高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 直接证明与间接证明练习 理-课件

第六章 不等式、推理与证明 6.6 直接证明与间接证明练习 理

[A组·基础达标练]

1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )

A．自然数a，b，c中至少有两个偶数

B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 答案 B

解析 “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或是奇数”，故选B. 2．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( ) A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 答案 C

yyzzxxxzxyzyyyzzxx?yx??zx??yz?解析 由于＋＋＋＋＋＝?＋?＋?＋?＋?＋?≥2＋2＋2＝6，

xzxyzy?xy??xz??zy?

∴＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.

3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 b－ac<3a”索的因应是( )

A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0 答案 C

解析 由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.

要证b－ac<3a，只要证(－a－c)－ac<3a，即证a－ac＋a－c>0， 即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0， 即证a(a－c)－b(a－c)>0， 即证(a－c)(a－b)>0.

故求证“b－ac<3a”索的因应是 (a－c)(a－b)>0.

4．[2015·合肥一模]对于函数f(x)，若?a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是( )

A．f(x)＝1(x∈R)不是“可构造三角形函数” B．“可构造三角形函数”一定是单调函数 C．f(x)＝

2

2

2

2

2

2

2

2

yyzzxxxzxyzyB．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0

1

(x∈R)是“可构造三角形函数” x＋1

2

1

D．若定义在R上的函数f(x)的值域是[e，e](e为自然对数的底数)，则f(x)一定是“可构造三角形函数”

答案 D

解析 对于A选项，由题设所给的定义知，?a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A选项错误；

对于B选项，由A选项判断过程知，B选项错误； 对于C选项，当a＝0，b＝3，c＝3时，

15

f(a)＝1>f(b)＋f(c)＝，不构成三角形，故C错误；

对于D选项，由于e＋e>e，可知，定义在R上的函数f(x)的值域是[e，e](e为自然对数的底数)，

则f(x)一定是“可构造三角形函数”．

5．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( ) A．lg(1＋a)>0 C．a＋3ab>2b 答案 B

解析 A选项错误，(a＝0)不成立，C选项，当a＝0，b＝－1时不成立，D选项，ab<0不成立，故选B.

2y8x2

6．[2015·青岛期末]已知x>0，y>0，若＋>m＋2m恒成立，则实数m的取值范围是

2

22

B．a＋b≥2(a－b－1) D.<22

aa＋1

bb＋1

xy( )

A．m≥4或m≤－2 C．－2

2y8x2y2

解析 由题意，可得m＋2m的最大值应小于＋的最小值，所以由基本不等式可得B．m≥2或m≤－4 D．－4

xyx8x＋≥2

y2y8x2y8x2

·＝8，当且仅当＝，即y＝4x时等号成立，所以m＋2m<8，解得－4

xyxy故答案为D.

19

7．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是

ab________．

答案 (0,16]

19

解析 ∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，

ab?19??9ab?∴a＋b＝(a＋b)?＋?＝10＋?＋?≥10＋29＝16(当且仅当a＝4，b＝12时等号成abba?

?

?

?

立)，

∴a＋b的最小值为16.

2

∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.

?1?x?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，则A，

8．已知函数f(x)＝??，a，b是正实数，A＝f???a＋b??2??2???

B，C的大小关系为________．

答案 A≤B≤C 解析 因为≤f(ab)≤f?

a＋b2

≥ab≥

2ab?1?x?a＋b?，又f(x)＝??在R上是减函数，所以有f??a＋b?2??2?

?2ab?，即A≤B≤C. ??a＋b?

9．[2015·陕西二模]小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a1，a2，a3，?，a10.现有三种说法：①若a1a2>a3>?>a10，则必是第一题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10.其中正确的个数是________．

答案 3个

解析 ①②显然成立，③前5个全答对，后5个全错，符合题意，故正确的有3个． 10．[2015·南昌一模]设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－A|<ε成立，就称数列{an}的极限为A.则四

??2n＋1?1111????，其极限为2个无穷数列：①{(－1)×2}；②{n}；③1＋＋2＋3＋?＋n－1；④?

2222???n?

n的共有________个．

答案 2

解析 对于①，|an－2|＝|(－1)×2－2|＝2×|(－1)－1|，当n是偶数时，|an－2|＝0，当n是奇数时，|an－2|＝4，所以不符合数列{an}的极限的定义，即2 不是数列{(－1)×2}的极限；对于②，由|an－2|＝|n－2|<ε，得2－εN时，恒有|an－2|<ε，即2不是数列{n}的极限；对于

nnn?1?1×?1－???1?2?2?111－2?－2?＝<ε③，由|a－2|＝?1＋＋＋＋?＋＝??212?222?

1－2??

nn23n－1n，得n>1－log2ε，

即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε成立，

?1111??2n＋1－2?＝1<ε，得

所以2是数列?1＋＋2＋3＋?＋n－1?的极限；对于④，由|an－2|＝??n2222??n??

n>，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε

?2n＋1?

?的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④. 成立，所以2是数列?

?

1

ε

n?

[B组·能力提升练]

1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，

2

c中至少有一个是偶数，用反证法证明时，假设的内容是________．

答案 假设a，b，c都不是偶数

3

解析 “至少有一个是”否定为“都不是”．

2．[2016·福建模拟]对于30个互异的实数，可以排成m行n列的矩形数阵，如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．

将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为a1，a2，?，

am，并设其中最小的数为a；把每列中最小的数选出，记为b1，b2，?，bn，并设其中最大的

数为b.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①a和b必相等；②a和b可能相等；③a可能大于b；④b可能大于a. 以上四个结论中，正确结论的序号是________(请写出所有正确结论的序号)． 答案 ②③

解析 不妨假设m行n列的矩形数阵，为如题图所示的5行6列的矩形数阵，则由题意可得a的最小值为6，最大值为30；

而b的最小值为6，最大值为26，且在同一个5行6列的矩形数阵中，一定有a≥b，故②③正确，而①④不正确．

3．已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：∠B为锐角． 证明 要证明∠B为锐角，只需证明

a2＋c2－b2222

cosB＝>0，即证a＋c－b>0，

2ac由于a＋c－b≥2ac－b，

∴要证a＋c－b>0只需证2ac－b>0. ∵a、b、c的倒数成等差数列， 112

∴＋＝，即2ac＝b(a＋c)．

2

2

2

2

2

2

2

2

acb∴要证2ac－b>0，只需证b(a＋c)－b>0 即证b(a＋c－b)>0，上述不等式显然成立， ∴∠B为锐角．

4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin13°＋cos17°－sin13°cos17°； ②sin15°＋cos15°－sin15°cos15°； ③sin18°＋cos12°－sin18°cos12°；

4

2

2

2

2

2

2

22

④sin(－18°)＋cos48°－sin(－18°)·cos48°； ⑤sin(－25°)＋cos55°－sin(－25°)·cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下： sin15°＋cos15°－sin15°cos15° 113＝1－sin30°＝1－＝.

244

322

(2)三角恒等式为sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. 4证法一：sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝sinα＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) 331231222

＝sinα＋cosα＋sinαcosα＋sinα－sinαcosα－sinα

4242233322

＝sinα＋cosα＝. 444

证法二：sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sinα＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sinα]

＝sinα＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)[(cos30°cosα＋sin30°·sinα)－sinα]

＝sinα＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)·(cos30°cosα－sin30°·sinα) ＝sinα＋(cos30°cosα)－(sin30°sinα) 31222

＝sinα＋cosα－sinα

443322

＝sinα＋cosα 443＝. 4

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7yux.html