数学建模典型例题

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克? 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、 问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、 模型假设

1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、 假设体重的变化是一个连续函数 4、 初始体重为W0

三、 模型建立

假设在△t时间内：

体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；

身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；

四、 模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得：

(-69t/41686)

5429-69W=（5429-69W0）e即：

(-69t/41686)

W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e

当t趋于无穷时，w=81;

二、投资策略模型

一、 问题重述

一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本aij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。以千元计数aij的由下面的表给出： aij 年2 年3 年4 年5 年6 年1 年2 年3 年4 年5 4 6 5 9 7 6 12 11 8 8 20 16 13 11 10 请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。

二、 问题分析

本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。

三、 条件假设

除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；

四、模型建立

二

5

11 7 三 6 4

16

6 13 8 四 一 9

12 8 11 20 五 10

六

运用Dijikstra算法

1 2 3 4 5 6 0 4 6 9 12 20 6 9 12 20

9 12 20 12 20 20 可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现

即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。

三、飞机与防空炮的最优策略

一、问题重述：

红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？

二、问题分析

该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。 1、对策参与者为两方（红蓝两方）

2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御

方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。

三、问题假设：

（1） 红蓝双方均不知道对方的策略。

（2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，

而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。

（3） 红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一

种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。

（4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作

出决策。

四、模型建立

行动及其产生的结果 红方 蓝方 1-1-1-1 2-1-1 2-2-0-0 1.0 0.75 0.50 0.00 0.50 0.83 2架一起 两架分开 由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B

A= 10

0.75 0.50 0.50 0.83 B= 0 0.25 0.5

1 0.5 0.17

没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题

设蓝方采取行动i的概率为xi(i=1，2，3)，红方采取行动j的概率为yj(j=1,2)，则蓝方与红方策略集分别为：

S1=｛x=（x1，x2，x3）0

五、模型求解

下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x* Max v1

0*x1+0.25*x2+0.5*x3>v1 x1+0.5*x2+0.17*x3>v1 x1+x2+x3=1 xi<=1

下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y* Min v2 y2

0.25*y1+0.5*y2

四、雷达计量保障人员分配

开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。

现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示： 区域 部署雷达 计量保障任务划分 计量保障任务数量 区域1（雷达一营） A、A、B、C、D、E 区域2（雷达二营） C、F、G、H、I 区域3（雷达三营） D、F、J、K、L A、B1、B2、C、D、E、 6 C、F、G、H1、H2、I 6 6 D、F、J、K、L1、L2 说明：1．保障任务分区域进行保障；

2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；

3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成。

雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）：

雷A1 达 B1 C1 D1 E1 C2 F2 G2 H2 I2 D3 F3 J3 K3 L3 重0.8 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 要性 该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：

人员 Mw1 Mw2 Mw3 Mw4 Mw5 Mw6 Mw7 Mw8 Mw9 Mw10 A 0.8 0.9 0 0.4 0.7 0.5 0.5 0.8 0.4 0.7 B 0.3 0.5 0.9 0 0.8 0 0.9 0.2 0.7 0.3 1B 0 0 0 0 0.7 0.8 0.4 0.4 0.5 0.8 2C 0.7 0.5 0 0.5 0.6 0.6 0 0.6 0.5 0.6 D 0.4 0 0 0.5 0.7 0.8 0 0 0.3 0.8 E 0.8 0 0 0 0.3 0.7 0.2 0.1 0.6 0.8 F 0.6 0.5 0.4 0.2 0.3 0.8 0.3 0.2 0.7 0.3 G 0.7 0.9 0.6 0 0 0 0.4 0.2 0.8 0.5 H 0.9 0.5 0.4 0.2 0.3 0.8 0.3 0.2 0.7 0.2 1H 0.3 0.5 0.7 0.6 0.5 0.8 0.3 0.1 0.6 0 2I 0.4 0.5 0.4 0.8 0.7 0.6 0 0 0.4 0.4 J 0 0.5 0.4 0.2 0.3 0.8 0.6 0.2 0.3 0.9 K 0 0.5 0.3 0.7 0.3 0.8 0.3 0.1 0.7 0.7 L 0.7 0.5 0.4 0.2 0.3 0.1 0.3 0.2 0.6 0 1L 0.8 0.5 0.5 0.2 0.7 0.2 0.5 0.2 0.2 0 2 问题：如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？

一、问题分析：

该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用0—1整数规划方法来求解，

得到最大效益矩阵。

二、模型假设

1．保障任务分区域进行保障；

2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；

3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成。

三、模型建立

根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：

??0.80.300.70.40.80.70.60.70.90.30.40.40.6000.70.8??0.90.500.5000.50.50.50.50.50.500.50.50.50.50.5???00.9000000.40.60.40.70.400.40.40.30.40.5???0.7000.50.500.50.200.20.60.80.50.20.20.70.20.2??A???0.50.80.70.60.70.30.60.300.30.50.70.70.30.30.30.30.7??0.500.80.60.80.70.60.800.80.80.60.80.80.80.80.10.2????0.50.90.4000.200.30.40.30.3000.30.60.30.30.5??0.80.20.40.600.10.60.20.20.20.1000.20.20.10.20.2????0.40.70.50.50.30.60.50.70.80.70.60.40.30.70.30.70.60.2???0.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700???根据题目，设保障任务的重要性向量B?(b1,b2,...,bi)，bi表示第i个任务的重要性。列出保障任务重要性向量：

B??0.80.90.90.80.70.70.70.80.70.90.90.60.70.90.80.6我们用二者的乘积表示效益矩阵： R?A?B?。

我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务，如果是，其值为1，否则为0。

利用这一个矩阵和0-1规划，我们就可以列出方程：

0.70.7?maxZ???rij*xij

j?1i?1mn?xj?ini?1mij?1

?x

model: sets:

ij??1,m<=n

M/1..10/; N/1..18/:a;

allowed(M,N):b,r,x; endsets data:

a=0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7; b=0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.8 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.5 0.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.2 0.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.7 0.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 0.2 0.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.5 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.2 0.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0; enddata

max=@sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j)); @for(M(i):@for(N(j):r(i,j)=a(j)*b(i,j)));

@for(M(i):@sum(N(j):x(i,j))=1);

@for(N(j):@sum(M(i):x(i,j))<=1);

@for(M(i):@for(N(j):@bin(x(i,j)))); End

解得最大效益为6.63，

分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承担A型，5、7号承担B1，B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承担F型2号G型，1、3号承担H1，H2型，4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3，6号F型、10号J型。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7yjo.html