指数函数的概念和性质教案

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标

知识目标：①掌握指数函数的概念；

②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。

能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实

际背景；

②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

三、教学重难点

教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。

指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。

教学难点：弄清楚底数a对函数图像的影响。

对于底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。

突破难点的关键：

通过学生间的讨论、交流，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来突破难点。

因此，在教学过程中我选择让学生自己去感受指数函数的生成过程以及从这两个特殊的指数函数入手，先描点画图，作为这一堂课的突破口。

四、学情分析及教学内容分析

1、学生知识储备

通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：

知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。

素质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。

2、学生的困难

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。

五、教法分析

本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。

六、教学过程分析

根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，

即：1.情景设置，形成概念深理解性质

2.发现问题，深化概念

5.小结归纳

3.深入探究图像，加 6.布置作业

4.强化训练，落实掌握

（一）情景设置，形成概念

学情分析：1、学生初中就接触过一次函数、二次函数，在第二章再次学习一次函数、二次

函数时，学生有一定的知识储备，但对于指数函数而言，学生是完全陌生的函数，无已有经验的参考，在接受上学生有困难。

2、课本给出了两个引例以及在本章章前语也给了一个例子，分别是细胞分裂、放射性物质省留量及“指数爆炸”，这三个例子比较好但离学生的认知仍存在一定距离，于是我在引课这里翻查了一些参考资料，发现这样一个例子，——折纸问题，这个引例对学生而言①便于动手操作与观察②贴近学生的生活实际。

1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸

观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=ｘ

②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1）， 得出结论ｙ=（1/2）

引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。 设计意图：

（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0

（2）让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接受指数函数的形式。 2、形成概念：

形如ｙ=a（a>0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R。 提出问题:为什么要限制a>0且a≠1？ 这一点让学生分析，互相补充。

分a﹤0，且a=0，0﹤a﹤1，a=1，a>1五部分讨论。 （二）发现问题、深化概念

问题1：判断下列函数是否为指数函数。 1）ｙ=-3

ｘ ｘ

ｘ

2

2）ｙ=3 3) ｙ=3 4) ｙ=(-3) 5) ｙ=3=(1/3)

1/x1+xx-x x

设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ｙ=a（a>0且a≠1）。

1）a的前面系数为1， 2）自变量x在指数位置， 3）a>0且a≠1

2、问题1中（4）ｙ=(-3)的判定，引出问题1：即指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1

1）a<0时，ｙ=(-3)对于x=1/2，1/4，??(-3)无意义。

x

x

x

x

x

2）a=0时，x>0时，a=0；x≤0时无意义。 3）a=1时，a= 1=1是常量，没有研究的必要。

x

x

x

（一）情景设置，形成概念

1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸

观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=2x

②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1）， 得出结论ｙ=（1/2）ｘ

引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。

一、情景导入创设问题1:某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什么？y?2(x?N)x?创设问题2:当生物死后,它机体内原有的碳-14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳-14含量P 与死亡年数t之间的关系式：???1?p??????2??t15730??t???(0.99988)t?0???二、提出问题问题①细胞分裂问题②碳14的衰减问题对应关系定义域y?2x?1???1??5730??p???????2??????tx?N*?t?0?t?0思考问题：（1）这两个问题中的对应关系能否构成函数？（2）这两个关系式的共同特点是什么？

三、新课讲解x指数函数的定义函数y?a(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.思考:为何规定a?0，且a?1??01a区间（0，1）∪（1，＋∞）①若a<0, 是否对任意x都有意义？举例说明。②若a=0，又如何？③若a=1, 则x与y的关系如何？、

2、形成概念：

形如ｙ=ax（a>0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R。 提出问题:为什么要限制a>0且a≠1？ 这一点让学生分析，互相补充。 分a﹤=0，a=1讨论。

1）a<0时，ｙ=(-3)x对于x=1/2，1/4，??(-3)x无意义。 2）a=0时，x>0时，ax=0；x≤0时无意义。 3）a=1时，ax= 1x=1是常量，没有研究的必要。 （二）发现问题、深化概念

问题：判断下列函数是否为指数函数。

1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=31+x 4) ｙ=(-3)x 5) ｙ=3-x=(1/3) x 1、1）a的前面系数为1； 2）自变量x在指数位置； 3）a>0且a≠1。 2、问题中4）ｙ=(-3)x的判定，引出上面讨论的问题：即指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1。

答案：1）不是 2）不是 3）是 4）不是 5）是

落实掌握：1）若函数ｙ=(a 2-3a+3) a x是指数函数，求a值。

x

2）指数函数f(x)= a x（a>0且a≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。

答案：1）a 2-3a+3=1 所以a=1或a=2 因为它是指数函数 所以a=2 2) 待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）

f(x)= 3 x 当前位置：人教网

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练习1：下列函数中，那些是指数函数？(1) (5) (8).(2) y=x4(1) y=4x (5) y=πx(6) y=2ax(3) y=-4x(7) y=xx(4) y=(-4)x(8) y=(2a-1)x(a>1/2且a≠1)形如y?kaf(x)的函数称为指数型函数1．指数函数的定义x函数y＝a(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．下列函数是指数函数的是________． 1①y＝3x＋1；②y＝()x；③y＝2·3x；④y＝2－2x；⑤y＝3x3＋1；⑥y＝(a2＋2)x；⑦y＝x3. 1 提示：②符合；④中y＝2－2x＝(4)x也符合，⑥中a2＋2>0，∴也符合，故是指数函数的是②④⑥. 返回 指数函数的图象和性质探究1：的图象.x?1?y?2用描点法画出指数函数和y????2?x探究1：用描点法画出指数函数xxy?2xx-3-2-10?1?和y????2?y8的图象.14y0.1250.250.51248-3-2-10123124210.50.250.125-10108?1?y????2?-5x64y?25x121023-2指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:a> 10＜a＜1图象(1)定义域:R性质(2)值域:( 0 ,+∞)(3)过点（0，1），即x=0时，y=1(4)当x>0时,y>1;x<0时00时,01(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数 1x用描点法画出指数函数y?3,y?()的图像31x1xxx把y?2,y?(),y?3,y?()放在同一23坐标系中，观察比较，你能得出哪些结论？xx1xy?()y?33y1xy?()2探究2：y?2x1O1演示x指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:a> 10＜a＜1图象(1)定义域:R性质(2)值域:( 0 ,+∞)(3)过点（0，1），即x=0时，y=1(4)当x>0时,y>1;x<0时00时,01(5)在R上是增函数（三）深入研究图像，加深理解性质

(5)在R上是减函数 指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了两个环节。 第一环节：分三步

（1）让学生作图 （2）观察图像，发现指数函数的性质 （3）归纳整理

学生课前准备：利用描点法作函数y=2，y=3，以及y=(1/2）、y=(1/3)的图像。 设计意图：（1）观察总结a>1,0

（2）观察ｙ=2与ｙ=2，ｙ=3与ｙ=3图像关于y轴对称。

x

-x

x

-x

xxxx

（3）在第一象限指数函数的图像满足“底大图高。 （4）经过（0，1）点图像位置变化。

变式：去掉底数换成字母，根据图像比较底数的大小。 方法提炼：①用上面得到的规律；

②作直线x=1与指数函数图像相交的纵坐标，即为底数。

第二环节：

利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a 取不同的值时，让学生观察函数图像的变化特征，归纳总结：ｙ=a的图像与性质

x

以y=2为例，让学生用单调性的定义加以证明；

设计意图：（1）让学生由初中的“看图说话”的水平，提升到高中的严格推理的层面上来。

x

（2）学习用做商法比较大小。

4、奇偶性： 不具备

5、对称性：ｙ=a不具备，但底数互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称。从形式上可变为y=ax与y=a-x

总结:两个函数y=f(x),y=f(-x)关于y轴对称。

6、交点：（1）与y轴交于一点（0，1） （2）与x轴无交点（x轴为其渐近线） 7、 当x>0时,y>1；当x<0时,00时, 01 8、ｙ=a（a>0且a≠1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）

难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。 为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究： 左右无限上冲天，永与横轴不沾边。 大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。

x

x

若a>a，则a的取值范围是________. 11113提示：由于3<2，而a>a2. 1312∴函数y＝ax是减函数． ∴a的取值范围是0a2. ∴函数y＝ax是减函数． ∴a的取值范围是0

（四）强化训

例1：学习了指数函数的概念，探究出它的性质以后，再回应本节课开头的问题，解决引例问题。

例2：比较下列各题中两值的大小 （1） （4/3）

-0.23

与（4/3）

-0.25

； （2） （0.8）与（0.8） 。

2.53

方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性

（3） 与；（4） 与

方法指导：不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决。 （5）(3/4)与(5/6)；（6）（-2.1）与（-2.2）

方法指导：底不同但指数相同，结合函数图像进行比较，利用底大圈高。（6）“-”是学生的易错易混点。

（7）（0.3）与(2.3)；（8）1.7与0.9。

方法指导：底不同，指数也不同，可采用①估算（与常见数值比较如（8））②中间量如（7）（10/3）〔（10/3）或（2.3）〕(2.3)。 变式：已知下列不等式, 比较 (l)

的大小 :

3

2/3

3

2/3

-3

2/3

0.3

3.1

2/3

2/3

3/7

3/7

(2) (3) (4)

（

且

）

设计意图：（1）、（2）对指数函数单调性的应用（逆用单调性），（3）建立学生分类讨论的思想。（4）培养学生灵活运用图像的能力。

返回A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去,?,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗？又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗？

观察指数函数的图象，比较a,b,c,d,的大小。探究点1指数函数的概念指数函数是形式化的概念，形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数被称为指数函数，这里x是自变量，要判断一个函数是否是指数函数，需抓住三点：①底数大于零且不等于1；②幂指数有单一的自变量x；③系数为1，且没有其他的项．返回若函数y＝(4－3a)x为指数函数，求实数a的取值范围．[提示]应紧扣指数函数的定义．[解] 若函数y＝(4－3a)x为指数函数，则 ??4－3a＞0???4－3a≠1 4，解得a＜3且a≠1， 4所以实数a的取值范围是{a|a＜3且a≠1}． 返回35若函数f(x)是指数函数，且f(－2)＝25，则f(3)＝________. 13??5x3解析：令f(x)＝a，则a＝＝52， 25∴a＝5，即f(x)＝5x， ∴f(3)＝53＝125. 答案：125返回探究点2与指数函数有关的定义域、值域指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是R，其值域是(0，＋∞)．关于指数型函数y＝af(x)＋b的定义域可结合求函数定义域的方法，通过解不等式或不等式组来解决；求其值域可采用换元法，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域是(0，＋∞)．返回利用指数函数性质比较大小的几种情况：(1)同底数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．(2)指数幂ax与1的比较：当x<0,00，a>1时，ax>1；当x<0，a>1或x>0,01，∴指数函数y＝2.5x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵1.3<2，∴2.51.3<2.52.返回(2)0.8－0.3,0.8－0.5可以看作函数y＝0.8x的两个函数值，∵0<0.8<1，∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.3>－0.5，∴0.8－0.3<0.8－0.5.(3)由指数函数的性质得1.80.6>1.80＝1；0．93.1<0.90<1，∴1.80.6>0.93.1.返回比较下列各组数的大小． 5－1－(1)0.80.5与(4)0.4；(2)40.9,80.48，(2)1.5； 4?2(3)0.6与(3)3；(4)0.30.4与0.40.3. －2 54解：(1)(4)－0.4＝(5)0.4＝0.80.4， ∵函数y＝0.8x在定义域R上是减函数， 又∵0.5>0.4，∴0.80.5<0.80.4， 5即0.80.5<(4)－0.4. 返回1(2)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，(2)－1.5＝21.5， ∵y＝2x在定义域R上为增函数， 1－∴21.8>21.5>21.44，即40.9>(2)1.5>80.48. 4?24(3)∵0.6>0.6＝1，(3)3<(3)0＝1， －204?2∴0.6>(3)3. －2(4)∵0.30.4<0.30.3，且当指数相同且大于0时，底数越大图像越高， ∴0.30.3<0.40.3，∴0.30.4<0.40.3. 返回

一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问如果喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾车(精确到1 h)．[解] 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL，x小时后其酒精含量为0.3 (1－50%)x mg/mL.由题意知 返回指数函数是

学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的教学安排上，我更注意学生思维习惯的养成， 特作如下思考：

1、设计应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了三个环节 （1）由具体的折纸的例子引出指数函数

设计意图：贴近学生的生活实际，便于动手操作与观察。 让学生充分感受我们生活中大量存在指数函数模型，从而便于学生接受指数函数的形式，突破符号语言的障碍。

（2）通过研究几个特殊的底数的指数函数得到一般指数函数的规律。 符合学生由特殊到一般的，由具体到抽象的学习认知规律。

（3）通过多媒体手段，用计算机作出底数a变换的图像，让学生更直观、深刻的感受指数函数的图像及性质。 通过引入定义剖析辨析运用，这个由特殊到一般的过程揭示了概念的内涵和外延；而后在教师的点拨下，学生作图观察探究交流概括运用，使学生在动手操作、动眼观察、动脑思考、合作探究中达到对知识的发现和接受，同时渗透了分类讨论、数形结合的思想，提高了学生学习数学概念、性质和方法的能力，养成了良好的学习习惯。

2、课堂练习前后呼应，各有侧重，通过问题呈现，变式教学，不但突出了重点内容，把知识加固、挖深。使教学目标得以实现。而且注重知识的延续性，为以后的学习奠定了基础。 3、教学过程设计为六个环节： 1.情景设置，形成概念2.发现问题，深化概念 3.深入探究图像，加深理解性质 4.强化训练，落实掌握5.小结归纳 ，拓展深化 6.布置作业，延伸课堂。各个环节层层深入，环环相扣，充分体现了在教师的指导下，师生、生生之间的交流互动，使学生亲身经历知识的形成和发展过程。

4、通过学案教学为抓手，让学生先学，老师在课前充分了解了学情，以学定教，进行二次备课，抓住学生的学习困难，站在学生学的角度设计教学。

5、学生真思考，学生的真探究，才是保障教学目标得以实现的前提，在教学中，教师通过

教学设计要以给学生充分的思维空间、推理运算空间和交流学习空间，努力创设一个“活动化的课堂”才可能真正唤起学生的生命主体意识，引领他们走上自主构建知识意义的发展路径。

2010-04-06 人教网 关闭 打印

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