抛物线的定义和标准方程

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抛物线的定义和标准方程

教学目标：

1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。

2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问：

1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；

（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简；

（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。

如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）

2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e < 1时是什么图形？（椭圆） 当e > 1时是什么图形？（双曲线）

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当e = 1时是什么图形？ 二、新课导入：

当e = 1时，它又是什么曲线呢？

即：在平面内到一定点的距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹是什么图形？

演示“拉线教具”：观察与定点F的距离等于到定直线l的距离的动点M的轨迹，画出的是适合条件的点M的集合P={M| |MF|=d}，这里d是动点M到定直线l 的距离。 画出的曲线叫抛物线。

（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系） 三、新课讲授： （一） 定义：

平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。 概念理解：

平面内有—— (1) 一定点F——焦点

(2) 一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线

***想：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？

（是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线） (3) 动点到定点的距离 |MF| (4) 动点到定直线的距离 d (5) | MF| = d

（6）动点M的轨迹——抛物线

（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：

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１、 要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？ ［建立适当的直角坐标系应遵循两点：

①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］

过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题： （1）如何确定x轴（或y轴）？ （以对称轴为坐标轴）

由抛物线的定义和KF是抛物线的对称轴。 （2）如何确定坐标原点？

（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）

因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。 （3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？

取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

２、开口向右的抛物线标准方程：（教师引导得出结论） ——将几何问题用代数方法表示

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(p 为焦参数) 那么，焦点F的坐标为(p / 2,0) 准线 l 的方程为 x = p / 2. 设抛物线上的任一点 M (x,y),点M到直线 l 的 距离为 d 根据定义，抛物线就是集合 ①动点M到定点F的距离 |MF| P={M| |MF|=d} ②动点M到定直线 l 的距离 d ③平面内到一定点和到一条 不过此点的定直线的距离| MF| = d ①根据两点间的距离公式： 动 点M(x,y)与定点F(p/2, 0)的距离|MF|= √(x2-x1)2+(y2-y1)2; ②点M(x,y)到直线 l: x + = | x + p p/2=0 的距离 d 怎样表示是一 3 用点 M 的坐标表示这 个条件，得出方程 f (x,y)=0 两边平方，化简得2 4、把方程 f (x,y)=0 y = 2px (p>0) 化简

2 写出曲线上的点 M 所 要适合的条件

因为 d = | x + p / 2 | 所以

/ 2 |

个难点 难点。利用点 P(x0,y0)到直 难点 线 Ax+By+C=0 的距离公式： 或者：点P(x0,y0)到垂直于 x 轴的直线 x = x0 的距离为 d = | x - x0 | 即抛物线的标准方程 (1)

(如果选取坐标系使得抛物 线的顶点在原点， 对称轴和一 个坐标轴重合， 这样推导出来 的抛物线方程称为标准方程 标准方程) 标准方程 方程(1)的推导过程表明， 因为方程化简的每一步都同 抛物

线上的点的坐标都是这 解，最后一步证明可以省略 5、 证明化简后的方程 个方程式的解。 还可以证明， 就是所求的曲线方程 以方程(1)的解为坐标的 点都在此抛物线上。

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３、标准方程y = 2px (p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）

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p的几何意义：焦点到准线的距离 焦 点：（p/2 ,0）在x轴的正半轴上 准 线：x = - p/2

顶 点：坐标原点（０，０） 开口方向：向右 ４、巩固练习：

根据抛物线的标准方程，说出抛物线的焦点坐标和准线方程： y=8x y=6x y=2/5x y=3.2x

（三）一条抛物线，由于它在坐标平面上的位置不同，方程也有不同。

１、可由开口向右的抛物线得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程（也可由图象的对称性得到）；

也可由抛物线的四种标准方程中的任一种形式推导得出抛物线的其他三种标准方程。（图３－２－１）

２、对这四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同。（图３－２－２）

从方程、焦点、准线、图形四个方面，给出其中的任一项，给出此种抛物线的其它几项的值，进而分析开口向右、向左、向上、向下的抛物线的标准方程及图象的异同点。

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(图３－２－１)

（图３－２－２）

（四）开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点： 相同点：

１、原点在抛物线上；

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２、对称轴为坐标轴； ３、 p值的意义：（重点） （１）表示焦点到准线的距离； （２）p>0为常数;

（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；

４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2. 不同点：

（五）要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p 值及抛物线开口方向；反之亦然。 （六）巩固对比练习：

1、已知方程，求焦点坐标、准线方程；（先化为标准方程） 2、已知焦点坐标，求标准方程、准线方程； 3、已知准线方程，求标准方程、焦点坐标； 四、例题讲解：

例1、先判断下列抛物线的开口方向，再写出它们的焦点坐标和准线方程： （1）y= -14x (2) 2x - 5y = 0.

方法：已知抛物线的方程，求焦点及准线时——

要先判断抛物线的开口方向；根据图形及p值确定焦点及准线方程。 例2、画拱宽为2a 、拱高为h的抛物线。证明这个画法的正确性。 五、课堂练习：

1、求下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：

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（1）y =20x (2)x =1/2y (3) 2y +5x=0 (4) x +8y=0 2、选择题：

对于抛物线x=4ay(a≠0),下面的结论中正确的是（ ） （A）若a>0,则焦点为（0，a），若a<0,则焦点为（0,- a）； （B）若a>0,则焦点为（0，a/2），若a<0,则焦点为（0,- a/2）； （C）焦点为（0，a）； （D）焦点为（0，a/2）；

3、根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程及准线方程： （1）焦点是F（0，-2）； （2）焦点是F（3，0）； （3）准线方程x = -1/4; （4）焦点到准线的距离是2。

向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴 六、课堂小结：

1． 抛物线的定义，焦点、准线 2． 参数p（p>0,焦点到准线的距离）。 3． 抛物线的四种标准方程。 4． 解题 七、作业布置：

1． 已知抛物线y = 2px (p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>p/2),则点M到准线的距离是多少？点M的横坐标x是多少？

2． 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为y轴，推导抛物线的标准方程。 3． 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）x = 2/3 y ; (2) 4x +3y = 0 ; (3) 2y = - 5x ; (4) y - 6x = 0.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ylm.html