离散数学第四版 清华大学出版社 课后答案

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离散数学(第四版)(耿素云屈婉玲张立昂著)清华大学出版社

第1章习题解答

1.1除(3),(4),(5),(11)外全是命题,其中,(1),(2),(8),(9),

(10),(14),(15)是简单命题,(6),(7),(12),(13)是复合命题。

本题中,(3)为疑问句,(5)为感叹句,(11)为祈使句,它们都不是陈述句,所以它们都不是命题。

其次,(4)这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定。又因为(1),(2),(8),(9),(10),(14),(15)都是简单的陈述句,因而作为命题,它们

都是简单命题。(6)和(7)各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题,(12)是由联结词“或”联结的复合命题,而(13)是由联结词“且”联结起来

一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意,有时“和”或“与”联结的是主语,构成简单命题。例如,(14)、(15)中的“与”与“和”是联结的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到“和”或

ww

命题,因而p→q为假命题。

(7)p→q,其中,p:雪是黑色的,q:太阳从东方升起。由于p为假命题,q为真命题,因而p→q为假命题。

(8)p:2000年10月1日天气晴好,今日(1999年2月13日)我们还不

w.

“与”出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分。

1.2(1)p:2是无理数,p为真命题。(2)p:5能被2整除,p为假命题。

(6)p→q。其中,p:2是素数,q:三角形有三条边。由于p与q都是真

khd

1

多表述法,例如,“虽然……,但是……”、“不仅……,而且……”、“一面……,

的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中,合取联结词有许

aw

.com

分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题。

知道p的真假,但p的真值是确定的(客观存在的),只是现在不知道而已。

(9)p:太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定,是确定的。(10)p:小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定,是确定的。

(12)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数。由于q是假命题,所以,q为假命题,p∨q为真命题。

(13)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数,由于q是假命题,所以,

p∨q为假命题。

(14)p:李明与王华是同学,真值由具体情况而定(是确定的)。(15)p:蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。

(1)p→q(2)p→¬q(3)¬p→q

(4)¬p→¬q(5)p q

ww

分析

p为真,q为假,而p q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题,在4个蕴含式中,只有(2)p→r,其中,p同(1),r:明天为3号。

w.

(6)p ¬q(7)¬p→q(8)¬p ¬q

以上命题中,(1),(3),(4),(5),(8)为真命题,其余均为假命题。

本题要求读者记住p→q及p q的真值情况。p→q为假当且仅当

2

khd

1.3令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为

能马上知道,但它们的真值不会变化,是客观存在的。

分析命题的真值是唯一确定的,有些命题的真值我们立即可知,有些则不

在这里,当p为真时,r一定为假,p→r为假,当p为假时,无论r为真还是为假,p→r为真。

1.5(1)p∧q,其中,p:2是偶数,q:2是素数。此命题为真命题。(2)p∧q,其中,p:小王聪明,q:小王用功(3)p∧q,其中,p:天气冷,q:老王来了(4)p∧q,其中,p:他吃饭,q:他看电视

(5)p∧q,其中,p:天下大雨,q:他乘公共汽车上班(6)p→q,其中,p,q的含义同(5)(7)p→q,其中,p,q的含义同(5)

(8)¬p ¬q,其中,p:经一事,q:长一智

词部分放入简单命题中。例如,在(2)中,不能这样写简单命题:p:小王不但聪明,q:小王而且用功。在(4)中不能这样写:p:他一边吃饭,q:他一边看电视。

2°后4个复合命题中,都使用了蕴含联结词,符号化为蕴含式,在这里,关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。

ww

条件,这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如,“因为p,所以q”,“只要p,就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q,否则¬p”“没有q,就没有p”等都表达了q是p的必要条件,因而都符号化为p→q或¬p ¬q的蕴含式。

在(5)中,q是p的必要条件,因而符号化为p→q,而在(6)(7)中,p成了q的必要条件,因而符号化为q→p。

在(8)中,虽然没有出现联结词,但因两个命题的因果关系可知,应该符

w.

p→q所表达的基本逻辑关系为,p是q的充公条件,或者说q是p的必要

khd

3

这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时,应该注意,不要将联结

分析1°在前4个复合命题中,都使用了合取联结词,都符号化为合取式,

号化为蕴含式。

1.6(1),(2)的真值为0,(3),(4)的真值为1。分析

1°(1)中公式含3个命题变项,因而它应该有23=8个赋值:000,

001,…,111题中指派p,q为0,r为1,于是就是考查001是该公式

p∧(q∧r)的成真赋值,还是成假赋值,易知001是它的成假赋值。

2°在公式(2),(3),(4)中均含4个命题就项,因而共有24=16个赋值:0000,0001,…,1111。现在考查0011是它的成假赋值。

1.7

(1),(2),(4),(9)均为重言式,(3),(7)为矛盾式,(5),(6),

(8),(10)为非重言式的可满足式。

断公式的类型。

(1)对(1)采用两种方法判断它是重言式。真值表法

表1.2给出了(1)中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,(1)为重言式。

khd

q

00110011

一般说来,可用真值表法、等值演算法、主析取范式(主合取范式)法等判

p

00001111

r

01010101

w.ww

等值演算法

p→(p∨q∨r)

¬p∨(p∨p∨r) (¬p∨p)∨p∨r

(蕴含等值式)(结合律)

4

p∨q∨r

01111111

p→(p∨q∨r)

11111111

1∨q∨r

1

(排中律)(零律)

由最后一步可知,(1)为重言式。(2)用等值演算法判(2)为重言式。

(p→¬p)→¬p (¬p∨¬)→¬p ¬p∨¬p p∨¬p

1

(蕴含等值式)

(蕴含等值式)(排中律)

(3)用等值演算法判(3)为矛盾式

¬(p→q)∧q ¬(p¬∨q)∧q

(蕴含等值式)(德·摩根律)

(结合律)

p∨(¬q∧q) p∧0 0

ww

p

w.

真值表法

由最后一步可知,(3)为矛盾式。

(5)用两种方法判(5)为非重言式的可满足式。

khd

(零律)

p∨¬q∧q

(矛盾律)

q¬p

0011

0101

1100

由表1.3可知(5)为非重言式的可满足式。

5

(等幂律)

¬p→q

0111

q→¬p

(¬p→q)→(q→¬p)

1110

1110

主析取范式法

(¬p→q)→(q→¬p)

(p∨q)→(¬q∨¬p)

¬(p∨q)∨(¬q∨¬p) (¬p∨¬q)∨¬q∨¬p

(¬p∧1)∨(1∧¬q)

(¬p∧(¬q∨q)∨((¬p∨p)∧¬q)

m0∨m1∨m2.

在(3)的主析取范式中不含全部(4个)极小项,所以(3)为非重言式的可满足式,请读者在以上演算每一步的后面,填上所用基本的等值式。

其余各式的类型,请读者自己验证。分析

1 真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重言式当且仅当A的

真值表的最后一旬全为1;A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0;A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1,又至少有一个0。真值表法不易出错,但当命题变项较多时,真值表的行数较多。

ww

1等值;A为矛盾式当且仅当A与0等值,当A为非重言式的可满足式时,经过等值演算可将A化简,然后用观察法找到一个成真赋值,再找到一个成假赋值,就可判断A为非重言式的可满足式了。例如,对(6)用等值演算判断它的类型。

w.

2

用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例,A为重言式当且仅当A与

(p∧¬p) q

0 q

(p→q)∧(q→0)

khd

6

(¬p∧¬q)∨(¬p∨q)∨(¬p∧¬q)

(矛盾律)(等价等值式)

(¬p∧¬q)∨(¬p∨q)∨(¬p∧¬q)∨(p∨¬q)

¬p∨¬q

(1∨q)∧¬q

(同一律)(零律)(同一律)

1∧¬q

¬q

到最后一步已将公式化得很简单。由此可知,无论p取0或1值,只要q

假赋值,于是公式为非重言式的可满足式。

用主析取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n(n为A中所含命题变项的个数)个极小项;A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项,记它的主析取范式为0;A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项,但不是完全的。

当命题变项较多时,用主析取范式法判公式的类型,运算量是很大的。

用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项,此时记A的主合取范式为1;A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项(n为A中含的命题变项的个数);A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项,但不是全部的。

1.8

(1)从左边开始演算

w.

(p∧q)∨(p∧¬q) p∧(q∨¬q) p∧1 p.

ww

(2)从右边开始演算

p→(q∧r)

¬p∨(q∧r)

(¬p∨q)∧(¬p∨r)

khd

(分配律)(排中律)(同一律)(分配律)

7

(蕴含等值式)

取0值,原公式取值为1,即00或10都为原公式的成真赋值,而01,11为成

(3)从左边开始演算

¬(p q)

((p→q)∧(q→p))

¬((¬p∨q)∨(¬p∨q))

¬((¬p∧¬q)∨(p∧q)) (p∨q)∧¬(p∧q).

请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算

(p∨q)∧¬(p∧q)

¬(¬(p∨q)∨¬¬(p∧q))

¬((¬p∨¬q)∨(p∧q))

¬((¬p∧q)∧(¬p∨q)∧(¬q∨p)∧(¬q∨q))

ww

1.9

w.

¬(p q).

(1)

¬(1∧p∨q)∧(¬q∨p)∧1 ¬((p→q)∧(q→p))

读者填上每步所用的基本的等值式。

¬((p∧q)→p)

¬(¬(p∧q)∨p

¬(¬(p∧q)∨p)

khd

8

¬¬((p∨q)∧¬(p∧q)

(蕴含等值式)(德·摩根律)

¬((¬p∧q)∨(¬p∧)∨(q∧¬q)∨(p∧q))

p∧q∧¬p (p∧¬p)∧q 0.

(结合律、交换律)

(矛盾式)(零律)

由最后一步可知该公式为矛盾式。(2)((p→q)∧(q→p))→(p q)

¬(¬(p∧q)∨p)(蕴含等值式)

由于较高层次等价号两边的公式相同,因而此公式无成假赋值,所以,它为重言式。

(3)(¬p→q)→(q→¬p)

(p∨q)→(¬q∨¬p) ¬(p∨q)∨(¬q∨¬p)

(蕴含等值式)

(¬p∧q)∨¬q∨¬p

¬q∨¬p

(德·摩根律)

¬p∨¬q.

由最后一步容易观察到,11为该公式成假赋值,因而它不是重言式,又00,01,10为成真赋值,因而它不是矛盾式,它是非重言式的可满足式。

是全功能集,可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。

首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。

(1)设A=¬(p→q),易知A是{¬,→}中公式且与F等值,即F A.(2)设B=p∧¬q,易知B是{¬,∧}中公式且与F等值,即F B.(3)设C=¬(¬p∨q),易知C是{¬,∧}中公式,且F C.

(4)设D=(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q)),易知D为{↑}中公式,且F D.(5)设E=(p↓p)↓q,易知E为{↓}中公式,且F E.

ww

w.

1.10

题中给出的F,G,H,R都是2元真值函数。给出的5个联结词集都

khd

(交换律)

9

(吸收律)

(蕴含等值式)

分析

只要找到一个联结词集中与F等值的公式,经过等值演算就可以

找出其他联结词集中与F等值的公式。例如,已知A=¬(p→q)是{¬,→}公式,且F A。进行以下演算,就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。对A进行等值演算,消去联结词→,用¬,∧取代,得

A=¬(p→q)

¬(¬p∨q)

p∧¬q记为B.

则B为{¬,∧}中公式,且F B。再对A进行等值演算,消去→,用¬,

∧取代,得

¬(¬p∨q)记为C.

w.ww

中注意,对于任意的公式A

则D为{↑}中公式,且F D.再对C进行演算,消去¬,∨,用↓取代,在演算

khd

10

在演算中,注意,对于任意的公式A,有

则C为{¬,∧}中公式,且F C。再对B进行演算,消去¬,→,用↑取代,

¬A ¬(A∧A) A↑A.

¬¬(p∧(q↑q)) ¬(p↑(q↑q))

(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q)记为D.

¬A ¬(A∨A) A↓A.

A=¬(p→q)

B=p∧¬q

p∧(q↑q)

C=¬(¬p∨q)

¬p↓q

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(p↓p)↓q记为E.

则E为{↓}中公式,且F E.

2°开始找一个与某真值函数等值的公式的方法,除观察法外,就是根据

该真值函数的真值表,求它的主析取范式,而后进行等值演算即可。例如,由G的真值表可知G的主析取范式为m1∨m3,于是

(¬p∧q)∨(p∧q)

(¬p∨p)∧q

q.

A=¬q→q.

3°在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。例如,取

由于公式q不带联结词,所以,它应该为任何联结词集中的合式公式。

khd

C=q∨q.

D=(q↑q)↑(q↑q).E=(q↓q)↓(q↓q).

式各异的公式。

B=q∧q.

ww

A∨C A,B∨C B,所以,有

A A∨C B∨ B

w.

必有A B

则G A B C D E,对于同一个真值函数G,找到与它等值的形

对于H和R,请读者自己去完成。1.11(1)对C是否为矛盾式进行讨论。

当C不是矛盾式时,A∨C B∨C,则一定有A B,这是因为,此时,

而当C不是矛盾式时,A∨C B∨C,不一定有A B,举反例如下:

11

({¬,→}中公式)

({¬,∧}中公式)

G m1∨m3

({¬,∨}中公式)

({↑}中公式)({↓}中公式)

设A,B,C均为含命题变项p,q的公式,A,B,C及A∨C,B∨C的真值表如表1.4所示,从表1.4可看出,A∨C B,但A B。

表1.4

p0011

q0101

A0010

B0011

C0011

AVC0011

BVC0011

(2)对C是否为重言式进行讨论:

若C为重言式,则A∧C A,C B,于是

A A∧C B∧C B.

因而有

(3)若¬A ¬B,则A B.证明如下:

w.

所以

ww

1.12(1)设(1)中公式为A.

A (p∨(q∧r))→(p∧q∧r)

A ¬(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)A ¬p∧(¬q∧¬r)∨(p∧q∧r)A (¬p∧¬q)∨(¬q∧¬r)∨(p∧q∧r)

khd

A ¬¬A

¬¬B

A B.

当C不是重言式时,请读者举反例说明,A∧C B∧C时,不一定有

B

12

A B

(双重否定律)(¬A ¬B)

(双重否定律)

A B

A (¬p∧¬q∧(¬r∧r))∨(¬p∧q∧r)∧¬r)∨(p∧q∧r)

∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)

A m0∨m1∨m7

于是,公式A的主析取范式为

m0∨m1∨m2∨m7

M3∨M4∨M5∨M6

A的成真赋值为

000,001,010,111

A的成假赋值为

011,100,101,110

(2)设(2)中公式为B

B (¬p→q)→(¬q∧p)

(¬¬p∨q)→(¬q∧p) (p∨q)→(¬q∧p)

¬(p∨q)∨(¬q∧p)

ww

w.

¬q∧p m0∨m2∨m3

(¬p∨¬q)∨¬q∧p

((¬p∨q)∧¬)∨p∧(¬q∧p) (¬p∨¬q)∨p∧(p∧¬q)∨(p∧q)

所以,B的主析取范式为m0∨m2∨m3.B的主合取范式为M1

B的成真赋值为00,10,11.

khd

(吸收律)

13

易知,A的主合取范式为

B的成假赋值为01.(3)设(3)中公式为C.

C ¬(p→q)∧q∧r

(p∧¬q)∧q∧r]

p∧(¬q∧q)∧r p∧0∧r

0.

所以,C的主析取范式为0.

C的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3C的成假赋值为00,01,10,11C无成真赋值,C为矛盾式.分析

1°设公式A中含n(n≥1)个命题变项,且A的主析取范式中含

l(0≤l≤2n)个极小项,则A的主合邓范式中含2n l个极大项,而且极大项的角标分别为0到2n 1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.

在(1)中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含

过的3,4,5,6.这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在(2),(3)中情况类似.

ww

(1)中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A的成真赋值为以上各值.类似地,A的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.

1.13(1)首先求p→(q→r)的主析取范式.

错误!链接无效。

¬p∨(¬q∨r)

14

w.

23 4=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现

2°A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在

khd

¬p∨¬q∨r).

由于演算过程较长,可以分别先求出由¬p,¬q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.

¬p ¬p∧(¬q∨q)∧(¬r∨r) (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)

m0∨m1∨m2∨m3

¬p (¬p∨p)∧¬q∧(¬r∨r)

∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r) m0∨m1∨m4∨m5

(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)

(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) m1∨m31∨m5∨m7

ww

(2)①

的唯一性,可知,

(p→(q→r)) (q→(p→r)).

w.

p↑q

¬(p∧q)

¬p∨¬q

p→(q→r) m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7

类似地,可求出q→(p→r)主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式

khd

15

r (¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r

(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)

∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)

(¬p∧(¬q∨q))∨((¬p∨p)∧¬q)

(¬p∧¬q)∨(¬p∧q))∨((¬p∨¬p)∨(p∧¬q) (¬p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∨¬p) m0∨m1∨m2.

②p↓q

¬(p∧q) ¬p∨¬q m0.

由于p↑q与p↓qp↑q p↓q.1.14

设p:A输入;

设q:B输入;设r:C输入;

它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的{↓}中的公式即可.

表1.5

p00001111

q00110011

khd

r01010101

由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出

FA

00001111

w.ww

FA (p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r))∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)

16

FB

00110000

FC

01000000

(p∧¬q)∧(¬r∨r)∨(p∧q)∧(¬r∨r)

(p∧¬q)∨(p∧q) p ¬¬(p∧q) ¬(p↓q)

(p↓q)↓(p↓p)

FB (¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)

(¬p∧q)∧(¬r∨r) (¬p∧q) ¬¬(¬p∧q)

p↓¬q)

p↓(q↓q).

FC (¬p∧¬p∧r)

¬(p∨q)∧r (p↓q)∧r

ww

分析

w.

¬¬((p↓q)∧r ¬(¬(p↓q)∨¬r ¬(p↓q)↓¬r

((p↓q)↓(p↓q))↓(r↓r)\

在将公式化成{↑}或{↓}中公式时,应分以下几步:

khd

17

¬(p∧¬q)

¬(p↓q)

(1)先将公式化成全功能集{¬,∧,∨}中的公式.(2)使用

¬A ¬(A∧A) A↑A,

¬A ¬(A∨A) A↓A.

使用双重否定律

A∧B ¬¬(A∧B) ¬(A↑B)

(A↑B)↑(A↑B)

A∨B ¬¬(A∨B) ¬(A↓B)

ww

w.

1.15q:矿样为铜;r:矿样为锡.

设p:矿样为铁;

F1 (甲全对)∧(乙对一半)∧(丙全错),

(¬p∧¬q)∧((¬p∧¬r)∨(p∧r))∧(¬p∧r)

(¬p∧¬q∧¬p∧¬r∧¬p∧r)

∨(¬p∧¬q∧p∧r∧¬p∧r)

18

khd

使用德·摩根律

A∧B ¬¬(A∧B) ¬(¬A∨¬B)

¬A↓¬B (A↓A)↓(B↓B)

A∨B ¬¬(A∨B) ¬(¬A∧¬B)

¬A↑¬B (A↑A)↑(B↑B)

(A↓B)↓(A↓B)

0∨0 0.

F2 (甲全对)∧(乙全错)∧(丙对一半)

(¬p∧¬q)∧(p∧¬r)∧((p∧r)∨(¬p∧¬r)

(¬p∧¬q∧p∧¬r∧p∧r)∨(¬p∧¬q∧p∧r∧¬p∧¬r)

F3 (甲对一半)∧(乙全对)∧(丙全错)

((¬p∧q)∨(p∧¬q))∧(¬p∧r)∨(¬p∧¬r)

(¬p∧q∧r)∨0

¬p∧q∧r.

F4 (甲对一半)∧(乙全错)∧(丙全对)

((¬p∧q)∨(p∧¬q))∧(p∧¬r)∧(p∧¬r)

(¬p∧q¬∧¬r∧p∧¬r

ww

0∨0

0.

w.

0∨(p∧¬q∧¬r)

p∧¬q∧¬r.

∨(p∧¬q∧p∧¬r∧p∧¬r)

F5 (甲会错)∧(乙对一半)∧(丙全对)

(p∧q)∧((¬p∧¬r)∨(p∧r))∧(p∧¬r)

(p∧q∧¬p∧¬r∧p∧¬r∨(p∧q∧p∧r∧p∧¬r)

khd

19

∨(p∧¬q∧¬p∧r∧¬p∧r)

(¬p∧q∧¬p∧r∧¬p∧r

0∨0 0

F6 (甲全错)∧(乙全对)∧(丙对一半)

(p∧q)∧((¬p∧r)∧((p∧r)∨(¬p∧¬r) (p∧q∧¬p∧r∧p∧r

∨(p∧q∧¬p∧r∧¬p∧¬r)

0∨0

F (一人全对)∧(一人对一半)∧(一人全错)则F为真命题,并且

F F1∨F2∨F3∨F4∨F5∨F6

(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r) 1.

于是,必有P为真,q与r为假,即矿样为铁。1.16

令p:今天是1号;q:明天是5号.

重言式。

ww

w.

所以,推理正确。

由于本题给出的推理都比较简单,因而可以直接判断推理的形式结构是否为

(1)推理的形式结构为

(p→q)∧p→q.

可以用多种方法判断上公式为重言式,其实,本推理满足假言推理定律,即

(p→q)∧p q.

(2)推理的形式结构为

(p→q)∧p→q.

20

khd

¬p∧q∧r 0,因而必有

但,矿样不可能既是铜又是锡,于是q,r中必有假命题,所以

p∧¬q∧¬r 1.

0.

可以用多种方法证明上公式不是重言式,其实,当p为假(即今天不是1号),q为真(明天真是5号),也即01是上面公式的成假赋值,所以,推理的形式结构不是重方式,故,推理不正确。

(3)推理的形式结构为

(p→q)∧¬p→¬q.

可以用多种方法证明上面公式为重言式,其实,它满足拒取式推理定律,即

所以,推理正确。(4)推理的形式结构为

(p→q)∧¬p→¬q.

可以用多种方法证明上公式不是重言式,01为上公式的成假赋值,所以,推理不正确。

分析

对于前提与结论都比较简单的推理,最好直接判推理的形式结构是否

为重言式,来判断推理是否正确,若能观察出一个成假赋值,立刻可知,推理不正确。

1.17证明②¬r③¬q

(1)

①¬q∨r

ww

⑥¬p(2)证明③q

w.

④¬(p∧¬q)⑤¬p∨q②q→(q→s)

①p→(q→s)

khd

前提引入

前提引入①②析取三段论前提引入④置换②⑤析取三段论

前提引入①置换前提引入

21

(p→q)∧¬p ¬q.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/7yxj.html

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