03-11年及13年GCT数学真题+答案

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 1 of 84

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析

2003年GCT 入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

1．

12345678910111234567891011

++++++++++=-+-+-+-+-+（ ）。 A ．10 B ．11 C ．12 D ．13

2．记不超过10的素数的算术平均数为M ，则与M 最接近的整数是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．1 000 m 的大道两侧从起点开始每隔10 m 各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。

A ．树200棵，花200盆

B ．树202棵，花200盆

C ．树202棵，花202盆

D ．树200棵，花202盆

4．已知20012002a =，20022003b =，20032004c =，则（ ）。 A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a

5．某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。

A ．4月份与2月份产值相等

B ．4月份比2月份产值增加199

C ．4月份比2月份产值减少199

D ．4月份比2月份产值减少1100

6．函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在[0，+∞）上单调增的充分必要条件是（ ）。

A ．a <0且b ≥0

B ．a <0且b ≤0

C ．a >0且b ≥0

D ．a >0且b ≤0

7．函数1y f a x =+（）（a ≠0）与2y f a x =-（）的图像关于（ ）。

A ．直线x -a =0对称

B ．直线x +a =0对称

C ．x 轴对称

D ．y 轴对称

8．已知实数x 和y 满足条件99x y +（）= -1和100-x y （）=1，则x 101+y 101的值是（ ）。

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

9．一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。

A ．0.271

B ．0.243

C ．0.1

D ．0.081

10．A 、B 、C 、D 、E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知A 队已赛过4场，B 队已赛

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过3场，C 队已赛过2场，D 队已赛过1场，则此时E 队已赛过（ ）。

A ．1场

B ．2场

C ．3场

D ．4场

11．过点P （0，2）作圆x 2+y 2=1的切线P A 、PB ，A 、B 是两个切点，则AB 所在直线的方程为（ ）。

A ．12x =-

B ．12y =-

C ．12x =

D ．12

y = 12．如图，正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。

A E

B F C

D

A ．

12 B ．34 C ．23 D ．35

13．已知两平行平面α，β之间的距离为d （d >0），l 是平面α内的一条直线，则在平面β内与直线l 平行且距离为2d 的直线的有（ ）。

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．4条

14．正圆锥的全面积是侧面积的54

倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为（ ）。

A ．π

B ．π2

C ．π3

D ．π6 15．设点（x 0，y 0）在圆C ：221x y +=的内部，则直线x 0 x + y 0 y =1和圆C （ ）。

A ．不相交

B ．有一个交点

C ．有两个交点，且两交点间的距离小于2

D ．有两个交点，且两交点间的距离等于2

16．设201d x f x t t t =-?（）（），则f x （）的极值点的个数是（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

17．如果函数f x （）在x 0处可导，?0f x （）=0f x +（?x ）-0f x （），则极限000d lim ?→?-?x f x f x x

（）（）（ ）。

A ．等于f '（x 0）

B ．等于1

C ．等于0

D ．不存在

18．甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。

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A ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样

B ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样

C ．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样

D ．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样

19．方程2sin cos x x x x =+的实数根的个数是（ ）。

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

20．设0sin cos d I x x π=?（），则（ ）。 A ．I =0

B ．I <0

C ．0

D ．I =0 21．行列式2

121110

2001x x x x x x

----展开式中x 4的系数是（ ）。 A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1

22．设112031-?? ? ? ???

A =，110231?? ???

B =，则必有（ ）。 A ．AB =BA B ．AB =B T A T

C ．BA = -8

D ．AB =0

23．设A 为4阶非零方阵，其伴随矩阵A *的秩r （A *）=0，则秩r （A ）等于（ ）。

A ．1或2

B ．1或3

C ．2或3

D ．3或4

24．设A 为m ?n 的非零矩阵，方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是（ ）。

A ．A 的列向量线性无关

B ．A 的列向量线性相关

C ．A 的行向量线性无关

D ．A 的行向量线性相关

25．已知三阶矩阵M 的特征值为λ1= -1，λ2=0，λ3=1，它们所对应的特征向量为α1=（1，0，0）T ，α2=（0，2，T 0），α3=（0，0，T 1），则矩阵M 是（ ）。

A ．010000001-?? ? ? ???

B ．110001001-?? ? ? ???

C ．001000100-?? ? ? ???

D ．100000001-?? ? ? ???

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2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】B

【解析】等差数列求和公式1

2n

n a a n

S

+

=

（）

分子=11111

66

2

+?

=

（）分母=-5+11=6

原式=66

11 6

=

2．【答案】C

【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M=2357

4.25

4

+++

=，故与M最接近的整数

为4。

3．【答案】B

【解析】

10×010×110×210×100

…，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为100，故两侧乘以2，故选B。

4．【答案】D

【解析】

20011

1

20022002

a==-，

20021

1

20032003

b==-，

20031

1

20042004

c==-

由

111 200220032004

>>

得

111 111

200220032004 -<-<-

故a

5．【答案】D

【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比2月

份产量减少

1 100

。

6．【答案】C

【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在[0，+∞）上是单调增函数的充分

必要条件必须满足

2

a

a

b

b

a

>

?>

?

?

?

??

-?

??≥

≤

，故选C。

7．【答案】D

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【解析】令f （x ）=x ，有+=++=+f x a x a f x a x a --（

）和（）。

得图像如下：

所以图像关于y 轴对称。 故选D 。 8．【答案】A

【解析】由已知可得：101110x y x x x y y y +=-==-???????

-=±=-=???

或 所以x 101+y 101=-1

9．【答案】A 【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1-0.729=0.271。 10．【答案】B

【解析】由于A 队赛4场，故A 必须与其他四队都赛； D 队已赛1场，D 队只与A 队赛；

B 队已赛3场，B 队与A 、

C 、E 分别赛； C 队已赛2场，C 队与A 、B 分别赛。

所以E 队已赛2场 11．【答案】D

【解析】如右图所示，OA =1，OP =2，∠AOP =60°，OF =

12OA =1

2

。 所以AB 所在直线的方程为y =

1

2

12．【答案】C

【解析】因E 、F 分别为AB 、BC 的中点，所以DE 和DF 交AC 于M ，N 等分AC ，故

S △AMD =S △DMN =S △DNC （等底等高），S △AMD +S △DNC =1

3

S △BEF +S 梯形MNEF

=11111

22223

??+?=?? S 阴影=112333

+=

13．【答案】C

【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。 14．【答案】B

【解析】设正圆锥的底面半径以R ，母线长为L ，则圆锥侧面积=πRL

圆锥全面积=πR 2+πRL

x

x

αl

d

2d

2d

30°

30°

β

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因此2π445

ππ=?=+RL L R RL R 故所求圆心角=

2π2ππ42R R l R ==，选B 。 15．【答案】A

【解析】令001=02x y （，）（，）在圆内，

00+=1x x y y ，可代为x =2，故选A 。

16．【答案】B

【解析】由f （x ）=243430011111d 4343x

x t t t t t x x -=-=-?（） f '(x )=x 3- x 2= x 2(x -1)，令f '(x )=0得x =0，x =1。显然x =1是f (x )的极值点；在x =0的邻域内f '(x )<0，不变号，则x =0不是f (x )的极值点，故选B 。

17．【答案】C

【解析】d f （x 0）=f （x 0+?x ）-f （x 0）

00000000d []lim

lim 0x x f x f x f x x f x f x x f x x x ?→?→?-+?--+?-==??（）（）（）（）（）（） 18．【答案】C

【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故A 、B 均错。

甲、乙两人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故D 错。

故选C 。

19．【答案】B 【解析】令y 1=x 2

y 2=x sin x +cos x

1arc tan x x ??+ ??

? 由数形（如图）结合可知交点个数为2个。

20．【答案】D 【解析】=,cos =cos(+)=sin 2t x x t t ππ2

令-则。 22d =d I=sin(sin )d =sin sin )d x t

t t t t π

π2ππ--2--??（

因为被积函数f (t )=-sin(sin t )在,ππ??-??22??

上是奇函数。所以I=0，故选D 。 21．【答案】A

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【解析】要使行列式212111020

01----x x

x x x x

展开式中含x 4，则在行列式中，各不同的行、列都有x ，即（2x 、x 、x 、x ）=2x 4（即对角线上都为x ），故选A 。

22．【答案】D

【解析】

AB =1111121113101111020210221032001

23131311231133011-?+

-??+-??+-????

?

?? ? ?=?+??+??+?

? ? ??? ? ??+??+??+?????

（）（）（）

121220561---??

?= ? ???

BA =11110111203111001312023121321321301111131-???+?+??

-+?+?-?????

?

?

== ? ? ? ??+?+??-+?+?-??????

???（）（） |AB |=121

220122212440561

---=-?--?+-?=-+=（）（）

|BA |=31

3118111-=-+=-

B T A T =1211211220132112

512313113112301331

22

61010101110210031110

1?+?

-?+??+?-???????? ? ? ?=?+?-?+??+?=-

? ? ?

?-?? ? ? ??+?-?+??+?-??????

（）（）（） 23．【答案】A

【解析】r （A *）=1102

n r r n r n ??=-??-?（）为满秩

（）（）≤A A A

因r （A *）=0，r （A ）≤4-2=2，故选A 。

24．【答案】A

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 第 8 页 共 84 页

解 由AX =0，得1112131121222322123n n m m m mn n a a a a x a a a a x a a a a x ???? ??? ???= ??? ???????

0 即a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =0

因此，A 的列向量线性无关，即x 1=x 2=…x n =0

25．【答案】D

【解析】M =[λ1α1

212λα2 λ3α3]= 100000001-?? ? ? ??? 故选D 。

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 9 of 84

2004年GCT 入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

1．在一条长3 600 m 的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 m 原已挖好一个坑。现改为每隔60 m 立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。

A ．50和40

B ．40和50

C ．60和30

D ．30和60

2．某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）。

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

3．甲、乙两种茶叶以x :y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x :y 等于（ ）。

A ．1:1

B ．5:4

C ．4:5

D ．5:6

4．设112341n n S n -=-+-++- （），则20042005S S +=

（ ）。 A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1

5．在一条公路上，汽车A ，B ，C 分别以80、70、50 km/h 的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B ，车C 从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇2h 后再与车C 相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。

A ．2 010 km

B ．2 005 km

C ．1 690 km

D ．1 950 km

6．已知1ab ≠，且满足22200830a a ++=和23200820b b ++=，则（ ）。

A ．320a b -=

B ．230a b -=

C ．320a b +=

D ．230a b += 7．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示 b a

c 图中O 为原点，则代数式a b b a a c c +--+-+=（ ）。

A ．32a c -+

B ．2a ab c ---

C ．2a b -

D ．3a

8．设a ，b ，c 均为正数，若c a b a b b c c a

<<+++，则（ ）。 A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<

9．arg z 表示z 的幅角，今有arg 2i α=+（），arg 12i β=-+（），则sin αβ（+）=（ ）。

A ．45-

B ．35-

C ．45

D ．35 10．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）。

A ．356

B ．556

C ．328

D ．528

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 第 10 页 共 84 页

11．如图，直角△ABC 中，∠C 为直角，点E 和D ，F 分别在直角边AC 和斜边AB 上，且AF =FE =ED =DC =CB ，则∠A =（ ）。

A B D

F

C A ．

π8 B ．π9 C ．π10 D ．π11

12．如图，长方形ABCD 由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 构成，若长方形ABCD 的面积为A ，则正方形EFGH 的面积为（ ）。 D

C B A

H G

F E

A ．

8A B ．10A C ．12A D ．14

A 13．△ABC 中，A

B =5，A

C =3，∠A =x ，该三角形BC 边上的中线长是x 的函数y f x =（），

则当x 在（0，π）中变化时，函数f x （）的取值的范围是（ ）。

A ．（0，5）

B ．（1，4）

C ．（3，4）

D ．（2，5）

14．直线l 与直线21x y -=关于直线0x y +=对称，则直线l 的方程是（ ）。

A ．21x y -=

B ．21x y +=

C ．21x y +=

D ．21x y -= 15．在圆心为O ，半径为15的圆内有一点P ，若OP =12，则在过P 点的弦中，长度为整数的有（ ）。

A ．14条

B ．24条

C ．12条

D ．11条

16．如图，f x （）、g x （）是两个逐段线性的连续函数，设u x f g x =（）（（）），1u '（）的值为

（ ）。

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 11 of 84

A ．

34

B ．

34

- C ．112

-

D ．

112

17．过点sin p p （,）作曲线sin y x =的切线，设该曲线与切线及y 轴所围成的面积为A 1，

曲线与直线x p =及x 轴所围成的面积为A 2，则（ ）。

A ．20

121lim 3p A A A +

→=+ B ．2012

1

lim 2p A A A +→=+

C ．20

122lim 3p A A A +

→=+ D ．2

012

lim 1p A A A +→=+

18．如下不等式成立的是（ ）。

A ．在（-3，0）区间上，ln 3ln 3x x -<+（）

B ．在（-3，0）区间上，ln 3ln 3x x ->（+）

C ．在[0+∞，）区间上，ln 3ln 3x x ->+（）

D ．在 [0+∞，）区间上，ln 3ln 3x x -<（+）

19．设f x （）为连续函数，且π0

sin sin d 1f x x x x =?（），则π0

sin cos d f x x x x x =?（）（ ）。

A ．0

B ．1

C ．-1

D ．π

20

．如图，抛物线21y x =）把曲线y = x （b -x ）（b >0）与x 轴所构成的区域面积分为A A 与A B 两部分，则（ ）。

A ．A

B A A < B ．A B A A =

C ．A B A A >

D ．A B A A 与的大小关系与b 的数值有关

21．设11

121321

222331

32

33

0a a a a a a M a a a =≠，则行列式11

1213

21222331

32

33

222222222a a a a a a a a a ------=---（ ）。 A ．8M B ．2M C ．-2M D ．-8M

22．若向量α，β，λ 线性无关，而向量α+2β，2β+k λ，3λ+α 线性相关，则k =（ ）。 A ．3 B ．2 C ．-2 D ．-3 23．设1

100110020122003013-????

? ?=== ? ?

? ?????

，，A B C AB ，则矩阵1-C 中，第3行第2列的元素是（ ）。

A ．1

3

B ．12

C ．1

D ．32

GCT数学2003-2011年真题与答案解析第12 页共84 页

24．设矩阵

122

26

306

x

-

??

?

=-

?

?

-

??

A，三阶矩阵≠0

B，且满足AB=0，则（）。

A．81

x r

=-=

，（）

B B．82

x r

=-=

，（）

B C．81

x r

==

，（）

B D．82

x r

==

，（）

B

25．下列矩阵中，与对角矩阵

100

010

002

??

?

?

?

??

相似的矩阵是（）。

A．

101

021

001

??

?

?

?

??

B．

110

021

001

??

?

?

?

??

C．

101

010

002

??

?

?

?

??

D．

110

010

002

??

?

?

?

??

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2004年GCT 入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】D

【解析】每隔40 m 挖坑的数为：3 600 ÷40+1=91

每隔60 m 挖坑的数量为：3 600 ÷60+1=61

由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 ÷120+1=31 因此需要重新挖坑的数量为：61-31=30

填坑的数量为：91-31=60

故选D 。

2．【答案】C

【解析】设该校有女生宿舍x 间，则有

420420x x +??+? >8（x -1） <8x

?5

【解析】价格变化前成品价格为5040x y x y

++元 价格变化时成品价格可表示为

50110%40110%x y x y ++-+（）（）元 浮动前后成品价格保持不变

50405536x y x y x y x y

++=++ 解得5x =4y ，得x :y =4:5

4．【答案】B

【解析】S n =1-2+3-4+…+（-1）n -1n =12112

n n n n -?-???-?-+-??（） （n 为偶数） （n 为奇数） S 2 004= -1 002 S 2 005=200420051120051002200510032

--

+-=-+=（） 因此20042005100210031S S +=-+= 5．【答案】D

【解析】设A ，B 相遇时所用时间为t h ，则A ，C 相遇所用时间（t +2）h ，

有（70+80）t =（80+50）（t +2）?t =13h ，因此甲、乙两站距离为（70+80）?13=1 950 km

6．【答案】B

【解析】

2a 2+2 008a +3=0?4a 2+2 008?2a +6=0 ①

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 第 14 页 共 84 页

3b 2+2 008b +2=0?9b 2+2 008?3b +6=0

②

式①-②得（2a -3b ）（2a +3b ）+2 008（2a -3b ）=0

（2a -3b ）（2a+3b+2 008）=0

2a -3b=0或2a+3b+2 008=0

7．【答案】A

【解析】由图可知b 0，因此a +b <0，b -a <0，a -c <0

故有|a +b |-|b -a |+|a -c |+c = -a -b +b -a -（a -c ）+c = -3a +2c

8．【答案】A 【解析】c a b +b +c >a +c ，b >a >c 9．【答案】D 【解析】依题意可知：

sin α=

sin β==

cos α==

cos β==

3sin sin cos cos sin 5

αβαβαβ+=+==（） 10．【答案】C

【解析】3个空格相连的放法有5

6C =6种，又总的放法有58C 56=种（由于是相同的球，

故不是58A ），故3个空格相连的概率为635628

=。 11．【答案】C

【解析】AF =FE =ED =CB ?∠A =∠FEA ，∠EFB =∠EDA ，∠DCE =∠DEC ，∠B =∠CDB 由三角形性质知：∠EFB =2∠A ∠EFB +∠A =∠CED ?∠CED =3∠A 又因∠C =2π，知??? 2π-∠CED =π-2∠B ∠A +∠B =2

π ?∠A =π10 12．【答案】C

【解析】设AB =a ，BC =b ，则S =ab

由△ADE ，△AHB ，△EFC 和△BGC 都是等腰直角三角形，知

|AH

AE BG ==

HE AE AH =-=-

HG HB BG =-=-

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 15 of 84

又因四边形EFGH

=，即有a =32b

223223A ab b b S ==?=

A 正方形EFGH =2HG =221112288312S a b b S -==?=（） 13．【答案】B

【解析】如右图可知A △ABC =115sin sin 22

AB AC x αβ+=（） A △ABD =15sin sin 22

AB AD y αα= A △ADC =13sin sin 22AC AD y ββ= A △ABC =A △ABD +A △ADC ?5sin 3sin 15sin y y x αβ+=

①

在△ACD 和△ABD 中由余弦定理得： 222

222cos 525cos BD AB AD AB AD y y αα=+-=+-? 222222cos 323cos DC AC AD AC AD y y ββ=+-=+-?

因D 是BC 的中线，故 5cos 3cos 8y y αβ-= ② 由式①2+②2整理得34y 2-30y 2cos （α+β）=225sin 2x +64（α+β =x ）

（15cos x -y 2）2=（17-y 2）2

2y 2=17-15cos x

由x ∈(0,π)，知1

14．【答案】A

【解析】因为直线x +y =0是二、四象限角平分线，所以已知直线上的点P 1（0，-1）关

于直线x = -y 的对称点Q （1，0），点P 2（12，0）关于直线x +y =0的对称点R （0，12

-），Q （1，0），R （0，12-）所在直线方程为1112

y x +=-，即21x y -=。 15．【答案】B

【解析】最长的弦长是直径，OP 垂直于所求直线时，弦长为最短。

最短的弦长为min 18l ==，最长的弦长max 21530l =?=。

因此18≤l ≤30，l 可取13个整数，其中最小弦长和最大弦长各对应一条弦，其余11个整数每个对应两条弦，共有24条。故选B 。

16．【答案】A

B D

C A βα

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 第 16 页 共 84 页

【解析】由图知21942x f x x ??=?-+??（）

（0

36243

3x g x x -+??=?-??（）

（0

当0

4

3

时，2≤g （x ）<6 []9336324

u x f g x x x 1==--++=+4（）（）（）

（0

3） 故u '（1）=3

4

17．【答案】D

【解析】102sin cos sin d 2p p p p

A p x x -=?-?

2sin d 1cos p

A x x p π

==+?

2

12

lim 1p A A A +

→=+

18．【答案】B

【解析】x ≥0?x +3≥3?ln 3x （+）≥ln3?ln 3x （+）≥ln3-x

当-33+x ，ln3>ln 3x （+），ln3-x >ln 3x （+），故选B

19．【答案】C 【解析】因

sin x x '（）=sin x +x cos x ，而[]0sin cos d sin 0x x x x x x π

π

0+==?（） 故0

sin sin d sin cos d 0f x x x x f x x x x x ππ

+=??（

）（）　 0

sin cos d 1f x x x x x π

=-?（）

20．【答案】B

【解析】如图所示：有交点

21y x x b x ==-）（）

得x =0

A B =A 1+A 2 A 1

=230

d x x x

=?

）

p

x

2b

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 17 of 84

233211111=d ==1123223A x b x x bx x b b ----（）（）（ =

（111243--b 3=

112

-）b 3 所以31=12

B A b 3330111+=d ==236

b A B A A x b x x b b b --?（） 所以=A B A A ，故选B 。

21．【答案】D 【解析】11

1213111213321

2223212223313233313233

22222228222a a a a a a a a a a a a M a a a a a a ------=-=----（） 故选D 。

22．【答案】D

【解析】设x 1（α+2β）+x 2（2β+k λ）+x 3（3λ+α）= 0

（x 1+x 3）α +（2x 1+2x 2）β +（kx 2+3x 3）λ=0

由α，β，λ线性无关，知13122

30220330x x x x k kx x +=??+=?=-??+=?

23．【答案】B

由C =AB -1

所以C -1=(AB -1) -1=BA -1

又100020003?? ?= ? ???A ，则110010021003-?? ? ? ?= ? ? ???

A ． 11110100211012=1220011.2301311000132--???? ? ??? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????

C BA

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 第 18 页 共 84 页

故选B 。

24．【答案】A

【解析】设123123

123a a a b b b c c c ??

?

? ???

B =

因AB =0，B ≠0，故有

11111111111

112222012222260683

063608a k c a b c b k c a b xc c k a c x ==?-+=-????==?? ?-++=?-2-?? ?=

???--=????=-?，A = 故可取2202

20220000110000????

? ?=? ? ?

? ?????

B

1r =（）B

故选A 。

25．【答案】C

【解析】根据相关概念可知C 为正确答案。

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 19 of 84

2005年GCT 入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

1．1111111111111111234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.9

--------++++++++（）（）（）（）（）（）（）（）的值是（ ）。 A ．281 B ．29 C ．92 D ．812

2．设p 为正数，则299x px +-=（ ）。

A ．911x x --（）（）

B ．911x x +-（）（）

C ．911x x -+（）（）

D ．911x x ++（）（） 3．在四边形ABCD 中对角线AC ，BD 垂直相交于O 点，若3036AC BD ==，，则四边形ABCD 的面积为（ ）。

A ．1 080

B ．840

C ．720

D ．540

4．某项工程8个人用35天完成了全工程量的13

，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）。

A ．18

B ．35

C ．40

D ．60

5．已知510x y z y -=-=且，则222x y z xy yz zx ++---=（ ）。

A ．50

B ．75

C ．100

D ．105

6．2005年，我国甲省人口是全国人口的%c ，其生产总值占国内生产总值的%d ;乙省人口是全国人口的%e ，其生产总值占国内生产总值的%f ，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）。

A ．cd ef

B ．ce df

C ．cf de

D ．de cf

7．复数21i z =-（）的模z =（ ）。 A ．4 B

．C ．2 D

8．三个不相同的非0实数a b c ，，成等差数列，又a c b ，，恰成等比数列，则a b 等于（ ）。

A ．4

B ．2

C ．-4

D ．-2

9．任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。

A ．0.1

B ．0.2

C ．0.3

D ．0.4

10．一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如图所示（单位:dm ），若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。

A ．6

B ．8

C ．12

D ．16

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 第 20 页 共 84 页

（甲）（乙）

11．在△ABC 中，1086AB AC BC ===，，，过C 点以C 到AB 的距离为直径作圆，该圆与AB 有公共点，且交AC 于M ，交BC 于N ，则MN 等于（ ）。

A ．334

B ．445 C

．172 D ．1133

12．已知0a <，2

1cos 2a a θ+=，则cos 6θπ

??+ ??

?的值是（ ）。 A ． B ． C

．12 D

13．已知P

为反比例函数y =过P 分别作两坐标轴的平行线，交Ox 轴于M ，交Oy 轴于N ，则△MPN 的面积为（ ）。

A B ．1 C

D

14．设一个圆的圆心为P （6，m ），该圆与坐标轴交于04012A B --（）（），、，两点，则P 到坐标原点的距离是（ ）。

A ．

B ．8

C ．10

D ．

15．已知ta n 1θ≠，若圆22cos sin 1x y θθ+++=（）（）的圆心在第

四象限，则

方程

22cos sin 20x y θθ-+=的图形是（ ）

。 A ．双曲线

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．直线 16．设函数f x （）的定义域是[]01，，则函数sin 1cos g x f x f x π+π（）（）（）的定义域是（ ）。

A ．1x ≤

B ．01x ≤≤

C ．0.5x ≤

D ．0.51x ≤≤

17．函数12x x f x x x =--（）（）（）

在-∞+∞，（）上有（ ）。 A ．1条竖直渐近线，1条水平渐近线

B ．1条竖直渐近线，2条水平渐近线

C ．2条竖直渐近线，1条水平渐近线

D ．2条竖直渐近线，2条水平渐近线

18．设f x （）在点0x =处可导，且12123f n n n

== （）（），，，，则0f '（）=（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

19．若f x （）的二阶导数连续，且lim 1x f x →+∞

''=（），则对任意常数α，必有[]lim x f x a f x →+∞''+-（）（）=（ ）

。

GCT 数学2003-2011年真题与答案解析 Page 21 of 84

A ．a

B ．1

C ．0

D ．af a ''（）

20．设2ln x x f x 是（）

的一个原函数，则不定积分d x f x x '?（）=（ ）。 A ．3321ln 39

x x x C ++ B ．22ln x x x C -+ C ．22ln x x x C ++ D ．223ln x x x C ++

21．设连续函数y f x =（）在[]0a ，内严格单调递增，且00f f a a ==（

）（），，若g x f x 是（）（）的反函数，则0d a

f x

g x x +?（（）（））=（ ）。 A ．22f a g a +（）（） B ．2f a （） C ．02d a f x x ?（） D ．0

2d a g x x ?（） 22．设向量12340110211011011101-???????? ? ? ? ?

-- ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ?--????????

，，，αααα，则向量组1234（，，，）αααα的一个极大线性无关组是（ ）。

A ．34，αα

B ．1234，，，αααα

C ．123，，ααα

D ．124，

，ααα 23．设311201112-?? ?= ? ?-??

A ，则A 的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）

。 A ．101?? ? ? ??? B ．110?? ?- ? ??? C ．011?? ? ? ?-??

D ．110?? ? ? ??? 24．已知X 为n 维单位列向量，T X 为X 的转置，n

E 为单位矩阵，若=T G XX ，则G 2等于（ ）。

A ．G

B ．±G

C ．1

D ．n E

25．设a b c ，，是方程3240x x -+=的三个根，则行列式a b c

b c a c a b

的值等于（ ）。

A ．1

B ．0

C ．-1

D ．-2