高等数学公式,完整版带目录

高数公式包含:导数公式基本积分表三角函数的有理式积分一些初等函数两个重要极限三角函数公式高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用高斯公式曲线积分曲面积分 柱面坐标和球面坐

高等数学公式

导数公式…………………………………………………………3 基本积分表…………………………………………………………3 三角函数的有理式积分……………………………………………3 一些初等函数………………………………………………………4 两个重要极限………………………………………………………4 三角函数公式………………………………………………………4 诱导公式,和差角公式,和差化积公式,倍角公式, 半角公式,正弦定理,余弦定理,反三角函数性质

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式……………………5 中值定理与导数应用…………………………………………………5 曲率…………………………………………………………………6 定积分的近似计算…………………………………………………6 定积分应用相关公式………………………………………………6 空间解析几何和向量代数…………………………………………6 多元函数微分法及应用……………………………………………7 微分法在几何上的应用……………………………………………7 方向导数与梯度……………………………………………………8 多元函数的极值及其求法…………………………………………8 重积分及其应用……………………………………………………9 柱面坐标和球面坐标………………………………………………10 曲线积分……………………………………………………………10

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曲面积分………………………………………………………11 高斯公式………………………………………………………12 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系……………12 常数项级数……………………………………………………12 级数审敛法……………………………………………………13 绝对收敛与条件收敛…………………………………………13 幂级数…………………………………………………………14 函数展开成幂级数……………………………………………14 一些函数展开成幂级数………………………………………14 欧拉公式………………………………………………………14 三角级数………………………………………………………14 傅立叶级数……………………………………………………15 微分方程的相关概念…………………………………………15 一阶线性微分方程……………………………………………16 全微分方程……………………………………………………16 二阶微分方程…………………………………………………16 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法……………………16 二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………16

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导数公式：

(tgx) secx(ctgx) csc2x(secx) secx tgx(cscx) cscx ctgx(ax) axlna

1

(logax)

xlna

基本积分表：

2

(arcsinx)

1

x2

1

(arccosx)

x21

(arctgx)

1 x2

1

(arcctgx)

1 x2

tgxdx lncosx C ctgxdx lnsinx C

secxdx lnsecx tgx C cscxdx lncscx ctgx C

dx1x

arctg C a2 x2aadx1x a

ln x2 a22ax a Cdx1a x

a2 x22alna x Cdxx

arcsin C a2 x2

a

2

n

dx2

sec2 cosx xdx tgx Cdx2

csc sin2x xdx ctgx C

secx tgxdx secx C

cscx ctgxdx cscx C

ax

adx lna C

x

shxdx chx C chxdx shx C

dxx2 a2

ln(x x2 a2) C

2

In sinxdx cosnxdx

n 1

In 2n

x2a22

x adx x a ln(x x2 a2) C

22x2a2222

x adx x a lnx x2 a2 C

22x2a2x222

a xdx a x arcsin C

22a

2

2

三角函数的有理式积分：

2u1 u2x2du

sinx ，　cosx ，　u tg，　dx 222

21 u1 u1 u

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一些初等函数： 两个重要极限：

ex e x

双曲正弦:shx

2ex e x

双曲余弦:chx

2

shxex e x

双曲正切:thx

chxex e xarshx ln(x x2 1）archx ln(x x2 1)

11 x

arthx ln

21 x

三角函数公式： ·诱导公式：

lim

sinx

1

x 0x

1

lim(1 )x e 2.718281828459045...x x

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tg( )

tg tg 1 tg tg ctg ctg 1

ctg( )

ctg ctg

sin sin 2sin

22

sin sin 2cossin

22

cos cos 2coscos

22

cos cos 2sinsin

22

cos

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·倍角公式：

sin2 2sin cos

cos2 2cos2 1 1 2sin2 cos2 sin2 ctg2 1

ctg2

2ctg 2tg

tg2

1 tg2

·半角公式：

sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 3tg tg3 tg3

1 3tg2

sintg

2

cos cos　　　　　　　　　　　　cos 222

1 cos 1 cos sin cos 1 cos sin

　　ctg

1 cos sin 1 cos 21 cos sin 1 cos

abc

2R ·余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC sinAsinBsinC

2

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx

2

arccosx　　　arctgx

2

arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n k)(k)

Cnuvk 0

n

u(n)v nu(n 1)v

n(n 1)(n 2)n(n 1) (n k 1)(n k)(k)

uv uv uv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)

f(b) f(a)f ( )

F(b) F(a)F ( )

当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

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曲率：

弧微分公式：ds y 2dx,其中y tg 平均曲率：K

:从M点到M 点，切线斜率的倾角变化量； s：MM 弧长。 s

y d

M点的曲率：K lim .

23 s 0 sds(1 y )

直线：K 0;1

半径为a的圆：K .

a

定积分的近似计算：

b

矩形法： f(x)

ab

b a

(y0 y1 yn 1)n

b a1

[(y0 yn) y1 yn 1]n2

b a

[(y0 yn) 2(y2 y4 yn 2) 4(y1 y3 yn 1)]3n

梯形法： f(x)

a

b

抛物线法： f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：W F s

水压力：F p A

mm

引力：F k122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：y f(x)dx

b a a12

f(t)dt b aa

空间解析几何和向量代数：

b

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空间2点的距离：d M1M2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2向量在轴上的投影：Prju cos , 是u轴的夹角。

Prju(a1 a2) Prja1 Prja2

a b a bcos axbx ayby azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos i

c a b ax

bx

jayby

axbx ayby azbz

ax ay az bx by bz

2

2

2

2

2

2

k

az,c a bsin .例：线速度：v w r.bz

aybycy

az

bz a b ccos , 为锐角时，

cz

ax

向量的混合积：[abc] (a b) c bx

cx代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0，其中n {A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax By Cz D 0

xyz

3 1

abc平面外任意一点到该平面的距离：d

Ax0 By0 Cz0 D

A2 B2 C2

x x0 mt

x x0y y0z z0

t,其中s {m,n,p};参数方程： y y0 nt

mnp z z pt

0

二次曲面：

x2y2z2

12 2 2 1

abcx2y2

2 z（,p,q同号）

2p2q3、双曲面：

x2y2z2

2 2 2 1

abcx2y2z2

2 2 2 （马鞍面）1

abc

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多元函数微分法及应用

全微分：dz

z z u u udx dy　　　du dx dy dz x y x y z

全微分的近似计算： z dz fx(x,y) x fy(x,y) y多元复合函数的求导法：

dz z u z v

z f[u(t),v(t)] 　

dt u t v t

z z u z v

z f[u(x,y),v(x,y)]

x u x v x

当u u(x,y)，v v(x,y)时，du

u u v v

dx dy　　　dv dx dy　 x y x y

隐函数的求导公式：

FxFFdydyd2y

隐函数F(x,y) 0 2 ( x)＋( x)

dxFy xFy yFydxdxFyF z z

隐函数F(x,y,z) 0 x

xFz yFz

F F(x,y,u,v) 0 (F,G) u

隐函数方程组：　　　J GG(x,y,u,v) 0 (u,v)

u

u1 (F,G) v1 (F,G) xJ (x,v) xJ (u,x) u1 (F,G) v1 (F,G) yJ (y,v) yJ (u,y)

微分法在几何上的应用：

F

v Fu GGu v

FvGv

x (t)

x xy y0z z0

空间曲线 y (t)在点M(x0,y0,z0)0

(t) (t) (t0)00 z (t)

在点M处的法平面方程： (t0)(x x0) (t0)(y y0) (t0)(z z0) 0 FyFzFzFxFx F(x,y,z) 0若空间曲线方程为：,则切向量T {,,

GGGxGx yzGz G(x,y,z) 0

曲面F(x,y,z) 0上一点M(x0,y0,z0)，则：

1、过此点的法向量：n {Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x x0y y0z z03

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

Fy

Gy

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0) Fy(x0,y0,z0)(y y0) Fz(x0,y0,z0)(z z0) 0

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方向导数与梯度：

f f f

函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l cos sin

l x y其中 为x轴到方向l的转角。

f f

函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i j

x y

f

它与方向导数的关系是 gradf(x,y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的

l

单位向量。 f

是gradf(x,y)在l上的投影。 l

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0) fy(x0,y0) 0，令：fxx(x0,y0) A,　fxy(x0,y0) B,　fyy(x0,y0) C A 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，

A 0,(x0,y0)为极小值 2

则：值 AC B 0时，　　　　　　无极 AC B2 0时,　　　　　　　不确定

重积分及其应用：

f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd

D

D

曲面z f(x,y)的面积A

D

z z

dxdy

x y

2

2

Mx

M

x (x,y)d

D

(x,y)d

D

D

,

MyM

y (x,y)d

D

(x,y)d

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix y2 (x,y)d ,　　对于y轴Iy x2 (x,y)d 平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F {Fx,Fy,Fz}，其中：Fx f

D

(x,y)xd

(x y a)

2

2

22

Fy f 3

D

(x,y)yd

(x y a)

2

2

22

Fz fa 3

D

(x,y)xd

(x y a)

2

2

3

22

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柱面坐标和球面坐标：

x rcos

柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz, y rsin ,　　　 z z

其中：F(r, ,z) f(rcos ,rsin ,z)

x rsin cos 2

球面坐标： y rsin sin ，　　dv rd rsin d dr rsin drd d

z rcos

2

r( , )

2

F(r, , )rsin dr 0

f(x,y,z)dxdydz F(r, , )rsin drd d d d

2

1

M

x dv,　　

1M

y dv,　　

1M

z dv，　　其中M dv

转动惯量：Ix (y2 z2) dv，　　Iy (x2 z2) dv，　　Iz (x2 y2) dv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x (t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　( t ),则：

y (t)

L

x t

f(x,y)ds f[ (t), (t 2(t) 2(t)dt　　( )　　特殊情况：

y (t)

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x (t)设L的参数方程为，则：

y (t)

P(x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系： Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds，其中 和 分别为

L

L

L上积分起止点处切向量的方向角。 Q P Q P

格林公式：( )dxdy Pdx Qdy格林公式：( )dxdy Pdx Qdy x y x yDLDL Q P1当P y,Q x 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydx

x y2L

D·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积： Q P

在＝时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： x y

(x,y)

Q P

＝。注意奇点，如(0,0)，应 x y

u(x,y)

(x0,y0)

P(x,y)dx Q(x,y)dy，通常设x

y0 0。

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds f[x,y,z(x,y z(x,y) z(x,y)dxdyxy

Dxy

对坐标的曲面积分：，其中： P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

号； R(x,y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正

Dxy

号； P(x,y,z)dydz P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正

Dyz

号。 Q(x,y,z)dzdx Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正

Dzx

两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds

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(

P Q R )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds x y z

高斯公式的物理意义——通量与散度：

P Q R

散度：div ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失...

x y z

通量： A nds Ands (Pcos Qcos Rcos )ds， 因此，高斯公式又可写成： divAdv Ands

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(

R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y

cos

yQ

cos zR

dydzdzdxcos

上式左端又可写成： x y z x

PQRP

R Q P R Q P

空间曲线积分与路径无

y z z x x yijk

旋度：rotA

x y zPQR

向量场A沿有向闭曲线 Pdx Qdy Rdz A tds

常数项级数：

1 qn

等比数列：1 q q q

1 q(n 1)n

等差数列：1 2 3 n

2

111

调和级数：1 是发散的

23n

2

n 1

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数收敛

设： limn，则 1时，级数发散

n

1时，不确定 2、比值审敛法：

1时，级数收敛

U

设： limn 1，则 1时，级数发散

n Un 1时，不确定

3、定义法：

sn u1 u2 un;limsn存在，则收敛；否则发散。

n

交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u2 u3 ,un 0)的审敛法——莱布尼兹定理： un un 1如果交错级数满足s u1,其余项rnrn un 1。 limu 0，那么级数收敛且其和

n n

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1 u2 un ，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1( 1)n调和级数： n发散，而 n1

级数： n2收敛；

１时发散1

p级数： npp 1时收敛

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幂级数：

1

x 11 x1 x x2 x3 xn x 1时，发散

对于级数(3)a0 a1x　 a2x2 anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。

x R时不定

1

0时，R

求收敛半径的方法：设lim

an 1

，其中an，an 1是(3) 0时，R

n an

时，R 0

函数展开成幂级数：

f (x0)f(n)(x0)2

函数展开成泰勒级数：f(x) f(x0)(x x0) (x x0) (x x0)n

2!n!

f(n 1)( )

余项：Rn (x x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0

n (n 1)!f (0)2f(n)(0)n

x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x x x

2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m 1)2m(m 1) (m n 1)n

x x 　　　( 1 x 1)2!n!

2n 1

x3x5x

sinx x ( 1)n 1 　　　( x )

3!5!(2n 1)!(1 x)m 1 mx

欧拉公式：

eix e ix

cosx 2 eix cosx isinx　　　或 ix ix sinx e e 2

三角级数：

a0

f(t) A0 Ansin(n t n) (ancosnx bnsinnx)

2n 1n 1

其中，a0 aA0，an Ansin n，bn Ancos n， t x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]上的积分＝0。

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傅立叶级数：

a0

f(x) (ancosnx bnsinnx)，周期 2

2n 1

1

(n 0,1,2 ) an f(x)cosnxdx　　　

其中

b 1f(x)sinnxdx　　　(n 1,2,3 ) n

11 2

1 2 2

835

　111 2

24224262

正弦级数：an 0，bn 余弦级数：bn 0，an

111 2

1 2 2 2 6234

111 2

1 2 2 2 12234f(x)sinnxdx　　n 1,2,3 　f(x) b

2

n

sinnx是奇函数

2

f(x)cosnxdx　　n 0,1,2 　f(x)

a0

ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0 n xn xf(x) (ancos bnsin)，周期 2l

2n 1ll

l 1n x

dx　　　(n 0,1,2 ) an f(x)cos

l ll

其中 l

b 1f(x)sinn xdx　　　(n 1,2,3 ) nl l l

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y f(x,y)　或　P(x,y)dx Q(x,y)dy 0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：

g(y)dy f(x)dx　　得：G(y) F(x) C称为隐式通解。

dyy

f(x,y) (x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy设u ，则 u x，u (u)， 代替u，

xdxdxdxx (u) ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

高数公式包含:导数公式基本积分表三角函数的有理式积分一些初等函数两个重要极限三角函数公式高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用高斯公式曲线积分曲面积分 柱面坐标和球面坐

一阶线性微分方程：

dy

1 P(x)y Q(x)

dx

P(x)dx

当Q(x) 0时,为齐次方程，y Ce

P(x)dx P(x)dx当Q(x) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x)e dx C)e

dy

2 P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：

u u

du(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 P(x,y) Q(x,y)

x y u(x,y) C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x) 0时为齐次d2ydy

P(x) Q(x)y f(x)2

dxdxf(x) 0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y py qy 0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：( )r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y ,y的系数；2、求出( )式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

y py qy f(x)，p,q为常数f(x) e xPm(x)型， 为常数；f(x) e x[Pl(x)cos x Pn(x)sin x]型

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