考研数学公式汇编大全

2012年最新考研数学公式汇编（修订版）

三角函数公式 ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

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Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

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·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 [编辑本段] 公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα

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公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 部分高等内容 [编辑本段] ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0

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导数公式：

(tgx)??secx(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(a)??alna(logax)??基本积分表：

xx2(arcsinx)??(arccosx)???(arctgx)??11?x211?x211xlna1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C?a?x?a?dx2?cos?sindx2xx??sec2xdx?tgx?C??csc2xdx??ctgx?Cdx2?xdx?adx2???1a11arctglnlnxax?a?C?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?C?axdx?axlna?C222a2ax?aa?x2?Ca?xx?arcsin?Caa2?x2?x2dx?2n?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1na22a22a22In?2x2?a2)?Cx2?a2?Cxa?C???sinx?2u1?ux?adx?x2?a2dx?a2?x2dx?22x2x2x2x?a?x2?a2?a2?x2?22ln(x?lnx?arcsin三角函数的有理式积分：

，　cosx?2x2du，　u?tg，　dx? 2221?u1?u1?u2第 5 页 共 20 页

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一些初等函数： 两个重要极限：

双曲正弦:shx?ex?e?x2ex?e?x双曲余弦:chx?2shxex?e?x双曲正切:thx??xchxe?e?xarshx?ln(x?archx??ln(x?arthx?12ln1?x1?xx2?1）x2?1)limsinxxx?0?11lim(1?)x?e?2.718281828459045...x??x三角函数公式：

·诱导公式：

函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -cosα -tgα tgα -sinα -cosα -cosα -cosα -sinα ctgα sinα -ctgα -tgα tgα -sinα cosα sinα cosα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1ctg??ctg?sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2???cossin???2???2???ctg(???)?第 6 页 共 20 页

cos??cos??2coscos??cos??2sin2???2???2cossin2???22012年最新考研数学公式汇编（修订版）

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·倍角公式：

sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??tg2??ctg2??12ctg?2tg?1?tg2?sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?tg3??3tg??tg3?1?3tg2?

·半角公式：

sintg?2????1?cos?2　　　　　　　　　　　　cos?2??1?cos?2

?21?cos?1?cos?sin??1?cos?1?cos?sin???　　ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?·正弦定理：

abc???2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx　　　arctgx??2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)柯西中值定理：?F(b)?F(a)F?(?)曲率：

当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。第 8 页 共 20 页

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弧微分公式：ds?1?y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K???.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?s??d????s?0?sds1.ay??(1?y?)23M点的曲率：K?lim直线：K?0;半径为a的圆：K?定积分的近似计算：

b.

矩形法：?f(x)?abb?an(y0?y1???yn?1)

梯形法：?f(x)?abb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a3n[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]抛物线法：?f(x)?a定积分应用相关公式：

功：W?F?s水压力：F?p?A引力：F?km1m2r2,k为引力系数

b1函数的平均值：y?f(x)dx?b?aa均方根：b?a?a1bf2(t)dt空间解析几何和向量代数：

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空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i???c?a?b?axbxjaybykaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bzaybycyazcz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时，

ax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0xyz3、截距世方程：???1abc平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0??空间直线的方程：???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?二次曲面：x2y2z21、椭球面：2?2?2?1abcx2y22、抛物面：??z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2?2?2?1abcx2y2z2双叶双曲面：2?2?2?（马鞍面）1abc

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多元函数微分法及应用

全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?　????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?u?v?vdx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdyd2y??dy隐函数F(x,y)?0，　　??，　　2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0，　??，　　???xFz?yFz

?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组：　　　J????G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u1?(F,G)?v1?(F,G)???　　　　????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u?y??1?(F,G)?v1?(F,G)?　　　　???J?(y,v)?yJ?(u,y)?v?Fu?GGu?v?FFvGv

微分法在几何上的应用：

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?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGGG(x,y,z)?0?yzzx?曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)??f??f?i?j?x?y

???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f是gradf(x,y)在l上的投影。?l?多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：?AC?B?0时，　　　　　　无极值?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???重积分及其应用：

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??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD???z???z??曲面z?f(x,y)的面积A???1???????dxdy?x?y????D平面薄片的重心：x?MxM22??x?(x,y)d??D???(x,y)d?DD,　　y?MyM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?222，　　Fy?f3??D?(x,y)yd?222，　　Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?,　　　???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2?

?r(?,?)2F(r,?,?)rsin?dr?0????f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???2?d??d?00重心：x?1M???x?dv,　　y???1M???y?dv,　　z???1M???z?dv，　　其中M???x?????dv?转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y??(t)??L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)??第 13 页 共 20 页

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为?，则：?y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL?两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：??(D?Q?P?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy格林公式：(???x??y)dxdy??Pdx?Qdy?x?yLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A???dxdy??xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y

u(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。曲面积分：

对面积的曲面积分：??f(x,y,z)ds??Dxy??f[x,y,z(x,y)]221?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：???R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正?Dxy号；

??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正?Dyz号；号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正?Dzx??两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds高斯公式：

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???(??P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，??因此，高斯公式又可写?成：???divAdv?????Adsn?斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?dzdx??yQdxdycos???????z?x?RPcos???yQcos???zR

dydz?上式左端又可写成：???x?P?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　??y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：Pdx?Qdy?Rdz?A???tds??常数项级数：

等比数列：1?q?q???q2n?1?1?qn1?q

等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n(n?1)n2是发散的级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：? ?un?un?1如果交错级数满足?，那么级数收敛且其和s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。limu?0??n??n绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1　　级数：?n2收敛；　　p级数：?幂级数：

ｐ?１时发散　　npp?1时收敛1第 16 页 共 20 页

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1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??　　x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定

??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1ann??1???，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???????时，R?0函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)n??

f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数：

(1?x)m?1?mx?m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??　　　(?1?x?1)2!n!x3x5x2n?1n?1sinx?x?????(?1)??　　　(???x???)3!5!(2n?1)!欧拉公式：

?eix?e?ixcosx???2eix?cosx?isinx　　　或? ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数：

?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)?n?1a02??(ancosnx?bnsinnx)n?1?其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。傅立叶级数：

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2012年最新考研数学公式汇编（修订版）

f(x)?a02??(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?n?1???1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx　　　????其中???b?1f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?n?????1?2?2???835　111?2?2?2???224246正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?11?21?1?2?122?132?142????22（相加）6111??????（相减）22212234n

?2?f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??b0sinnx是奇函数???0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?a02??ancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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f(x)?a02??(ancosn?1?n?xl?bnsinn?xl)，周期?2l

l?1n?xa?f(x)cosdx　　　(n?0,1,2?)?n?ll??l其中?l?b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy

?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：

P(x)dxdx?C)e??P(x)dx

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

d2ydx2?P(x)f(x)?0时为齐次dy?Q(x)y?f(x)， dxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

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(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?p???，??24q?p2 2二阶常系数非齐次线性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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