材料力学练习册答案

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第二章 轴向拉伸和压缩

2.1 求图示杆1?1、2?2、及3?3截面上的轴力。 解：1?1截面，取右段如(a) 由?Fx?0，得 FN1?0

3P32P12FN11(a)(b)2?2截面，取右段如(b)

由?Fx?0，得 FN2??P

FN2FN3PPP3?3截面，取右段如(c)

由?Fx?0，得 FN3?0

2.2 图示杆件截面为正方形，边长

(c)a?20cm，杆长l?4m，P?10kN，比重

??2kN/m3。在考虑杆本身自重时，1?1和2?2截面上的轴力。

解：1?1截面，取右段如(a) 由

?Fx?0，得

11l/42 FN1?la?/4?0.08kN

FN1PFN2(b)2Pl/42?2截面，取右段如(b)

由

?Fx?0，得

222l/4l/4FN2?3la?/4?P?10.24kN

(a)2.3 横截面为10cm的钢杆如图所示，已知P?20kN，Q?20kN。试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。E钢?200GPa。 解：轴力图如图。 杆的总伸长：

Fl?l?2NEA ?20000?0.1?5?2???2?10m9200?10?0.001P20kNQ10cm10cm20kNFN图Q10cm杆下端横截面上的正应力：

??FN?20000???20MPa A10002.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径d?40mm，杆的总伸长?l?1.26?10?2cm。试求荷载P及在P作用下杆内的最大正应力。（E铜?80GPa，E钢?200GPa）。 解：由?l??FNl，得

EAA钢B铜C1.26?10?4?P(4?0.44?0.6?) 92?692?6200?10???40?1080?10???40?1040cm60cmP材料力学练习册答案

解得： P?16.7kN 杆内的最大正应力：

??FN4?16700??13.3MPa 2A??402.5 在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为

kA?1200，kB?1000，标距长为s?20cm，受压后变形仪的读数增量为?nA??36mm，

。 ?nB?10mm，试求此材料的横向变形系数?（即泊松比）解：纵向应变： ?A??nA?36???0.0015 skA20?1200PBss?n10横向应变： ?B?B? ?0.0005skB20?1000AP?1泊松比为： ???B?

?A32.6 图示结构中AB梁的变形和重量可忽略不计，杆1为钢质圆杆，直径d1?20mm，

E1?200GPa，杆2为铜质圆杆，直径d2?25mm，E2?100GPa，试问：

⑴荷载P加在何处，才能使加力后刚梁AB仍保持水平？ ⑵若此时P?30kN，则两杆内正应力各为多少？ 解： FN1?Px/2。FN2?P(2?x)/2

⑴要使刚梁AB持水平，则杆1和杆2的伸长量相等，有

Px?1.5?4P(2?x)?1?4 ?22200???20100???252A1.5m1B1mxP2mC解得：x?0.9209m

⑵ ?1?FN1/A1?4Px/2?d2?4?30000?0.9209 ?44MPa2???2024?30000?1.0791 ?2?FN2/A2?4P(2?x)/2?d2??33MPa22???251，应力20002.7 横截面为圆形的钢杆受轴向拉力P?100kN，若杆的相对伸长不能超过不得超过120MPa，试求圆杆的直径。E钢?200GPa 解：由强度条件 d?P?[?]得 A4P4?100000??32.6mm ?[?]??120?106材料力学练习册答案

由刚度条件?l?P得

lEA d?4Pl??l?E4?100000?2000?35.7mm. 则圆杆的直径d?36mm。

??200?1092.8 由两种材料组成的变截面杆如图所示。AB、BC的横截面面积分别为AAB?20cm2和ABC?10cm2。若Q?2P，钢的许用应力[?]1?160MPa，铜的许用应力[?]2?120MPa，试求其许用荷载[P]。 解：由钢的强度条件P?[?]得

AAQ铜 铜 钢 钢 P1?A1[?]1?1000?120?120kN 由铜的强度条件2P?[?]得

AP2m1mQP1mB2mC P2?A2[?]2/2?2000?160/2?160kN 故许用荷载[P]?120kN

2.9 结构如图所示，水平梁CD的刚度很大，可忽略其变形，AB为一钢杆（E钢?200GPa），直径d?3cm，a?1m，试问：

⑴若在AB杆上装有杠杆变形仪，加力后其读数增量为14.3格（每格代表杠杆仪标距s?2cm，试问P为多少？

⑵若AB杆材料的许用应力[?]?160MPa，试求结构的许用荷载P及此时D点的位移。

解：⑴AB杆的内力为：FN?2P

A变形仪 1，mm）

1000AB杆的应变为：

14.3???7.15?10?4

1000?20CsaBaaPD则 P?EA?/2?200???3024?2?7.15?10?4?50.5kN

⑵ P?A[?]/2???3024?2?160?56.55kN

AB杆的应变为： ???E?8?10?4

AB杆的变形为： ?l??l?8?10?4m D点的位移为： ?D?2?l?2?l?1.6?10?3m

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第三章 扭转

3.1 图示圆轴的直径d?100mm， M1?7kN?m，M2?5kN?m，l?50cm，G?82GPa，⑴试作轴的扭矩图； ⑵求轴的最大切应力；

⑶求C截面对A截面的相对扭转角?AC。 解：⑴扭矩图如图。

⑵轴的最大切应力 ?max?TBC?16?5000 ?25.5MPa3WnAl??10BM2CM1l2kN?m⑶C截面对A截面的相对扭转角?AC

?AC?TABl?TBCl?(2?5)?1000?50?32??1.86?10?3rad

4GIpGIp82000???10T图5kN?m3.2 已知变截面圆轴上的M1?18kN?m，M2?12kN?m。试求轴的最大切应力和最大相对扭转角。G?80GPa

解：?BC?TBC?16?12000?488.9MPa 3WnA??5?75M1?50M2BC0.75m0.5m?AB?TAB16?30000??362.2MPa Wn??7.53?max??BC?488.9MPa T32?12000??BC??BC?0.244rad/m 4GIp800???512kN?m30kN?mTAB32?30000????0.121rad/m AB?4GIp800???7.5???BC??0.244rad/m ?maxT图3.3 图示钢圆轴（G?80GPa）所受扭矩分别为M1?80kN?m，M2?120kN?m，及

M3?40kN?m。已知：L1?30cm ，L2?70cm，材料的许用切应力[?]?50MPa，许用

单位长度扭转角[??]?0.25?/m。求轴的直径。 解：按强度条件?max?Tmax?[?]计算

WnM1L180kN?mM2M3 d?316T?316?80000?201mm 6?[?]??50?10T按强度条件?max??max?[??]计算

GIpL2T图?80000?180 d?432Tmax?432?219.8mm 29?G[??]??80?10?0.2540kN?m材料力学练习册答案

故，轴的直径取d?220mm

3.4 实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连在一起，已知轴的转速n?100r/min，传递功率试选择实心轴的直径d1和内外径比值为P?7.35kW，[?]?20MPa。解：求扭矩：

T?9550P7.35?9550??701.925N?m n1001的空心轴的外径D2。 2D2d2d1d1?316T316?701.925??56.3mm 6?[?]??20?1016T16?701.925?16?3?57.6mm 46?[?](1??)??20?10?15D?3故，实心轴的直径d1?56.3mm，空心轴的外径D?57.6mm，内径d?28.8mm

3.5 今欲以一内外径比值为0.6的空心轴来代替一直径为40cm的实心轴，在两轴的许用切应力相等和材料相同的条件下，试确定空心轴的外径，并比较两轴的重量。 解：要使两轴的工作应力相等，有W空?W实，即

33 d空 d空?d实3（1?0.64）?d实1?41.9cm 41?0.6两轴的重量比

222G空A空d空（1?0.62）41.9（1?0.6） ????0.702 422G实A实d实403.6 图示传动轴的转速为200r/min，从主动轮2上传来的功率是58.8kW，由从动轮1、3、4和5分别输出18.4kW、11kW、22.05kW和7.35kW。已知材料的许用切应力

[?]?20MPa，单位长度扭转角[?]?0.5?/m，切变模量G?82GPa。试按强度和刚度条

件选择轴的直径。 解：求扭矩：

M11.75mM2M3M4M51.6m2.5mP22.05T4?9550?9550??1052.89N?m

n200P18.4P58.8T1?9550?9550??878.6N?m， T2?9550?9550??2807.7N?m

n200n200P7.35P11?350.96N?m T3?9550?9550??525.25N?m， T5?9550?9550?n200n2001.5m最大扭矩Tmax?1929.1N?m

材料力学练习册答案

按强度条件?max?TmaxWn?[?]计算： d?316T316?1929.1??78.9mm 6?[?]??20?10按刚度条件Tmax?[??]计算： d?432Tmax?432?1929.1?180?72.4mm

29GIp?G[??]??82?10?0.5故，轴的直径取d?78.9mm

3.7 图示某钢板轧机传动简图，传动轴直径d?320mm，今用试验方法测得45?方向的

?max?89MPa，问传动轴承受的转矩M是多少？

解：由?max??，则

M?Wn??33M?max?min45?M?d16????32?8916?572.6kN?m

3.8 空心轴外径D?120mm，内径d?60mm，受外力偶矩如图。M1?M2?5kN?m，

M3?16kN?m，M4?6kN?m。已知材料的G?80GPa，许用切应力[?]?40MPa，许用单位长度扭转角[?]?0.2?/m。试校核此轴。 解：最大扭矩Tmax?10kN?m 校核强度条件：

M1M2M3M41m1m1m?max?Tmax16?16?10000??31.44MPa?[?]?40MPa Wn??123?15校核刚度条件：

???maxTmax32?16?10000?180??0.375o/m?[??]?0.2o/m 24GIp800???12?15故，轴的强度满足，但刚度条件不满足。

3.9 传动轴长L?510mm，其直径D?50mm，当将此轴的一段钻空成内径d1?25mm的内腔，而余下的一段钻成d2?38mm的内腔。设切应力不超过70MPa。试求：

⑴此轴所能承受的扭转力偶M的许可值；

⑵若要求两段轴长度内的扭转角相等，则两段的长度各为多少？ 解：⑴此轴能承受的扭转力偶M M?Wmin[?]??D3(1?0.764)16?70?1144.9N?m

MDd1L1L2Md2⑵要使两段轴长度内的扭转角相等，即

4I Tl!?Tl2 即l1?p1?1?0.54?1.41

GIp1GIp2l2Ip21?0.76材料力学练习册答案

故，L1?1.411?510?298.4mm，L2??510?211.6mm 2.412.413.10 直径d?20mm的实心轴，在轴的两端承受扭转力偶M作用，在轴的表面某点A，用变形仪测得与轴线成?45?方向的线应变为??0.5?10?3。已知：??0.3，E?200GPa。试求此时圆轴所承受扭转力偶M。 解：由广义胡克定律有 1(?1???2)??1

EMA45?M有 ???1?E??200?0.5?76.923MPa

1??1?0.3 M?Wn???d316????203?76.92316?120.83kN?m

3.11 等截面传动轴，主动轮输入力矩M1?4.9kN?m，从动轮输出力矩分别为

M2?2.1kN?m，M3?2.8kN?m，已知材料的G?80GPa，许用切应力[?]?70MPa，许用

单位长度扭转角[?]?1?/m。

⑴试设计轴的直径；

⑵按经济的观点各轮应如何安排更为合理？为什么？ 解：⑴设计轴的直径：最大扭矩Tmax?4.9kN?m 按强度条件?max?TmaxWn?[?]计算： d?3M1M2M30.5m0.5m16T316?4900??70.9mm 6?[?]??70?10?4900?180按刚度条件Tmax?[??]计算： d?432Tmax?432?77.3mm 29GIp?G[??]??80?10?1故，轴的直径取d?77.3mm

⑵将主动轮与从动轮2对换，这样可以降低最大弯矩值，从而减少材料消耗，而降低成本。

附录I 截面的几何性质

Ⅰ.1、试求图示图形对y轴的静矩Sy，并求形心坐标zC。 解：dA?b(z)dz；b(z)?2R?z

22zSy??zdAAz22dzz??2zR?zdz0R

22b(z)???R02R?zd(R?z)?R332260OR100200yy(a)材料力学练习册答案

3R3/34RzC??2?

A?R/23?Ⅰ.2 试求图示图形的形心坐标yC和zC。 解：（a）选择原来坐标

SyzC??A1z1C?A2z2CA1?A2??200?0???100?60??20mm22??200???10022

（b）建立坐标如图

Az?A2z2CzC?11CA1?A2?20?160?80?100?30?15?48.55mm20?160?100?3016020zy30yC??A1y1C?A2y2CA1?A220?160?10?100?30?70?39mm20?160?100?30

120(b)Ⅰ.3、试求图示图形的Iy、 Iz和Iyz。 解：Iy??zdA??A2h0b31zdz?bh3 h4zbdz同理：

Iz??y2dA??Ab0h21y(h?y)dy?hb3 b12hzyOIyz??zydA??Abhzh00?1yzdydz?b2h2

8CⅠ.4、试求图示图形对形心轴的Iy和 IzC。 解：（a）建立如图坐标

zC?A1z1C?A2z2C?A3z3C40?180?(?130)?2???55.7mmA1?A2?A32?40?180?240?80260zIyC?IyC1?IyC2?IyC311?2[?40?1803?40?180?(130?55.7)2]??240?803?240?80?55.721212?18818.2864cm480y40240(a)40材料力学练习册答案

IzC?IzC1?IzC2?IzC311?2[?403?180?40?180?1002]??2403?80?23808cm41212

（b）建立如图坐标

zC?A1z1C?A2z2C?A3z3C80?160?(?140)?360?60?130??18.68mm

A1?A2?A380?160?360?60?100?200180z18060yCIyC?IyC1?IyC2?IyC311??160?803?80?160?158.682??100?2003?200?100?18.682 12121??360?603?60?360?(130?18.68)2?11686.6246cm41220010080160(b)IzC?IzC1?IzC2?IzC3 1113334??360?60??200?100??160?80?27725.33cm121212（c）建立坐标如图

zC?A1z1C?A2z2C60?100?(?20)???25.3mm 2A1?A260?100???20zIyC?IyC1?IyC21??60?1003?60?100?5.3212?(

1002030y?64?404???202?25.32)?424cm4IzC?IzC1?IzC2?1??603?100??204?167cm1264 460

第四章 弯曲应力

4.1、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩Mmax和最大剪力FQ,max。（内力方程法）

PaaaPPFQ

7qa/6q3aqa2qaqaa11qa/6FQMPa2PaM49qa2/36材料力学练习册答案

FQmax?P；Mmax?2Pa FQmax?qa

49211qa； Mmax?qa 636

qa2

qa2aq3qa/4aaqa2/4qa/323qa2/4FQ2FQqa/4Mqa52FQmax?qa；Mmax?qa 2332 qa / 2 FQmax?qa；Mmax?qa2 54423qa/2qLqLqL2qa2M

3qa/4qa/4FQFQ

MqL2/2

FQmax?qL5qa/4qL2M3qa2/4qa；

Mmax?qL2 qaa325FQmax?qa； Mmax?qa 44qaqa

qaa2q3a2a

材料力学练习册答案

qa

7qa/6FQ7a/6FQ11qa/6

FQmax?qaqa2qaMqa/22Mqa2121qa2/72；

Mmax?qa2 FQmax?121211qa ；Mmax?qa 672

qaa（简易方法）

q2a4.2、作图示弯矩图和剪并求最大弯和最大剪力

qaa结构的力图，

a矩MmaxFSmax。

qa2qaqa/2

3qa22qa2FQFQqa/2

Mqa/22M5qa2/8qa/22

FQmax?3qa；Mmax?5qa2

FQmax?51qa；Mmax?qa2 28

qa

FQP

FQPqa2q2qaa2/2qaqaMPPaPa2aPaPaaM材料力学练习册答案

FQmax?12121111qa；Mmax?qa2 FQmax?qa ；Mmax?qa 6672qaa

qqa2aaFQqaqa/4qFQqaa

qa/223qa2/4qa2/4qa2/2M；

Mqa2FQmax?qaFQmax?qa； Mmax?Mmax?qa2

32qa 42qaqa/6qa

qa

qa2aFQaaFQaqa/4qa2/6qa2/613qa2/725qa/6

qa2/4qa25qa/4M5qa/62MFQmax?555qa；Mmax?qa2 FQmax?qa；Mmax?qa2 646qaaaqa

qaaq2aqa2a材料力学练习册答案

qaqaqa/4FQ3qa/4qa2FQqaqa2

qaqa2qa2/4MMqa2/2

qa2/32FQmax?qa；Mmax?qa2 FSmax?qa；Mmax?qa2

4.3、截面为No24工字型的梁，受力如图所示。 ⑴ 试求梁的最大正应力和最大切应力； ⑵ 绘出危险截面上正应力及切应力的分布图。 解：⑴、作内力图如右。

Mmax?67.2kN?m FSmax?168kN

190kN80kN32kND0.4m1mzb?1cm?max? ?Mmax Wz0.6m0.5mW?400cm3zIz/Sz?20.4cm32kN168kN22kN16kN?m67200 ?168MPa400FS?Smaxz

IzbFS 102kN?max??分布图

M168000?82.35MPa

204?1045.2kN?m67.2kN?m?分布图

⑵、危险截面在D的左侧。应力分布如图。

4.4、外径为25cm，壁厚为5mm的铸铁管简支梁，跨度为12m，铸铁的容重

?1?7.8g/cm3。若管内装满水（容重?2?1g/cm3）。试求管内的最大正应力。

解：原结构化为满均布力作用的简支梁。其集度为：

25cm12m材料力学练习册答案

q?[(252?242)?7.8?242?1]?9.8 44?737N/m1Mmax??737?122?13266N?m

8Wz???q12m?D332(1?(244))?231cm3 25?max?Mmax13266??57.4MPa Wz2314.5、图示一铸铁梁。若[?t]?30MPa，[?c]?60MPa，试校核此梁的强度。 解：弯矩图如图。

?Mmax?4kN?m

809kN1mB4kN20 M?max?2.5kN?m

C1201m52z1m20由比较可知B截面由拉应力控制， 而最大C截面也由拉应力控制。

Iz?763cm4?B,maxMy4?52?100?BBt??27.3MPa

Iz763My2.5?88?100?CCt??28.8MPa?[?t]

Iz7634kN?mM2.5kN?m?C,max因此该梁的强度不足。

4.6、吊车主梁如图所示。跨度l?8m，试问当小车运行到什么位置时，梁内的弯矩最大，并求许用起重荷载。已知[?]?100MPa。 PP解：F1?(7.85?x)，F2?(0.15?x)

88PM1(x)?(7.85?x)x

8PPM2(x)?(7.85?x)(x?0.3)??0.15

82令

x3008mzPF2F1Wz?597cm3h?30cmIz?8950cm4dM1(x)dM2(x)?0或?0； 得 x?3775mm或x?3925mm dxdx故 Mmax?由强度条件 ?max?P(2l?a)2?0.856P(N?m) 16lMmax0.856P??100 Wz579?10?6材料力学练习册答案

得： P?3.88kN

4.7、若梁的[?]?160MPa，试分别选择矩形（并比较其经济性。 解：弯矩图如图。

Mmax?6.25kN?m

h

、圆形、及管形（D?2）三种截面，?2）bd5kN?m0.5m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m由强度条件?max?Mmax?[?]： Wz5kN?m6.25kN?m1.25kN?m矩形： Wz?3Mmax23b，得 b?3?38.8mm； 32[?]h?77.6mm 园形： Wz??32d3，得 d?332Mmax?73.6mm；

?[?]32Mmax?75.2mm；

?(1??4)[?]管形： Wz??32D3(1??4)，得 D?3三面积之比： A矩形：A圆形：A管形?3010:4254:3331 矩形最优，管形次之，圆形最差。

4.8、圆截面为d1?40mm的钢梁AB。B点由圆钢杆BC支承，已知d2?20mm。梁及杆的[?]?160MPa，试求许用均布荷载q。

39解：1、约束力 FAy?q； FN?q

442、作AB梁的内力图 3、强度计算 AB梁：?max?Mmaxq/2?3?[?] Wz?d1/32Cd2qA2mB1md1得： q??d313q/4[?]?2.01kN/m

q5q/4q/2FQ16BC杆：??FN9q/4??[?] 2A2?d2/4M9q/32

材料力学练习册答案

得： q??d229[?]?22.34kN/m

故取q?2.01kN/m

Pa，4.9、若[?]?160M试确定图示梁空心截面壁的厚度t（各边厚度相等）。 [?]?100MPa，解：作内力图

bh3(b?2t)(h?2t)3Iz??1212 1?(10b3t?18b2t2?14bt3?4t4)350kN?m10kN/m3m150kN5000.5m0.5mt250150kNFQb(h/2)2(b?2t)(h/2?t)2S?? 22?(2t3?5bt2?4b2t)/2*z,max26.7kN56.7kN25kN?m由?max?得： 由?max?得：

Mmaxh?[?] Iz2M*FQ,maxSz,maxIz?2t?[?]

4.10、简支梁如图，试求梁的最底层纤维的总伸长。 qlq解：Mx?x?x2 （0?x?l)

22底层纤维的应力 ?x?qxlhbMx3q(lx?x) ?Wzbh22底层纤维处于单向应力状态

2l3q(lx?x)3q(lx?x2)ql3?dx? ?x?； ?l?? 2220EEbhEbh2Ebh?x4.11、矩形截面简支梁由圆柱形木材刨成。已知P?5kN，a?1.5m，[?]?10MPa ，试确定此矩形截面

h的比值（使其截面的抗弯截面系数具有最大值）及所需木柱的最小bPaaPahdb材料力学练习册答案

直径d。

bh21?(bd2?b3) 解： Wz?66M由

?Wzd；h??0；得 b??b32d 3Pa由 ?max?Mmax6Pa??[?] d22Wz?d33d?93Pa?227mm，取d?230mm [?]4.12、悬臂梁受力如图a，若假想沿中性层把梁分开成上下两部分：

⑴试求中性层截面上切应力沿x轴的变化规律；（参考图b） ⑵试说明梁被截下部分的?由什么力来平衡。

解：（1）、FQ(x)?qx； （0?x?l) 对于矩形截面梁，中性层的切应力 ?x,max?3FQ2A?3qx 2bhqlx?(a)(b)被截下部分的?由固定端的正应力?来平衡

4.13、用钢板加固的木梁如图，若木梁与钢板之间不能相互滑动，钢的E1?210GPa，木的E2?10GPa，试求木材及钢板中的最大工作正应力。 解：变形几何关系：??yy?

y1.5m10010kN

1.5m5200木 钢 物理关系：?1?E1?，?2?E2?b将钢板宽度变换为：b?? Mmax?7.5kN?m

E2b?2100mm E1y1zCyb?y2材料力学练习册答案

yC??Ay?Aiii?100?200?105?5?2100?2.5?70mm

100?200?5?21003bh13b?h22?bh(105?70)??b?h2(70?2.5)2?139cm4 Iz?1212 ?木max?Mmaxy1?7.28MPa IzMmaxEy2?2?79.3MPa IzE1 ?钢max?14.14、图示铸铁梁，若h?10cm，t?2.5cm。欲使得最大拉应力与最大压应力之比为，

3试确定尺寸b应是多少？

MMbtht?y1解：t?max,t?

yc?max,c3得：yc?由yc3h?7.5cm 4iiAy???Ai?b?10?5?(b?2.5)?7.5?3.75?7.5

10b?(b?2.5)?7.5解得：b?22.5cm

第五章 梁弯曲时的位移

材料力学练习册答案

5.1、试用积分法求梁（EI为已知）的：

⑴ 挠曲线方程； ⑵

A截面挠度及B截面的转角；

⑶ 最大挠度和最大转角。

qx

qL2A(B)

BPaaPLaA解：M(x)?ql?q(l?x)/2 M1(x)?3Pa?Px1；M2(x)?3Pa?P(x2?a)

22??3Pax1?Px1/2?C1 EIw????ql?q(l?x)/2 EIw1??3Pax2?P(x2?a)/2?C2 EIw???qlx?qlx/2?lx/2?x/6?C EIw222232222ql2x2ql22lx3x4?x???Cx?D EIw1?3Pax12/2?Px13/6?C1x1?D EIw??24624由 x?0，w?0，??0；得 EIw2?3P2Pax2?(x2?a)3?C2x2?D2 26 C?0, D?0 C1?C2?0；D1?D2?0

1?ql2xqlx2qx31P13P??(??） ?1?(?3Pax1?x12)；w1?(?Pax12?x13)

EI226EI2EI261?ql2x2qlx3qx41Pw?(??） ?2?(?3Pax2?(x2?a)2)

EI4624EI2ymax3ql413P2?yA??(?) w2?(?Pax2?(x2?a)3)

8EIEI265ql325Pa3??A??(逆时针) ymax?yA??(?)

6EI6EI ?max?max3Pa2??A??(逆时针)

EI5Pa2(逆时针) ?B??2EI材料力学练习册答案

qa2aABa

BPA2aa1?qax12qa31Px12Pa2?1?(?）(?） ?1?

EI412?1EI(?qax33w112?qa112x1） ?1?qax2211EI(2?qaxqa322?2?12） 1?qa3qa2211qa3qa4w2?EI(12x2?2x2?12x2?2） wA?0 ?qa3?B12EI(顺时针) wmax?wx1?a/3?3qa454EI ?qa3max?6EI(顺时针) q

qa2 B aAa

??1q3qa2EI(6x?4x） w?1EI(q24x4?qa312x）

w?qa4A?24EI(?) qa3?B?3EI(顺时针) EI43 w1Px321?EI(112?Pa3x1）

?12?EI(Px224?3P4(xPa222?2a)?3）

w132?EI(Px212?3P12(xPa232?2a)?3x2） wPa3A?EI(?) ?2Pa2?B3EI(顺时针)

Pa3 wmax?EI ?7Pa2max??A?6EI(顺时针) qaqAaB3a w5qa4 A?24EI(?)

?qa3 B?8EI(顺时针)

材料力学练习册答案

wmax?wx?3a/219qa4?? wmax?wA

128EIqx(3x4?10l2x2?7l4)。试求： 360EIl5.2、已知直梁的挠曲线方程为：y(x)?⑴ 梁中间截面（x?⑵ 最大弯矩：

⑶ 分布荷载的变化规律。

解：1）、M?EIy???l

）上的弯矩； 2

?q32(x?lx) 6lql2ldM 2）、由，代入得 Mmax? ?0；得 x??dx933d2Mq?x，即荷载分布规律。 3）、由 q?ldx25.3、若图示梁（EI为常数）A截面的转角?A?0，试求比值。 解：在左边力作用下产生 ???Pbl 6EIabPbBAlaP在右边力作用下产生 ?????共同作用 ?A????????得 a:b?1:2

5.4、若图示梁（EI为常数）的挠曲线在A截面处出现一拐点（转折点）。试求比值

2解：分别作 1 与 作用下的弯矩图。

Pal 3EIPblPal??0 6EI3EIM1 M2MMM2AM1A点出现拐点表示该处M?0。

ll/3材料力学练习册答案

则 M?2M1M2??0 33

M11? M22M2l/32M1/3M1M2/35.5、图示悬臂梁（EI为常数），截面为矩形，已知[?]。试求在满足强度条件下梁的最大挠度。 解：Mmax?Pl ?max?Mmax6Pl?2?[?] WzbhPlbhbh2[?] P?6lwmaxPl3bh2[?]2??l 3EI18EIP作用后未提起部分35.6、重量为P的直梁(EI为常数)放置在水平刚性平面上，若受力保持与平面密合，试求提起部分的长度a。 解：由于A处的wA?0；?A?0；MA?0 由平衡条件

PPaa?a??0 3l22则： a?l

3P/3Aal MA?

第六章 简单超静定问题

6.1 已知：钢杆的面积A1?200cm2，E1?210GPa；铜杆的面积A2?100cm2，

E2?100GPa；P?1000kN，试求杆上、下端的反力及各段横截面上的应力。

材料力学练习册答案

解：由静力学：FN1?FN2?P

FN1a，?l2??FN2a , ?l3??2FN2a E2A2E2A2E1A1596.154kN 由物理关系：

?l1?FNa铜 由几何关系：?l1??l2??l3?0 联立上述各式，解得，

FN1?596.154 kN

403.846kN 钢 Pa2a FN2?403.846 kN 作轴力图如图所示。 ?1? ?2?FN1?59.6 MPa (拉) A2FNFN2?40.4 MPa (压) A2F ?3?N2?20.2 MPa (压)

A16.2 钢杆如图所示，其横截面面积A?25cm2，若在加载前杆的下端与刚性地面的间隙

??0.3mm，E?210GPa，P?200kN，l?150cm，试求上、下端的反力。

解：由于杆在P的作用下自然伸长量

Pl200?103 ?l???0.0381m?0.38mm???0.3mm 9?4EA210?10?25?10FN1 故，下端支承面对杆有作用力。

由静力学：FN1?FN2?P

FaFa由物理关系：?l1?N1，?l2??N2

E2A2E2A2由几何关系：?l1??l2??

联立上述各式，解得，FN1?119.17 kN FN2?80.83 kN

lP?FN2 l6.3 结构如图所示，P力施加在刚性平板上，钢、铝的横截面面积相等A?20cm，要使钢管与铝杆中产生的应力相等，荷载P应为多少？E钢?210GPa，E铝?80GPa。 F钢F铝? ???解： ?钢铝，即

A钢A铝 ? F钢?F铝 由静力学：F钢?F铝?P

2P0.004cm钢管 铝杆 材料力学练习册答案

由几何关系：?l钢??l铝?4?10?5

Fl由物理关系：?l钢??钢钢

E钢A钢F铝l铝 ?l铝??

E铝A铝联立上述各式，解得

F钢?F铝?41.34 kN(压)

F铝 F钢

P?82.68 kN( ) 6.4 如图所示刚性梁，由三根钢杆支承，其横截面面积相等均为A?2cm2，其中一杆长度做短了??5在下述两种情况下装配后，试求各杆横截面上的应力。E钢?210GPa。 l。410⑴短杆在中间（图a）； ⑵短杆在一侧（图b）。 解：（1）研究刚性梁ABC， 受力如图。

1 ?MA?0 , F C?FB

21 ?MC?0 , FA?FB

2EA2EAFA A FB F?C B C aa图a EAlFA A ?aFB B aFC C l图b 由物理关系：?lA?FAlA?FBl??lC , ?lB?FB(l??) 由几何关系：?lA??lc????lB

连立上述各式，解得：FB?14 kN（拉）

F?B?B?70 MPa （拉）

AFA?FC?7 kN（压） ?A??C?FA?35 MPa（压） A（2）研究刚性梁ABC，受力如图。

?M?MBC?0 , FC?FA ?0 , FB?2FA

FA(l??)Fl , ?lC?A EAEA由物理关系：?lA?由几何关系：???lA??lc

连立上述各式，解得： FA?FC?10.5 kN（拉）

F?A??C?A?50.25 MPa（拉）

A材料力学练习册答案

FB?21 kN（压）

F?B?B?105 MPa （压）

A6.5 结构如图所示，横梁为刚性，若1、2杆的横截面面积均为AB杆横截面面积的一半，而它们的材料和长度相同，且AB杆与刚性梁相距?（?很小）。在P作用的同时，AB杆与刚性梁相接触。试求1、2杆的内力。

解：由于P作用的同时，AB杆与刚性梁相接触。

1故有：静力学 F1?F2?(P?FAB)

2 几何关系?l1??l2????lAB

FlFl 物理关系?l1?11??l2，?lAB?ABAB

EA1EAAB联立上述各式，解得

?EAABP?EA11)] FAB??[或(P?2l2l?EAABP?EA11)] F1??[或(P?42l4l6.6 两端固定圆轴，轴的许用切应力[?]?定端截面上的扭矩，并选定此轴的直径。 解：静力学 M1?M2

几何关系 ?12??1M??MM??M2?0 物理关系 ?1M??M1a

GI?aaF2 1F1 ?AFAB P2llB60MPa。当M?10kN?m时，求固

M1 MaaMaM2 ?MM?(M?M1)a

GI? ?M2??M2a

GI?联立上述各式，解得 M1?M2?M

由剪切强度条件?max?M?[?]，得

W?10kN.m. 10kN.m. 16M316?10?103 d?3??0.095 m?95mm 6?[?]??60?106.7 两端固定圆轴，轴的直径d?80mm。当M?12kN?m时，求固定端截面上的扭矩，并求轴内的最大切应力。 解：静力学 M1?M2?M 几何关系 ?12??1M??M2?0

M1 M2aM2 a

材料力学练习册答案

物理关系 ?12??M1a

GI? ?M2?2M2a

GI?40 kN.m 联立上述各式，解得

2 M1?M?80 kN.M

3 M2?40 kN.m 轴内的最大切应力

?maxM1M116?80?103????796.18 MPa ?33?W???(80?10)d31680 kN.m

6.8 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受到的力。已知其跨度比和刚度比分别为l1/l2?3/2和EI1/EI2?4/5。 解：设两梁连接处受力为F1，则梁AB、 CD受力如图所示。 几何关系 wB?wC

(F?F1)l13 物理关系 wB?

3EI13F1l2 wC?

3EI2AI1l1CFBI2Dl2AF1C联上述各式，解得

(F?F1)l13EI1?()? F1l2EI2F?F1334?()? 即

F125135 ? F1?F

167FBF1D 6.9 梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，如图所示，试求：（1）二梁接触处的压力FC；（2）加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减少的百分数。

解：（1）设两梁连接处受力为FC，则梁AB、

PAl/2CFCAC受力如图所示。

梁AB上C截面挠度等于梁AC上C截面挠度，即 lllP()2FC()3FC()32(3l?l)?2?2 A6EI23EI3EICl/2BPB材料力学练习册答案

解得： FC?5P 4（2）加固前梁AB的最大弯矩M1max为： M1max?Pl

加固后梁AB的最大弯矩M2max为：

1 M2max?Pl

2加固前梁AB的B点挠度w1B为：

wB1Pl3? 3EIA3Pl 8C1Pl 2加固后梁AB的B点挠度w2B为：

llFC()3FC()23Pll13Pl322 wB2??[??]?3EI3EI2EI264EI加固后梁AB的B点的挠度减少：

Pl313Pl3?wB1?wB23EI64EI?100%?39% ?100%?wB1Pl33EI

第七章 应力状态和强度理论

7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa），试求：

⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；

⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。

解： ?x?100MPa ?y?200MPa ?x?100MPa ???300 （1）???20010060?100?x??y2??x??y2cos2???xsin2??211.6MPa

????x??y2sin2???xcos2??93.3MPa

?2?1（2）?max??x??y2????y?2??x???x?261.8MPa ?2?2材料力学练习册答案 2?min??x??y2??x??y?2?????x?38.2MPa ?2??1?261.8MPa ?2?38.2MPa ?3?0 （3）?max??1??32?130.9MPa

7.2扭矩T?2.5kN?m作用在直径D?60mm的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成

??30?方向上的正应变。设E=200GPa, ??0.3。

解：表面上任一点处切应力为：

T?59MPa WPA??T?max?表面上任一点处单元体应力状态如图

?30???sin2???51MPa

0?120???sin2??51MPa

1?300???300???1200??3.3?10?4

E0?7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成45?方向上的正应变??2.0?10?4，已知转速120r/min，G=80GPa，试求轴所传递的功率。

T?WP9550WPPn

A45?80120解：表面任一点处应力为?max??P??maxWPn9550

纯剪切应力状态下，450斜截面上三个主应力为：?1?? ?2?0 ?3??? 由广义胡克定律 ?1?1??1???E9550?3?E1??V ? 又G?2?1???E???2G? 代入P??maxWPn，得P?109.4KW

7.4图示为一钢质圆杆，直径D?20mm，已知A点与水平线成60?方向上的正应变

?60?4.1?10?4，E=200GPa，??0.3，试求荷载P。

??D2P解：?0? P??0?

4A斜截面上 ?600??0cos2???04A60?

P材料力学练习册答案 ?150??0cos2??03?0 4由广义胡克定律 13???600??1500???600??0

E4E??将?0?4E?6003??代入P??0??D24

解得P=36.2kN

7.5在一槽形刚体的槽内放置一边长为10mm的正立方钢块，钢块与槽壁间无孔隙，当钢块表面受6kN的压力（均匀分布在上表面）时，试求钢块内任意点的主应力。已知

??0.33。

解：坐标系如图所示

P易知： ?x?0 ?y?0 ?z??

AZ由广义胡克定律

1 ?x???x????y??z????E1?y???y????x??z??? E?1?z???z????x??y???? E解得 ?x??19.8MPa ?y?0 ?z??60MPa 可知刚块内任一点的主应力为

P10YX1010?1?0 ?2??19.M8Pa ?3??60MPa

7.6试对铸铁零件进行强度校核。已知：[?t]?30MPa，??0.30，危险点的主应力为：

[?1]?29MPa，[?2]?20MPa，[?3]??20MPa. 解：由题意，对铸铁构件应采用第一或第二强度理论

??t?

第二强度理论：?1????2??3??29MPa??t?

第一强度理论：?1?29MPa故零件安全。

7.7圆杆如图所示，已知d?10mm，T?⑴ 钢材，[?]?160MPa；

1Pd，试求许用荷载P。若材料为： 10TP材料力学练习册答案

⑵ 铸铁，[?t]?30MPa。

解：此为拉扭组合变形，危险点全部在截面周线上，应力状态如图

??T16PP4P??? ?Wp10?d2A?d2??2?1?2?4?2???t?，得P=1.32KN 2?（1） 钢材 由第三强度理论?r3??2?4?2????，得P=9.8KN （2） 铸铁 由第一强度理论?r1?7.8某种圆柱形锅炉，平均直径为1250mm，设计时所采用的工作内压为23个大气压，在工作温度下的屈服极限?s?182.5MPa，若安全系数为1.8，试根据第三强度理论设计锅炉的壁厚。

解：设该锅炉为薄壁圆筒结构，壁厚为?，由题意容器承受的内压为

P?23?0.1?2.3MPa （一个大气压=0.1MPa）

由薄壁圆筒的特点，可认为圆筒横截面上无切应力，而正应力沿壁厚和圆周都均匀分布，于是得圆筒横截面上的正应力为

πD2p?F4?pD????AπD?4?圆筒径向截面（纵截面）上的正应力，单位长度圆筒中以纵截面取的分离体如图所示 FP?2FN?2???''???1??PD

PD得 ?''?

2?D圆筒内壁上沿半径方向的正应力为 ?'''??P

PDPDPD故 ?1? ?2? ?3??P 由薄壁圆筒的特点，远大于P,可认为?3?0。

2?4?4??PD由第三强度理论?r3??1??3??????s， 解得??14.2mm

2?n7.9在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力F?20KN时，测得试样中段B点处与其轴线成300方向的线应变为?300?3.25?10?4。已知材料的弹性模量E?210GPa，试求泊松比。

F解：?0??100MPa

A?30??0cos2??75MPa

0?120??0cos2??25MPa

0由广义胡克定律

1?300???300???1200??? 解得??0.27 E7.10D?120mm,d?80mm的空心圆轴，两端

材料力学练习册答案

承受一对扭转力偶矩Me，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成450方向的线应变为?450?2.6?10?4。已知材料的弹性常数E?200GPa，??0.3。试求扭转力偶矩

Me。

解：A点处切应力??MT?e WPWP应力状态及主应力单元体如图

?1??，?2?0，?3???

11???1??450???1???3???

EE代入相关数据，解得

Me?10.9KN?m

第八章 组合变形与连接件计算 8.1梁的截面为100?100mm2的正方形，若P?30kN。试作轴力图及弯矩图，并求最大拉应力和最大压应力。 解：求得约束反力

FAx?24KN,FAy?9KN，FB?9KN

2.5mB1m为压弯组合变形，弯矩图、轴力图如右图所示 可知危险截面为C截面 最大拉应力

AP1m11.25KN?m?max?Mmax?67.5MPa WZ24KN最大压应力

?max?MmaxFN??69.9MPa WZA8.2若轴向受压正方形截面短柱的中间开一切槽，其面积为原来面积的一半，问最大压应力增大几倍？

解：如图，挖槽后为压弯组合变形 挖槽前最大压应力 ??N?Pc1A1a2

挖槽后最大压应力

P Pa/P a a/2 a/2

材料力学练习册答案

?c2?NMPPa/48P??2??A2Wa/2a(a/2)2/6a2 ?c2 ?c18P/a2??82P/ah?2）及拉杆BC组成，起重载荷P?250kN，b8.3外悬式起重机，由矩形梁AB（

L?2m。若[?]?100MPa，而B处支承可近似地视为铰链，支承反力通过两杆轴线的交点，试选择AB梁的截面尺寸。

解：吊车位于梁中部的时候最危险，受力如图 解得FBC3P?P,FAx?P，FAy?

22C梁为压弯组合变形，危险截面为梁中

3PPLFN?(压)，M?(上压下拉)

24AP30?BL?maxb?2b?PLFNh??????,代入WZ?，A?bh，由?2 4WZAb62解得b?125mm， h?250mm

8.4图示为一皮带轮轴（T1、T2与T3相互垂直）。已知T1和T2均为1.5kN，1、2轮的直径均为300mm，3轮的直径为450mm，轴的直径为60mm。若[?]?80MPa，试按第三强度理论校核该轴。 解：由已知条件解得T3?2KN 内力图如右：

最大弯矩所在截面可能为：

MC?M2ZC2T2T2T3?M2yC?1KN?m

T12T14002002002002T3MD?1.2KN?m

0.45KN?m故危险截面为D截面T3?2KN 由第三强度理论

MZ0.45KN?m0.9KN?m1.2KN?m?r3?M2?T2?60MPaW???

0.225KN?mMy0.45KN?m故安全。

T材料力学练习册答案

8.5铁道路标圆信号板装在外径D?60mm的空心圆柱上，若信号板上所受的最大风载

p?2kN/m2，[?]?60MPa，试按第三强度理论选择空心柱的厚度。

解：设空心柱厚度为t，内外径之比为?，信号板所受风力简

500化到自由端为：F?P?D 42800600易知固定端处为危险截面

M?F?800?10?3, T?F?600?10?3

由第三强度理论

?r3?M2?T232M2?T2????? W?D3?1??4?解得??0.91 可知空心柱厚度 D?D?t??2.65mm

28.6试求图示边长为a的正方形杆件上边缘的伸长量，力P作用于上边中点，且与杆的轴线平行。

解：由题意可知为拉弯组合变形，任意截面上内力为：

PaFN?P（拉），M?（上拉下压）

2上边缘任一点的应力

FM4P??N??

AWZa2上边缘微段dx的伸长量为

??dx???dx?Pl?4a?Edx?4Pdx 2Ea上边缘整个杆长的伸长量为

ll4P16P?l????dx???d? x00Ea2Ea8.7试求图示杆件内的最大正应力，力P与杆的轴线平行。 解：计算中性轴Z轴位置可知ZC?2a，如图所示 任意截面内力：FN?P（拉）,

My?2Pa（左压右拉），

a4a6a4aP材料力学练习册答案

Mz??2Pa（上压下拉）

Iyc?11a4， Izc?32a4 最大正应力

?max

MPMyP??2a?Z2a?0.5722 AIycIzca8.8曲拐受力如图示，P?3.2KN,其圆杆部分的直径d?50mm，试求A点的主应力及最大切应力。

解：此为弯扭组合变形，危险截面为固定端截面 M?288N?m， T?488N?m 危险点应力状态如图所示：

P??M?23.5MPa WZA14090??T?18.3MPa Wp?max??????????????2?33.5MPa， ?min??????2??9.9MPa5 2222?????1?33.5MPa， ?2?0， ?3??9.9M5Pa ????max?13?21.7MPa

28.9一皮带传动如图，主动轮的半径R1?300mm，重量G1?250N，主动轮上皮带与x轴平行。由电动机传来的功率NK?13.5kW。被动轮半径R2?200mm，重量G2?150N，被动轮上皮带与z方向成45?，轴的转速n?4r/s，[?]?80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。

zN解：M?9550K?537.2N?m

n由M?T1R1?T2R2

可知T1?1790N, T2?2686N 内力图如图所示：

危险截面可能为 MC?3080N?m，

MD?3024N?m

2T2xT1被 主 yT22T1400500600Mx12561025故Mmax?MC?3080N?m

25302845MyT537.2材料力学练习册答案

由第三强度理论 ?r3?解得 d?74mm

M2C?T2?d/323????

8.10试求图示联接螺栓所需的直径。已知：P?2kN，t?2cm，螺栓材料的许用切应力。 [?]?80MPa，许用挤压应力[?bs]?200MPa（联接板挤压不考虑）解：1.按切应力强度计算

??FQAQ?P/2???? 2?d/4Pt/2t/2P得d?4mm

2.按挤压强度计算 ?bs?PbsP????bs? AbstdP/2tP/2P得d?0.5mm 故取d?4mm

8.11冲床的最大冲力为400kN，冲头材料的许用应力[?]?440MPa，被冲剪的板的剪切强度极限为?u?360MPa。求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d和板的最大厚度t。

解：1.由题意，冲头截面上最大应力

P4P?max??2????

A?d解得 d=34mm 取最小直径d为34mm 2.冲头要将板冲透，必须满足圆孔上切应力

板 冲头 td冲模 ??PQAQ?P?? ?dt?解得 t?10.4mm.故板最大厚度为10mm.

8.12图示轴的直径d?80mm，键的尺寸b?24mm，h?14mm，键的许用切应力

[?]?40MPa，许用挤压应力[?bs]?90MPa，若由轴通过键所传递的扭转力偶为

3.2kN?m，求键的长度l。

解：设键受力为P,则

dT?P?，得P=80KN

21. 按切应力强度计算

bh/2h/2ld

材料力学练习册答案

??PQAQ?P???? bl得l?83mm 2. 按挤压强度计算

?bs?Pbs2P????bs? Abshl得l?127mm 故取l?127mm

8.13已知图示铆接板的厚度??10mm，铆钉的直径d?17mm，铆钉的许用切应力

[?]?140MPa，许用挤压应力[?bs]?320MPa，P?24kN，试校核铆钉的强度。

解：切应力强度校核

P4P???2?106MPaA?d挤压强度校核

???

P???PPP?bs?PbsP??141MPaAbsd???bs?

故安全

第九章 压杆稳定

9.1、图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起破坏，试确定荷载F为最大时的?角（假设0???解：由平衡条件

?2）。

?F?Fy?0，FNAB?Fcos? ?0，FNBC?Fsin?

F?B90?x使F为最大值条件使杆AB、BC的内力同时达到各自的临界荷载。设AC间的距离为l，AB、BC杆的临界荷载分别为

A?CFNAB??2EI2lAB?2EI??Fcos? 2?lsin??FNBC??2EI2lBC?2EI??Fsin? 2?lcos??材料力学练习册答案

由以上两式得 解得 ???/4。

9.2、一承受轴向压力的两端铰支的空心圆管，外径D?52mm，内径d?44mm，

l?950mm。材料的?b?1600MPa，?p?1200MPa，E?210MPa。试求此杆的临界压

力和临界应力。

?2E?2?210?109解： ?1???41.6 6?p1200?10支承可视为两端铰支，故 ??1， 回转半径为

i?D2?d2/4?522?442/4mm?0.017mm 斜撑杆得柔度

???li?1?0.95/0.017?55.9

因???1，为大柔度杆，故可用欧拉公式计算临界荷载，临界压力为Fcr和临界应力?cr分别为：

?EIFcr??2??l?2?2?210?109??1?0.95??0.052642?4?0.0444?N?402KN

?cr?Fcr?666MPa A9.3、蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字型，材料为Q235钢（E?210GPa,?p?235MPa），

连杆所受最大轴向压力为465kN。连杆在xy平面内发生弯曲，两端可视为铰支，在xz平面内发生弯曲，两端可视为固定。试确定工作安全系数。 解 连杆横截面的几何特性：

A＝［14×9.6-（9.6-1.4）×8.5］cm2=64.7cm2 Iy=407 cm4 Iz=1780 cm4

y140853100mm96xiy?IyA?40764.7?2.51cmiz?IzA?178064.7?5.24cmQ235钢的

14zy

m?m

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