(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章向量代数与空间解析几何

第一节向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1. 空间直角坐标系的概念

2. 空间两点间的距离公式

3. 向量的概念

4. 向量的运算

教学难点：1. 空间思想的建立

2. 向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向

量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2．量的表示方法有: a、i、F 、OM 等等。

3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4．量的模：向量的大小，记为a 、OM 。

模为1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5．量平行a//b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a

二、向量的线性运算

1．加减法a b c ：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 bc

a

1

2

2． a b c 即 a ( b) c

3．向量与数的乘法 a ：设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为

a 0

定理 1：设向量 a ≠0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是： 存在唯一的实数 λ，

使 b ＝ a

例 1：在平行四边形 ABCD 中，设 AB a ， AD b ，试用 a 和b 表示

向量 MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。

(见图 7－ 5)

图 7－ 4

1 解： a b AC 2AM ，于是 MA (a b)

2 1 由于 MC MA ， 于是 MC (a b)

1 又由于 a b BD 2MD ，于是 MD (b a)

2 1 由于 MB MD ， 于是 MB (b a) 2

三、空间直角坐标系

1．将数轴(一维) 、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)

如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向。

2． 间直角坐标系共有 八个卦限， 各轴名称分别为： x 轴、 y 轴、 z 轴，坐标面分别

为 xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图 7－ 2 所示。图 7－ 1 右手规则演示 图

(1)

0时， a 与a 同向， | a (2)

0 时， a0 (3) 0 时， a 与a 反向， | a 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设

|a| ||a|

a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么

3

7－ 2空间直角坐标系图 图7－3空间两点 M 1M 2的距离图 3．空间点 M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。

注意：特殊点的表示

a) 在原点、坐标轴、坐标面上的点；

b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。 4．空间两点间的距离。 若

M 1( x 1 , y 1, z 1) 、 M 2 (x 2 , y 2 , z 2 )为空间任意两点， 则M 1M 2 的距离(见图 7－ 3)，利用 直角三角形勾股定理为：

222

d 2 M 1M 22 M 1N 2 NM 2 2

2 2 2 M 1p 2 pN 2 NM 2 2 而

M 1P

x 2 x 1 PN y 2 y 1

NM 2 z 2 z 1

所以 2 2 2 d M 1M 2

(x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 (z 2 z 1)2 特殊地：若两点分别为 M (x,y,z)， o(0,0,0)

d oM x 2 y 2 z 2

例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2(7,1,2) 、 M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

2

证明: M 1M 2 2

(4 7)2 (3 1)2 (1 2)2 14 2

2 2 2 M 2M

3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6

M 3M 1 2 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6

由于M 2M 3 M3M1 ，原结论成立。

例2：设P在x轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到点P2(0,1, 1) 的距离的两倍，求点P 的坐标。解：因为P 在x轴上，设P 点坐标为(x,0,0)

PP1x2 2 32x211 PP2x2 1 212x22

PP1 2PP2 x2 11 2 x2 2

x1 所求点为：(1,0,0) ，( 1,0,0)

四、利用坐标系作向量的线性运算

1．向量在坐标系上的分向量与向

量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的

点与有序数组之间建立了一一对应关

系，同样地，为了沟通数与向量的研

究，需要建立向量与有序数之间的对

应关系。

设a =M1M2是以M 1( x1 , y1 , z1)为起点、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5

沿x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应

用向量的加法规则知：

M1M2 (x2 x1)i + (y2 y1) j+(z2 z1)k

或 a = a x i + a y j + a z k

上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

有序数组a x、a y、a z与向量a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影a x、a y、a z 就叫做向量a 的坐标，并记为

a ＝{a x，a y，a z} 。

上式叫做向量a 的坐标表示式。

于是，起点为M 1(x1,y1,z1) 终点为M2(x2,y2,z2) 的向量可以表示为

4

M 1M 2 {x2 x1, y2 y1,z2 z1} 特别地，点M (x,y,z) 对于原点O 的向径

OM {x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x、a y、a z，

向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、a y j 、a z k.

2．向量运算的坐标表示

设a {a x,a y,a z} ，b {b x,b y,b z} 即a a x i a y j a z k ，b b x i b y j b z k

(1) 加法：(a x b x )i (a y b y) j (a z b z)k

减法：(a x b x )i (a y b y ) j (a z b z)k

乘数：a x )i ( a y) j ( a z)k

ab {a x b x ,a y b y ,a z b z}

a b {a x b x,a y b y,a z b z}

a { a x, a y , a z}

平行：若a≠0时，向量b // a相当于b a，即

{b x,b y,b z} {a x,a y,a z}

也相当于向量的对应坐标成比例即

b x b y b z

a x a y a z

五、向量的模、方向角、投影

设a {a x,a y ,a z} ，可以用它与三个

坐标轴的夹角均大于等于0，

小于等于 )来表示它的方向，称、

为非零向量a 的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos 、cos 、cos 称为方向余弦。

5

1．模

2 a x 22 a y a z

2．方向余弦

a x M1M2 cos a cos

由性质知a y

a z

例：

M 1M 2 cos

M1M 2 cos

cos

cos

cos

a a x

22

a y2 2 a z

a y a y

a a x

22

a y22a z2

a z a z

a x

2 a z

a x

22

x a y

任意向量的方向余弦有性质：cos2

与非零向量a 同方向的单位向量为：

已知两点

a cos ，当a a x2a y2a z2

a cos

cos2cos2 1

0时，有

1

{a x,a y ,a z} {cos

a

,cos ,cos }

M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0)，计算向量M1M2 的模、方向余弦、方向角以及与M 1M 2 同向的单位向量。

解：M1M2＝{1-2，3-2，0- 2 }={-1 ，

M 1M 2(

22

1) 1( 2) 2

1，1

cos cos，cos

22

23

33，4

1，- 2 }

2

2

2

设a0为与M1M2 同向的单位向量，即

得

由于a0

{cos ,cos ,cos }

3．向量在轴上的投影

6

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足

AB ，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫

做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则

AB e

(2) 设A、B、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC

(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和b，任取空间一点O，作OA a ，

OB b，规定不超过的AOB称为向量a和b 的夹角，记为(a,b)

(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A' 叫做点A在轴u上的投影。

(5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别

为点A'和B'，那么轴u上的有向线段的值A' B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做

Pr j u AB。

2．投影定理

性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：

Pr j u AB AB cos

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

Pr j u(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Pr j u( a) Pr ja

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量(自由向量)有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系 (轴、面、卦限)，空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注意分向量与向量的坐标的区别 )、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。

作业：

7

8

第二节 数量积 向量积

教学目的： 让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂 直等重要

的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。

教学重点： 1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式

2. 向量平行、垂直的应用

教学难点： 1. 活学活用数量积、向量积的各种形式

2. 向量平行与垂直的相应结论

教学内容：

一、数量积：

a) 定义： a b a b cos ，式中 为向量 a 与 b 的夹角。

b) 物理上： 物体在常力 F 作用下沿直线位移 s ，力 F 所作的功为

W F scos

其中 为 F 与 s 的夹角。

2

c) 性质：Ⅰ . a a a Ⅱ. 两个非零向量 a 与 b 垂直 a b 的充分必要条件为： a b 0

Ⅲ . a b b a

Ⅳ . (a b) c a c b c

Ⅴ . ( a) c (a c) 为数

d) 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式： 设a {a x ,a y ,a z } ，b {b x ,b y ,b z } 则

a b a x b x a y b y a z b z

Ⅱ . 投影表示式： a b a Pr j a b b Pr j b a

e) 例子： 已知三点 M(1,1,1)、 A(2,2,1)和 B(2,1,2)，求 AMB

Ⅲ . 两向量夹角可以由 cos ab ab

式求解

9

提示：先求出向量 MA 及 MA ，应用上求夹角的公式。 、向量积：

a) 概念： 设向量 c 是由向量 a 与 b 按下列方式定义：

c 的模 c a bsin ，式中 为向量 a 与 b 的夹角。 c 的方向垂直与 a 与 b 的平面，指向按右手规则从 a 转向 b 。 ※注意： 数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 b) 公式： c a b

f) 性质：Ⅰ . a a

Ⅱ . 两个非零向量 a 与b 平行 a ∥b 的充分必要条件为： a b 0 Ⅲ. ab

Ⅳ. (a b)

Ⅴ. ( a) c c) (a c) 为数 c) 几个等价公式：

Ⅰ . 坐标表示式：设 {a x ,a y ,a z } ， b {b x ,b y ,b z } 则 d) a b (a y b z a z b y )i (a z b x ij

Ⅱ . 行列式表示式： 例子： 已知三角形 形 ABC 的面积。

解：根据向量积的定义， 由于 AB ＝{2,2,2} ， 因此 AB AC ab a x a y b x b y ABC 的顶点分别为： S ABC AC ＝ {1,2,4}

jk

22 4i 24 1 于是 S ABC AB AC

ABC 2

1 a x b z )j (a x b y a y b x )k a z b z A(1,2,3)、 1

AB ACsin 2 6j 2k 12 42 ( 6)2 22

B(3,4,5)和 C(2,4,7) ，求三角 AB AC 2 14

小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）共面的条件）

注意共线、作业：

10

11

第三节 平面及其方程 教学目的： 介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重 要

的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领 会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解 平面与其法向量之间的关系。

教学重点： 1. 平面方程的求法

2. 两平面的夹角

教学难点： 平面的几种表示及其应用

教学内容：

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点 M 0（x 0, y 0,z 0） 和它的一 个法线向

量 n { A, B,C} ，对平面上的任一点

M (x, y, z) ，有向量 M 0M n ，即 n M 0M 0

代入坐标式有

A(x x 0 ) B(y y 0) C(z z 0) 0

此即平面的点法式方程 M 2 （－1，3，－2）和M 3 （ 0，2， 3）的平面方程 。

1．平面的法线向量定义： 垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 一、平面的点法式方程

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂 直。

i j k

n M 1M 2 M 1M 3 3 4 6

2 3 1

解：先找出这平面的法向量 n ，

14i 9 j k

由点法式方程得平面方程为

1） 例 1：求过三点 M 1（2，－ 1，4）、

12

14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0

即： 14x 9 y z 15 0

二、 平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为：

Ax By Cz D 0

几个平面图形特点：

1)D ＝0：通过原点的平面。

2)A ＝0：法线向量垂直于 x 轴，表示一个平行于 x 轴的平面 。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于 y 轴或 z 轴的平面 。

3)A ＝B ＝0：方程为 C Z D 0 ，法线向量 {0,0,C} ，方程表示一个平行于 xoy 面的 平面 。

所求平面方程为 2 x 2y 3z 0 三．两平面的夹角

定义： 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。

设平面 1 : A 1x B 1y C 1z D 1 0

， 2 : A 2x B 2 y C 2z D 2 0 n 1 { A 1, B 1, C 1} ， n 2 { A 2 , B 2 ,C 2} 按照两向量夹角余弦公式有：

cos

| A 1A 2 B 1B 2 C 1C 2 | A 12 B 12 C 12 A 22 B 2 2 C 2 2 同理 ： A X D 0和 B Y D 0分别表示平行于 yoz 面和 xoz 面的平面 。 4)反之：任何的三元一次方程，例如：

5x 6y 7z 11 0 都表示一个平面，该平

面的法向量为 n {5,6, 7} 例 2：设平面过原点及点 (6, 3, 2) ，且与平面 4x y 2z

8 垂直，求此平面方程。 解：设平面为 Ax By Cz D 0 ，由平面过原点知 D 0

由平面过点 (6, 3,2) 知6A 3B 2C 0， n { 4, 1,2} 4A B 2C 0

A B 2

3 C

13

三、几个常用的结论

平面外一点到平面的距离公式： 设平面外的一点 P 0(x 0, y 0, z 0 )，平面的方程为 Ax By Cz D 0 ，则点到平面的距离为

表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。 两平面的夹角以及点到平面的距离公式。 作业： (2) 2x y z 1 0, 4x 2y 2z 1 0

(3) 2x y z 1

0, 4x 2y 2z 2

0 |1

02 11 3| 1

解： (1) cos

32 ( 1)2 12

1)2 22 设平面 1 和平面 2 的法向量依次为 n 1 {A 1,B 1,C 1} 和 n 2 { A 2,B 2,C 2}

1) 两平面垂直： A 1A 2 B 1B 2 C 1C 2

0 (法向量垂直) 2) 两平面平行：

C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1

法向量平行)

3) d Ax 0 By 0 Cz 0 D

A 2

B 2

C 2

例 3：研究以下各组里两平面的位置关系： (1)

x 2y z 1 0, y 3z 1 0 两平面相交，夹角 1 arccos 60

n 1 {2, 1,1} ， n 2

4,2, 2} 21 42 两平面平行 M (1,1,0)

M (1,1,0) 两平面平行但不重合。 3) 21

4 2 2

两平面平行 M (1,1,0) 1 M (1,1,0)

所以两平面重合 小结： 平面的方程三种常用

第四节空间直线及其方程

教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1. 直线方程

2. 直线与平面的综合题教学难点：1. 直线的几种表达式

2. 直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程

空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：

A1x B1y C1z D1 0

A2 x B2 y C2z D2 0

二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

已知直线上的一点M0（x0,y0,z0）和它的一方向向量s {m,n,p} ，设直线上任一点为

M （x, y, z），那么M0M 与s平行，由平行的坐标表示式有：

x x0 y y0 z z0

m n p 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设

x x0 y y0 z z0 t m n p

就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）

x x0 mt

y y0 nt

z z0 pt 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。

例1：用对称式方程及参数方程表示直线x y z 1 0

2x y 3z 4 0

14

15

s BA {2,0,4} ，

x 2 y

20 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角。

夹角可以按两向量夹角公式来计算

与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为

设直线 L 的方向向量为 s {m,n,p} ，平面的法线向量为 n { A, B,C} ，直线与平面 的夹角为 ， 那么cos

2 2 2 m 1 n 1 p 1

m 22 2 n 2 2 p 2 两直线 L 1和 L 2 垂直： m 1m 2 n 1n 2 p 1p 2 0 (充分必要条件)

两直线 L 1和 L 2 平行： m 1 n 1

p 1 (充分必要条件) m 2

n 2 p 2 3和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程 例 3：求过点 ( 3,2,5) 且与两平面

x 4z 解：设所求直线的方向向量为 s {m,n, p}

，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法 向量都垂直，所以可以取 s n 1 n 2 { 4, 3, 1} 所求直线的方程 x 3 y 2 z 3

4 m 1m 2 n 1n 2 p 1 p 2

三、直线与平面的夹角

解：在直线上任取一点 (x 0,y 0,z 0)，取 x 0

y y 00 3z 0z 0 26 00 解得 y 0 0,z 0 2，即直线上点坐标 (1,0, 2)

因所求直线与两平面的法向量都垂直取

n 1 n 2 {4, 1, 3} 对称式方程为： x 1 y 0 z 2参数方程：

4 1 3

x1 y z 4t t 2 3t 例2 直线过点 A(2, 3,4) ，且和 y 轴垂直 相交，求其方程 解：

因为直线和 y 轴垂直相交 , 所以交点为 B(0, 3, 0) 所求直线方程： 两直线的夹角

设两直线 L 1和 L 2 的方向向量依次为 s 1

{m 1,n 1,p 1} 和s 2 {m 2,n 2,p 2}，两直线的

当直线与平面不垂直时，

直线与它在平面上的投影直线的夹角 (0 2 )称为直线

16

平面束方程：

四、杂例： 例 1：求与两平面 x －4z ＝3和 2x －y －5z ＝1的交线平行且过点 （－3，2，5）的直线方程。 解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量 s 一定与两 平面的法线向量垂直，所以

ijk

s 1 0 4 (4i 3j k)

215

因此，所求直线的方程为

x 3 y 2 z 5

431

例 2：求过点 （2，1，3） 且与直线 x 1 y 1 z 垂直相交的直线方程

321

解：先作一平面过点 （ 2， 1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的

法线向量），这平面的方程为

3（x 2） 2（y 1） （z 3） 0

再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为

x= -1+3t y=1+2 t z=-t

3

2 1

3 3 并代入上面的平面方程中去，求得 t ＝ 3 ，从而求得交点为 （2,13

, 3） 7

7 7 7 以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量 s 即为所求直线的方向向量

sin

A 2

B 2 Am Bn Cp

C 2

直线与平面垂直： s//n A 相当于 A

m 充分必要条件）

直线与平面平行：

相当于 Am Bn Cp 充分必要条件） 过平面直线 z1 z1

0的平面束方程为 0 (A 1x B 1y C 1z

D 1) (A 2x B 2 y C 2z D 2 )

17

2 1

3 3 6 s {2 ,1 ,3 } {2, 1,4} 7 7 7 7

故所求直线方程为

x 2 y 1 z 3 21

解：应用平面束的方法

(1 ) 1 (1 ) 1 ( 1 ) 1 0 解之得 1 代入平面束方程中得投影平面方程为 y －z － 1＝0

所以投影直线为

y z 1 0

xyz0

小结： 本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹 角( 注意两直线的位置关系) ，直线与平面的夹角(注意直线与平面的位置关系) 作业：

第五节 曲面及其方程

教学目的： 介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。 学生应该

会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示 曲面的形状。

教学重点： 1. 球面的方程

2. 旋转曲面的方程

教学难点： 旋转曲面

教学内容：

一、曲面方程的概念

1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。

2. 曲面方程的定义：如果曲面 S 与三元方程

x

例 3：求直线

x

z1 z1 在平面 x y z 0 上的投影直线的方程 设过直线 0的平面束方程为

(x y z 1)

(x y z 1) 0

(1 )x (1 )y ( 1 )z 10 这平面与已知平面 x y z 0垂直的条件是

F(x,y,z) 0 (1)

有下述关系：

( 1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程( 1)

(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程( 1)

那么，方程( 1)就叫做曲面S的方程，而曲面S 就叫做方程( 1)的图形。3．几种常见曲面

(1)球面例1：建立球心在M 0(x0,y0,z0) 、半径为R的球面的方程。

解：设M0(x0,y0,z0)是球面上的任一点，那么

M 0M R

即：(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R

或：(x x0 )2(y y0 )2(z z0)2R2 特别地：如果球心在原点，那么球面方程为(讨论旋转曲面) x2y2z2R2 (2)线段的垂直平分面(平面方程)

例2：设有点A(1,2,3)和B(2, 1,4) ，求线段AB 的垂直平分面的方程。

解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设M ( x, y, z)是所求平面上

的任一点，由于|MA| |MB |，那么

2 2 2 2 2 2

x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 4

化简得所求方程

2x 6y 2z 7 0

研究空间曲面有两个基本问题：

（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。

（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面

定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。

二、旋转曲面的方程

设在yoz 坐标面上有一已知曲线C，它的方程为

f（y，z）＝0

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把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设M1（0, y1, z1 ）为曲线C 上的任一点，那么有

f（y1，z1）＝0 （2）

当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点M（x,y,z），这时z＝z1保持不变，且点M 到z 轴的距离

d x2 y2 y1

将z1＝z，y1 x2 y2代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为

f（ x2 y2 ,z） 0

旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。

常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0° < <90°）），方程为：

2 2 2 2

z a （x y ）

其中a cot

三、柱面

19

20

1．定义：平 行于定直线并沿曲线定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面。 定曲线 C ： 准线 动直

线 L ： 母线

2．特征： x ，y ，z 三个变量中若缺其中之一（例如 y ）则表示母线平行于 y 轴的柱面。 3：几个常用的柱面：

2 2 2

b ） 圆柱面： x 2 y 2 R 2 （母线平行于 z 轴）

c ） 抛物柱面： y 2 2x （母线平行于 z 轴）

四、二次曲面

1、定义：

三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面

2、截痕法

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加 以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。

3、几种特殊的二次曲面

1． 椭球面

方程为

2 2 2 x 2

y 2 z 2 1 2 2 2 1

abc 使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：

这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面 z z 1 的交线为椭圆 22 2 x 2 2 y

2 1 22 a (c 2 z 12) b (c 2 z 12) (|z 1| c )，同理与平面 x x 1和 y y 1的交线也是椭圆。 c 2 1 c 2 1

z z 1 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。 抛物面

2

2

2 2 x

2 y 2 1， x 2 z 1 2 1 ，

a b a c z 0

y 0 2 y

2 z 2

2 ，这些交线都是椭圆。 b c x0

再看

21

例：椭圆抛物面方程为

双叶双曲面方程为

2 2 2 xyz

222

a b c 各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结： 曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念 作业： 22 xy 2p

2q p 与 q 同号）

其形状如右图所示。

旋转抛物面方程为

22

xy 2p 2p

p >0 )

双曲抛物面（鞍形曲面）方程为

22 xy

2p 2q

p 与 q 同号）

当 p >0 ， q >0 时，其形状如图所示。

2．双曲面

单叶双曲面方程为

2 x 2

a 22

yz b 2

（ 母线、准线 ）

。

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