固体物理(1)

此份材料为2班石慧琛、龙碧红整理的，感谢两位的辛勤奉献！

第一章

1、晶体、非晶体和准晶体的区别联系？

晶 体:规则结构，分子或原子按一定的周期性排列。长程有序性，有固体的熔点。E.g.

水晶 岩盐

非晶体:非规则结构，分子或原子排列没有一定的周期性。短程有序性，没有固定的熔点。

玻璃橡胶

准晶体:有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向；有准周期性，但无长程周期性 2、为什么晶体的内能最小？ 答：由最小内能定理可知有序排列的原子形成的晶体，具有高度稳定性，因此它的内能最小。 3、晶体为什么不存在5重旋转对称轴？ 答：晶体中只可存在,1,2,3,4,6次转轴，而不可能有5次旋转对称轴和大于6次的旋转对称轴。

这是因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列。

4、什么是基元、晶格，如何理解晶体结构=晶格+基元？ 答：基元：在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元。

（基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。） 晶格：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为晶格)。

如何理解晶体结构=晶格+基元？由于晶体中所有的基元完全等同，所以整个晶体的结构可以看作是有基元沿空间3个不同方向，各按一定周期平移而构成，即晶体结构=点阵+基元(课本第三页答案有疑问)

5、解释固体物理学原胞、结晶学原胞和维格纳—塞茨原胞的区别和联系。

答：固体物理学原胞特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个

固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 结晶学原胞特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点，其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。

维格纳--塞茨原胞特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。 6、什么是简单格子、复式格子？

答：简单格子：如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个原子则形成的晶格为简单格

子或称为布拉维格子。

复式格子：如果晶体虽由一种原子组成，但基元中包含两个原子，或晶体由多种原子组

成，则每种原子都可构成一个布拉维格子，而整个晶体可以看作是相互之间有一定位移关系的布拉维格子套构而成的晶格，称为复式格子。 7、写出体心立方、面心立方的正格基矢。

面心立方： 体心立方：

1

a1?a2a3aj?k2a?i?k2a?i?j2??????a1?a2a3a?i?j?k2a?i?j?k2a?i?j?k2??????

8、基矢为a1=ai,a2=aj,a3=(a/2)(i+j+k)的晶体为何种结构？若a3=(a/2)(j+k)+(3a/2)i,又为何种结构？为什么 原胞体积： ? a 1 ? a 2 Ω? a3因此 Ω?a1?a2?a3?1

9、晶向和晶向指数？（要求掌握求法，参详讲义）【重要】 10、什么是晶面指数及其意义。（要求掌握求法，参详讲义）

答：在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的

一组数称为晶面指数。

????晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：

1)基矢a1,a2,a3被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；

(2)以a1,a2,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比； (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。

11、解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面，为什么？

答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行于解理面

的原子层间距大，因为面间距大的晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。 12、温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？ 答：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距

逐渐变大. 由布拉格反射公式

逐渐变大, 衍射角

可

逐渐变小.

知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距

所以温度升高, 衍射角变小. 当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍 射角

随之变大.。 13、什么叫致密度？

答：如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以

2

使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度(堆积比率或最大空间利用率)。

14、以刚性原子球堆积模型，计算简立方、体心立方、面心立方、六角密积和金刚石结构的致密度。（参考课件和作业）【重要】

面心立方的致密度.：设晶格常量为a，原子半径为R，则

V?a3111N?ni?n?n?nc

42f34e8v?NπR3

4R?2a 15、在晶体衍射中，为什么不用可见光？ 答：晶体中原子间距的数量级为

应小于

米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长

米, 是晶体中原子间距的1000倍.

米. 但可见光的波长为7.6?4.0

因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 16、什么是反射球？如何构建反射球？

答：若k?k0?nKh，则nKh必落在以k0和k的交点C为中心，2?/?为半径的球面上，

反之，落在球面上的倒格点必满足k?k0?nKh，这些倒格点所对应的晶面族将产生反射，所以这样的球称为反射球。 如何构建反射球？

设入射线沿CO方向，取线段CO?2?心，以2??，其中?是所用单色X射线的波长，再以为

?为半径所作的球就是反射球。O、P、Q是反射球上的倒格点， CO是X

射线入射方向，则CP是以OP为倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的反射方向，OP间无倒格点,所以CP方向的反射是n=1的一级衍射。而OQ联线上还有一倒格点，所以CQ方向的反射是二级衍射。

SnKhS0O Q P kk0O kC k0C

17、什么是散射因子和几何结构因子？列出体心立方、面心立方、金刚石结构的材料消光条

3

件。 答：散射因子：原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比称

为该原子的散射因子。

几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。

例2：面心立方晶格的几何结构因子。

面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标

000,1111220,202,01122代入公式: F?finKhkl?Rji2πn?huj?kvj?lwj?hkl?je?jej?fj

得：Fhkl?f1?eiπn?h?k??eiπn?h?l??eiπn?k?l?

?f???

1???1?nh?nk???1?nh?nl???1?nk?nl?

4f,nh.nk.nl全为奇数? 4f,nh.nk.nl全为偶数

0,nh.nk.nl部分为奇数,部分为偶数. Fhkl?4f,nh.nk.nl全为奇数

4f,nh.nk.nl全为偶数当nh,nk,nl部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为零，相应的反射消失。0,nh.nk.nl部分为奇数,部分为偶数. 例3： 金刚石结构的几何结构因子

金刚石结构平均每个布拉维原胞包含8个原子，将其坐标： 000,1 1 1 1 1 1

220,202,011113333131322,444,444,444,444,i2πn?huj?kvj?lwj?代入Fhkl??fjej

Fhkl?f[1?eiπn?h?k??eiπn?h?l??eiπn?k?l?

?eiπ2n?h?k?l??eiπ2n?h?3k?3l??iπe2n?3h?3k?l??eiπ2n?3h?k?3l?]?f?[1?eiπn?h?k??eiπn?h?l??eiπn?k?l?]?eiπ2n?h?k?l?[1?eiπn?k?l??eiπn?h?k??eiπn?h?l?]

4

iπ?f[1?e2n?h?k?l?][1?eiπn?h?k??eiπn?h?l??eiπn?k?l?]

?S1S2

S1?f[1?eiπ2n?h?k?l?],

Siπn?h?k?2?[1?e?eiπn?h?l??eiπn?k?l?]

S1正是在面心立方格点上所放置的基元000,111444的结构因子 。 Fiπn(h?k?hkl?f[1?e2l)]?1???1?nh?nk???1?nh?nl???1?nk?nl?8f,nh.nk.nl全为偶数且nh?nk?nl?4?(?为整数)?0,nh.nk.nl全为偶数且nh?nk?nl?4??24f(1?i),nh.nk.nl全为奇数0,nh.nk.nl部分为奇数部分为偶数

体心立方几何结构因子书本31页

18、倒格矢及相关问题

（1）求倒格子原胞的体积及其与正格子原胞体积关系。

3Ω*??2π?Ω (其中?和?*分别为正、倒格原胞体积)

Ω*?b1??b2?b3?3 ???2π??Ω???a2?a3????a3?a1???a1?a2??

A??B?C???A?C?B??A?B?C

??a3?a1???a1?a2??

???a3?a1??a2?a1???a3?a1??a1?a2

5

考虑近邻原子间的相互作用)。

解:设最近邻原子间的恢复力系数为?，则:

mx????xn?xn?1????xn?xn?1?

n..xn?Ae?i??t?naq?

将试探解代入振动方程得色散关系: ??2由玻恩---卡门周期性边界条件:

q1 Naq?2π?s x1?x1?N eiNa??msinaq 2q?2πππ55s ??q? ??s? 5aaa22s??2,?1,0,1,2 q??4π2π2π4π,?,0,, 5a5a5a5a??2?msinaq 22π?π,?21?2sin,?3?0,?4??2,?5??1 5m5?1?2?msin例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动

模式数为多少?

晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn 金刚石结构为复式格子,每个原胞有2个原子。

m?3,n?2,有6支格波，3支声学波，3支光学波。振动模式数为6N。

例1：证明由N个质量为m、相距为a的原子组成的一维单原子链的模式密度

?(?)?2N2(?m??2)?1/2 π证明：(法一) 一维单原子链

??2aqaq sin ??msin2m2??ππ?q? 共有N个值 aaNNaL?(q)???

2π/a2π2π 16

dq间隔内的振动模式数为:

L2πdq ?~??d?间隔内的振动模式数为：

?n?2?Ldq2πd?d?

(因子2是因为一个?对应于正负两个波矢q，即一个?对应两个振动模式。)

??2?aqmsin2 ??sinaqm2

??d?aaqa?1/q?dq? ?m2cos2 ??m2??1??2?22??? ?a1/2m??2??2m??2?

?n?2?Ldq2L1/22πd?d? ?2?L12πa2??2m??2?1/2d? ?a??2m??2π??d?

?(?)?2N(?2m??2)?1/2π

(法二)

一维单原子链只有一支格波，且??2?aqmsin2 ??aqmsin2

3n??????V?c2π?3??1?dss?q???q? (式中?m为截止频率)

?对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为

L2π 1/2??aaq ??a??2?aq? ?m2cos2m2???1??2?? ???2m??2?1/2

m?2?(?)?L2L22π???q2πa?2??21/2Na2?m?

?(?)?L2L22π???q2πa??2??22m?1/2?2N(?2m??2)?1/2

π

例2：三维晶体，???cq其中c为常量，求??(?)

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qy qx

解：??????

Vcds 3?s?2π???q???q?在波矢空间，等频率面为球面，球半径为q。

??q?c

Vc?2Vc4πq2Vc4π??? ????????? ?23 33c?2π??2π?c?c?2πc2第四章

1、什么叫空位？

答：当某一原子具有足够大的振动能而使振幅增大到一定限度时克服周围原子对它的制约作用，跳离其原来的位置，使点阵中形成空结点，称为空位。 2、什么叫肖特基缺陷、弗伦克尔缺陷？

答：肖特基缺陷：当晶体中的原子脱离格点位置后不在晶体内部形成填隙原子，而是占据晶体表面的一个正常位置，并在原来的格点位置产生一个空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。 弗仑克尔缺陷：当晶格中的原子脱离格点后，移到间隙位置形成填隙原子时，在原来的格点位置处产生一个空位，填隙原子和空位成对出现，这种缺陷称为弗仑克尔缺陷。 3、什么叫色心、增色过程？

答：能吸收可见光的晶体缺陷称为色心。 把碱卤晶体在碱金属的蒸汽中加热，然后使之聚冷到室温，则原来透明的晶体就出现了颜色，这个过程称为增色过程。 4、什么叫极化子

答：产生的电子束缚态称为自陷态，同杂质所引进的局部能态有区别，自陷态永远追随者电子从晶格中一处移到另一处，这样一个携带者中纬度晶格畸变而运动的电子，可看作一个准粒子（电子+晶格的畸变），称为极化子。 5、了解刃型位错和螺旋位错的产生机制 6、求热缺陷的数目 答：平衡状态下晶体内的热缺陷数目可以通过热力学的平衡条件求得。系统处于热平衡的条件是：系统的自由能F最小。自由能F可表达成如下形式：F?U?TS U是内能，S是熵T是绝对温度。由?????F???0 可求热缺陷的数目。 ??n??T7、替位式杂质原子扩散系数高于晶体缺陷自扩散系数的原因是什么

答：当杂质原子以替代方式出现时，由于杂质原子占据了正常格点，所以其扩散的方式同自扩散更为近似，但由于外来原子和晶体中的基本原子的大小及电荷数目有所不同，因此当它

18

们替代晶体中的原子后，会引起周围畸变，使得畸变区域出现空位的概率大大增加，这样杂质原子跳向空位的概率也加大，也就加快了杂质原子的扩散，即替代式杂质原子的扩散系数比晶体自扩散系数大。

第五章

1、写出bloch波函数，推导bloch定理。

??????????ik?Rn答：?(r?Rn)?e?(r), 其中k 为电子波矢，Rn?n1a1?n2a2?n3a3是格矢。

推导bloch定理：

(1)引入平移对称算符

?,H?]?0 (2)说明: [T????? (3) T?(Rn)?eik?R

n证明：(1)平移对称算符

?????T(Rn)f(r)?f(r?Rn) r变到r＋Rn的平移对称操作 ??2???????T(Rn)f(r)?T(Rn)f(r?Rn)?f(r?2Rn)

?l???? T(Rn)f(r)?f(r?lRn)

?(r) f(r)可以是V(r)，?(r)，H(2)

?,H?]?0[T2?????2?H????V(r) V(r)?V(r?Rn), 2m在直角坐标系中：

??2?2?2?2?2?2?2? ?(r)?2?2?2??(r?Rn) ???222?x?y?z?(x?n1a1)?(y?n2a2)?(z?n3a3)2?具有晶格周期性。 晶体中单电子哈密顿量H???????????????T(Rn)H(r)?(r)?H(r?Rn)?(r?Rn) ?H(r)T(Rn)?(r) ?,H?]?0 [T平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。

?的本征函数，那么 由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数?(r)是H?????(r)也一定是算符T(Rn)的本征函数。

19

(3)

??????????Tik?Rn(Rn)???e?(R)对应的本征值为设T?(Rn)，则有 n????????T(Rn)?(r)??(r?Rn)??(Rn)?(r)、

根据平移特点

??n1??n2??n3?????????????T(aT(a2)T(a3) T(Rn)?T(n1a1?n2a2?n3a3)?T(n1a1)T(n2a2)T(n3a3) 1)??????可得到

T?(R???r?)???(a?n?n?n?n)?(r)??(Rn)?(1)?1??(a2)?2??(a3)?3?(r)

即 ?(R?)?

n??(a?1)?n1??(a?2)?n2??(a?n33)??(a???1)、?(a2)、?(a3)??

设晶体在a??、a?1、a23方向各有N1、N2、N3个原胞,

由周期性边界条件 ?

??(r?????(r?)??(r)??(r??N1a1)?N?2a2) ???(r?)??(r??N?3a3)

根据上式可得到

T??N1a?1??(r?)???(a?1)?N1?(r?)??(r??N??1a1)??(r) ?l1?(a?N ?(a?i2π11)??1 1)?eN1

?i2πl2l3同理可得：?(aN?i2πN2)?e2, ?(a3)?e3

这样

T?(R?n) 的本征值取下列形式 ?(R?i2π(n1l1?n2l2?n3l3)

n)?eN1N2N3引入矢量k?lb???11N?l2b2?l3b3 1N2N3式中b?????1、b2、b3 为晶格三个倒格基矢，由于ai?bj?2π?ij ?(Rnik?)?e?R?n

?(r??R?ik??R?n)?en?(r?) ---布洛赫定理

,

20

2、布里渊区的构造方法；会画出第一布里渊区，第二布里渊区和第三布里渊区；布里渊区有几种画法。

提示：在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。 第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域；

第n+1布里渊区：从原点出发经过n个中垂面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。

晶体结

布拉维倒格点 中垂面 构

晶格 排列 (中垂线)

Kh?h1b1?h2b2?h3b3

正格基矢 倒格基矢

a1、a2、a3,b1、b2、b3例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、第三布里渊区。

a2?ajaaaaa1?ai a1?aib1?2π2π(i?j)aia2?ajai? bj?2π?ij?0(i?j)b2?2πaj

区分布里渊区 21

另外例题看课件

3、画出给定二维倒格子空间的布里渊区，说明各个布里渊区面积关系 提示：看课件例题

4、近自由电子近似模型即禁带宽度的求解 5、能带的三种图示法

EE6E5E4允许带禁带

允许带允许带E3E2?3πa?2πaπ?aOπaE12πa3πak

电子能带的三种图示法

(a) 扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。

b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。

(c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。 6、紧束缚近似模型

??晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V(r?Rn)的作用，其他原子的作用视为

微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。

22

7、1）推导简单立方晶体中，由孤立原子s态所形成的能带，并求出能带宽度

??解：由于s态波函数是球对称的，因而Jsn仅与Rs、Rn 原子间距有关，只要原子间距相等，

重叠积分就相等。对于简立方最近邻原子有6个，以Rs?0处原子为参考原子，6个最近邻原子的坐标为：(?a,0,0)， (0,?a,0)， (0,0,?a)?(其中a为晶格常量)

?对6个最近邻原子，Jsn具有相同的值，不妨用J表示，这样得能量函数Es(k)为：

近邻????ik?(Rn?Rs)atEs(k)?Es?Jss?J?e?Rn

ikya?ikya ?E?Jss?J(eatsikxa?e?ikxa?e?e?eikza?e?ikza)

at?Esxa?coksya?coksza) s?Jss?2J(cok在简约布里渊区中心kx＝ky＝kz=0处，

at能量有最小值，Esmin?E??Jss?6J

在简约布里渊区边界kx， ky， kz= ?π 处， aat能量有最大值，Esmax?E??Jss?6J

能带的宽度：?E?Esmax?Esmin?12J

J012J1原子能级分裂成能带

2）紧束缚法中

???ik?Rl sEk?E?C?Je

l简立方的晶格常数为a,在只计最近邻的格点的相互作用时 (1) 试推导能量表达式

(2) 指出能量取得极值的相应倒格点及能量的大小。

??? 23

第六章

1、什么是波包，晶体周期性势场中的电子波包有何波组成？ 答：这些由波矢不同的布洛赫波叠加而成的局限在一定空间的波叫波包。晶体周期性势场中的电子波包由布洛赫波组成（自由电子波包由德布罗意波组成）。 2、电子速度、加速度、有效质量的求解公式 答：电子速度vk?1?kE(k) ???1??加速度a?2?k?kE?F

???11?2E有效质量??2m????k??k?

3、以体心立方晶格中紧束缚近似下的s能带为例，求在价带顶、导带底和

πππk?(?， ?， ?)处电子的速度和有效质量的大小。

aaa提示：看课件

4:、晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？ 甚至还会变成无穷大呢？阐述物理过程 答：

5、实空间中电子的振荡运动很难看到

答：1)电子受晶体中杂质和缺陷及声子散射作用，电子来不及完成振荡运动就被散射破坏掉

了；

(2)按照量子力学，电子遇到位垒时将有部分穿透位垒(遂道效应)，部分被反射回来。 6、满带、导带、近满带和空带

答：(1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。

(2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占据,其余为空态。 (3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据,只有少数空态。 (4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。 7、为什么无外电场情况下，满带和导带的宏观电流I=0

24

E A?π?aπaA k?

无外场时

对称地填充一对对正负的k态上，总电流抵消

8、为什么外电场情况下，满带宏观电流I=0而导带I≠0 存在外场

在外场所施加的作用力的影响下，整个电子分布将向一个方向移动，从而破坏了原来的对称分布，这时电子电流部分抵消，产生一定的宏观电流。

E A???a??aA ?k

25

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7yeg.html