岸边（即原点），此时，r?0,??0，（7）式左端为0 ，（7）式右端因为

lim(csc??cot?)?lim??0vu1?cos??0

??0sin?而趋于0。另外，若u?0，则是在静水中，此时原方程退化为

??0?x ????v?y此时船被直线拉回。

练习题8

取n值容量相等的杯子，充满水，并且一只放在另一只下面排列。向第一只（即最高位置）杯子以常速度倒入与杯子容量相等的葡萄酒，溢出液体刚好流到第二只杯子，第二只杯子溢出液体流到第三只杯子??。假设水和葡萄酒的混和是瞬时发生。求在任意时刻t及过程结束时每只杯子所含葡萄酒量。

（解答）假设单位时间倒入的葡萄酒数量为m，则倒完一杯所用时间就是1/m，设

u1(t),u2(t),?,un(t)分别为n只水杯中t时刻所含的葡萄酒数量，则有

mm2m2u1(t??t)?u1(t)?m?t??t??t，注意到u1(0)?0所以u1(t)?t。

1?m1?m1?mm2?m:x， 另设在单位时间内有x数量的葡萄酒倒入第二只杯子，则按比例应有1:1?mm3m3m31?m?解之得x?，而从第二只杯子中流出去的葡萄酒数量是，于是 1?m1?m(1?m)2m3m3m4u2(t??t)?u2(t)??t??t??t，由于u2(0)?0，所以221?m(1?m)(1?m)m4m2nu2(t)?t。同理un(t)?t。 2n(1?m)(1?m)（15分）

过程结束时，每个水杯中的葡萄酒数量则分别为

1m1m31m2n?1 u1()?,u2()?,un()?m1?mmm(1?m)2(1?m)n

例9现有一风险投资机会，成功和失败的概率都是0.5。你每投资1美元，若成功，可以得到1.6美元的利润（注：原投资本金仍归还给你）；若失败，则损失1美元（注：仅失去投资额）。投资次数和投资额不限。你为了不把钱输光，采取了如下策略：总是拿你所持有的钱的一半去投资（注：若钱是可以无限可分的，你可以一直投资下去，不会破产）。你开始的资金是一百万美元。

在如此吸引人的投资环境中按照上述的投资策略其结果如何呢?具体说，平均说来你是赢还是输？如果你投资了10000次，你最后有多少钱？你有多大的可能在最后拥有的钱少于开始的一百万美元？

附：原文

《The Art of Decision-Mak-ing》

You know of a venture that succeeds half the time. For each invested $1, you make $ 1.60 when the venture succeeds; you lose $1.00 when the venture fails. You may invest as often as you like; you may risk as you please. To avoid that you lose all your money ,you adopt the following rule: Always invest exactly half the money in your possession. Suppose your starting capital were $1 000 000 .

What is the effect of combining such an attractive investment with this capital-preserving strategy? In particular, do you gain or lose money on average? If you invested in 10 000 ventures like this how much money would you have on average? How likely is it that you will have less than

the $1 000 000 with which you started when your 10 000th investment is completed?

直观上来看，这应是一个好的投资机会，投资者会发大财。依据如下：

设投资者初始资本为a元，经一次投资后的资本有两种可能： （1） 若成功，资本为a1=a+1.6(a/2)=1.8a （2） 若失败，资本变为a1=0.5a

一次投资后的资本期望值为E1=0.5(1.8a+0.5a)=1.15a

可以证明，第二次投资后的期望值为E2=1.152a,第三次投资后的期望资本值为E3=1.153a,??，以此类推，投资10000次后的资本期望值为E10000=1.1510000a元。这可是个天文数字，只要看1.15100=1174313>1000000,即投资100次后期望资本就大于10000亿元。若投资10000次，期望资本值将大于10606元。即使太阳系的每个分子都变成100元的人民币，恐怕也不能凑够这么多钱。

然而，细细分析，你会发现：由于投资的胜率为0.5，在10000次投资中赢和输的次数很可能都接近5000。由于在赢时，资本会由a变为1.8a；在输时，资本会从a变为0.5a。根据乘法的交换律和结合律，在胜负次数确定的情况下，投资胜负的顺序如何是没有关系的。

若假设总投资次数为N，胜负次数各半，投资N此后的资本额变为a(1.8)N/2(0.5)N/2=a(0.9)N/2.为了说明这一数值的大小，我们假设投资次数N=360,a=1000000,则可以得出：

a360=a(1.8)180(0.5)180=a(0.9)180=0.0058(元)

只剩下不到1分钱。

下面我们来进行分析

设N次中有n次赢，N-n次输，开始有a元，最后有aN=a(1.8)n(0.5)N-n

我们先考虑要使投资者不输，需要赢得次数： 要使aN=a(1.8)n(0.5)N-n>=a, 只需（1.8）n(0.5)N-n>=1 (1.8)n>=2N-n nlog1.8>=(N-n)log2 n>=Nlog2/(log3.6) 即n>=0.5411N

若n=10000，需要n>=5411才能保本或获利。然而，其概率微乎其微。在试验次数充分大时，我们可以用正态分布作为伯努力试验概率分布的近似估计。由于p=q=0.5,可知??Npq?50，成功次数大于5411的概率为：

P(n?5411)?P(x?8?x~N(0,?2))?10?15

为了理解次概率有多小，我们可以设想全世界有100亿人，每人有10万根头发，合计有1015。如果在某一个人的头上选一根头发，刻上记号，然后把所有人的头发剃下来，放在太平洋里均匀搅拌，再让一个人随机的抓一根头发，抓到的头发正好是预先做记号的那一根的概率就是你投资能保本或盈利的概率。换句话说，抓不到那根头发的概率就是你会赔本的概率。

上述两种讨论方法在概率论中都没有错，那么，如何解释这一看似矛盾的结论呢？

前者的观点是：投资者在10000次投资后的资本期望值几乎是无穷大。这一结论是对的。也可以说，平均说来，投资者会赢。可以用英文表述为：“You will gain money on average”,“If you invested in 10,000 ventures, the money that you will have on average will be infinite”.

后者的观点也是对的。他们说的不是期望值，而是多次投资后所持有的实际资本，两者所说的对象不同。其结论是：如果投资10000次，投资者赢得概率微乎其微。或者换句话说，几乎必定要输。但没有说资本期望值微乎其微。

既然都有道理，为什么结论看似矛盾呢？因为大家时常混淆期望和概率这两个概念。经常强调期望收益，而不注意期望值实现的可能性有多大。

何必投资10000次

投资机会确实是很好，问题处在投资策略上。

你何必投资10000次呢。投资次数有时少些倒好。虽然，投资次数越多，期望收益越大，但成功的概率却会降低。继续以上的讨论，看减少投资次数的结果如何。

若N=1000,P(n?541)?P(x?2.6?x~N(0,?2))?0.005 若N=100, P(n?54)?P(x?0.8?x~N(0,?2))?0.21 若N=10, P(n?5.4)?P(x?5)?0.38

这就是一个很可观的数值了。最极端的是投资一次，N=1,p=0.5。但按这种类型的投资策略，赢得概率至多为0.5。 投资比例的优化

投资者选择投资现有资金的一半投资，看似很聪明，因为这样一来不会全部输光。其实，为达到能多次投资的目的，也可以每次拿出三分之一或其他比例的资本去投资，不一定是一半。一般说来，可设现有资金为a，投资数所占当前资金的比例为k(0

E1=0.5a(1+1.6k)+0.5a(1-k)=a(1+0.3k)>a

仍设在N次投资中赢得n次，N次投资后所有的资金为： aN=a(1+1.6k)n(1-k)(N-n)

由于n的取值在N/2附近的概率比较大，我们可以考虑n=N/2时的最优投资比例k，即求[（1+1.6k）(1-k)]n的极大值，也即（1+1.6k）(1-k)=-1.6k2+0.6k+1的极大值。

这是一个二次函数的极值问题。可解出k=3/16约等于0.1875时，此函数的极大值为(1+1.6k)(1-k)=1.056>1

若初始资本为1000000元，投资10000次，赢5000次，最后的资金为aN=1000000[(1+1.6k)(1-k)]5000>10110

这同样是一个天文数字。至于获胜的概率，由于P(n>5000)=p(n<5000),至少赢10110元的概率大于0.5。

其实，使用此种投资策略输的概率很小。要解出盈亏平衡点，需

要令

(1+1.6k)n(1-k)(N-n)=1,n=-Nlog(1-k)/[log(1+1.6k)-log(1-k)],将k=3/16代入，得n=4418。投资者输的概率为

P(n?4418)?P(x?11?x~N(0,?2))?0

此概率比前面用头发比喻的概率还要小。

如果用一般的符号表示投资收益，比如，获胜是得到投资额的w倍（w相当于前面的1.6）按比例投资的最优比例k=(w-1)/2w=0.5-1/(2w)。仅当w>1是有意义。当w??时k??0.5。此案例中的投资者把k定为0.5，不是因为没有学好概率，就是没有动脑筋。

等量投资的策略

要投资10000次，不一定按比例进行投资，还有其他的投资策略。等量投资就是其中之一。若初始资本为1000000元，可等分为10000份，每份100元，分别进行投资。

一般说来，若投资环境如上所述并沿用上面的记号。将初始资本a等分为N份，每分为a/N。任意一份投资后，若成功，资金变为(1+w)a/N，若失败，资金为0。其期望值为0.5(1+w)a/N。N份投资的总和的期望值为E=0.5(1+w)a。当w=1.6,a=1000000时，E=0.5(1+w)a=1300000。若按期望值算收益率只是30%而已。

假设N次里有n次成功，投资后的资金为： aN=(1+w)(a/N)n

下面我们计算投资者亏损的概率：

P(aN

P(aN

若N=10000,P(aN?a)?P(x??23?x~N(0,?2))?0

值得一提的是，当N由大变小时，亏损的概率会变大，但期望值不变。 练习题9

古代有一个国家的国王喜欢打仗，为了国内有更多的男子可以征集来当兵，他下了一条命令：每个家庭最多只许有一个女孩，否则全家处死。这条命令实行几十年后，这个国家的家庭情况十分有趣，不少家庭只有1个女孩，有两个孩子的家庭是1男1女，有三个孩子的家庭是2男1女，有四个孩子的家庭是3男1女，??，不论前面有几个男孩，最后一个总是女孩。这是因为妇女生了一个女孩后，在也不敢生育了，怕万一下一胎还生女孩招来杀身之祸。从家庭里孩子的情况看，似乎男子并没因他的命令而多起来，他十分不解，又无可奈何，感叹这是天意，真的是“天意”吗？请你来分析一下这个问题。

(解答)此题只需计算一个家庭中男孩的个数期望值为1即可。计算过程为： 0?1111?1??2??3????1 24816

练习题10

学校举行围棋比赛，最后进入决赛的有实力相当的甲、乙、丙三人。组织者指定甲乙先比，胜者再和丙比，若再胜，比赛结束；否则，丙

又和前一局的负者比，这样一直比下去，直到有一人连胜两局结束比赛。试问，这种规则公平吗？若不公平，那么，是甲乙占便宜呢还是丙占便宜？

（解答）甲乙占便宜。令A,B,C表示三人最终获得冠军，Ai,Bi,Ci分别表示三人在第i局获胜，由于三人实力相当，故可以认为他们在每局中获胜的概率均为1/2。那么

A?A1A2?A1C2A3A4?A1C2B3A4A5?B1C2A3B4C5A6A7???

111111P(A)?()2?()4?()5?()7?()8?()10??222222 ?1i?13i115??()??()???2714i?12i?22利用对称性P(B)?54，而 P(C)?1?P(A)?P(B)?，所以甲乙占便宜。 1414

例11敏感问题调查模型

1、问题的提出

有时我们需要进行某项调查，调查的问题比较敏感，如需要了解一群人中有吸毒行为人数的比例，一个班级在某次考试中有作弊行为的人数比例，大学生谈恋爱人数的比例，一个特定的妇女群体中受性骚扰人数的比例。

如何利用数学的方法设计调查方案已获得比较准确的结果？下面介绍瓦纳（Warner）提出的一种方法及其数学模型，巧妙地解决了这一问题。

2、模型的构建和求解

为改善调查的效果，瓦纳设计了一种随机问答法，设法减轻被调查者的抵触情绪，根据概率论的理论估算出合理的结果。随机问答法

是这样进行的：设某个团体中具有某种敏感特征人的比例为α，称具有这种特征的人为团体A。直接向被调查者询问你是否属于团体A是会引起反感的。瓦纳设计的方法是提出两个问题

问题1：你属于团体A； 问题2：你不属于团体A。

调查者准备好一叠题号卡，其中百分比p的卡标有数字1，百分比1-p的卡标有数字2。调查时，调查人请被调查人从题号卡众任抽一张，并告诉被调查人不要把抽到的结果告诉调查人，若抽到标有1的卡就回答问题1，若抽到标有2的卡应回答问题2，请他们选择“是”或“非”。由于被调查人认为调查人并不知道他究竟回答那一个问题，所以做出真实回答的可能性比较大。

社调查了n个人，其中有m人回答“是”，我们要用概率论的方法估算总体中属于团体A的比例。

由概率的加法公式和乘法公式，我们计算回答“是”的概率： P{回答“是”}=P{抽到标有1的卡且回答“是”}+P{抽到标有2的卡且回答“是”}=P{抽到标有1的卡}P{回答“是”/抽到标有1的卡}+P{抽到标有2的卡}P{回答“是”/抽到标有2的卡}。

上述公式实际上是概率论中的全概率公式。

由于样本数位n，回答“是”的总数为m，回答“是”的概率可以用

m来估计。设属于团体A的概率为α，于是上式可写成 nm?p??(1?p)(1??) n从中解出

??1m1(p?1?).p? 2p?1n2其中?是总体中属于团体A的概率的估计值。

3、模型的应用

为调查大学生中某一年级学生参加外语考试作弊的比例，用随机回答法进行调查，设计的两个问题为

问题1：你在这次考试中有作弊行为； 问题2：你在这次考试中无作弊行为。

设计得题号卡共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2。请200名学生根据任意抽得的卡上的标号对问题1或问题2用“是”或“否”回答（抽出的卡再放回），结果有60名回答为“是”，求该年级学生外语考试作弊的比例。

有n=200,p=0.75,m=60,用公式

??1m(p?1?). 2p?1n计算，得

??160(0.75?1?)?0.1

2?0.75?1200因此，估计作弊的人数比例为10%。

这一方法无法推算某一个人是否具有某种特性，只能估计总体中具有这种特性的人数比例。瓦纳证明，随机问答法在很多情形下均优于直接询问法。

4、模型的改进

瓦纳的随机问答法中所设计的两个问题都是与敏感特性直接有关

的，很有可能引起人们的戒备。有人对此方法作了改进，将第二个问题改为与敏感特性不相关的问题，其余的做法与上述随机问答法相同。

第二个问题可以是：你是冬季出生的吗？你的学生证号码末位是奇数码？你出生在长江以南？等等。这些问题都可使抽象为：你属于团体B。这些问题涉及的关键是，回答“是”的概率要么是已知的，要么是以前已作出过估计的，设它为?B

这样改进方法中的两个问题成为 问题1：你属于团体A； 问题2：你属于团体B。

仍设样本容量为n，卡中标有1的比例为p，m人回答“是”。

类似于随机问答法，有

m?p??(1?p)?B n从而 ??1m((p?1)?B?).p?0 pn例如，某高级中学要调查学生谈恋爱的比例。设计了一叠题号卡，其中75张标有1，25张标有2。调查100个学生，提以下两个问题

问题1：你谈过恋爱吗？

问题2：你学生证末位号码是偶数吗？

让被调查学生任意抽取1张卡（随即放回并不让调查者看到所标的数字）,对卡上的标号所对应的问题用“是”或“否”加以回答，有18人回答“是”，要估计该校学生谈过恋爱的人数比例。

显然n=100,p=0.75,m=18。学生证号码奇、偶各占一半，因此

?B=0.5。所以

??1m1((p?1)?B?)?(?0.25?0.5?0.18)?0.073 pn0.75基谈过恋爱的学生占7%略多一些。 例12假设检验方法在广告效果监测中的应用 一、案例背景

武汉市一家从事民营保健品生产的K公司在过去的几年中获得快速成长，其拳头产品在内地有着很高的知名度。该公司打算将其开发的一种新型药剂口服液推向全国。K公司打算投入50万元广告费用开拓沿海某地市场。沿海地区一家广告公司（简称M公司）得到信息后，主动联系K公司并宣称其在沿海地区有较强的实力并承诺：发布广告半年后，武汉K公司的这种新型口服液在当地的知晓率可以达到25%。K公司负责广告的经理经过实地考察，决定将该广告业务交给M公司。

双方经过协商达成如下协议：

K公司于当年11月11日先期支付30万元给M公司，M公司自12月1日开始广告宣传，半年后即翌年5月31日，由K公司联系并经M公司同意，邀请某中立调查咨询公司（简称N公司）进行广告效果检测，N公司要求监测费用为5万元。若监测结论支持M公司的承诺，即产品知晓率在当地达到25%，由K公司将剩余的20万元一次性支付给M公司，并支付N公司5万元监测费用。若调查结论不支持M公司的承诺，则M公司一次性支付K公司10万元违约金，

并支付N公司5万元的广告监测费用。

半年后，中立公司（N公司）从当地的目标客户群中随机不重复地抽取了一个样本容量为400人的样本进行调查。

接受调查的400人中，有88人对该种口服液知晓，详细资料见表1，表2、表3。

表1 样本的性别结构

性别结构 男 女 总计

表2 样本的年龄结构

年龄结构 老 中 青 总计

表3 样本的收入结构

收入结构 高 抽查人数 88 知晓人数 24 知晓率（%） 27．3 抽查人数 220 120 60 400 知晓人数 46 32 10 88 知晓率（%） 20．9 26．67 16．67 22 抽查人数 240 160 400 知晓人数 56 32 88 知晓率（%） 23．3 20．00 22

中 低 总计 260 52 400 60 4 88 23．1 7．7 22 武汉K公司广告前后销售数据变化情况见表4

表4 K公司产品销售金额对比 单位：百万元

项目 6月 目标地区 其他地区 销售总计 7月 8月 广告前 9月 10月 11月 12月 1月 2月 广告后 3月 4月 5月 5．1 5．5 5．0 5．5 5．6 5．7 5．5 6．1 6．6 5．8 6．3 5．9 78．0 79．3 80．9 81．0 85．0 86．1 87．0 88．0 79．5 82．1 88．6 87．0 83．1 84．8 85．9 86．5 90．6 91．8 92．5 94．1 86．1 87．9 94．9 92．9 二、三方争论的主要问题和不同观点 问题1：K公司要求M公司赔付10万元。

K公司销售主管认为，M公司的广告没有达到其承诺目标，要求M公司立即支付10万元的违约金，否则要求采取法律手段。 问题2：M公司要求K公司支付剩余的20万元。

M公司的总经理不同意这种观点，认为N公司的抽样调查方法出现了较大偏差，并怀疑N公司调查的公正性，要求重新进行调查，也不同意支付10万元的违约金。M公司要求K公司支付剩余的20万元广告费用和5万元的广告监测费用。 问题3：谁来支付广告监测费用5万元。

K公司要求M公司支付，而M公司要求重新进行检验，若其他调查公司的结论相同，则愿意承担双倍的监测费用。

几种不同观点：

A认为，要严格依照25%的标准，即只要超过25%就支付，否则不支付。他认为，目标知晓率为25%，而实际结果只有22%，因此K公司不应支付剩下的20万元。

B认为，22%与25%差异不大，应该支付剩下的广告费用20万元，但可以延期支付而不是立即支付。

C认为，无论是否达到25%，K公司均可以不支付剩下的20万元。原因是，目前企业销售资金回笼较慢，企业债务纠纷不断，可以充分利用这20万元资金进行周转。

D认为，M公司是一家不错的广告公司，K公司的销售比上期有了很大的提高，为K公司沿海市场的开拓做出了贡献，应当无条件立即支付剩下的广告费用20万元和广告监测费用5万元，这也有利于M公司的长期发展。 三、解决方案分析

解决这一问题的核心是广告公司的效果有没有与其承诺矛盾，若两者是一致的，则武汉K公司支付M公司剩下的20万元广告费用和N公司5万元的广告监测费用，否则由广告公司支付武汉公司违约金10万元和5万元的监测费用。

把总体中具有某种特征的单位数占总体全部单位数的比例称为总体比例，记为P；把样本具有某种特征的单位数占样本全部单位数的比例称为样本比例，记为p。

由于是大样本，据中心极限定理，在大样本条件下，若np?5，且nq?5，

则可以把二项分布问题近似为正态分布。

即样本比例p服从期望值为P，方差为P(1-P)/n的正态分布。 可以用Z统计量来构造总体比较P的置信区间。

Z?p?PP(1?P)/n~N(0,1)

建立原假设即总体知晓率达到或者超过25%，即H：P?0.25 建立被择假设即总体知晓率未达到25%，即H1：P<0.25

选择显著性水平α,在α=0.05的条件下，由于是单侧检验，所以

Z?/2??1.645

计算统计量

Z?p?PP(1?P)/n?0.22?0.250.25(1?0.25)/400??1.386

可以看到统计量Z值落在接受区域，即应当接受原假设H：P?0.25。认为广告公司承诺的广告知晓率达到了25%，因此武汉K公司应该支付M公司剩下的20万元和5万元的监测费用。

回答在调查的400人中，有多少人知道该口服液，即判断决策的临界值。

在α=0.05的条件下，Z?/2??1.645

Z?p?PP(1?P)/n因此计算公式如下：

p?0.25

即0.25(1?0.25)/400??1.645

解方程得到p=0.214，临界人数为np=400×0.214≈85人。若400人中少于85人知道该口服液，就说明知晓率为25%是不能接受的。

四、对计算结果的解释

样本数据与总体数据有密切的关系，但不等同于总体数据； 统计总体具有大量性、综合性、复杂性，对社会经济现象进行全面调查要花费很高的成本与时间代价，在一些特定条件下，只能进行非全面的调查。总体指标在大多数情况下可以通过样本进行描述、表达和说明。要正确理解样本知晓率为22%与总体知晓率25%之间的差距，不能简单的用样本知晓率22%直接否决总体知晓率25%。抽样指标有可能超过25%，也有可能低于25%，正常情况下应该围绕25%进行波动，最终结果取决于二者之间差距是否出现小概率事件。 统计判断出错是不可避免的，但其概率是可以控制的。

样本来源于总体，可以反映总体的特性与规律。比如我们可以通过月球上的样本分析说明月球构造的基本元素、结构、分布及其它规律。样本能够说明总体的特性，应用可以起到事半功倍的效果，因此在实践中具有广泛的价值。但是由于样本具有随机误差，统计决策有可能出现错误，但其判断错误的概率α较小并且是可以控制的，判断正确的概率为1-α。正确理解这一点特别重要，我们不能因为统计推断存在误差而否定其科学性。统计决策也有存在错误的时候，但我们应该相信它，就如天气预报的错误不影响人们对天气预报的信赖，其核心在于天气预报正确的概率远远大于错误的概率，统计决策也是如此。

第三讲 运筹学模型

一、 规划模型

例1 要从甲城调出蔬菜2000吨，从乙城调出蔬菜1100吨，分别供应A地1700吨，B地1100吨，C地200吨，D地100吨。已知每吨运费如下表

每吨 供应单位 运费 调出单位 甲城 乙城

例2 某工厂有一批长度为5米的钢管（数量充分多），为制造零件的需要，要将它们截成长度分别为1400毫米，950毫米，650毫米的管料，而且这三种管料要按2：4：1的比例配套生产，就是说每制造一个成品分别需要2根1400毫米，4根950毫米，1根650毫米的管料。现在的问题是如何截分才能使截下来的三种管料，既能配套，又使残料最少?

8种不错的截法：

21 51 25 51 7 37 15 15 A地 B地 C地 D地

截 法 长度 1 2 3 4 5 6 7 8 1400毫米 3 2 2 1 1 0 0 0 950毫米 650毫米 0 2 0 3 1 5 3 1 1 0 3 1 4 0 3 6 残 料（毫米） 150 300 250 100 50 250 200 150

例3 设某企业有m种不同的资源（如原料、能源、资金等）用来生产n种产品，用aij表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i种原料的数量，用cj（j=1,2,??，n）表示第j种产品的单位价值，而这个企业现存的第i种资源的数量是bi（i=1,2,??，m），现在要来做一个能够充分利用现有资源的生产计划，使每种产品在不超过现有资源的条件下总产值最大。

上述几个例子，虽然有着不同的实际内容，但是它们的共同点都是求一组变量（称为决策变量）的值，这组值要满足一定的条件（称为约束条件），如供求关系，生产任务，资源限制等，这种约束条件都可以用一组线性不等式或线性方程来表示；同时还要使某个指标（如总运费，总残料，总产值）达到最小或最大。而这种指标又都可以用一个线性函数（称为目标函数）来表示，像具有这些特征的问题，就叫做线性规划。

思考题: 有甲、乙两种产品，都需要经过两道工序，甲产品每单位需要第一道工序2小时，第二道工序3小时。而乙产品则分别是

3小时和4小时。第一道工序可供利用的时间是16小时，第二道工序可供利用的时间是24小时。每生产一个单位的乙产品会产生2个单位的副产品丙，且不需外加任何费用。丙产品一部分可以出售赢利，其余的只能加以销毁。出售每单位产品甲能赢利4元，乙产品为10元。丙产品为3元，但是丙产品如果售不出去，那么每单位的销毁费用是2元。预测表明，最多可售出5个单位的丙产品。要求决定使利润最大的甲和乙的产量，建立此问题的线性规划模型。

例4 控制大气污染

某钢铁制造公司正在为执行政府排污标准制定措施，政府的要求是：

污染物 大气微尘 氧化硫 碳氢化合物 要求每年排放减少量（百万磅） 60 150 125 公司的污染气体主要来自两个方面，一是铸生铁的鼓风炉，一是炼钢的敞口式反射炉。工程师认为最有效的降低污染的方法是：（1）增加烟囱的高度，（2）在烟囱中加入过滤装置，（3）在燃料中加入清洁的高效燃料。三种方法都有其技术限制（例如烟囱可增加的高度是有限的），但可以考虑在各自的技术限制内，采取一定程度的措施。

为了方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取部分程度的实施，从而达到一定程度的减少污染气体的效果。

下表显示了在技术允许的范围内，最大限度的使用各种方法可以

降低两个炉子污染气体的排放量（百万磅）。

污染气体 增加烟囱高度 加入过滤装置 鼓风炉 大气微尘 氧化硫 碳氢化合物 12 35 37 反射炉 9 42 53 鼓风炉 25 18 28 反射炉 20 31 24 鼓风炉 17 56 29 13 49 20 反射炉 加入高级燃料 下表是最大限度地使用各种方法估计的年成本（百万美元），并且,各种方法的使用成本与可获得的降污能力是成正比例的,也就是说,要取得一定比例的降污效果,所实施的方法的成本在总成本中占同样的比例。

增加烟囱高度 加入过滤装置 加入高级燃料 鼓风炉 8 7 11 反射炉 10 6 9 请你以最小的成本实现降低各种污染气体的年排放量要求（只建模型）

例2 回收固体废弃物问题

塞维特（Save－It）公司经营一个回收中心，专门从事四种固体废弃物的回收，并将回收物处理，混合成为可销售的产品。根据混合是各种材料的比例，可将该产品分成不同的等级（参照表1）尽管在

混合各种等级产品是允许一定的机动性，但每一等级产品中各种材料的最大最小值都必须符合下面质量标准的规定。（最大和最小值是根据该材料的重量在该等级产品总重量中的比例来确定的。）在两种较高等级的产品中，有一种特定材料的比例是固定的。这些规定与混合的成本以及每一等级产品的售价都在表1中给出。

回收中心可以从一些渠道定期的收集到所需的固体废弃物，因此，可以获得维持稳定作业的处理量。表2给出了中心每周可以收集到每种材料的数量以及处理成本。

塞维特公司是绿地组织的全资公司，绿地组织是一个专门从事与环境有关业务的组织。塞维特公司的收益将全部用于支持绿地组织的其他活动，而绿地组织每周可获得$30,000的捐款，专门用于固体废弃物的处理。公司的董事会要求塞维特公司的管理层将这一捐款合理分配使用在各种材料上，务必将所收集到的固体废弃物中至少一半数量的废弃物加以处理。这些附加的约束如表2所示。

管理层决定在表1和表2所列的约束之内，有效地将各种材料分配到各等级的产品中去，以实现每周的总利润最大（总收入减总成本）。

表1 塞维特公司产品数据 等级 规格说明 每磅的混合成本 价 每磅的单 A 材料1：不超过总量的30％ 材料2：不少于总量的40％ 材料3：不超过总量的50％ 材料4：总量的20％ $3.00 $8.50 B 材料1：不超过总量的50％ 材料2：不少于总量的10％ 材料4：总量的10％ $2.5 $7.00 C 材料1：不超过总量的70％ $2.00 $5.50

表2塞维特公司固体废弃物的有关数据

材料 1 2 3 4 每周可获得的数每磅的处理量（磅） 3,000 2,000 4,000 1,000 成本 $3.00 $6.00 $4.00 $5.00 1. 对于每种材料，每周必须至少收集并处理一半以上的数量 2. 每周有$30.000可用于处理这些材料。

这是一个线性规划问题，为了该问题建模，首先要明确问题所涉及的活动，资源，收益以及确定的需求。这一步的关键在于管理层的目标是将每种材料最优的分配给每一等级的产品。每一种材料与产品的组合都是一个决策：多少的材料用于这一等级的产品？

附加约束

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