2014北京东城高考二模数学理（含答案）

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学 （理科)

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合A?{x?Rx?1?2}，集合B?{?2,?1,0,1,2}，则AA．{2} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{?1,0,1,2}

（2）在复平面内，复数

B=（ ）．

2?i3对应的点位于（ ）． 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（ ）．

A．2或?2 B．?1或?2

C．1或?2 D．2或?1

?x?y?1?0,?（4）如果实数x，y满足条件?x?y?1?0, 则z?2x?y的最大

?y?1?0,?值为（ ）．

A．?3 B．?1 C．0 D．1

（5）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sn?2?Sn?36，则n?（ ）． A．5 B．6

C．7 D．8

（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（ ）．

A．12 B．18 C．24 D．36

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（7）若直线??x?1?t,?x?2?2cos?t （为参数）被圆?（?为参数）所截的弦长为22，则a的值为（ ）．

?y?2?2sin??y?a?tA．1 或5 B．?1 或5 C．1 或?5 D．?1 或?5

（8）对任意实数a，b定义运算“⊙”：a1,?b,a?b…b??设f(x)?(x2?1)?a,a?b?1,若函数f(x)(4?x)?k，

的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是（ ）．

A．(?2,1) C．[?2,0)

B．[0,1] D．[?2,1)

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知tan?=2，那么cos2?? ．

（10）已知平面向量a，b，若a?3，a?b?13，a?b?6，则b? ；向量a，b夹角的大小为 ．

（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x，y,则事件“2x?y?6”的概率为_________．

（12）如图所示，PA与圆O相切于A，直线PO交圆O于B，C两点，AD?BC，垂足为D，且D是OC的中点，若PA?6，则PC? ． A

（13）若直线y?k(x?1)(k?0)与抛物线y2?4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若BN?2AM，则k的值是 ．

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B · O D C P

（14）在棱长为1的正方体ABCD?A，1BC11D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点）

PA?PC1?m，

①若m?2，则满足条件的点P的个数为________；

m的取值范围是________． ②若满足PA?PC1?m的点P的个数为6，则

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）

2已知函数f(x)?sinx?3sinxsin(x?)．

?2（Ⅰ）求f(?)的值； 12（Ⅱ）当x?[0,]时，求函数f(x)的最大值和最小值．

?2 3 / 13

（16）（本小题共13分）

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．

0.025 0.020 0.015 0.005 10 20 30 40 50 60 频率 组距 ，[50,60)的市民进行问卷调

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（17）（本小题共14分）

如图，四棱锥E?ABCD中，平面EAD?平面ABCD,DC//AB,BC?CD,

EA?ED,且AB?4，BC?CD?EA?ED?2．

（I）求证：BD?平面ADE；

（II）求BE和平面CDE所成角的正弦值；

（III）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF?平面CDE，请说明理由．

E D C

A B 5 / 13

（18）（本小题共13分）

已知a?0，函数f(x)?ax?2a，g(x)?alnx?x?a． 2x?1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求证：对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?g(x2)．

6 / 13

（19）（本小题共13分）

x2y26已知椭圆2?2?1的一个焦点为F(2,0)，且离心率为．

ab3（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A,B两点，P为直线x?3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

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（20）（本小题共14分）

设a是一个自然数，f(a)是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an?f(an?1)（n?N*，n?2）．

（Ⅰ）求f(99)，f(2014)； （Ⅱ）若a1?100，求证：a1?a2；

（Ⅲ）当a1?1000时，求证：存在m?N*，使得a3m?a2m．

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东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）?（11）

3 （10）4 60 51 （12）23 4（13）

22 （14）6 (3,5) 3注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

2解：（Ⅰ）f(x)?sinx?3sinxsin(x??) 2 ?sin2x?3sinxcosx ?1?cos2x3?sin2x 22311sin2x?cos2x? 222?61． 2 ? ?sin(2x?)?所以f(?1)?． …………………7分 122?2??5??2x??． 666（Ⅱ）当x?[0,]时，?所以，当2x?当2x?

（16）（共13分）

????时，即x?0时，函数f(x)取得最小值0； 66???3?时，即x?时，函数f(x)取得最大值．…………………13分 6232解：（Ⅰ）1?10?(0.020?0.025?0.015?0.005)?0.35，

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10?00?.35，

即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35．………………………4分 （Ⅱ）100?0.15?15，100?0.05?5，

所以5?8?2， 20即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． ……………………7分

（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．

3C65P(X?0)?3?；

C81412C2C615P(X?1)??； 3C82821C2C3P(X?2)?36?．

C828所以X的分布列为

X P X的数学期望为EX?0?（17）（共14分）

解：（I）由BC?CD，BC?CD?2．,

可得BD?22．

由EA?ED，且EA?ED?2， 可得AD?22． 又AB?4． 所以BD?AD．

又平面EAD?平面ABCD， 平面ADE

平面ABCD ?AD，

0 1 2 5153 14282851533?1??2??．………………………13分 1428284z E D C

BD?平面ABCD，

x

A B y 所以BD?平面ADE． ……………５分 （II）如图建立空间直角坐标系D?xyz，

则D(0,0,0)，B(0,22,0)，C(?2,2,0)，E(2,0,2)，

BE?(2,?22,2)，DE?(2,0,2)，DC?(?2,2,0)．

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设n?(x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则n?DE?0，n?DC?0， 即??x?z?0,

??x?y?0.令x?1，则n?(1,1,?1)．

设直线BE与平面CDE所成的角为?， 则sin??|cos?BE,n?|?|BE?n||2?22?2|2??．

3|BE|?|n|23?32． ……………1０分 3所以BE和平面CDE所成的角的正弦值（III）设CF??CE，??[0,1]．

DC?(?2,2,0)，CE?(22,?2,2)，DB?(0,22,0)．

则DF?DC?CF?DC??CE?2(2??1,???1,?)．

设m?(x',y',z')是平面BEF一个法向量，则n?EB?0，n?EF?0， 即??y'?0,

(2??1)x'?(???1)y'??z'?0.?2??1令x'?1，则m?(1,0,??)．

2??11?0，???[0,1]．

3若平面BEF?平面CDE，则m?n?0，即1??所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF?平面CDE．……………14分

（18）（共13分）

a(1?x2)a(1?x)(1?x)?解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R,f?(x)?2， 222(x?1)(x?1) 因为a?0，

所以，当x??1，或x?1时，f'(x)?0；

当?1?x?1时，f'(x)?0．

所以，f(x)的单调递增区间为(?1,1),单调递减区间为(??,?1),(1,??)．

……6分

（Ⅱ）因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,e)上单调递减，

ea?2a?2a， 2e?1所以，当x?(0,e)时，f(x)?2a．

又f(0)?2a，f(e)? 11 / 13

aa?x?1?． xx所以当a?e时，函数g(x)在区间(0,e)上是增函数， 所以，当x?(0,e)时，g(x)?g(e)?2a?e?2a． 所以，当x?(0,e)时，

对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?2a，g(x2)?2a，所以f(x1)?g(x2)． 当0?a?e时，函数g(x)在区间(0,a)上是增函数，在区间(a,e)上是减函数， 所以，当x?(0,e)时，g(x)?g(a)?alna?2a． 所以，当x?(0,e)时，

对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?2a，g(x2)?2a，所以f(x1)?g(x2)．

由g(x)?alnx?x?a，可得g'(x)?综上，对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?g(x2)． ……………13分

（19）（共13分）

c6． ?a3 可得a2?6，b2?2．

x2y2 故椭圆方程为??1． ………………………………………………５分

62（Ⅱ）直线l的方程为y?k(x?2)．

?y?k(x?2),? 联立方程组?x2y2?1.??2?6 消去y并整理得(3k2?1)x2?12k2x?12k2?6?0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

解（Ⅰ）依题意有c?2，

12k212k2?6故x1?x2?，x1x2?． 223k?13k?1则AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 26(k2?1) ?． 23k?1 设AB的中点为M(x0,y0)．

2k6k2 可得x0?2，y0??2．

3k?13k?11直线MP的斜率为?，又 xP?3，

k1k2?13(k2?1)所以MP?1?2?x0?xP?． ?22kk(3k?1)当△ABP为正三角形时，MP?3AB， 2k2?13(k2?1)326(k2?1)可得， ???222k(3k?1)23k?1解得k??1．

即直线l的方程为x?y?2?0，或x?y?2?0．………………………………13分

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（20）（共14分）

解：（Ⅰ）f(99)?92?92?162；

f(2014)?22?02?12?42?21． ………………5分 （Ⅱ）假设a1是一个n位数（n?3）， 那么可以设a1?bn?10n?1?bn?1?10n?2??b3?102?b2?10?b1，

其中0?bi?9且bi?N（1?i?n），且bn?0．

22由a2?f(a1)可得，a2?bn?bn?1??b32?b22?b12．

a1?a2?(10n?1?bn)bn?(10n?2?bn?1)bn?1?所以a1?a2?(10n?1?(102?b3)b3?(10?b2)b1?(1?b1)b1,

?bn)bn?(b1?1)b1．

n?1因为bn?0，所以(10?bn)bn?99．

而(b1?1)b1?72，

所以a1?a2?0，即a1?a2． ………………9分

222（Ⅲ）由a1?1000，即a1?999，可知a2?9?9?9?243．

222同理an?999，可知an?1?9?9?9?243．

由数学归纳法知，对任意n?N*，有an?999． 即对任意n?N*，有an?{1,2,3,,999}．

因此，存在p,q?N*（p?q），有ap?aq． 则ap?1?aq?1，ap?2?aq?2，…，aq?1?aq?q?p?1， 可得对任意n?N*，n?p，有an?q?p?an． 设q?p?T，即对任意n?p，有an?T?an． 若T?p，取m?T，n?2m，则有a3m?a2m． 若T?p，由an?T?an，可得an?pT?an，

取m?pT，n?2m，则有a3m?a2m． ………………14分

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