2.2直线和圆的参数方程

导入新课1.在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么呢？y 由直线的普通方程： y0 tan(x x0 )可知确定直线的几何条件是：

直线上的一个定点和该直线的倾斜角 根据直线的这个几何条件，想想该选择 怎样的参数去确定直线的参数方程呢？

教学目标知识与能力1.了解直线的参数方程的概念 2.培养同学们分析曲线的能力

过程与方法1.掌握用参数方程的思想方法来认识问题.

情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.

教学重难点重点1.根据问题的条件引进适当的参数， 写出直线的参数方程. 2.分析直线，圆和圆锥曲线的几何性质.

难点1.根据问题的条件引进适当的参数. 2.选择适当的参数写出直线的参数方程. 3.体会直线的参数方程的意义.

y 设直线的普通方程： y0 tan(x x0 ) sin ( x x0 ) 把它变成 y y0 cos 整理得 y y0 x x0 sin cos 令 y y x x0 0 t sin cos 即直线的参数方程为：

x x0 t cos ( 为参数) t y y0 t sin

由 M 0 M te,你能得到直线 L的参数方程中的t的几何意义吗？ 直线L的参数方程中参数t的几何意义是：

| t 表示参数t对应的点M到定点M0 |的距离。当| M 0 M |与 e同向时t取正数；当| M 0 M |与 e 异向时t取负数；当点M

与M0重合时，t=0

1.已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x 交于A,B两点，求线段2

AB的长和点 M ( 1,2)到A,B两个点的距离之积. 3 解：因为直线过定点M且倾斜角为 ， 4 所以参数方程为：

①

把它代入抛物线方程得

t 2t 2 0 即：2

2 10 2 10 t1 , t2 2 2

由参数方程的几何意义得，

| AB | | t1 t 2 | 10 | MA | | MB | | t1 t 2 | 2

如 果 点 的 坐 标 为x , y ),圆 半 径 为 , P0OP P ( r , 根 据 三 角 函 数 定 义 P的 横 坐 标 、 y ,点 x 纵 坐 标 都 是 的 函 数 即 y , x r cos ① y r sin r ) o x

并且对于 的每一个允许值,由 方程组①所确定的点P(x,y)在圆O上.

我们把方程组①叫做圆心在原点、

半径为 r的圆的参数方程，为参数.

1.已知点P是圆上的一个

动点，该圆的半径为4,点Q(12,0)是X轴上的一定点，当点P在圆上

运动时，求线段PQ的中点M的轨迹.PO

MQ 4

解：设点M的坐标为 M ( x, y) ,) 点P的坐标为 p( x1 , y1,取 POQ ,

圆O的参数方程为：x1 4 cos ( 为参数) y1 4 sin

PO

MQ 4

(1)

又因为点M是线段PQ的中点，点P的

坐标为 p( x1 , y1 ) ,点Q的坐标为Q(12,0) ,根据线段的中点坐标公式得：x x1 1 2 2 y1 y 2

(2

)

PO

M

连立(1)(2)式，解得：Q

4

x 6 2 cos y 2 sin

2.已知圆的直径AB y P

上有两点C,D,且|AB|=10,

|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，求|PC|+|PD|的最大值.

A C

o

D

B

x

解：如图建立直角坐标系，因为 |AB|=10,所以圆的参数方程为x 5 cos

y 5 sin (

为参数)

y

因为|AC|=|BD|=4,所以C,D的P D

坐标为 C(-1,0), D(1,0)因为点P在圆上，所以可求得B x

C A o

点P的坐标为：

P(5 cos ,5 sin )

所以， | PC | | PD | (5 cos 1) 2 (5 sin ) 2 (5 cos 1) 2 (5 sin ) 2 26 10cos 26 10cos

( 26 10 cos 26 10 cos ) 2 52 2 26 2 100 cos 2

当 cos 0 时，PC | | PD |)max 52 52 2 26 (|所以 | PC | | PD | 的最大值为 2 26

3.当前台风中心P在某 滨海城市O向东300km处生成，并以 40km/h的速度向西偏北450方向移动，已

知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间

后该城市开始受到台风的侵袭？

y

解：如图，以O点为 原点，OP所在的直线为X 轴，建立直角坐标系，则 点P的坐标为(300,0)

.M450( O P x

以O为圆心，250km为半径做圆O 当台风中心转移后的位置M在圆O内 或圆O上时，城市O将受到台风的影 响，圆O的方程是:

x y 2502 2

y

设经过时间t后，台风 中心M(x,y),根据题意，台 风中心M移动后形成的直 线的方程为x 300 40t cos1350 y 40t sin1350

.M450( O P x

t ( ( 为参数)t 0)

即

x 300 20 2t y 20 2t

(t 为参数) (300 20 2t ,在 2t ) 20 当点M 圆O内或圆O上有：

(300 20 2t ) (20 2t ) 2502 2

2

即 16t 120 2t 275 02

解得 15 2 5 7 t 15 2 5 7 得4 4

因此大约在2小时后该城市受到台风的影响

2 t 8.6

4.AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P

两弦AB,CD与椭圆的长轴的夹角分别为 1, 2 且 1 2 ,| 求证： PA | | PB | | PC | | PD |

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7zge.html