分式第一课

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

9a5a?b3a2?b2215xy11x2?13xy11532

例：下列式子中，、8ab、-、、、2-、、 、、、、、a?232x?yam6x2?m24x?yx?y中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .

2x?7x1b2?5a2x2?x?2xy⑴； ⑵ ?；⑶；⑷；⑸2?；⑹2.

x?523ba?2x?y2a37x1bx?xyy3（2）下列式子，哪些是分式？ ?； 2；； ；；??.

x?48??455x?2yy2、分式有，无意义，总有意义：

2x?11有意义； 例2：分式中，当x?____时，分式没有意义 x?52?x1x例3：当x 时，分式2有意义。 例4：当x 时，分式2有意义

x?1x?1例1：当x 时，分式

例5：x，y满足关系 时，分式

x?y无意义； x?yx2x3xx?5 B. C. D. 2322x?1x?1x?1x例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A．例7：使分式

x 有意义的x的取值范围为（ ）A．x?2 B．x??2 C．x??2 D．x?2 x?2例8：要是分式

x?2没有意义，则x的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3

(x?1)(x?3)3、分式的值为零：

1?2ax2?1

例1：当x 时，分式的值为0 例2：当x 时，分式的值为0

a?1x?1

例3：如果分式

a?2a?2的值为为零,则a的值为( ) A. ?2 B.2 C. ?2 D.以上全不对

x2?x例4：能使分式2的值为零的所有x的值是 （ ） A x?0 B x?1 Cx?0 或x?1 Dx?0或x??1

x?1x2?9例5：要使分式2的值为0，则x的值为（ ） A.3或-3

x?5x?6例6：若

B.3 C.-3 D 2

a?1?0,则a是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 a

4、分式的基本性质的应用：

AA?C?BB?C?C?0?AA?C?BB?C分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例1：

xy6x(y?z)5(3a?1)5?成立,则a的取值范围是________； ； ；如果??27(3a?1)7aabyy?z3(y?z)ab2例2：33?(ab例3：如果把分式

1?b?c??a()

b?c)

a?2b中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ） a?bA、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变 例4：如果把分式

10x中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ） x?y1 10 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的例8：若把分式A．扩大12倍

x?3y的x、y同时缩小12倍，则分式的值（ 2xB．缩小12倍

C．不变

D．缩小6倍

）

?a可变形为（ ） a?baaaaA B C ? D ?

?a?ba?ba?ba?b0.2x?0.012? ； 例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，

?x?0.051?x例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， ?= 。

1?x?x2例10：根据分式的基本性质，分式

5、分式的约分及最简分式：

例1：下列式子（1）

b?ab?aa?bx?y1?x?yx?y???1；（2）；（3）；（4）中 ??22c?aa?ca?bx?yx?y?x?yx?y正确的是（ ） A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个

例2：下列约分正确的是（ ）

x6x?yx?y12xy213?0； C、2A、2?x； B、?； D、2? x?yxx?xyx4xy2例3：下列式子正确的是( ) A

yzy?zc?dc?dc?d?c?d2x?y?a?y???0 ??1 C.????0 B. D.

xx?xaaaa?y2x?y例4：下列运算正确的是（ ）

aa241111a2a???? A、 B、?? C、2? D、a?ba?bxx22mmmbb

例5：下列式子正确的是（ ）

a?b?a?b0.1a?0.3ba?3bbb2?0 C．??1 D．?A．?2 B． a?ba?b0.2a?b2a?baammmmm2?3m?例6：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、

m?3m?33?mm?39?m211x?y3?x???1； 53?3x?5y。 ?4xy例7：约分： ；= ；??0.6x?y?3xy2xyx2?96xy22例8：约分：

a2?4 a?4a?42＝ ；

a(a?b)x?y4xy??? ； ； 22b(a?b)16xy(x?y)x2?16x2?9ax?ay?14a2bc3? ；? ?___________ ? ；221a3bc2x?6x?8x?16x2?y25ab9?m2x2?9?__________2?__________?__________。

20a2bm?3x?6x?9例9：分式

a?2a?b4a1，，，中，最简分式有( ) 22212(a?b)x?2a?3a?bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、分式的乘，除，乘方：

例题：

116x3y456x426x2?25x4a?a??计算：（1） （2） （3） ?a125a10100a1315x639y7a2?1a?1a?ba2b2?a4x?2x2?25???计算：（4）2 （5） （6）

x?5x2?4a2?4a?4a?2a?abab?a23b2?4xxy2?6ab?xy?x?计算：（7）6xy? （8） （9） ??x?y2a3y322x2?1x?3a2?1a?22x25y10y?(1?x)??a?1?计算：（10） （11） （12） ????22222x?6x?9x?xa?4a?4a?13y6x21x2a?63?aa?1a2?41????a?3??2?2计算：（13） （14） 224?4a?aa?a?6a?2a?2a?1a?1x3x2?y2xy?y2x2?y2求值题：（1）已知：?，求2的值。 （2）已知：x?9y?y?3x，求2的值。 ?222y4x?2xy?yx?xyx?y （3）已知：

112x?3xy?2y??3，求的值。 xyx?2xy?y

例题：

?3y32y23?2a?)? （2）???= （3）?计算：（1）(??2x23x?b??335???= ?322222??b?2?a?aaa?1?a??b??????????ab4? （6）2计算：（4）??2??= （5）???????????? ??ba2aa?1a?1a?1??????????????xyzxy?yz?xzx2?x2求值题：（1）已知：?? 求2的值。 （2）已知：x?10x?25?y?3?0求的值。

2342xy?2yx?y2?z211x2x2?yx例题：计算(x?y)?的结果是（ ）A 2 Bx2?y C D ?21?yyx?yxx?y2例题：化简x?yx1x的结果是（ ）A. 1 B. xy C. D . ?xyxy2a?2a?12x3?8xx?2x2?2x?12?2x2

??计算：（1）2；（2） （3）(a－1)·÷

a2?2a?12a?2x?1x?4x?42x?4x2?17、分式的通分及最简公分母：

例1：分式

112,2,的最简公分母是（ ） m?nm?n2m?n22A．(m?n)(m2?n2) B．(m2?n2)2 C．(m?n)2(m?n) D．m?n 例2：对分式

yx1，2，通分时， 最简公分母是（ ） 2x3y4xy2３

A．２４xy B．１２ｘｙ Ｃ．２４ｘｙ Ｄ．１２ｘｙ

B. 3 C. 2 D. 1

２２２２

x2?1x?y?x?1x2?y2例3：下面各分式：2,,,，其中最简分式有（ ）个。A. 4

x?xx2?y2x?1x2?y2例4：分式

1a1?1,，的最简公分母是 . 例6：分式的最简公分母为 。

x2?y2x2?xya2?42a?48、分式的加减：

22n2a2?3a2?4?例1：?= 例2：2=

mma?1a2?1例3：

yxx?2yy2x???= 例4：2= 22222x?yy?xx?yy?xx?yab5a2b?33a2b?58?a2b4m?1a2b2??计算：（1） （2） （3） （4） －－. ?22222a?bb?am?3m?3ababab(a?b)(b?a)13115111例5：化简++等于（ ） A．2x B．2x C．6x D．6x

x2x3x

例6：

bca2a1xx?613xx?? 例7：2??? 例8： 例9： ?22abca?4a?2x?3x?3xx3?x(x?3)a2a?1a?2x2?x?1 －2 例11：a?1? 例12：2a?4a?1x?1例10：a?a?2练习题：（1）

bab14x?1122?2?? （2） （3） +. 222a?93?aa?bb?a2?xx?42?xb2xy?a?b （5） 2? （4） ?a-bx?yy?xa11a2?a?1例13：计算a?1?的结果是（ ）A B ? C D a?1

a?1a?1a?1a?112x?2，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. x?2x?4x1?2x2?2例15：已知：x?4x?3?0 求的值。 x?2x?4x?4例14：请先化简：

9、分式的混合运算：

42x1x?3x2?2x?1???2?2例1：2 例2：

x?16x?4x?4x?1x?1x?4x?3x?2x?2x2?2x4?x??)?例3：( 例4： 2????x?2x?2x2x?3x?1??例5：?1???1?xx?yx?y 例6：1??2??1?x?x?1x?2yx?4xy?4y222112y?)?22x?yx?yx?2xy?y 例7

(例8： ?x?2x?1x?4x?x?1?1(?)? 例9： ???2222xx?2xx?4x?4xx?xx?2x?1??10、分式求值问题：

例1：已知x为整数，且

222x?18++2为整数，求所有符合条件的x值的和. x?33?xx?9例2：已知x＝2，y＝

?24124??11?，求?÷????的值. 22?2(x?y)(x?y)x?yx?y????1的值为________． 2x例3：已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+

2

1a?3a2?2a?1例4：已知实数a满足a＋2a－8=0，求的值. ??a?1a2?1a2?4a?31x21111例5：若x??3 求4的值是（ ）．A． B． C． D． 2x81024x?x?1例6：已知

112x?14xy?2y??3，求代数式的值 xyx?2xy?y

练习题：（6）先化简，再求值

3?x5÷(x+2－).其中x＝－2. 2x?4x?2aa2aa22?2)?(?)?1,其中a?,b??3 （7）(222a?ba?2ab?ba?ba?b32?1?x?1（8）先化简，?1???，再选择一个你喜欢的数代入求值．

x?x?11、分式其他类型试题：

234567，，，，，，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿ 3815243548124816?,2,?3,4,?5,...,根据你的发现，例2： 观察下面一列分式：它的第8项是 ，第n项是 。 xxxxx例1：观察下面一列有规律的数：

例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ）

Yes n（n+1）输入n 计算 >50 输出结果m n No A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式

101与互为相反数. 5?x2?3x113?，根据这个规则x☆(x?1)?的解为 ab222

C．x??或1 D．x?或?1

33例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝（

） A．x?

2

3

B．x?1

例6：已知

4ABx?CB?_____,C?______； ，则A?_____,??x(x2?4)xx2?43y?7AB??，则（ ）

(y?1)(y?2)y?1y?2A．A??10,B?13 B．A?10,B?13 C．A?10,B??13 D．A??10,B??13

例7： 已知

xyy2例8：已知2x?3y，求2的值； ?222x?yx?y例9：设m?n?mn,则

111?的值是( ) A. B.0 C.1 D.?1 mnmn22例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ 例11：先填空后计算：

22111111???= 。= 。= 。（3分） nn?1n?1n?2n?2n?31111?????②（本小题4分）计算：

n(n?1)(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)(n?2007)(n?2008)1111?????解：

n(n?1)(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)(n?2007)(n?2008)①

=

练习题：（6）先化简，再求值

3?x5÷(x+2－).其中x＝－2. 2x?4x?2aa2aa22?2)?(?)?1,其中a?,b??3 （7）(222a?ba?2ab?ba?ba?b32?1?x?1（8）先化简，?1???，再选择一个你喜欢的数代入求值．

x?x?11、分式其他类型试题：

234567，，，，，，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿ 3815243548124816?,2,?3,4,?5,...,根据你的发现，例2： 观察下面一列分式：它的第8项是 ，第n项是 。 xxxxx例1：观察下面一列有规律的数：

例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ）

Yes n（n+1）输入n 计算 >50 输出结果m n No A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式

101与互为相反数. 5?x2?3x113?，根据这个规则x☆(x?1)?的解为 ab222

C．x??或1 D．x?或?1

33例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝（

） A．x?

2

3

B．x?1

例6：已知

4ABx?CB?_____,C?______； ，则A?_____,??x(x2?4)xx2?43y?7AB??，则（ ）

(y?1)(y?2)y?1y?2A．A??10,B?13 B．A?10,B?13 C．A?10,B??13 D．A??10,B??13

例7： 已知

xyy2例8：已知2x?3y，求2的值； ?222x?yx?y例9：设m?n?mn,则

111?的值是( ) A. B.0 C.1 D.?1 mnmn22例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ 例11：先填空后计算：

22111111???= 。= 。= 。（3分） nn?1n?1n?2n?2n?31111?????②（本小题4分）计算：

n(n?1)(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)(n?2007)(n?2008)1111?????解：

n(n?1)(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)(n?2007)(n?2008)①

=

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