15届中环杯四年级决赛解析

第15届中环杯决赛试题解析（四年级）

一、填空题A（本大题共8小题，每题6分，共48分）： 1.计算：69 4.6 16.2 23 【答案】690

【解答】69 4.6 16.2 23 23 3 4.6 16.2 23 23 13.8 16.2 23 30 690

2.将长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最

少要积木______块

【答案】3600

【解答】容易知道正方体的边长至少为 3,4,5 60厘米，所以需要积木

60 60 60 3 4 5 3600块

3.在5、8、15、18、25、28、 、2008、2015中，有________个数的数码之和为偶数

（138的数码之和为1 3 8 12）【答案】202

【解答】每两个数一对： 5,8 、 15,18 、 、 2005,2008 ，每对里面有且仅有一个数的数码之和为偶数，一共有 2008 8 10 1 201对，而最后一个数的数码之和为

2 0 1 5 8，为偶数，所以答案就是201 1 202

4.如图，在长方形ABCD中， AED与 BFC都是等腰直角三角形，EF AD 2。则长方

形ABCD的面积为________.

【答案】8

【解答】可以如下图进行切割，由于EF AD 2AG，整个长方形的面积是小正方形面积的8倍。由于一个小正方形的面积为1，所以长方形的面积为8

5.一个等差数列的首项为9，第8项为12，那么这个数列的前2015项中，有________项

是3的倍数。

【答案】288

【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为

an a1 n 1 d

n 203n 603 n 20 。为了使得其为3的倍数，只要使得为整数

777

2010 1

1 2887

即可。容易知道，当n 1、8、15、 、2010时满足要求，一共有项满足要求。

6.老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回

路的三个数之和均为30，上下两个闭合回路的四个数之和均为

40。若圆圈X内填的数为9，则圆圈Y内填的数为【答案】11

【解答】如下图所示，

a b c d 40

a b c d X Y c b 80，

X Y c b 40

a b X 30

a b c d X Y 60，我们推出c b 20。将c b 20代入

c d Y 30

X Y c b 40 X Y 20。由于X 9，所以Y 11。

7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚

线段连接的两个点称为相邻的点）。这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点A开始爬，不同的爬行路线有m种；如果它从点B开始爬，不同的爬行路线有n种。则n m

【答案】3

【解答】我们发现，无论从点A出发还是从点B出发，接下来都是走到形如C点的位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。点A走到红点有两种方法，点B走到红点有六种方法，所以n m 6 2 3。 【说明】对称计数

8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的

长度。如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了20步。拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米。那么绳子的长度为 米。

【答案】35

【解答】由于第一次走了140步、第二次走了20步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的7倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是7倍关系。设第一次拖拉机开了7S米，第二次拖拉机开了S米，并且设绳子的长度为x米，得到方程组

x 7S 140 x 35

。

S 20 xS 15

二、填空题B（本大题共4小题，每题8分，共32分）：

9. 一个园艺匠准备种植一排共20棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。任两

棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于3。那么这20棵树中，枫树最多有 棵。 【答案】12

【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能种梧桐树。我们用下图进行说明，用●表示枫树，用表示 梧桐树，一旦第二个位置种了枫树，那么位置A必须种植梧桐树。无论枫树出现在哪个位置，总有一个位置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树

●

A

根据前面的推导，20棵树中的前16棵树里最多包含了8棵枫树，所以枫树总数最多

8 4 12，我们可以如下进行种植：

10. 如图， ABC为等腰直角三角形，E为BC边上一点，满足BE 3CE，D、A、F三点在

一条直线上。设 DBE中BE边上高的长度为h1， FEC中EC边上高的长度为h2，我们

有3h1 h2 3厘米。 DBE与 FEC的面积之和为6平方厘米，则 ABC的面积为平方厘米。

【答案】64

【解答】由于BE 3CE BE BC,CE BC。而

S DBE S FEC

11

BE h1 CE h2221311

BC h1 BC h2 24241

BC 3h1 h2 8

34

14

将

3h1 h2 311

代入，得BC 16。所以S ABC BC2 162 64平方厘米

44 S DBE S FEC 6

11. 已知一个四位数ABCD满足：ABCD AB CD是1111的倍数，则ABCD的最小值

为 . 【答案】1729

【解答】ABCD AB CD 100AB CD AB CD AB 1 CD 100 100，从而推出

AB 1 CD 100 100 mod1111 ，所以 AB 1 CD 100 1211、2322、3433、

（1）当 AB 1 CD 100 1211时，此时AB 1

12111211

12.11，所以100CD 100

AB 11，所以AB 11或10，但是这两个数显然不是1211的因数；

（2）当 AB 1 CD 100 2322时，考虑到2322 2 33 43，所以2322 18 129，此

AB 1 18

时 ABCD 1729。 CD 100 129

接下来我们要证明1729已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在ABCD 1729，满足 AB 1 CD 100 1111k 100，此时AB 10~16，所以

AB 1 CD 100 16 1 99 100 3383。当k 3时，此时1111k 100已经大于

3383了，所以k 2。而对于k 2的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在

ABCD 1729。

综上所述，本题要求的最小值就是1729。

12. 如下左图，甲要从A走到B，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C走到D，每次

也只能向上或者向右走一格。将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。那么，“中环路”一共有______种。

【答案】1750

【解答】容易知道，从A B，一共有C84种走法，同理，从C D，一共有C84种走法，所有两人走的路径一共有C84 C84种。接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下的就是答案了。

如下图，两条路径的第一个交点为E，我们把这两条路径看为：A E D与

C E B（原先应该是A E B与C E D）。注意：如上右图，如果没有相

交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路径。

反过来，对于A E D与C E B的任意两条路径来说，它们必然会产生公共点。利用对应原理，我们将相交的两条路径与“A E D与C E B的路径”对应

4

起来了，所以相交的情况一共有C10 C64种。

44综上所述，最后的答案就是C84 C84 C10 C6 4900 3150 1750。

三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：

13. 如图，ABCD是一个梯形，其对角线的交点为O。延长AC至点E，满足CE AO。延长DB至点F，满足BF DO。若 BFG的面积为2015平方厘米，求： CGE的面积。

【答案】2015

【解答】由于ABCD是一个梯形，利用等积变换我们有S AOB S DOC。利用CE AO，我们推出S AOB S CBE。利用BF DO，我们推出S DOC S BCF。结合S AOB S DOC，我们有S CBE S BCF，所以S CBE S BCG S BCF S BCG S BFG S CGE，所以 CGE的面积也是2015。

14.A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上

写了一个四位数。已知这三个四位数都是完全平方数（比如4 22，100 102，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0。每个小朋友只能看见别人帽子上的数。这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：

A说：“B、C帽子上数的个位数相同。”

B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了。”

A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一

个偶数。”

求：A、B、C帽子上的数之和。 【答案】14612

【解答】假设cb0a ef 10e f 100e2 20ef f2 a 0 f 0 ，两边对100取

2

2

余，从而推出20ef f2 a mod100 ，也就是说20ef f2的十位数部分为0。显然20ef的十位数部分肯定为偶数，所以f2的十位数也必须为偶数，满足条件的f 1、2、

3、5、7、8、9。

（1）当f 1、2、3时，为了使20ef f2的十位数部分为0，则e 5，此时这三个数就是512 2501、522 2704、532 2809；

（2）当f 5时，20ef f2 100e 25，十位数部分不可能为0；

（3）当f 7时，20ef f2 140e 49，为了使得十位数为0，则e 4或9，此时满足条件的数为472 2209或972 9409；

（4）当f 8时，20ef f2 160e 64，为了使得十位数为0，则e 4或9，此时满足条件的数为482 2304或982 9604；

（5）当f 9时，20ef f2 180e 81，为了使得十位数为0，则e 4或9，此时满足条件的数为492 2401或992 9801。

至此，我们得到9个满足条件的四位数，按照个位数的数字将其分为三组：

2209,2809,9409 、 2704,2304,9604 、 2501,2401,9801 。根据第二句B、C说的话，我

们知道A、B、C三人帽子上的数的个位数都相同。根据第三句A说的话，我们知道这三个数就是 2704,2304,9604 ，所以这三个数的和为2704 2304 9604 14612。 【说明】逻辑推理结合位值原理，并没有考到任何完全平方数的性质

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